2021版數(shù)學(xué)必修 第一冊人教A版第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)講義

Chapter4

第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)

4.1指數(shù)

4.1.1〃次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)導(dǎo)

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解〃次方根、〃次根式的概念.2.能正確運(yùn)用根式運(yùn)算性質(zhì)化簡、求值.3.學(xué)會

根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)鼎之間的相互轉(zhuǎn)化.

知識梳理梳理教材夯實基礎(chǔ)

知識點一〃次方根、〃次根式

1.。的〃次方根的定義

一般地，如果那么x叫做a的〃次方根，其中〃>1,且〃WN”.

2.。的〃次方根的表示

〃的奇偶性。的〃次方根的表示符號Q的取值范圍

〃為奇數(shù)赤

〃為偶數(shù)[0,+8)

3.根式

式子缶叫做根式，這里〃叫做根指數(shù),〃叫做被開方數(shù).

知識點二根式的性質(zhì)

I.赤=Q（〃￡N*,且〃>1）.

2.（缶）”=生伍20,〃￡N',且〃>1）.

3.后=如為大于1的奇數(shù)）.

4.亞=間=「（〃為大于1的偶數(shù)）.

知識點三分?jǐn)?shù)指數(shù)鬲的意義

正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕HL”

規(guī)定：a",〃，"EN’，且〃>1）

上11

分?jǐn)?shù)指數(shù)轅規(guī)定：a"---------（。>0,〃?，,且〃>1）

負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)累HL>>_

a"

0的分?jǐn)?shù)指數(shù)累0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕等于的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕無意義

知識點四有理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)

整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)，可以推廣到有理數(shù)指數(shù)累，即：

(\)ara!=ar+\a>0,r,s^Q)；

(2)(ar)s=ars(a>0,r,s￡Q)：

(3)W=dW>0,b>0,r€Q).

「t思考辨析判斷正誤■-----------------------1

1.當(dāng)〃￡N*時，6p5)”都有意義.(X)

63

2.(-2)4=(-2)i.(X)

￡

3.a2a2=?.(X)

tn

4.分?jǐn)?shù)指數(shù)寐可以理解為々個。相乘.(X)

|題型探究------------------啟迪思維探究重點

一、〃次方根的概念

例1(1)若81的平方根為小一8的立方根為4則。+力=.

答案7或一11

解析81的平方根為一9或9,

即a=~9或9,

—8的立方根為一2,即6=—2,

-11或7.

(2)若笈與有意義，求實數(shù)x的取值范圍.

解三有意義，

.“一220,

???x22,

即X的取值范圍是［2,+8）.

反思感悟（1）方根個數(shù)：正數(shù)的偶次方根有兩個且互為相反數(shù)，任意實數(shù)的奇次方根只有一

個.

（2）符號：根式力的符號由根指數(shù)日的奇偶性及被開方數(shù)。的符號共同確定.

①當(dāng)〃為偶數(shù)，且白20時，赤為非負(fù)實數(shù)；

②當(dāng)〃為奇數(shù)時，出的符號與。的符號一致.

跟蹤訓(xùn)練1（1）已知/=8,則X等于（）

答案B

7

解析因為7為奇數(shù)，8的7次方根只有一個乖.

（2）若（2x+5有意義,則x的取值范圍是；

5_____

若、2t+5有意義,則x的取值范圍是.

答案［一|,+8）R

二、利用根式的性質(zhì)化簡或求值

例2化簡：

（1^/（3—九）4；

（2而三九孫

（3）（后^^+血-4+而一獷

考點根式的化簡

題點根據(jù)根式的意義進(jìn)行化簡

4______

解（1。（3—兀）4=|3—兀|=一一3.

（2）Va>b,.*.yl（a—b）2=\a—b\=a-b.

（3）由題意知a~120,即1.原式=。一1+|1—。|+1~a=a—1+〃-1+1~a=a—1.

反思感悟（1）〃為奇數(shù)時（缶>=如=出。為任意實數(shù).

（2）〃為偶數(shù)時，。20,（缶）”才有意義，且（十）"=〃；

而a為任意實數(shù)時后均有意義，且亞=|a|.

