2024北京八十中高二（上）期中數(shù)學（教師版）

第1頁/共1頁2024北京八十中高二（上）期中數(shù)學2024年10月（考試時間120分鐘滿分150分）提示：試卷答案請一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效.在答題卡上，選擇題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色簽字筆作答.一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知，則與的夾角為（）A. B. C. D.2.圓：與圓：的位置關系為（）A.相交 B.相離 C.外切 D.內切3.雙曲線的焦點坐標是（）A. B. C. D.4.下列命題中，正確的是（）.A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則5.兩平行直線與之間的距離為（）A. B. C.0 D.6.已知橢圓的方程為，則此橢圓的離心率為（）A. B. C. D.7.若構成空間的一個基底，則下列向量可以構成空間的另一個基底的是（）A. B. C. D.8.設，直線，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.已知直線與曲線有且只有一個公共點，則實數(shù)的范圍是（）A. B.或C.或 D.10.如圖，在直三棱柱中，，是線段的中點，在內有一動點（包括邊界），則的最小值是（）A. B. C. D.二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.11.已知向量，，且，則x的值為___________.12.方程表示一個圓，則m的取值范圍是．13.雙曲線的離心率為______，漸近線方程為____________．14.已知橢圓，則此橢圓的焦距長為__________；設為的兩個焦點，過的直線交橢圓于兩點，若，則__________.15.已知實數(shù)a，b滿足，則的最小值為___________.16.如圖，正方形ABCD的邊長為20米，圓O的半徑為1米，圓心足正方形的中心，點P、Q分別在線段AD、CB上，若線段PQ與圓O有公共點，則稱點Q在點P的“盲區(qū)”中.已知點P以1.5米/秒的速度從A出發(fā)向D移動，同時，點Q以1米/秒的速度從C出發(fā)向B移動，則點P從A移動到D的過程中，點Q在點P的育區(qū)中的時長約為________秒（精確到0.1）三、解答題共5小題，共70分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.17.如圖，四棱錐的底面是正方形，側棱底面，，E是的中點.（1）證明：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.18.已知圓C的圓心是直線與直線的交點，且和直線相切，直線，直線l與圓C相交于P，Q兩點．（1）求圓C的標準方程；（2）求直線l所過的定點；（3）當?shù)拿娣e最大時，求直線l的方程．19.如圖，正方體的棱長為2，E為的中點.點M在上.（1）求證：平面；（2）從下列三個條件中選擇一個作為已知，使點M唯一確定.求直線與平面所成角的大小，及點E到平面的距離.條件①：條件②：條件③：平面注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.20.已知和為橢圓上的兩點.（1）求橢圓C的方程和離心率；（2）設直線與橢圓C交于A、B兩點，求三角形AOB面積的取值范圍.21.設有限集合，對于集合，給出兩個性質：①對于集合A中任意一個元素，當時，在集合A中存在元素，使得，則稱A為的封閉子集；②對于集合A中任意兩個元素，都有，則稱A為的開放子集.（1）若，集合，判斷集合為的封閉子集還是開放子集；（直接寫出結論）（2）若，且集合A為的封閉子集，求的最小值；（3）若，且為奇數(shù)，集合A為的開放子集，求的最大值.

