61分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理（八大題型）

6．1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理【題型歸納目錄】題型一：分類加法計數(shù)原理題型二：分步乘法計數(shù)原理題型三：兩個原理的綜合應(yīng)用題型四：組數(shù)問題題型五：占位模型中標準的選擇題型六：涂色問題題型七：種植問題題型八：列舉法【知識點梳理】知識點一：分類加法計數(shù)原理（也稱加法原理）1、分類加法計數(shù)原理：完成一件事，有類辦法．在第1類辦法中有種不同方法，在第2類辦法中有種不同的方法，……，在第類辦法中有種不同方法，那么完成這件事共有種不同的方法．2、加法原理的特點是：①完成一件事有若干不同方法，這些方法可以分成n類；②用每一類中的每一種方法都可以完成這件事；③把每一類的方法數(shù)相加，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù)．知識點詮釋：使用分類加法計數(shù)原理計算完成某件事的方法數(shù)，第一步是對這件事確定一個標準進行分類，第二步是確定各類的方法數(shù)，第三步是取和．知識點二、分步乘法計數(shù)原理1、分步乘法計數(shù)原理“做一件事，完成它需要分成n個步驟”，就是說完成這件事的任何一種方法，都要分成n個步驟，要完成這件事必須并且只需連續(xù)完成這n個步驟后，這件事才算完成．2、乘法原理的特點：①完成一件事需要經(jīng)過n個步驟，缺一不可；②完成每一步有若干種方法；③把每一步的方法數(shù)相乘，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù)．知識點詮釋：使用分步乘法計數(shù)原理計算完成某件事的方法數(shù)，第一步是對完成這件事進行分步，第二步是確定各步的方法數(shù)，第三步是求積．知識點三、分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理的區(qū)別：1、分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理的區(qū)別：兩個原理的區(qū)別在于一個和分類有關(guān)，一個和分步有關(guān)．完成一件事的方法種數(shù)若需“分類”思考，則這n類辦法是相互獨立的，且無論哪一類辦法中的哪一種方法都能單獨完成這件事，則用加法原理；若完成某件事需分n個步驟，這n個步驟相互依存，具有連續(xù)性，當且僅當這n個步驟依次都完成后，這件事才算完成，則完成這件事的方法的種數(shù)需用乘法原理計算．知識點四、分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理的應(yīng)用1、利用兩個基本原理解決具體問題時的思考程序：（1）首先明確要完成的事件是什么，條件有哪些？（2）然后考慮如何完成？主要有三種類型①分類或分步．②先分類，再在每一類里再分步．③先分步，再在每一步里再分類，等等．（3）最后考慮每一類或每一步的不同方法數(shù)是多少？【典型例題】題型一：分類加法計數(shù)原理例1．（2022·全國·高三專題練習）書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書.從書架上任取1本書，不同的取法有__________種.【答案】9【解析】由題意，若從第一層取書，則有4種不同的取法，若從第二層取書，則有3種不同的取法，若從第三次取書，則有2種不同的取法，所以不同的取法有種.故答案為：9.【方法技巧與總結(jié)】應(yīng)用分類加法計數(shù)原理應(yīng)注意如下問題（1）明確題目中所指的“完成一件事”是什么事，完成這件事可以有哪些方法，怎樣才算是完成這件事．（2）無論哪類方案中的哪種方法都可以獨立完成這件事，而不需要再用到其他的方法，即各類方法之間是互斥的，并列的，獨立的．例2．（2022·全國·高三專題練習）如圖，一條電路從A處到B處接通時，可以有_____________條不同的線路（每條線路僅含一條通路）．【答案】【解析】依題意按上、中、下三條線路可分為三類，上線路中有種，中線路中只有種，下線路中有（種．根據(jù)分類計數(shù)原理，共有（種．故答案為：．例3．（2022·全國·高三專題練習）某大學開設(shè)選修課，要求學生根據(jù)自己的專業(yè)方向以及自身興趣從6個科目中選擇3個科目進行研修．已知某班級a名學生對科目的選擇如表所示，則的一組值可以是______．科目國際金融統(tǒng)計學市場管理歷史市場營銷會計學人數(shù)2428141519b【答案】（答案不唯一，為正整數(shù)且滿足即可）【解析】依題意，，即，是滿足該式的正整數(shù)即可．故答案為：（答案不唯一，為正整數(shù)且滿足即可）變式1．（2022·廣東·佛山市順德區(qū)鄭裕彤中學高二期中）某校高三有三個班，分別有學生50人、50人、52人.從中選一人擔任學生會主席，共有_____一種不同選法.【答案】152【解析】有三個班，分別有學生50人、50人、52人.從中任選一人有：50+50+52=152種方法.故答案為：152題型二：分步乘法計數(shù)原理例4．（2022·全國·高三專題練習）直線方程，若從1，2，3，4這四個數(shù)字中每次取兩個不同的數(shù)作為系數(shù)，的值，則方程表示不同直線的條數(shù)是_________.【答案】10【解析】第一步，給A賦值有4種選擇，第二步，給B賦值有3種選擇，由分步乘法計數(shù)原理可得：(種).又因為與表示同一直線與也表示同一直線，所以形成不同的直線最多的條數(shù)為，故答案為：10【方法技巧與總結(jié)】利用分步乘法計數(shù)原理解題的一般思路（1）分步：將完成這件事的過程分成若干步．（2）計數(shù)：求出每一步中的方法數(shù)．（3）結(jié)論：將每一步中的方法數(shù)相乘得最終結(jié)果．例5．（2022·吉林·四平市第一高級中學高二階段練習）某學校舉行校慶文藝晚會，已知節(jié)目單中共有七個節(jié)目，為了活躍現(xiàn)場氣氛，主辦方特地邀請了三位老校友演唱經(jīng)典歌曲，并要將這三個不同節(jié)目添入節(jié)目單，而不改變原來的節(jié)目順序，則不同的安排方式有________種．【答案】【解析】原來個節(jié)目，形成個空位，安排一位老校友；個節(jié)目，形成個空位，安排一位老校友；個節(jié)目，形成個空位，安排一位老校友.所以不同的安排方式有種.故答案為：例6．（2022·全國·高三專題練習）現(xiàn)有4件不同款式的上衣和3條不同顏色的長褲，如果一條長褲與一件上衣配成一套，則不同的配法種數(shù)為______種．【答案】12【解析】由題意，有四件不同款式的上衣與三條不同顏色的長褲，從中四件不同款式的上衣中，任選一件有種選法，從中三件不同顏色的長褲中，任選一件有種選法，根據(jù)分步計數(shù)原理，可得共有種不同的選法.故答案為：12題型三：兩個原理的綜合應(yīng)用例7．（2022·河北省文安縣第一中學高二期末）如圖，要讓電路從A處到B處接通，不同的路徑條數(shù)為（