跟蹤訓(xùn)練2化簡:

7_______

⑴址2)7；

(2R(3a—3)4(aWl)；

(3際+((I-)，.

考點根式的化簡

題點根據(jù)根式的意義進(jìn)行化簡

解(1康-2)7=-2.

4_______

(2)??ZW1,???叱34-3)4=|3〃一3|=3|4-1|=3-3%

3---------fh忘1,

⑶而十、(1—)4=a+|l—|=。?.

[2a—1,a>\.

三、根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)毫的互化

例3(1)下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)事的互化正確的是()

￡

A.—y[x=(--V)2(x>0)

B*7P=6。<0)

c.x4=y(%>())

_13

D.x3=-yjx(x^O)

答案C

2

解析一《=一/(x>0)：

(IyI2)6=-y3(y<o)；

(2)將下列根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)轅的形式(其中aX),b>0).

34

?/；

@(y[a)2-yfaP.

34LIZ.

解&y[ay[a=a3a4=a12;

,112

②原式=a'?a"?a"=?";

(1)2?373

③原式=cP?/?涼=瓜戶.

反思感悟根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)系的互化

(1)根指數(shù)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)的分母，極開方數(shù)(式)的指數(shù)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)的分子.

(2)在具體計算時，如果底數(shù)相同，通常會把根式轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)解的形式，然后利用有理數(shù)

指數(shù)寐的運(yùn)算性質(zhì)解題.

跟蹤訓(xùn)練3把下列根式表示為分?jǐn)?shù)指數(shù)基的形式，把分?jǐn)?shù)指數(shù)累表示為根式的形式：

5

(1)(?—加々[a>by(2>7(X-1);

1-

K-；(4)(a-Z?)7.

解4—

yj(a-b)3

5

(2=U-1)3;

(4)(a-bV

隨堂演練基礎(chǔ)鞏固學(xué)以致用

1.已知，^二方=々-6,則()

A.a>bB.a》b

C.a<bD.aWb

答案B

2

解析yl(a—b)=\a—b\=a—bt

所以a-b20,所以°2瓦故選B

2.在①^/(一4戶;虱(-4)叫③④如中，〃￡N",a￡R時各式子有意義的是()

A.①②B.?@

C.①②??D.???

答案B

3.化簡干的結(jié)果為()

A.—y/aB.—y[—aC.yj—aD.y/a

考點根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)哥的互化

題點根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)基

答案A

解析顯然々20.

4??一1一4，（-2）、+（0°-9-5=.

19

答案T

解析原式=2—4X(—0+1一q

答案yja—\

解析要使原式有意義，則。一1>0.

Na—y,y旺=11_如3_］尸

=（?—1）（67-1）1戶=yja—1

口課堂小結(jié)>

I.知識清單：

(|)〃次方根的概念、表示及性質(zhì).

⑵根式的性質(zhì).

(3)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)寐的互化.

2.常見誤區(qū)：

⑴根式中根指數(shù)要求心1且〃￡N*.

(2)對于赤，當(dāng)〃為偶數(shù)時，〃20.

課時對點練注重雙基強(qiáng)化落實

----------------------------------N------------

g基礎(chǔ)鞏固

1.已知，/°=2,則相等于()

A.,V2B.-'^2C.pD.±'^2

考點〃次方根及根式概念

題點〃次方根及根式概念

答案D

解析V/n10=2,：.m是2的10次方根.

又???10是偶數(shù)，???2的10次方根有兩個，且互為相反數(shù).

10

???刀=±也.故選口.

_____4_____

2.若2<〃<3,化簡*7(2—〃)2+d(3—a)，的結(jié)果是()

A.5—2。B.2。-5C.1D.一1

考點根式的化簡

題點條件根式的化簡

答案C

解析V2<?<3,???4-2>0,。一3<0,

________4________

???叱2-4)2+\(3-〃)4=|2-3+|3-a

=a-2+3—〃=1.

