2024北京昌平二中高三（上）期中數(shù)學(xué)（教師版）

第1頁(yè)/共1頁(yè)2024北京昌平二中高三（上）期中數(shù)學(xué)（滿分：150分時(shí)間：120分鐘）一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分．在每小題中選出符合題目要求的一項(xiàng)．）1.已知，則（）A. B.C. D.2.若復(fù)數(shù)z滿足，則（）A.1 B.5 C.7 D.253.的展開式中的系數(shù)為（）A.240 B. C.120 D.4.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在其定義域上為增函數(shù)的是（）A. B. C. D.5.已知圓，直線，則直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為（）A. B. C. D.6.已知向量，，則“”是“與共線”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.設(shè)函數(shù)，，其中，.若，，且的最小正周期大于，則A.， B.， C.， D.，8.已知直線，，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線和的距離之和的最小值為（）A.2 B. C.3 D.9.已知等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，若，則下列命題錯(cuò)誤的是A. B.C.中的最大項(xiàng)為 D.10.由曲線圍成的圖形面積為（）A. B. C. D.二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分．）11.已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為__________.12.已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是________.13.若直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則的一個(gè)取值為________．14.紙張的規(guī)格是指紙張制成后，經(jīng)過(guò)修整切邊，裁成一定的尺寸．現(xiàn)在我國(guó)采用國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)，規(guī)定以，，，，，…等標(biāo)記來(lái)表示紙張的幅面規(guī)格．復(fù)印紙幅面規(guī)格只采用系列和系列，其中系列的幅面規(guī)格為：①，，，…，所有規(guī)格的紙張的幅寬（以表示）和長(zhǎng)度（以表示）的比例關(guān)系都為；②將紙張沿長(zhǎng)度方向?qū)﹂_成兩等分，便成為規(guī)格，紙張沿長(zhǎng)度方向?qū)﹂_成兩等分，便成為規(guī)格，…，如此對(duì)開至規(guī)格．現(xiàn)有，，，…，紙各一張．若紙的寬度為，則紙的面積為______；這9張紙的面積之和等于______．15.設(shè)，函數(shù)給出下列四個(gè)結(jié)論：①在區(qū)間上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，存在最大值；③當(dāng)時(shí)，直線與曲線恰有3個(gè)交點(diǎn)；④存在正數(shù)及點(diǎn)和，使.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______.三、解答題（本大題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）16.在中，．（1）求角的大??；（2）再?gòu)臈l件①?條件②?條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，使得存在且唯一確定，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．17.如圖，在直三棱柱中，，，是中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離．18.如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由.19.已知橢圓：（）的離心率為，是橢圓的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)且滿足.（1）求橢圓方程；（2）設(shè)為橢圓右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（異于），直線，分別交直線于，兩點(diǎn).求證：，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值.20.已知函數(shù).（1）若，求f(x)在點(diǎn)處的切線方程；（2）若f(x)在上恰有一個(gè)極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若對(duì)于任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.設(shè)正整數(shù)，集合，對(duì)于集合中的任意元素和，及實(shí)數(shù)，定義：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)；；．若的子集滿足：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，則稱為的完美子集．（1）當(dāng)時(shí)，已知集合，．分別判斷這兩個(gè)集合是否為的完美子集，并說(shuō)明理由：（2）當(dāng)時(shí)，已知集合．若不是的完美子集，求的值；（3）已知集合，其中．若對(duì)任意都成立，判斷是否一定為的完美子集．若是，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不是，請(qǐng)給出反例．

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分．在每小題中選出符合題目要求的一項(xiàng)．）1.【答案】A【詳解】由題可知：所以，，所以答案選A【考點(diǎn)定位】考查集合的交集和補(bǔ)集，屬于簡(jiǎn)單題.2.【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)四則運(yùn)算，先求出，再計(jì)算復(fù)數(shù)的模．【詳解】由題意有，故．故選：B．3.【答案】A【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求解即可【詳解】展開式的通項(xiàng)，由，可得.∴含項(xiàng)的系數(shù)為.故選：A.4.【答案】B【分析】根據(jù)給定條件逐一分析各選項(xiàng)即可判斷作答.