）A．5 B．7 C．8 D．12【答案】C【解析】要讓電路從A處到B處接通，不同的路徑條數(shù)為．故選：C．【方法技巧與總結(jié)】使用兩個原理的原則使用兩個原理解題時，一定要從“分類”“分步”的角度入手，“分類”是對于較復(fù)雜應(yīng)用問題的元素分成互相排斥的幾類，逐類解決，用分類加法計數(shù)原理；“分步”就是把問題分化為幾個互相關(guān)聯(lián)的步驟，然后逐步解決，這時可用分步乘法計數(shù)原理．例8．（2022·全國·高三專題練習）已知集合，，若從這兩個集合中各取一個元素作為點的橫坐標或縱坐標，則可得平面直角坐標系中第一、二象限內(nèi)不同點的個數(shù)是（

）A．18 B．16 C．14 D．10【答案】C【解析】分兩類情況討論：第一類，從中取的元素作為橫坐標，從中取的元素作為縱坐標，則第一、二象限內(nèi)的點共有（個）；第二類，從中取的元素作為縱坐標，從中取的元素作為橫坐標，則第一、二象限內(nèi)的點共有（個），由分類加法計數(shù)原理，所以所求個數(shù)為．故選：C例9．（2022·山東菏澤·高二期中）如圖，從甲村到乙村有3條路可走，從乙村到丙村有2條路可走，從甲村不經(jīng)過乙村到丙村有2條路可走，則從甲村到丙村的走法種數(shù)為（

）A．3 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】由圖可知，從甲村直接到到丙村的走法有種，從甲村到乙村再到丙村的走法有種，所以從甲村到丙村的走法共有種.故選:D.題型四：組數(shù)問題例10．（2022·廣東廣州·高二期末）用1，2，3，4組成沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)，這樣的兩位數(shù)個數(shù)為（