3.下列各式既符合分?jǐn)?shù)指數(shù)基的定義，值又相等的是()

,121

A.(-1)3和(z-1)6B.0-2和02

C.2^和4；D.和-3

答案C

[2|3__2

解析選項A中，(一1戶和(-1戶均符合分?jǐn)?shù)指數(shù)早的定義，但(-1月=尸=-1,(-1)6

=叱-1)2=1,故A不滿足題意；

選項B中，0的負(fù)指數(shù)嘉沒有意義，故B不滿足題意;

3

選項D中，3雖符合分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉的定義，但值不相等，故D不滿足題意;

1141

選項C中，22=啦，44=e=22=啦，滿足題意.

故選C.

2

（分-（i-o.5-2）m

4J的值為（）

1cl^41

A.-3B3C3D3

答案D

原式=1一（1-22）1^）2=1_（_3）＞3=曰故選D.

解析

5.設(shè)。＞0,將表示成分?jǐn)?shù)指數(shù)基的形式，其結(jié)果是（）

A.a

答案C

解析

6.若xWO,則|x|—\/P+

答案1

解析?.”"（），???原式=國一國+8=1.

7.若山2+2^+1+.），+6），+9=0,則（W0,9}v=

答案一1

解析因為YW+Zr+l+7）2+6>+9=0,

所以4。+1）2+弋0+3）2=僅+”+。+3|=0,

所以x=—1,y=-3.

所以（f39＞、=［（_］嚴(yán)19［3=（一］尸=一］

8.、^—#|+討毛的值為.

3

答案-

2

13

+--

解析原式22

9.計算下列各式的值.

(1；(2)2^3X^3

（3>^1一寸鳴+"125「；

麗（一8）3（小-2）r（2f）3.

考點根式的化簡

題點根據(jù)根式的意義進(jìn)行化尚

74

--

3-3

（4）原式=-8+|>/§-2|一（2一?。?/p>

=-8+2—小一2+小

=-8.

g綜合運(yùn)用

4______

11.已知二次函數(shù)式x）=a?+bx+0.1的圖象如圖所示，則一份4的值為（）

A.B.—(a+b)

C.a-bD.b-a

答案D

解析由題圖知犬-l)=a—力+0.I<0,

.*.a-b<0.

12.若代數(shù)式7法一1+產(chǎn)G有意義,則。4f-4x+1+2「(X-2)4=

答案3

解析,；72x—l+、2—x有意義,

2%—120,

即(2

-NO,[a

_________4_____

一4x+1+2"-2)4

______4_____

元=Tp+2"—2>

=|2x—l|+2|x-2|=2x—1+2(2-/)=3.

13?計算：qqi-yi).(3，5+：、、J小)4一(小>

",他fl。

答案4

I—\f2lQ—4

解析原式=寸-,(3啦+3)+一廠

=(1一的(1+也)+5=4.

14.若業(yè)―1+45+產(chǎn)0,則x=_,yoi9+產(chǎn)02=

答案12

解析依題意有得x=l尸T，

x+y=0,

Ax20194.y2020=2

g拓廣探究

15.設(shè)兀0=/^—4,若0<aWl,則fG+9=—■

考點根式的化簡

題點條件根式的化簡

答案沙

解析『十/-2

17i\"1

12=

因為OvaWl,所以

故,8汜一?

且a>Z>0,求舞*的值.

16.已知a,b是方程.F—6x+4=0的兩根,

解因為a,b是方程f—6x+4=0的兩根,

a+b=6,

所以

a6=4,

因為醇軒黑勰

6-2^421

=6+2皿=m=5'

所以

4.1.2無理數(shù)指數(shù)幕及其運(yùn)算性質(zhì)

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握用有理數(shù)指數(shù)界的運(yùn)算性質(zhì)化簡求值.2.了解無理數(shù)指數(shù)鼎的意義.

知識梳理梳理教材夯實基礎(chǔ)

■■■■■■■■■■■■■■--------------------------\-------

知識點一無理數(shù)指數(shù)幕

一般地，無理數(shù)指數(shù)塞43>0,。為無理數(shù))是一個確定的實數(shù)」有理數(shù)指數(shù)暴的運(yùn)算性質(zhì)同

樣適用于無理數(shù)指數(shù)耗.

知識點二實數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)

1.arat=ar+x(aX),r,$￡R).

srs

2.((f}=a(d>Qtr,s￡R).