參考答案一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.【答案】C【分析】利用空間向量夾角的坐標運算公式計算即可.【詳解】解：，又，.故選：C.2.【答案】A【分析】根據(jù)圓心距以及圓的半徑確定正確選項.【詳解】圓：的圓心為，半徑為.圓：的圓心為，半徑為.，，所以兩圓相交.故選：A3.【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線方程可得實半軸長a，虛半軸長b，再由關系式求解即得.【詳解】雙曲線實半軸長a，虛半軸長b，依題意得，設雙曲線半焦距為c，則，解得，又雙曲線焦點在x軸上，所以焦點坐標是.故選：C4.【答案】C【分析】利用絕對值的意義結合特殊值法判定即可.【詳解】若，即，但，故A、D錯誤；若，即，但，故B錯誤；顯然，則，故C正確.故選：C5.【答案】A【分析】先將直線的方程變形，然后利用兩平行線間的距離公式求解即可【詳解】由，得，所以兩直線間的距離為，故選：A6.【答案】B【分析】橢圓方程化成標準形式后求出代入離心率公式可得答案.【詳解】由得，所以，，.故選：B.7.【答案】D【分析】利用空間向量基本定理逐個判斷各個選項即可．【詳解】解：對于選項A：因為，所以，，共面，不能構成基底，故選項A錯誤，對于選項B：因為，所以，，共面，不能構成基底，故選項B錯誤，對于選項C：因為，，，共面，不能構成基底，故選項C錯誤，對于選項D：若，，共面，則，即，則，無解，所以，，不共面，可以構成空間的另一個基底，故選項D正確.故選：D．8.【答案】A【分析】求出的值，再利用充分條件和必要條件的判斷方法，即可求解.【詳解】因為直線，當時，，此時，即可以推出，當時，，解得或，又時，，此時，所以推不出，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A.9.【答案】C【分析】把曲線方程整理后可知表示半圓，進而畫出圖象來，要使直線與曲線有且僅有一個交點，那么很容易從圖上看出其三個極端情況分別是：直線在第四象限與曲線相切，交曲線于和另一個點，及與曲線交于點0,1，分別求出，則的范圍可得．【詳解】曲線，即，表示一個半圓（單位圓位于軸及軸右側的部分）．

如圖，、、，當直線經過點時，，求得；當直線經過點、點時，，求得；當直線和半圓相切時，由圓心到直線的距離等于半徑，可得，求得，或（舍去），故要求的實數(shù)的范圍為或，故選：C．10.【答案】C【分析】由題意建立空間直角坐標系，設A關于平面的對稱點為，求出、和平面的法向量，進而利用A與到平面的距離相等得①，再由得②從而求出，接著由結合兩點間距離公式即可得解.【詳解】由題意可以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，所以，設A關于平面的對稱點為，則，，設平面的法向量，則，，令，則，所以，所以A與到平面的距離即①，又，所以②，所以由①②得，所以由可得，所以，所以，當且僅當三點共線時取等號，所以的最小值為.故選：C.【點睛】思路點睛：建立空間直角坐標系，利用向量法解決，設A關于平面的對稱點為，利用A與到平面的距離相等和求出，接著由結合兩點間距離公式求出即可得解.二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.11.【答案】【分析】根據(jù)給定條件利用空間向量垂直的坐標表示計算作答.【詳解】因向量，，且，則有，解得，所以x的值為.故答案為：12.【答案】【詳解】試題分析：由題表示一個圓，可得；考點：圓的方程.13.【答案】①.②.【分析】將雙曲線化成標準方程求解進而得到離心率和漸近線即可【詳解】由題，雙曲線中，即，故，故離心率，漸近線方程為，即故答案為：；14.【答案】①.8②.8【分析】利用橢圓的定義可得，兩式相加即可求解.【詳解】由橢圓方程可知：，，則，橢圓的焦距長為；由橢圓的定義得，，兩式相加得，即，可得．故答案為：8；8．15.【答案】5【分析】由題可知，表示的是直線上一點到定點，的距離之和，然后求出點N關于直線對稱的點為，再根據(jù)三點共線時，最小，即最小，即可求出結果.【詳解】由題可知，表示的是直線上一點到定點，的距離之和.如圖，設點N關于直線對稱的點為，則，解得，當三點共線時，最小，即最小所以的最小值為.故答案為：5.16.【答案】4.4【分析】以為坐標原點,建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?