）A．6 B．12 C．16 D．24【答案】B【解析】先排個位，有4種排法，再排十位，有3種排法，因此共有種排法，故選：B.【方法技巧與總結(jié)】對于組數(shù)問題，應(yīng)掌握以下原則（1）明確特殊位置或特殊數(shù)字，是我們采用“分類”還是“分步”的關(guān)鍵．一般按特殊位置（末位或首位）分類，分類中再按特殊位置（特殊元素）優(yōu)先的策略分步完成，如果正面分類較多，可采用間接法求解．（2）要注意數(shù)字“0”不能排在兩位數(shù)或兩位數(shù)以上的數(shù)的最高位．例11．（2022·全國·高三專題練習）“回文聯(lián)”是對聯(lián)中的一種，既可順讀，也可倒讀．比如，一副描繪廈門鼓浪嶼景色的回文聯(lián)：霧鎖山頭山鎖霧，天連水尾水連天．由此定義“回文數(shù)”，n為自然數(shù)，且n的各位數(shù)字反向排列所得自然數(shù)與n相等，這樣的n稱為“回文數(shù)”，如：1221，2413142．則所有5位數(shù)中是“回文數(shù)”且各位數(shù)字不全相同的共有（

）A．648個 B．720個 C．810個 D．891個【答案】D【解析】根據(jù)“回文數(shù)”的特點，只需確定前3位即可，最高位即萬位有9種排法，千位和百位各有10種排法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有種排法，其中各位數(shù)字相同的共有9種，則所有5位數(shù)中是“回文數(shù)”且各位數(shù)字不全相同的共有種.故選：D.例12．（2022·江蘇·鎮(zhèn)江市實驗高級中學高二期中）用數(shù)字0，1，2，3，4組成允許有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，這樣的三位數(shù)個數(shù)為（

）A．125種 B．100種 C．64種 D．60種【答案】B【解析】首先排百位數(shù)字，只能是1，2，3，4中的一個，故有4種排法，因為允許有重復(fù)數(shù)字，故十位與個位均有5種排法，故一共有種；故選：B變式2．（2022·全國·高二課時練習）若一個三位數(shù)的各位數(shù)字之和等于，且各位數(shù)字允許重復(fù)（如，等），則這種三位數(shù)的個數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】若百位為，則十位可從中任選一個數(shù)，有種選法，又各位數(shù)字之和等于，個位只有種選法，有個滿足條件的數(shù)；若百位為，則十位可從中任選一個數(shù)，此時個位只有種選法，有個滿足條件的數(shù)；同理可知：若百位分別為，依次可得滿足條件的數(shù)有個.根據(jù)分類加法計數(shù)原理可知：這種三位數(shù)共有個.故選：A.變式3．（2022·全國·高二課時練習）用數(shù)字0，1，2，3組成沒有重復(fù)數(shù)字的3位數(shù)，其中比200大的有（

）A．24個 B．12個 C．18個 D．6個【答案】B【解析】由題意可知，百位上的數(shù)字為2或3，十位上的數(shù)字可在剩余3個數(shù)字中選擇1個數(shù)字，個位上的數(shù)字再在剩下的2個數(shù)字中任選1個，故比200大的3位數(shù)的個數(shù)為.故選：B變式4．（2022·全國·高二課時練習）將1，2，3，…，9這9個數(shù)字填在如圖的9個空格中，要求每一行從左到右，每一列從上到下分別依次增大，當3，4固定在圖中的位置時，填寫空格的方法有（

）.A．6種 B．12種 C．18種 D．24種【答案】A【解析】因為每一行從左到右，每一列從上到下分別依次增大，所以只能填在第一行第一列，只能填在第行第列，只能填在第一行第二列，有種填法（第一行第三列或第三行第一列），5填好后與之相鄰的空格可填6，7，8任一個，余下兩個數(shù)字按從小到大的順序填入剩余空格只有一種方法，所以共有2×3=6（種）方法，故選；A．題型五：占位模型中標準的選擇例13．（2022·廣東·潮州市綿德中學高二階段練習）教學大樓共有4層，每層都有東西兩個樓梯，由一樓到4樓共有走法種數(shù)為（