3.(ahY=arbr(a>0,b>0,r€R).

預(yù)習(xí)小測自我檢驗

1.計算(—&)5=.

答案也

2.下列等式一定成立的是.(填序號)

1>5??

①/a2=a;②a2a2=0；

2ii

③(油2=?9；④a*+涼=a^.

答案④

3.若100，=25,則1(尸=.

答案5

解析???100'=25,，(10爐=52,

AKr=5,10-x=(lQv)_,=5_|=1.

1

(1V

4.計算：n°+2-2X2-=______.

<4，

答案T

題型探究探究重點素養(yǎng)提升

------------------------------------N----------

一、運(yùn)用指數(shù)募運(yùn)算公式化簡求值

例1計算下列各式(式中字母都是正數(shù))：

⑴(M+圖之嗡

⑶監(jiān)2+64.

a6

解⑴(0.027)久信廣一(2獷

=(-x/(X027)24-*^^—'\^^=0.09+1—^=0.09.

0

(J1XT

(2)原式=2^r-22

72

(30*3

=2丁=2萬=2夜.

.5

43.a2

(3)原式=----『—+1=1+1=2.

齊

反思感悟一般地，進(jìn)行指數(shù)球運(yùn)算時，可將系數(shù)、同類字母歸在一足，分別計算；化負(fù)指

數(shù)為正指數(shù)，化小數(shù)為分?jǐn)?shù)進(jìn)行運(yùn)算，便于進(jìn)行乘除、乘方、開方運(yùn)算，可以達(dá)到化繁為簡

的目的.

跟蹤訓(xùn)練1計算下列各式的值(式中字母都是正數(shù)):

⑴仁)，(一0+80》X/+(%x小)6；

3_6

(2)2y[a^-r(4y[a-b)-3y[P.

(-i)x~/八己-I--

解(1)原式=8k3；xl+(23)4x24+23x32

I7

3+1

=2+2??？+22X33=112.

2/3\

⑵原式=2廬+4〃麗?3層

Ij

=-a36b6.

31-

-a2b3.

2

二、分?jǐn)?shù)指數(shù)零運(yùn)算的綜合應(yīng)用

例2(1)已知〃"=4,/=3,求而不的值;

(2)已知=3,求下列各式的值.

①d②片+尸；③出+。2.

_(4丫_2

,J-夕

」/\_」丫

⑵①Va1+a~i=3,???/+G=9,

\/

即a+2+a1=9,*.a~\~a1=7.

②??7+入=7,

???3+晨|)2=49,即/+2+/2=49.

:.a2+a-2=47.

3_3f1Yf

③。2+a2=a2+a2

\)\

(1

=+a(a-l+a-1)

=3X(7—1)=18.

延伸探究

在本例(2)的條件下，求^一。一2的值.

解設(shè)y二合一。一2,兩邊平方，

得y2=fl4+67-4—2=(fl2+t7-2)2—4=472—4=2205.

所以y=±21小，即〃2-〃一2=±21小.

反思感悟條件求值問題的解法

(1)求解此類問題應(yīng)注意分析已知條件，通過將已知條件中的式子變形(如平方、因式分解等),

尋找已知式和待求式的關(guān)系，可考慮使用整體代換法.

(2)利用整體代換法解決分?jǐn)?shù)指數(shù)基的計算問題，常常運(yùn)用完全平方公式及其變形公式.

11

2-y2

跟蹤訓(xùn)練2已知x+y=12,町=9且求一Xj~，的值.

—+

=(x+y)-2⑶/①

x-y

?.X+y=l2,xy=9,②

???。一》)2=。+)嚴(yán)一4盯=122-4X9=108.

又Vx<j,x—y=-6>/5.③

將②③代入①，得畢J一/=—正.

隨堂演練忠礎(chǔ)鞏固學(xué)以致用

1.化簡［加工了y的結(jié)果為()

A.5B胞C.一小D.-5

答案B

____3「2］?I

解析［就-5)2了=(-5"=52=5/5.

(_2\(_5\

2.計算?(-3a")+4/宜得()

7

333-3

2^2b3

A?C--

222-

答案A

I

-

-4b33

42

析

式

解

原b

2-

3.若1伊=3與，16,=后,則102c=.

