2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)梯級練七十古典概型幾何概型課時(shí)作業(yè)理含解析新人教A版

PAGE課時(shí)作業(yè)梯級練七十古典概型、幾何概型一、選擇題(每小題5分，共25分)1.甲、乙兩人有三個(gè)不同的學(xué)習(xí)小組A,B,C可以參與,若每人必需參與并且僅能參與一個(gè)學(xué)習(xí)小組,則兩人參與同一個(gè)小組的概率為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.甲、乙兩人參與三個(gè)不同的學(xué)習(xí)小組共包含9個(gè)基本領(lǐng)件,其中兩人參與同一個(gè)小組包含3個(gè)基本領(lǐng)件(A,A),(B,B),(C,C),則所求概率為P=QUOTE=QUOTE.2.現(xiàn)有2個(gè)正方體,3個(gè)三棱柱,4個(gè)球和1個(gè)圓臺,從中任取一個(gè)幾何體,則該幾何體是旋轉(zhuǎn)體的概率為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.共有10個(gè)幾何體,其中旋轉(zhuǎn)體有5個(gè),所以從中任取一個(gè)幾何體,則該幾何體是旋轉(zhuǎn)體的概率為QUOTE=QUOTE.3.在一個(gè)球內(nèi)有一棱長為1的內(nèi)接正方體,一動(dòng)點(diǎn)在球內(nèi)運(yùn)動(dòng),則此點(diǎn)落在正方體內(nèi)部的概率為 ()A.QUOTE B.QUOTEπ C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.由題意可知這是一個(gè)幾何概型,棱長為1的正方體的體積V1=1,球的直徑是正方體的體對角線長,故球的半徑R=QUOTE,球的體積V2=QUOTEπ×QUOTE=QUOTEπ,則此點(diǎn)落在正方體內(nèi)部的概率P=QUOTE=QUOTE.4.若任取x、y∈QUOTE,則點(diǎn)P(x,y)滿意y>x的概率為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.依據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式可知P=QUOTE=QUOTE.5.在區(qū)間QUOTE上隨機(jī)地選擇一個(gè)數(shù)p,則方程x2-px+3p-8=0有兩個(gè)正根的概率為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.因?yàn)榉匠蘹2-px+3p-8=0有兩個(gè)正根,所以QUOTE,所以p≥8或QUOTE<p≤4,又因?yàn)閜∈QUOTE,所以所求概率為P=QUOTE=QUOTE.二、填空題(每小題5分,共15分)6.七巧板是中國古代勞動(dòng)人民的獨(dú)創(chuàng),其歷史至少可以追溯到公元前一世紀(jì),清陸以湉《冷廬雜識》卷一中寫道“近又有七巧圖,其式五,其數(shù)七,其改變之式多至千余.”在18世紀(jì),七巧板流傳到了國外,被譽(yù)為“東方魔板”,至今英國劍橋高校的圖書館里還珍藏著一部《七巧新譜》.完整圖案為一正方形(如圖):五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形,假如在此正方形中隨機(jī)取一點(diǎn),那么此點(diǎn)取自陰影部分的概率是.

【解析】設(shè)大正方形邊長為1,大正方形面積為S=1,陰影部分是兩個(gè)等腰直角三角形和一個(gè)正方形,由圖可知陰影部分正方形的邊長為QUOTE,陰影部分大的等腰直角三角形的直角邊長為QUOTE,小的等腰直角三角形的直角邊長為QUOTE,陰影部分的面積為S′=QUOTE+QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以所求概率為P=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE7．(2024·懷化模擬)甲、乙兩人隨意住兩間空房，則甲、乙兩人各住一間房的概率是________．【解析】由題意符合古典概型，甲，乙兩人隨意入住兩間空房，每人有兩種住法，故兩人有4種住法，甲乙兩人各住一間房的住法種數(shù)有2種，所以甲、乙兩人各住一間房的概率為P＝eq\f(2,4)＝0.5.答案：0.58．(2024·汕頭模擬)如圖是一種圓內(nèi)接六邊形ABCDEF，其中BC＝CD＝DE＝EF＝FA且AB⊥BC.則在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自六邊形ABCDEF內(nèi)的概率是________.【解析】因?yàn)锽C＝CD＝DE＝EF＝FA且AB⊥BC.所以該圖形是該圓的內(nèi)接正八邊形AMNBCDEF的一部分(如圖).易知，以O(shè)為頂點(diǎn)，正八邊形的各邊為底邊的八個(gè)等腰三角形全等．且它們的腰長為圓的半徑r，頂角為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(360,8)))°＝45°.故每個(gè)小等腰三角形的面積為S＝eq\f(1,2)r2sin45°＝eq\f(\r(2),4)r2.內(nèi)接六邊形ABCDEF的面積為S△OAF＋S△OFE＋S△OED＋S△ODC＋S△OCB＋S△OAB，由正八邊形的性質(zhì)知：四邊形ABCF是矩形，且S△OAB＝S△OAF，所以S六邊形ABCDEF＝6S△OAF＝6S＝6×eq\f(\r(2),4)r2＝eq\f(3\r(2)r2,2).又S圓O＝πr2，故所求概率為：P＝eq\f(\f(3\r(2)r2,2),πr2)＝eq\f(3\r(2),2π).答案：eq\f(3\r(2),2π)三、解答題(每小題10分，共20分)9．