）A．6 B．23 C．42 D．43【答案】B【解析】由題意得可知：由一層走到二層有兩種選擇，由二層走到三層有兩種選擇，由三層走到四層有兩種選擇，根據(jù)分步計數(shù)法的原則可知共有種走法.故選：B【方法技巧與總結(jié)】在占位模型中選擇按元素還是按位置進行分解的標準是“唯一性”，即元素是否選、選是否只選一次，位置是否占、占是否只占一次．解題時一般選擇具有“唯一性”的對象進行分解．例14．（2022·廣東·清遠市博愛學校高二階段練習）3名志愿者，每人從4個不同的崗位中選擇1個，則不同的選擇方法共有（

）A．12種 B．64種 C．81種 D．24種【答案】B【解析】每個人都有4種選擇，故不同的選擇方法共有種.故選：B例15．（2022·福建福州·高二期末）6名同學參加3個課外知識講座，每名同學必須且只能隨機選擇其中的一個，不同的選法種數(shù)是（

）A．20 B． C． D．120【答案】B【解析】依題意，每位同學都有3種選法，所以不同的選法種數(shù)是.故選：B變式5．（2022·廣東廣州·高二期末）3名同學報名參加足球隊、籃球隊，每名同學限報其中的一個運動隊，則不同的報名方法的種數(shù)是（

）A．8 B．6 C．5 D．9【答案】A【解析】依題意，每名同學報名方法數(shù)是2，所以3名同學不同的報名方法的種數(shù)是.故選：A變式6．5位同學報名參加兩個課外活動小組，每位同學限報其中的一個小組，則不同報名方法有（

）A．10種 B．20種 C．25種 D．32種【答案】D【解析】由題，每個同學有2種選擇，故不同報名方式為，故選：D題型六：涂色問題例16．（2022·寧夏·賀蘭縣景博中學高二階段練習（理））用4種不同顏色給如圖所示的地圖上色，要求相鄰兩塊涂不同的顏色，不同的涂色方法共有（

）A．24種 B．36種 C．48種 D．72種【答案】C【解析】對于①②③，兩兩相鄰，依次用不同顏色涂，共有種涂色方法，對于④，與②③相鄰，但與①相隔，此時可用剩下的一種顏色或者與①同色，共2種涂色方法，則由分步乘法計數(shù)原理得種不同的涂色方法.故選:C【方法技巧與總結(jié)】解決涂色問題的一般思路（1）按區(qū)域的不同，以區(qū)域為主分步計數(shù)，用分步乘法計數(shù)原理分析．（2）以顏色為主分類討論，適用于“區(qū)域、點、線段”等問題，用分類加法計數(shù)原理分析．（3）將空間問題平面化，轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域的涂色問題．例17．（2022·吉林·四平市第一高級中學高二階段練習）給如圖所示的5塊區(qū)域A，B，C，D，E涂色，要求同一區(qū)域用同一種顏色，有公共邊的區(qū)域使用不同的顏色，現(xiàn)有紅、黃、藍、綠、橙5種顏色可供選擇，則不同的涂色方法有（

）A．120種 B．720種 C．840種 D．960種【答案】D【解析】A有5種顏色可選，B有4種顏色可選，D有3種顏色可選，C有4種顏色可選，E有4種顏色可選，故共有5×4×3×4×4＝960種不同的涂色方法．故選：D．例18．（2022·江蘇鹽城·高二期末）給四面體ABCD的六條棱涂色，每條棱可涂紅、黃、藍、綠四種顏色中的任意一種，且任意共頂點的兩條棱顏色都不相同，則不同的涂色方法種數(shù)為（

）A．24 B．72 C．96 D．144【答案】C【解析】由題意，第一步涂有四種方法，第二步涂有三種方法，第三步涂有二種涂法，第四步涂，若與同，則一種涂法，第五步可分兩種情況，若與同色，最后一步涂有2種涂法，若第四步涂，與不同，則涂第四種顏色，此時，各有一種涂法綜上，總的涂法種數(shù)是．故選：C．變式7．（2022·江蘇·徐州市王杰中學高二階段練習）如圖為我國數(shù)學家趙爽（約3世紀初）在為《周髀算經(jīng)》作注時驗證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏色給其中5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色、相鄰區(qū)域顏色不同，則區(qū)域不同涂色的方法種數(shù)為（