答案I

跖=3*

解析102c=(l0v)2：i(y=38

4.設(shè)a,0是方程5f+10x+l=0的兩個根，則2見2"=,(23/=

答案125

解析由根與系數(shù)的關(guān)系得a+￡=-2,ap=\.

11

則2a3=2a%=2-2=4，(2?/=2^=25.

5.化簡[前7前?m"(ZH>0)=.

答案1

nic3nx3

解析原式=m244=w0=]

，課堂小結(jié)?

1.知識清單：

(1)有理數(shù)指數(shù)球的性質(zhì).

(2)無理數(shù)指數(shù)寐的性質(zhì).

2.方法歸納：根式的運(yùn)算可先轉(zhuǎn)化為寐的運(yùn)算，最后再將結(jié)果轉(zhuǎn)化為根式.

3.常見誤區(qū)：在運(yùn)用分?jǐn)?shù)指數(shù)球的運(yùn)算性質(zhì)化簡時，其結(jié)果不能同時含有根式和分?jǐn)?shù)指數(shù),

也不能既含有分母又含有負(fù)指數(shù).

課時對點練注重雙基強(qiáng)化落實

------------------------------------N------------

g基礎(chǔ)鞏固

1.下列等式能夠成立的是()

A.I〃亍./"（加六小加#0）

B』［(-3)4=(—3)：

4_____3

C.^x3+y3=(x+y/(x20,憐0)

D47^=3，

答案D

解析因為魯）7=方=〃7仍?7，所以A錯；

因為即二斤=7下=3?工（—3）；所以B錯;

4（_____13

因為“？+『=，+9）4￡。+y）4,所以C錯:

因為4訴=強(qiáng)=3%,所以D正確.

(2"")咱2"”

2.計算?（〃￡N'）的結(jié)果為（)

4〃.82

A$B.2”

C2〃+6

答案D

2方+2.2-2“-121

解析原式=

(22)Z,-(23)2~22tl6

A.3B.6C.4D.15

答案A

解析原式=+(42p

=9-6=3.

4.若〃>0,且"=3,0丫=5,則。2等于（）

A.9+小B.yC.975D.6^5

答案C

解析=（a乎。'=32-5'=9^/5.

2_12.

5.設(shè)。2—。5=），則、一等于（）

A.m2—2B.2—nr

C.加+2D.nr

考點有理數(shù)指數(shù)鼎的運(yùn)算性質(zhì)

題點附加條件的幕的求值

答案C

\__i_（\_1\2

解析將。2一。^=用兩邊平方，得c^-a1=病,

即a—2+°」=，/,所以°+〃-1=^：2+2,

即。+5=〃尸+2,所以呼^=m2+2.

6.設(shè)a,4為方程2d+3x+l=0的兩個根，

答案8

解析由根與系數(shù)的關(guān)系得a+%一攝

所以Q>+"=Q）G=Q-2）彳=23=8.

/?ft間---1————.

W2

答案1

J_攵

2垃.222夜

解析原式=—y—2=—V方2=F2y2=L

8T（23）T

8.a2=b4=m(a>0,b>0),且a+b=6,貝lj〃?=

答案16

解析因為，="=〃?3>0,比>0),

所以°=尻

由a+b=6得6=0,

解得b=2或b=—3(舍去).

所以m=24=16.

9.化簡下列各式（式中字母都是正數(shù)）:

/2_3\8

(1)〃/”；

\7

1_!_11J.1

(2)(-3a^b))(4戶片)+(-2。，網(wǎng);

(3)(x4+y4)(x4-y4)(m+U).

<i_2yi_3o

解(1)加九，=(加4)8(〃*)8=〃戶〃-3=張

\/

_L!1_12」

(2)原式=[_3x4+(—2)]?々丁5二廠丁丁3=6〃%。=6.

(3)原式=[(3)2—()，彳)2](9+$)

=(一一戶乂山+正)

=3-6(而+6

=(/)2-附2

=Ly.

