2024北京朝陽高三（上）期中數(shù)學(xué)（教師版）

第1頁/共1頁2024北京朝陽高三（上）期中數(shù)學(xué)2024.11（考試時(shí)間120分鐘滿分150分）本試卷分為選擇題40分和非選擇題110分第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.設(shè)集合，集合，則（）A. B.C. D.2.若函數(shù)在處取得最小值，則（）A.1 B. C.2 D.43.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.4.如圖，在中，，，則（）A. B.C. D.5.已知單位向量，滿足，設(shè)向量，則向量與向量夾角的余弦值是（）A. B. C. D.6.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，書中有如下的問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這女子每天分別織布多少？”.由此推算，在這5天中，織布超過1尺的天數(shù)共有（）A.1天 B.2天 C.3天 D.4天7.已知α，β均為第二象限角，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.已知函數(shù)若直線與函數(shù)的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.9.在三棱錐O-ABC中，棱OA，OB，OC兩兩垂直，點(diǎn)P在底面ABC內(nèi)，已知點(diǎn)P到OA，OB，OC所在直線的距離分別為1，2，2，則線段OP的長為（）A. B. C.3 D.10.數(shù)學(xué)家康托爾創(chuàng)立了集合論，集合論的產(chǎn)生豐富了現(xiàn)代計(jì)數(shù)方法.記為集合S的元素個(gè)數(shù)，為集合S的子集個(gè)數(shù)，若集合A，B，C滿足：①，；②，則的最大值是（）A.99 B.98 C.97 D.96第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.計(jì)算________.12.在中，已知，則__________；________.13.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為（A，B為常數(shù)），寫出一個(gè)有序數(shù)對(duì)________，使得數(shù)列是遞增數(shù)列.14.某種滅活疫苗的有效保存時(shí)間T（單位：h）與儲(chǔ)藏的溫度t（單位：℃）滿足函數(shù)關(guān)系（k，b為常數(shù)，其中）.已知該疫苗在0℃時(shí)的有效保存時(shí)間是1440h，在5℃時(shí)的有效保存時(shí)間是360h，則該疫苗在10℃時(shí)的有效保存時(shí)間是________h.15.對(duì)于無窮數(shù)列，若存在常數(shù)，對(duì)任意的，都有不等式成立，則稱數(shù)列具有性質(zhì)P.給出下列四個(gè)結(jié)論：①存在公差不為0的等差數(shù)列具有性質(zhì)P；②以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列具有性質(zhì)P；③若由數(shù)列的前n項(xiàng)和構(gòu)成的數(shù)列具有性質(zhì)P，則數(shù)列也具有性質(zhì)P；④若數(shù)列和均具有性質(zhì)P，則數(shù)列也具有性質(zhì)P.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是________.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.（本小題13分）在中，.（I）求的值；（II）若，，求b及的面積.17.（本小題15分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面ABCD，，，，.（I）求證：平面PAD；（Ⅱ）求平面PAB與平面PCD的夾角的余弦值；（Ⅲ）記平面PAB與平面PCD的交線為l.試判斷直線AB與l的位置關(guān)系，并說明理由.18.（本小題13分）已知函數(shù).（I）若，求的最小值；（II）若存在極小值，求a的取值范圍.19.（本小題14分）設(shè)函數(shù).（I）若，，求的值；（II）已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，且是函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸，再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使函數(shù)存在，求ω，φ的值.條件①：當(dāng)時(shí)，取到最小值；條件②：；條件③：在區(qū)間上單調(diào)遞減.注：如果選擇的條件不符合要求，第（II）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.20.（本小題15分）已知函數(shù).（I）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（II）討論在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（III）若，其中，求證：.21.（本小題15分）若有窮正整數(shù)數(shù)列A：，，，…，滿足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱數(shù)列A為T數(shù)列：①；②對(duì)任意的，都存在正整數(shù)，使得.（I）判斷數(shù)列A：1，1，1，3，3，5和數(shù)列B：1，1，2，2，4，4，4，12是否為T數(shù)列，說明理由；（II）已知數(shù)列A：，，，…，是T數(shù)列.（i）證明：對(duì)任意的，與不能同時(shí)成立；（ii）若n為奇數(shù)，求的最大值.（考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效）

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）1.A2.C3.D4.C5.C6.B7.C8.B9.A10.B二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）11.12.，13.（答案不唯一）14.9015.②③④三、解答題（共6小題，共85分）16.（本小題13分）解：（I）由，得.所以.由，得.又因?yàn)?，所?所以.可得. 5分（II）因?yàn)?，，所?又由（I）可知，，所以.整理得，即.所以.所以.所以面積為. 13分17.（本小題15分）解：（I）因?yàn)槠矫鍭BCD，所以.又因?yàn)椋?，所?又因?yàn)?，所以平面PAD. 5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，，，如圖所示，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則，，，.則，.設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為.由得所以.令，則.又因?yàn)槠矫鍼CD，所以是平面PCD的一個(gè)法向量.設(shè)平面PAB與平面PCD的夾角為θ，則. 12分（Ⅲ）直線.理由如下：因?yàn)?，平面PCD，平面PCD，所以平面PCD.又因?yàn)槠矫鍼AB，平面平面，所以. 15分18.（本小題13分）解：（I）函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，取得最小值0. 5分（II）.（1）當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以無極值.（2）當(dāng)時(shí)，令，得.當(dāng)x變化時(shí)，與的變化情況如下表：x-0+↘極小值↗由上表知，當(dāng)時(shí)，取得極小值.綜上，a的取值范圍為. 13分19.（本小題14分）解：（I）由，，得.則. 4分（Ⅱ），，.選擇條件①：因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，且是函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸，又當(dāng)時(shí)，取到最小值，所以，故.因?yàn)?，所?所以，.又因?yàn)?，所以，?又因?yàn)椋?選擇條件③：因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，且是函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸，又在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，故.因?yàn)?，所?所以，.又因?yàn)?，所以，?又因?yàn)椋? 14分20.（本小題15分）解：（I）由，得且，所以.所以曲線在處的切線方程為：.即. 4分（II）①當(dāng)時(shí)，，，所以.所以在區(qū)間上無零點(diǎn).②當(dāng)時(shí)，，，所以.所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.又，，所以在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn).綜上，在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1. 9分（III）設(shè)，即，所以.設(shè)，.因?yàn)闀r(shí)，，，所以.所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，即在區(qū)間上單調(diào)遞增.故，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.故，所以.因?yàn)?，所以，又，所? 15分21.（本小題15分）解：（I）數(shù)列A不是T數(shù)列，理由如下：對(duì)于數(shù)列A，因?yàn)?，，且?duì)任意的正整數(shù)，有，所以數(shù)列A不滿足性質(zhì)②.所以數(shù)列A不是T數(shù)列.數(shù)列B是T數(shù)列，理由如下：對(duì)于數(shù)列B，因?yàn)?，，，，所以?shù)列B滿足性質(zhì)①.又因?yàn)?，，，，，，，所以?shù)列B滿足性質(zhì)②.所以數(shù)列B是T數(shù)列. 4分（II）（i