）A．36 B．400 C．420 D．480【答案】C【解析】根據(jù)題意，分4步進行分析：①，對于區(qū)域，有5種顏色可選；②，對于區(qū)域，與區(qū)域相鄰，有4種顏色可選；③，對于區(qū)域，與、區(qū)域相鄰，有3種顏色可選；④，對于區(qū)域、，若與顏色相同，區(qū)域有3種顏色可選，若與顏色不相同，區(qū)域有2種顏色可選，區(qū)域有2種顏色可選，則區(qū)域、有種選擇，則不同的涂色方案有種；故選：C．變式8．（2022·全國·高三專題練習）如圖，湖北省分別與湖南、安徽、陜西、江西四省交界，且湘、皖、陜互不交界，在地圖上分別給各省地域涂色，要求相鄰省涂不同色，現(xiàn)有種不同顏色可供選用，則不同的涂色方案數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意，按安徽與陜西涂的顏色相同和不同分成兩類：若安徽與陜西涂同色，先涂陜西有種方法，再涂湖北有種方法，涂安徽有1種方法，涂江西有種方法，最后涂湖南有3種方法，由分步計數(shù)乘法原理得不同的涂色方案種，若安徽與陜西不同色，先涂陜西有種方法，再涂湖北有種方法，涂安徽有3種方法，涂江西、湖南也各有種方法，由分步計數(shù)乘法原理得不同的涂色方案種方法，所以，由分類加法計數(shù)原理得不同的涂色方案共有種.故選：C變式9．（2022·全國·高三專題練習）現(xiàn)有紅、黃、藍三種顏色，對如圖所示的正五角星的內(nèi)部涂色（分割成六個不同區(qū)域），要求每個區(qū)域涂一種顏色且相鄰部分（有公共邊的兩個區(qū)域）的顏色不同，則不同的涂色方法有（

）A．48種 B．64種 C．96種 D．144種【答案】C【解析】根據(jù)題意，假設(shè)正五角星的區(qū)域為，，，，，，如圖所示，先對區(qū)域涂色，有3種方法，再對，，，，這5個區(qū)域進行涂色，因為，，，，這5個區(qū)域都與相鄰，所以每個區(qū)域都有2種涂色方法，所以共有種涂色方法．故選：C.題型七：種植問題例19．（2022·全國·高三專題練習）某學校有一塊綠化用地，其形狀如圖所示．為了讓效果更美觀，要求在四個區(qū)域內(nèi)種植花卉，且相鄰區(qū)域顏色不同．現(xiàn)有五種不同顏色的花卉可供選擇，則不同的種植方案共有________種．（用數(shù)字作答）【答案】180【解析】先在1中種植，有5種不同的種植方法，再在2中種植，有4種不同的種植方法，再在3中種植，有3種不同的種植方法，最后在4中種植，有3種不同的種植方法，所以不同的種植方案共有（種）．故答案為：180．【方法技巧與總結(jié)】種植問題按種植的順序分步進行，用分步乘法計數(shù)原理計數(shù)或按種植品種恰當選取情況分類，用分類加法計數(shù)原理計數(shù)．例20．在一塊并排10壟的田地中，選擇2壟分別種植A、B兩種作物，每種作物種植一壟.為有利于作物生長，要求A、B兩種作物的間隔不小于6壟，則不同的選壟方法共有________種.【答案】12【解析】A種植在左邊第一壟時，B有3種不同的種植方法；A種植在左邊第二壟時，B有2種不同的種植方法；A種植在左邊第三壟時，B只有1種種植方法.B在左邊種植的情形與上述情形相同.故共有2×(3＋2＋1)＝12(種)不同的選壟方法.故答案為：12例21．（2022·湖北·高二階段練習）如圖，圓形花壇分為部分，現(xiàn)在這部分種植花卉，要求每部分種植種，且相鄰部分不能種植同一種花卉，現(xiàn)有種不同的花卉供選擇，則不同的種植方案共有______種（用數(shù)字作答）【答案】260【解析】根據(jù)題意：當1，3相同時，2，4相同或不同兩類，有：種，當1，3不相同時，2，4相同或不同兩類，有：種，所以不同的種植方案共有種，故答案為：260變式10．將3種作物種植在如圖5塊試驗田里，每塊種植一種作物且相鄰的試驗田不能種植同一作物，不同的種植方法共有種.（以數(shù)字做答）【答案】42【解析】題型八：列舉法例22．（2022·河南·馬店第一高級中學模擬預(yù)測（理））如圖，某水果店門前用3根繩子掛了6串香蕉，從左往右的串數(shù)依次為1，2，3．到了晚上，水果店老板要收攤了，假設(shè)每次只取1串（掛在一列的只能先收下面的），則將這些香蕉都取完的不同取法種數(shù)是（