10.計算：

(2)0.008]々-[3X1X[s1-025+—10X0.027r

考點根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)耗的互化

題點根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)事的四則混合運(yùn)算

1￡_21II2I

解⑴原式=7Xy-3X3,X2-6X3飛+(3X=3,-6X37+y

l_2

=2X38-2X3X3§

1I

=2X3?-2X33=0.

(2)原式=[(得)4「一(3X1尸X-10X(0.33戶

=0一」90+獷T0X0.3=號-93=0.

力綜合運(yùn)用

11.若10卅=5,10〃=2,則2aI〃等于（）

A.50B.12C.20D.1

答案D

解析V10（r=5,/.I02fl=5,

.?.]0〃+b=]02Mo匕=5X2=10,

???2a+b=l,故選D.

12.若a>l,b>0,0b+尸=2\區(qū)則等于（）

A.#B.2或一2

C.-2D.2

答案D

解析a>I,6>0,???小>1,???〃-"=+,

W￡（0,l）,???/—d>0,

??—啦，.,?內(nèi)+/勸=6,

（￡?一〃一"）2=q勸+a一勸-2=4,

二小一a"=2.故選D.

13.若2，=8尸I9V=3=9,則1+,，=,

答案27

解析V2x=8y，,=（23>v，l=23y，3,

???x=3），+3,①

又?.?夕=3-9=（32曠=32）',

：.x-9=2yt②

x=21,

由①②得

了=6,

???x+y=27.

14.化簡空口口嚴(yán)號

（〃>0,b>0）的值為.

考點根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)累的互化

題點根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的乘除運(yùn)算

I5

答案a6b6

2

2\_(_1Y3

h4標(biāo)b2axb2

解析原式=—;―——

1

a2-b3、b-

--：。2”

a2b3I

2

2+1口―2Y3

=a32b23-ra%2

72

=a部Hab)

^-il-i

=a6b6

15

=a^b%.

口拓廣探究

15.設(shè)。=^55，b=yj~l2,c=^6,則a,b,c的大小關(guān)系是(

A.a>b>cB.h>c>a

C.b>a>cD.a<b<c

答案D

31

初拓a^24(23X3)；2坂3%

解析b~3L~21

y[\2(22X3戶2Jx35

321

2丁§2m?A

""「?<L

3343,2

又a>0,b>0,:.a<b,

3131

b返(22X3)323X33

c#111

(2X3)222x32

2,111

23226(2V

-11-1-.<1，

3H36⑼

又b>0,c>0,:?b<c,

綜上有av/Kc,故選D.

16.已知。=3,求----j-+—二HJ--的值.

1111十。

1+出1一相1+。2

\-a21+M

4.2指數(shù)函數(shù)

4.2.1指數(shù)函數(shù)的概念

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解指數(shù)函數(shù)的概念，了解對底數(shù)的限制條件的合理性2了解指數(shù)增長型和指

數(shù)衰減型在實際問題中的應(yīng)用.

知識梳理梳理教材夯實基礎(chǔ)

--------\--------

知識點一指數(shù)函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)曰3>0,且〃K1）叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是R.

思考為什么底數(shù)應(yīng)滿足。>0且

答案①當(dāng)時，"可能無意義：②當(dāng)。>0時，x可以取任何實數(shù)；③當(dāng)。=1時，〃=1

（x^R）,無研究價值.因此規(guī)定y=a*中a>0,且

知識點二兩類指數(shù)模型

1.y=ka\k>O）t當(dāng)年L時為指數(shù)增長型函數(shù)模型.

2.y=ka\k>^當(dāng)①L時為指數(shù)衰減型函數(shù)模型.

■思考辨析判斷正誤二

1.y=V（x>0）是指數(shù)函數(shù).（X）

2.丁="+2（。>0且是指數(shù)函數(shù).（x）

3.y=G｝是指數(shù)衰減型函數(shù)模型.（V）

4.若兀0="為指數(shù)函數(shù)，則。>L（X）

題型探究探究重點素養(yǎng)提升

--------------------------N-------

一、指數(shù)函數(shù)的概念

例1（1）下列函數(shù)中是指數(shù)函數(shù)的是.（填序號）

①y=2.（啦）x；②y=2j③尸（。；④），=3嗔;⑤），=/.