某地區(qū)有小學(xué)21所，中學(xué)14所，高校7所，現(xiàn)采納分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取6所學(xué)校對學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)查．(1)求應(yīng)從小學(xué)、中學(xué)、高校中分別抽取的學(xué)校數(shù)目．(2)若從抽取的6所學(xué)校中隨機(jī)抽取2所學(xué)校做進(jìn)一步數(shù)據(jù)分析，①列出全部可能的抽取結(jié)果；②求抽取的2所學(xué)校均為小學(xué)的概率．【解析】(1)由分層抽樣定義知，從小學(xué)中抽取的學(xué)校數(shù)目為6×eq\f(21,21＋14＋7)＝3；從中學(xué)中抽取的學(xué)校數(shù)目為6×eq\f(14,21＋14＋7)＝2；從高校中抽取的學(xué)校數(shù)目為6×eq\f(7,21＋14＋7)＝1.故從小學(xué)、中學(xué)、高校中分別抽取的學(xué)校數(shù)目為3，2，1.(2)①在抽取的6所學(xué)校中，3所小學(xué)分別記為A1，A2，A3，2所中學(xué)分別記為A4，A5，高校記為A6，則抽取2所學(xué)校的全部可能結(jié)果為{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15種．②從6所學(xué)校中抽取的2所學(xué)校均為小學(xué)(記為事務(wù)B)的全部可能結(jié)果為{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3種，所以P(B)＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).10．已知向量a＝(－2，1)，b＝(x，y).(1)若x，y分別表示將一枚質(zhì)地勻稱的正方體骰子(六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，3，4，5，6)先后拋擲兩次時(shí)第一次、其次次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求滿意a·b＝－1的概率；(2)若x，y在連續(xù)區(qū)間[1，6]上取值，求滿意a·b＜0的概率．【解析】(1)將一枚質(zhì)地勻稱的正方體骰子先后拋擲兩次，所包含的基本領(lǐng)件總數(shù)為6×6＝36，由a·b＝－1，得－2x＋y＝－1，所以滿意a·b＝－1的基本領(lǐng)件為(1，1)，(2，3)，(3，5)，共3個(gè)．故滿意a·b＝－1的概率為eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).(2)若x，y在連續(xù)區(qū)間[1，6]上取值，則全部基本領(lǐng)件的結(jié)果為Ω＝{(x，y)|1≤x≤6，1≤y≤6}．滿意a·b＜0的基本領(lǐng)件的結(jié)果為A＝{(x，y)|1≤x≤6，1≤y≤6且－2x＋y＜0}．畫出圖象如圖所示，矩形的面積為S矩形＝25，陰影部分的面積為S陰影＝25－eq\f(1,2)×2×4＝21，故滿意a·b＜0的概率為eq\f(21,25).1．（5分）如圖所示，設(shè)M是半徑為R的圓周上一個(gè)定點(diǎn)，在圓周上等可能地任取一點(diǎn)N，連接MN，則弦MN的長超過eq\r(2)R的概率為()A．eq\f(1,5)B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3)D．eq\f(1,2)【解析】選D.如圖，在圓上過圓心O作與OM垂直的直徑CD，則MD＝MC＝eq\r(2)R，當(dāng)點(diǎn)N不在半圓弧上時(shí)，MN＞eq\r(2)R，故所求的概率P(A)＝eq\f(πR,2πR)＝eq\f(1,2).2．（5分）(2024·榆林模擬)勒洛三角形是由德國機(jī)械工程專家、機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)家勒洛(1829－1905)首先發(fā)覺的，所以以他的名字命名，其作法如下：以等邊三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長為半徑，在另外兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形．若在勒洛三角形內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自等邊三角形外部的概率為()A．eq\f(3\r(3)－π,2（π－\r(3)）) B．eq\f(2π－3\r(3),2（π－\r(3)）)C．eq\f(2π－3\r(3),2π－\r(3)) D．eq\f(2π－3,2π－\r(3))【解析】選B.如圖，設(shè)BC＝2，以B為圓心的扇形面積是：eq\f(π×22,6)＝eq\f(2π,3)，△ABC的面積是：eq\f(1,2)×2×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，所以勒洛三角形的面積為3個(gè)扇形面積減去2個(gè)正三角形面積，即eq\f(2π,3)·3－2eq\r(3)＝2π－2eq\r(3)，所以在勒洛三角形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自正三角形外部的概率是：1－eq\f(\r(3),2π－2\r(3))＝eq\f(2π－3\r(3),2（π－\r(3)）).3．（5分）連續(xù)投骰子兩次得到的點(diǎn)數(shù)分別為m，n，作向量a＝(m，n)，則a與b＝(1，－1)的夾角θ成為直角三角形內(nèi)角的概率是________．