）A．144 B．96 C．72 D．60【答案】D【解析】將6串香蕉編號為1，2，3，4，5，6．把“2，3，4，5，6”取完，方法為23456，24356，24536，24563，42356，42536，42563，45263，45623，45236，共10種，再把1插入其中，每個有6種插法．共有60種方法，故選：D．【方法技巧與總結(jié)】將所有情況一一列舉出來．例23．元旦來臨之際，某寢室四人各寫一張賀卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀卡，則四張賀卡不同的分配方式有（

）A．6種 B．9種 C．11種 D．23種【答案】B【解析】解法1：設(shè)四人A、B、C、D寫的賀卡分別是a、b、c、d，當A拿賀卡b，則B可拿a、c、d中的任何一張，即B拿a，C拿d，D拿c，或B拿c，D拿a，C拿d，或B拿d，C拿a，D拿c，所以A拿b時有三種不同的分配方式；同理，A拿c，d時也各有三種不同的分配方式，由分類加法計數(shù)原理，四張賀卡共有（種）分配方式；解法2：讓四人A、B、C、D依次拿一張別人送出的賀卡，如果A先拿，有3種，此時被A拿走的那張賀卡的人也有3種不同的取法，接下來，剩下的兩個人都各只有1種取法，由分步乘法計數(shù)原理，四張賀卡不同的分配方式有（種）．故選：B.例24．（2022·全國·高三專題練習）已知正整數(shù)有序數(shù)對滿足：①；②．則滿足條件的正整數(shù)有序數(shù)對共有（

）組．A．24 B．12 C．9 D．6【答案】B【解析】由題意知，為正整數(shù)，故由可得，因為，故，則滿足的數(shù)為3和2，則有序數(shù)對可能為，再由可得，則的可能有共6種情況，故滿足條件的正整數(shù)有序數(shù)對共有組，故選：B變式11．（2022·全國·高三專題練習）將編號的小球放入編號為盒子中，要求不允許有空盒子，且球與盒子的編號不能相同，則不同的放球方法有__種．【答案】12.【解析】由題意可知，這四個小球有兩個小球放在一個盒子中，當四個小球分組為如下情況時，放球方法有：當1與2號球放在同一盒子中時，只能放入3號盒，號球放入號盒，有2種不同的放法；同理當1與3號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法；當1與4號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法；當2與3號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法；當2與4號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法；當3與4號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法；因此，不同的放球方法有12種．故答案為：12．【同步練習】一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習）如圖所示，用不同的五種顏色分別為A，B，C，D，E五部分著色，相鄰部分不能用同一種顏色，但同一種顏色可以反復(fù)使用，也可不使用，則復(fù)合這些要求的不同著色的方法共有（

）ABCDEA．500種 B．520種 C．540種 D．560種【答案】C【解析】先涂A，則A有5種涂法，再涂B，因為B與A相鄰，所以B的顏色只要與A不同即可，有4種涂法同理C有3種涂法，D有3種涂法，E有3種涂法由分步乘法計數(shù)原理可知，復(fù)合這些要求的不同著色的方法共有為5×4×3×3×3＝540故選：C.2．（2022·浙江杭州·高三期中）正整數(shù)2160的不同正因數(shù)的個數(shù)為（

）．A．20 B．28 C．40 D．50【答案】C【解析】因為，所以其質(zhì)因數(shù)屬于集合，該集合的元素個數(shù)為，所以正整數(shù)2160的不同正因數(shù)的個數(shù)為40，故選：C.3．（2022·全國·高三專題練習）某奧運村有，，三個運動員生活區(qū)，其中區(qū)住有人，區(qū)住有人，區(qū)住有人已知三個區(qū)在一條直線上，位置如圖所示奧運村公交車擬在此間設(shè)一個?？奎c，為使所有運動員步行到?？奎c路程總和最小，那么?？奎c位置應(yīng)在（