（2）若函數(shù)y=（〃2—3a+3>/是指數(shù)函數(shù)，則實數(shù)a=.

答案⑴③（2）2

解析（1）①中指數(shù)式（也）》的系數(shù)不為1,故不是指數(shù)函數(shù)；②中指數(shù)位置不是x,

故不是指數(shù)函數(shù)；④中指數(shù)不是此故不是指數(shù)函數(shù)；⑤中指數(shù)為常數(shù)且底數(shù)不是唯一確定

的值，故不是指數(shù)函數(shù)，故填③.

*-3a+3=1,

(2)由)，一(〃一3a+3)"是指數(shù)函物，可得解得a—2.

［。＞0且aWl,

反思感悟判斷一個函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)的方法

(1)底數(shù)的值是否符合要求；

⑵爐前的系數(shù)是否為I：

(3)指數(shù)是否符合要求.

跟蹤訓(xùn)練1(1)若函數(shù)y=/(2-a》是指數(shù)函數(shù)，則()

A.a=\或一1B.a=l

C.a=-\D.。＞0且。W1

答案C

解析因為函數(shù)丁=。2(2—。尸是指數(shù)函數(shù)，

2

a=lr

所以，2—。＞0,解得a=-1.

(2)若函數(shù)y=(2a—3尸是指數(shù)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是

答案G，2JU(2,4-oo)

3

2?—3>0,-

解析由題意知L…2

2。一321,

二、求指數(shù)函數(shù)的解析式、函數(shù)值

例2(1)已知函數(shù)曲是指數(shù)函數(shù)，且/(一1)=惡則的=

答案125

解析設(shè)凡》="3＞0,且。#1),

a2=—=—=52,

2552

所以。=5,即兀0=5",所以,3)=53=125.

(2)已知函數(shù)y=?r),x￡R,且40)=3,4^=1,4^=^,—＞g鱉口=；，二求函數(shù)y

\zJ、，J、J

=;&)的一個解析式.

解當(dāng)“增加1時函數(shù)值都以3的衰減率衰減，

二函數(shù)Ar)為指數(shù)衰減型,

又大0)—3,???%—3,

?g)=3.?.

反思感悟解決此類問題的關(guān)鍵是觀察出函數(shù)是指數(shù)增長型還是指數(shù)衰減型，然后用待定系

數(shù)法設(shè)出函數(shù)解析式，再代入已知條件求解.

跟蹤訓(xùn)練2已知函數(shù)/)="+雙aX),且〃W1)經(jīng)過點(一1,5),(0,4),則人一2)的值為

答案7

a'+b=5,

解析由已知得解得

a°+b=4,

6=3,

所以貝X)=Q>+3,

所以火—2)=6)一2+3=4+3=7.

三、指數(shù)增長型和指數(shù)衰減型函數(shù)的實際應(yīng)用

例3甲、乙兩城市現(xiàn)有人口總數(shù)都為100萬人，甲城市人口的年自然增長率為1.2%,乙城

市每年增長人口1.3萬.試解答下面的問題：

(I)寫出兩城市的人口總數(shù))，(萬人)與年份x(年)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)計算10年、20年、30年后兩城市的人口總數(shù)(精確到0.1萬人)；

(3)對兩城市人口增長情況作出分析.

參考數(shù)據(jù)：(1+1.2%)1°*1.127,a+l.Z%)20*13%(1+1.2%嚴(yán)合1.430.

解(1)1年后甲城市人口總數(shù)為

y千=1OO+1OOX1.2%=100X(1+1.2%)；

2年后甲城市人口總數(shù)為

y100X(1+1.2%)+100X(H-1.2%)X1.2%=100X(1+1.2%)2；

3年后甲城市人口總數(shù)為

y甲=100X(1+1.2%戶；

????

9

工年后甲城市人口總數(shù)為y甲=100X(1+1.2%上

工年后乙城市人口總數(shù)為yz.—1004-1.3x.

(2)10年、20年、30年后，甲、乙兩城市人口總數(shù)(單位：萬人)如表所示.