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)是奇函數(shù)，但在其定義域上不單調(diào)，A不正確；對(duì)于B，函數(shù)定義域是R，是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上也單調(diào)遞增，即函數(shù)在其定義域R上單調(diào)遞增，B正確；對(duì)于C，函數(shù)是奇函數(shù)，但在其定義域上不單調(diào)，C不正確；對(duì)于D，函數(shù)定義域是，它是奇函數(shù)，在和(0,+∞)上單調(diào)遞增，但在其定義域上不單調(diào)，D不正確.故選：B5.【答案】A【分析】先求得圓心坐標(biāo)和半徑，然后求出圓心到直線的距離，由勾股定理得弦長(zhǎng)．【詳解】圓標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以弦長(zhǎng)為．故選：A．6.【答案】A【詳解】當(dāng)時(shí)，，則與共線；當(dāng)與共線時(shí)，，，所以“”是“與共線”的充分不必要條件；故選:A.7.【答案】A【詳解】由題意，其中，所以，又，所以，所以，，由得，故選A．【考點(diǎn)】求三角函數(shù)的解析式【名師點(diǎn)睛】有關(guān)問(wèn)題，一種為提供函數(shù)圖象求解析式或某參數(shù)的范圍，一般先根據(jù)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)確定，再根據(jù)周期或周期或周期求出，最后再利用最高點(diǎn)或最低點(diǎn)坐標(biāo)滿足解析式，求出滿足條件的值，另一種時(shí)根據(jù)題目用文字形容的函數(shù)圖象特點(diǎn)，如對(duì)稱軸或曲線經(jīng)過(guò)的點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意自己畫出圖象，再尋求待定的參變量，題型很活，求或的值或最值或范圍等.8.【答案】C【分析】由拋物線的定義可知點(diǎn)到直線和的距離之和的最小值即為焦點(diǎn)到直線的距離.【詳解】解：由題意，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，所以根據(jù)拋物線的定義可得點(diǎn)到直線的距離等于，所以點(diǎn)到直線和的距離之和的最小值即為焦點(diǎn)到直線的距離，故選：C.9.【答案】C【分析】由，可得，，進(jìn)而有，然后根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】解：由題意，因?yàn)?，所以，，所以，所以，，，所以選項(xiàng)A、B、D正確，又中的最大項(xiàng)為，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，故選：C.10.【答案】A【分析】分類討論研究曲線的性質(zhì)并畫出示意圖，數(shù)形結(jié)合判斷圖形構(gòu)成求面積.【詳解】當(dāng)時(shí)，曲線為，當(dāng)時(shí)，曲線為，當(dāng)時(shí)，曲線為，當(dāng)時(shí)，曲線為，同時(shí)點(diǎn)均在曲線上，如下圖示，所以圍成圖形是4個(gè)半徑均為的半圓，與1個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形組成，故圖形面積為.故選：A二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分．）11.【答案】2【分析】根據(jù)給定條件直接解方程即可得函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】解方程，當(dāng)時(shí)，，而，于是得，即，當(dāng)時(shí)，，解得，所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.故答案為：212.【答案】【詳解】試題分析：正四棱柱的高是4，體積是16，則底面邊長(zhǎng)為2，底面正方形的對(duì)角線長(zhǎng)度為，所以正四棱柱體對(duì)角線的長(zhǎng)度為，四棱柱體對(duì)角線為外接球的直徑，所以球的半徑為，所以球的表面積為．考點(diǎn)：正四棱柱外接球表面積．13.【答案】（或，答案不唯一）【分析】聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)與方程根的情況列式即可求解.【詳解】聯(lián)立，化簡(jiǎn)并整理得：，由題意得或，解得或無(wú)解，即，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.故答案為：（或，答案不唯一）.14.【答案】①.②.##【分析】根據(jù)題設(shè)背景，分析紙張長(zhǎng)寬、面積為等比數(shù)列，利用列舉等比數(shù)列的項(xiàng)求對(duì)應(yīng)長(zhǎng)寬，進(jìn)而求面積，再應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和求面積和.【詳解】由題設(shè)，若的長(zhǎng)寬分別為，則的長(zhǎng)寬分別為，的長(zhǎng)寬分別為，的長(zhǎng)寬分別為，的長(zhǎng)寬分別為，又紙寬度為，所以，則的面積為，由上分析，面積為，面積為，面積為，，依次類推，易知，這9張紙的面積是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，面積之和為.故答案為：；15.【答案】①②④【分析】對(duì)于①，分成，兩種情況討論在區(qū)間0,+∞上單調(diào)性；對(duì)于②，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值；對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，結(jié)合函數(shù)與的單調(diào)性得出此時(shí)無(wú)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，設(shè)，利用特殊值，得出交點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷；對(duì)于④，令，，進(jìn)行驗(yàn)證.【詳解】對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，此時(shí).當(dāng)時(shí)，在區(qū)間0,+∞上單調(diào)遞減顯然成立；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，此時(shí)，所以在區(qū)間0,+∞上單調(diào)遞減，故①成立；對(duì)于②，如圖，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，此時(shí)的最大值為；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，此時(shí)的最大值為，所以存在最大值，最大值為，故②正確；對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，此時(shí)的最大值為，所以直線與曲線沒(méi)有交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，設(shè)，由，解得，當(dāng)時(shí)，，如圖，此時(shí)直線與曲線y=fx恰有2個(gè)交點(diǎn)，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，如圖，取，時(shí)，，所以存在正數(shù)及點(diǎn)和使成立，故④正確.