）A．區(qū) B．區(qū) C．區(qū) D．，兩區(qū)之間【答案】A【解析】若停靠點為區(qū)時，所有運動員步行到?？奎c的路程和為：米；若?？奎c為區(qū)時，所有運動員步行到?？奎c的路程和為：米；若?？奎c為區(qū)時，所有運動員步行到?？奎c的路程和為：米；若?？奎c為區(qū)和區(qū)之間時，設(shè)距離區(qū)為米，所有運動員步行到停靠點的路程和為：，當取最小值，故停靠點為區(qū)．故選：A4．（2022·全國·高二課時練習）某城市在中心廣場建造一個花圃，花圃分為6個部分，如圖所示．現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，則不同的栽種方法有（

）．A．80種 B．120種 C．160種 D．240種【答案】B【解析】第一步，對1號區(qū)域，栽種有4種選擇；第二步，對2號區(qū)域，栽種有3種選擇；第三步，對3號區(qū)域，栽種有2種選擇；第四步，對5號區(qū)域，栽種分為三種情況，①5號與2號栽種相同，則4號栽種僅有1種選擇，6號栽種有2中選擇，②5號與3號栽種相同，情況同上，③5號與2、3號栽種都不同，則4、6號只有1種；綜上所述，種.故選：B.5．（2022·黑龍江·哈爾濱三中高一開學考試）一只小蟲子欲從A點不重復(fù)經(jīng)過圖中的點或者線段，而最終到達目的地E，這只小蟲子的不同走法共有（）A．12種 B．13種C．14種 D．15種【答案】C【解析】由題意這只小蟲子的不同走法共有：ABCDE,ABCDPE,ABCDPFE,ABPDE,共14種，故選：C6．（2022·全國·高三專題練習）解1道數(shù)學題，有兩種方法，有2個人只會用第一種方法，有3個人只會用第二種方法，從這5個人中選1個人能解這道題目，則不同的選法共有（

）A．4種 B．5種 C．6種 D．9種【答案】B【解析】根據(jù)分類加法計數(shù)原理得：不同的選法共有（種）.故選：B.7．（2022·重慶十八中高二期末）體育場南側(cè)有3個大門，北側(cè)有2個大門，某學生到該體育場練跑步，每個門都可進出，則他進出門的方案共有（

）A．6種 B．10種 C．5種 D．25種【答案】D【解析】由于每個門都可進出，故某學生進出都有5種可能，故他進出門的方案共有種，故選：D8．（2022·江西·高二階段練習）已知某居民小區(qū)附近設(shè)有A，B，C，D4個核酸檢測點，居民可以選擇任意一個點位去做核酸檢測，現(xiàn)該小區(qū)的3位居民要去做核酸檢測，則檢測點的選擇共有（

）A．64種 B．81種 C．7種 D．12種【答案】A【解析】3位居民依次選擇檢測點，方法數(shù)為．故選：A．二、多選題9．（2022·廣東·順德一中高二期中）現(xiàn)有3名老師，8名男生和5名女生共16人，有一項活動需派人參加，則下列命題中正確的是（

）A．只需1人參加，有16種不同選法B．若需老師、男生、女生各1人參加，則有120種不同選法C．若需1名老師和1名學生參加，則有39種不同選法D．若需3名老師和1名學生參加，則有56種不同選法【答案】ABC【解析】選項A，分三類：取老師有3種選法，取男生有8種選法，取女生有5種選法，故共有種選法，故A正確；選項B，分三步：第一步選老師，第二步選男生，第三步選女生，故共有種選法，故B正確；選項C，分兩步：第一步選老師，第二步選學生，第二步，又分為兩類：第一類選男生，第二類選女生，故共有種選法，故C正確；選項D，若需3名老師和1名學生參加，則有13種不同選法，故D錯誤.故選：ABC.10．（2022·福建省永春第一中學高二期中）甲、乙、丙、丁四名同學和一名老師站成一排合影留念．若老師站在正中間，則下列選項中恰有8種不同站法的是（