求得的坐標和直線的方程,圓方程,運用點到直線的距離公式,以及直線和圓相交的條件,解不等式即可得到所求時長.【詳解】以為坐標原點,建立如圖所示的直角坐標系：由題意可設，所以直線的方程為：，圓方程為：，因為直線與圓有交點，所以，化為，解得，所以點在點的盲區(qū)中的時長約為秒.故答案為：【點睛】本題考查直線和圓的方程的應用，直線和圓的位置關系,坐標法和二次不等式的解法,屬于中檔題.三、解答題共5小題，共70分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.17.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）連接，交于點，根據(jù)中位線定理和線面平行的判定定理進行證明.（2）利用線面垂直的判定定理和性質定理及平面幾何的知識，證明得到是二面角的平面角，從而計算得到結果.【小問1詳解】連接，交于點，由底面是正方形，可知為的中點，又是的中點，是的中位線，，又平面，平面，平面.【小問2詳解】設，，底面，底面，，即是直角三角形，，又E是的中點，，同理可得，且，，平面，平面，，在直角中，，，，又，二面角的平面角為，.二面角的平面角的余弦值為.18.【答案】（1）（2）（3）或【分析】（1）依次求出圓心和半徑即可得解；（2）由題意列出方程組即可求解；（3），當時，面積最大，此時為等腰直角三角形，圓心到直線l的距離，據(jù)此即可求出m.【小問1詳解】，圓C的圓心的圓心坐標為，且和直線相切，所以圓C的半徑為，所以圓C的標準方程為；【小問2詳解】由，得，由，∴直線l過定點；【小問3詳解】∵，∴當時，面積最大，此時為等腰直角三角形，故圓心到直線l的距離，∴，解得，∴此時l的方程為：或.19.【答案】（1）證明見解析（2）直線與平面所成角為；點E到平面的距離為【分析】（1）根據(jù)正方體的特征得到側棱垂直于底面，即側棱垂直于底面中的任意一條直線，對角線互相垂直平分，即可得到線面垂直；（2）分別選條件①②③，結合線面平行位置關系的判定定理和性質定理，即可得到條件①不符合題意，②③均可使點M唯一確定，再根據(jù)建立空間直角坐標系集合向量，利用向量的夾角公式求得結果.【小問1詳解】證明：∵是正方體，∴平面，，即，∵，∴平面，又點M在上，所以平面；【小問2詳解】選條件①：由，根據(jù)正方體的對稱性可知，此時為上的任意一點，不符合題意；選條件②：，連接，在正方體中，根據(jù)平面，∵平面，∴，又，∴，∵平面，∴，又為中點，∴為中點，即此時為上確定的一點；，選條件③：平面，連接，∵平面，平面，且平面平面，∴，∵為中點，∴為中點，即此時為上確定的一點；根據(jù)題意條件①不符合題意，條件②③均可使點M唯一確定，并且可得到為中點，根據(jù)正方體的特征建立空間直角坐標系如圖所示：，則，∴，則，設平面法向量為，則，令，則，∴，即，，設直線與平面所成角為，則，∴直線與平面所成角為；點E到平面的距離為.20.【答案】（1），；（2）【分析】（1）利用，兩點坐標，求出，再利用求出，進而得到橢圓方程與離心率；（2）聯(lián)立橢圓方程與直線方程，求出AB弦長，再求出點O到AB的距離，求出三角形AOB面積，研究該函數(shù)的最值即可.【小問1詳解】解：和為橢圓上的兩點，所以，解之得，，又因為，所以.所以橢圓C的方程為，離心率.【小問2詳解】解：聯(lián)立方程，消去得，因為，所以設交點，，則，，所以.又因為點到直線的距離為，所以三角形AOB面積令，則（當且僅當即時，等號成立），也就是當時，三角形AOB面積取最大值又因為當時，，所以三角形AOB面積的取值范圍是.21.【答案】（1）A為的封閉子集，B為E的開放子集（2）9（3）【分析】對于（1），利用封閉子集，開放子集定義可得答案；對于（2），，設.因集合A中任意一個元素，當時，在集合A中存在元素，使得，則，其中.據(jù)此可得，得，后排除8，再說明9符合題意即可；對于（3），因，且為奇數(shù)，當時，得；當，將里面的奇數(shù)組成集合A，說明集合A為E開放子集，且為最大值即可.【小問1詳解】對于A，因，且，則A為E的封閉子集；對于B，由題可得，注意到其中任意兩個元素相加之和都不在B中，任意元素也不是其他兩個元素之和，且，故B為E的開放子集；【小問2詳解】由題：，設.因集合A中任意一個元素，當時，在集合A中存在元素，使得，則，其中.得，，，.因，則.若，則，則在A中存在元素，使它們的和為.又，則當時，，得，則在A中存在元素，使它們的和為.又當時，，得，則在A中存在元素，使它們的和為.注意到奇數(shù)，且，故不存在元素，使，這與集合A為的封閉子集矛盾，