故答案為：①②④.【點(diǎn)睛】求分段函數(shù)的最值方法：根據(jù)每一段函數(shù)的單調(diào)性求出各自的最值或者范圍，再進(jìn)行對(duì)比求出最終的最值.三、解答題（本大題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）16.【答案】（1）（2）答案見解析【分析】（1）利用正弦定理可得答案；（2）若選條件①、②，由余弦定理解得或，不符合題意；若選條件①、③，利用平方關(guān)系求出，由正弦定理可得，利用兩角和的余弦展開式計(jì)算出，利用平方關(guān)系求出，可得，符合題意；若選條件條件②、③，利用平方關(guān)系計(jì)算出，由正弦定理解得，利用兩角和的余弦展開式計(jì)算出，利用平方關(guān)系求出，可得，符合題意.【小問(wèn)1詳解】由正弦定理得，因?yàn)樵谥校?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，可得；【小?wèn)2詳解】由（1）知，若選條件①：，條件②：，則由余弦定理可得,即，解得或，可使得的面積存在但唯一確定，故不符合題意；若選條件①：，條件③：，則可得，在中由正弦定理可得，即，解得，，因?yàn)?，所以，所以，符合題意；若選條件②：，條件③：，則可得，在中由正弦定理可得，即，解得，，因?yàn)?，所以，所以，符合題意.17.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【分析】（1）連接，交于點(diǎn)，連接，易證，再由線面平行的判定證結(jié)論；（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求面面角的余弦值；（3）根據(jù)（2）所得空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求點(diǎn)面距.【小問(wèn)1詳解】連接，交于點(diǎn)，連接，直棱柱中，顯然是中點(diǎn)，又是中點(diǎn)，故，面，面，則面.【小問(wèn)2詳解】由直三棱柱中，故可構(gòu)建如圖所示空間直角坐標(biāo)系，所以面的一個(gè)法向量為，又，所以，若是面的一個(gè)法向量，則，令，則，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值.【小問(wèn)3詳解】由，則，則點(diǎn)到平面的距離.18.【答案】（1）見解析；（2）；（3）存在，【詳解】試題分析：（1）由面面垂直性質(zhì)定理知AB⊥平面；根據(jù)線面垂直性質(zhì)定理可知，再由線面垂直判定定理可知平面；（2）取的中點(diǎn)，連結(jié)，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可求出直線與平面所成角的正弦值；（3）假設(shè)存在，根據(jù)A，P，M三點(diǎn)共線，設(shè)，根據(jù)平面，即，求的值，即可求出的值.試題解析：（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，，所以平面，所以，又因?yàn)椋云矫?；?）取的中點(diǎn)，連結(jié)，，因?yàn)?，所?又因?yàn)槠矫?，平面平面，所以平?因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)?，所?如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得，.設(shè)平面的法向量為，則即令，則.所以.又，所以.所以直線與平面所成角的正弦值為.（3）設(shè)是棱上一點(diǎn)，則存在使得.因此點(diǎn).因?yàn)槠矫?，所以平面?dāng)且僅當(dāng)，即，解得.所以在棱上存在點(diǎn)使得平面，此時(shí).考點(diǎn)：1.空間垂直判定與性質(zhì)；2.異面直線所成角的計(jì)算；3.空間向量的運(yùn)用.19.【答案】（1）（2）證明見解析.【分析】（1）由題知，，進(jìn)而解方程即可求得答案；（2）先討論直線的斜率不存在時(shí)得，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為，再討論直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，進(jìn)而得，再聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)定理求解即可.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)槭菣E圓的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)且滿足，所以，解得，因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，解得.所以，，所以，橢圓方程為.【小問(wèn)2詳解】解：由（1）知，，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，方程為，此時(shí)，，直線方程為，直線方程為，所以，，所以，，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（異于），所以直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為，設(shè)，則直線方程為，直線方程為，因?yàn)橹本€，分別交直線于，兩點(diǎn)所以，聯(lián)立直方程得，所以，，所以，，所以，，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為所以，，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值.20.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線斜率及方程；（2）求導(dǎo)，可得函數(shù)單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn)，再根據(jù)極值點(diǎn)范圍可得參數(shù)范圍；（3）由不等式恒成立可知恒成立，，即，求函數(shù)的最值即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，，所以，，所以切線方程為.【小問(wèn)2詳解】由，得.令，得，.①若，則，在上恒成立，因此，在上單調(diào)遞增，無(wú)極值，不符合題意.②若，則，與的情況如下：極大值極小值因此，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.若在上有且只有一個(gè)極小值點(diǎn)，則需，所以.綜上，的取值范圍是.【小問(wèn)3詳解】因?yàn)?，所以，?又因?yàn)椋?，?令，所以.因?yàn)?，所以，又，所以，所以為上減函數(shù)，所