【解析】由題意知本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的全部事務(wù)數(shù)為6×6，因?yàn)閙＞0，n＞0，所以a＝(m，n)與b＝(1，－1)不行能同向．所以夾角θ≠0.因?yàn)棣取蔱q\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，a·b≥0，所以m－n≥0，即m≥n.當(dāng)m＝6時(shí)，n＝6，5，4，3，2，1；當(dāng)m＝5時(shí)，n＝5，4，3，2，1；當(dāng)m＝4時(shí)，n＝4，3，2，1；當(dāng)m＝3時(shí)，n＝3，2，1；當(dāng)m＝2時(shí)，n＝2，1；當(dāng)m＝1時(shí)，n＝1.所以滿意條件的事務(wù)數(shù)為6＋5＋4＋3＋2＋1，所以概率P＝eq\f(6＋5＋4＋3＋2＋1,6×6)＝eq\f(7,12).答案：eq\f(7,12)4．（10分）甲、乙兩人參與普法學(xué)問競賽，共有5個(gè)不同題目，選擇題3個(gè)，推斷題2個(gè)，甲、乙兩人各抽一題．(1)求甲、乙兩人中有一個(gè)抽到選擇題，另一個(gè)抽到推斷題的概率是多少；(2)求甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少．【解析】5個(gè)不同題目，甲、乙兩人各抽一題，共有20種狀況，把3個(gè)選擇題記為x1，x2，x3，2個(gè)推斷題記為p1，p2.“甲抽到選擇題，乙抽到推斷題”的狀況有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6種；“甲抽到推斷題，乙抽到選擇題”的狀況有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6種；“甲、乙都抽到選擇題”的狀況有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6種；“甲、乙都抽到推斷題”的狀況有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2種．(1)“甲抽到選擇題，乙抽到推斷題”的概率為eq\f(6,20)＝eq\f(3,10)，“甲抽到推斷題，乙抽到選擇題”的概率為eq\f(6,20)＝eq\f(3,10)，故“甲、乙兩人中有一個(gè)抽到選擇題，另一個(gè)抽到推斷題”的概率為eq\f(3,10)＋eq\f(3,10)＝eq\f(3,5).(2)“甲、乙兩人都抽到推斷題”的概率為eq\f(2,20)＝eq\f(1,10)，故“甲、乙兩人至少有一人抽到選擇題”的概率為1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10).5．（10分）已知函數(shù)f(x)＝ax＋eq\f(1,x).(1)從區(qū)間(－2，2)內(nèi)任取一個(gè)實(shí)數(shù)a，設(shè)事務(wù)A表示“函數(shù)y＝f(x)－2在區(qū)間(0，＋∞)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)”，求事務(wù)A發(fā)生的概率；(2)若連續(xù)擲兩次一枚勻稱的骰子(骰子六個(gè)面上標(biāo)注的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，3，4，5，6)得到的點(diǎn)數(shù)分別為a和b，記事務(wù)B表示“f(x)＞b在x∈(0，＋∞)上恒成立”，求事務(wù)B發(fā)生的概率．【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)－2在區(qū)間(0，＋∞)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，所以f(x)－2＝0，即ax2－2x＋1＝0有兩個(gè)不同的正根x1和x2，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≠0,x1＋x2＝\f(2,a)＞0,x1x2＝\f(1,a)＞0,Δ＝4－4a＞0))，解得0＜a＜1，所以P(A)＝eq\f(1－0,2－（－2）)＝eq\f(1,4).(2)由已知a＞0，x＞0，所以f(x)＞b，即ax2－bx＋1＞0在x∈(0，＋∞)上恒成立，故Δ＝b2－4a＜0(*).當(dāng)a＝1時(shí)，b＝1適合(*)；當(dāng)a＝2時(shí)，b＝1，2適合(*)；當(dāng)a＝3，4時(shí)，b＝1，2，3均適合(*)；當(dāng)a＝5，6時(shí)，b＝1，2，3，4均適合(*).所以滿意(*)的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)為m＝1＋2＋6＋8＝17.而基本領(lǐng)件總數(shù)為n＝6×6＝36，所以事務(wù)B發(fā)生的概率P(B)＝eq\f(m,n)＝eq\f(17,36).1．用黑白兩種顏色隨機(jī)地染如圖所示表格中6個(gè)格子，每個(gè)格子染一種顏色，則有______個(gè)不同的染色方法，出現(xiàn)從左至右數(shù)，不管數(shù)到哪個(gè)格子，總有黑色格子不少于白色格子的概率為______．【解析】用黑白兩種顏色隨機(jī)地染表格中6個(gè)格子，每個(gè)格子染一種顏色，則有：26＝64個(gè)不同的染色方法，出現(xiàn)從左至右數(shù)，不管數(shù)到哪個(gè)格子，總有黑色格子不少于白色格子，包含的基本領(lǐng)件有：全染黑色，有1種方法，第一個(gè)格子染黑色，另外五個(gè)格子中有1個(gè)格染白色，剩余的都染黑色，有5種方法，第一個(gè)格子染黑色，另外五個(gè)格子中有2個(gè)格染白色，剩余的都染黑色，有9種方法，第一個(gè)格子染黑色，另外五個(gè)格子中有3個(gè)格染白色，剩余