）A．甲、乙都不與老師相鄰 B．甲、乙都與老師相鄰C．甲與老師不相鄰，乙與老師相鄰 D．甲、乙相鄰【答案】CD【解析】對于A，甲、乙只能站左、右兩端，有2種站法，丙、丁在老師相鄰兩邊，有2種站法，所以有種站法，不符合；對于B，同A一樣，有4種站法，不符合；對于C，甲站兩端，有2種站法，乙與老師相鄰，有2種站法，丙、丁站剩下位置，有2種站法，所以有種站法，C符合；對于D，甲、乙要么都在老師左邊，要么都在老師右邊，且甲、乙還可以相互交換，有種站法，丙、丁站剩下兩個位置，有2種站法，所以共有種站法，D符合．故選：CD.11．（2022·河北·高陽中學高二階段練習）有一項活動，需在3名老師、8名男學生和5名女學生中選人參加，則下列結(jié)論正確的是（

）.A．若只需1人參加，則有16種不同的選法B．若需老師、男學生、女學生各1人參加，則有16種不同的選法C．若需老師、男學生、女學生各1人參加，則有120種不同的選法D．若需1名老師、1名學生參加，則有16種不同的選法【答案】AC【解析】由題意，有一項活動，需在3名老師、8名男學生和5名女學生中選人參加，共有人，若只需1人參加，由分類計數(shù)原理，可得有3+8+5=16（種）不同的選法，所以A正確；若需老師、男學生、女學生各1人參加，由分步計數(shù)原理，可得有3×8×5=120（種）不同的選法，所以B錯誤，C正確；若需1名老師、1名學生參加，由分步計數(shù)原理，可得有3×13=39（種）不同的選法，所以D錯誤．故選：AC12．（2022·全國·高三專題練習）現(xiàn)有6位同學去聽同時進行的5個課外知識講座，每位同學可自由選擇其中的一個講座，則不同選法的種數(shù)錯誤的是（

）.A． B． C． D．6×5×4×3×2【答案】BCD【解析】根據(jù)題意，每位同學都有5種選擇，共有（種）不同的選法，所以A正確，B，C，D錯誤．故選：BCD.三、填空題13．（2022·全國·高二課時練習）五名高中生報考三所高等院校，每人報且只報一所，不同的報名方法有______種．【答案】【解析】每名高中生均有種報名方法，不同的報名方法有種.故答案為：.14．（2022·全國·高二課時練習）直線l的方程為，若從0，1，3，5，7，8這6個數(shù)字中每次取兩個不同的數(shù)作為A，B的值，則可表示______條不同的直線．【答案】22【解析】當A或B中有一個為0時，有2條不同的直線；當時，有條不同的直線,故共有條不同的直線,故答案為：2215．（2022·江蘇蘇州·高二期末）乘積式展開后的項數(shù)是___________.【答案】18【解析】依題意從第一個括號中選一個字母有種方法，從第二個括號中選一個字母有種方法，從第三個括號中選一個字母有種方法，按照分步乘法計數(shù)原理可得展開后的項數(shù)為項；故答案為：16．（2022·江蘇·響水縣第二中學高二期中）用種不同的顏色給圖中個格子涂色，每個格子涂一種顏色，要求相鄰的兩個格子顏色不同，涂色方法有______種.【答案】320【解析】先從左邊第一個格子開始涂色，第一個格子有5種涂色方法，第二個格子有4種涂色方法，第三個格子有4種涂色方法，第四個格子有4種涂色方法，所以共有種不同的涂色方法.故答案為：.四、解答題17．（2022·全國·高二課時練習）由2、3、5、7組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，求：(1)這些數(shù)的數(shù)字和；(2)這些數(shù)的和．【解析】（1）共可組成4×3×2×1＝24個四位數(shù)，這24個四位數(shù)的數(shù)字和為．（2）這24個四位數(shù)中，數(shù)字2在千位的有3×2×1＝6個，同樣，3、5、7在千位的各有6個．同理，2、3、5、7在百位、十位、個位各出現(xiàn)6次．所以所有數(shù)之和為18．（2022·黑龍江·牡丹江市第三高級中學高二期中）用0，1，2，3，4五個數(shù)字.(1)可以排成多少個三位數(shù)？(2)可以排成多少個能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？【解析】(1)三位數(shù)的首位不能為0，但可以有重復(fù)數(shù)字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，第二或第三位可以排0，因此，共有4×5×5=100（個）.(2)被2整除的數(shù)即偶數(shù)，末位數(shù)字可取0，2，4，因此，可以分兩類，一類是末位數(shù)字是0，則有4×3=12（種）排法；另一類是末位數(shù)字不