10年后20年后30年后

甲112.7126.9143.0

乙113126139

（3）甲、乙兩城市人口都逐年增長，而甲城市人口增長的速度快些，呈指數(shù)增長型，乙城市人

口增長緩慢，呈線性增長.從中可以體會到，不同的函數(shù)增長模型，增長變化存在很大差異.

反思感悟解決有關(guān)增長率問題的關(guān)鍵和措施

（1）解決這類問題的關(guān)鍵是理解增長（衰減）率的意義：增長（衰減）率是所研究的對象在“單位時

間”內(nèi)比它在“前單位時間”內(nèi)的增長（衰減）率，切記并不總是只和開始單位時間內(nèi)的比較.

（2）具體分析問題時，應(yīng)嚴(yán)格計算并寫出前3?4個單位時間的具體值，通過觀察、歸納出規(guī)

律后，再概括為數(shù)學(xué)問題，最后求解數(shù)學(xué)問題即可.

（3）在實際問題中，有關(guān)人口增長、銀行復(fù)利、細(xì)胞分裂等增長率問題常可以用指數(shù)函數(shù)模型

表示，通?？梢员硎緸槎?%（1+〃巴其中N為基礎(chǔ)數(shù)，〃為增長率，x為時間）的賬式.

跟蹤訓(xùn)練3中國共產(chǎn)黨第十八屆中央委員會第五次全體會議認(rèn)為，到2020年全面建成小康

社會，是我們黨確定的“兩個一百年”奮斗目標(biāo)的第一個百年奮斗目標(biāo).全會提出了全面建

成小康社會新的目標(biāo)要求：經(jīng)濟(jì)保持中高速增長，在提高發(fā)展平衡性,包容性、可持續(xù)性的

基礎(chǔ)上，到2020年國內(nèi)生產(chǎn)總值和城鄉(xiāng)居民人均收入比2010年翻一番，產(chǎn)業(yè)邁向中高端水

平，消費對經(jīng)濟(jì)增長貢獻(xiàn)明顯加大，戶籍人口城鎮(zhèn)化率加快提高.

設(shè)從2011年起，城鄉(xiāng)居民人均收入每一年比上一年都增長〃％.下面給出了依據(jù)“到2020年

城鄉(xiāng)居民人均收入比2010年翻一番”列出的關(guān)于〃的四個關(guān)系式：

①（l+p%）X10=2；

②（1+〃％嚴(yán)=2；

③10（I+P%）=2；

@l+10Xp%=2.

其中正確的是（）

A.①R.②C.③D.④

答案B

解析已知從2011年起，城鄉(xiāng)居民人均收入每一年比上一年都增長p%.

則由到2020年城鄉(xiāng)居民人均收入比2010年翻一番，可得：（1+p%嚴(yán)=2；

正確的關(guān)系式為②.

隨堂演練基礎(chǔ)鞏固學(xué)以致用

1.下列函數(shù)：

@y=2-3x；?y=3x+l；③y=3"；④y=/.

其中，指數(shù)函數(shù)的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

答案B

解析①中，3K的系數(shù)是2,故①不是指數(shù)函數(shù)；

②中，y=3'”的指數(shù)是x+1,不是自變量x,故②不是指數(shù)函數(shù)；

③中，3K的系數(shù)是1,指數(shù)是自變量.*且只有3、一項，故③是指數(shù)函數(shù);

④中，y=N中底數(shù)為自變量，指數(shù)為常數(shù)，故④不是指數(shù)函數(shù).

所以只有③是指數(shù)函數(shù).故選B.

2.若函數(shù)），=（標(biāo)一加一1）?”是指數(shù)函數(shù)，則機(jī)等于（）

A.—1或2B.—1

C.2D.1

答案C

n^—m—1=1,

解析依題意，有

〃7>0且mW1,

解得帆=2（舍機(jī)=-1）,故選C.

3.如表給出函數(shù)值），隨自變量入變化的一組數(shù)據(jù)，由此可判斷它最可能的函數(shù)模型為（）

X-2-10123

11

41664

y1641

A.一次函數(shù)模型B.二次函數(shù)模型

C.指數(shù)函數(shù)模型D.幕函數(shù)模型

答案C

解析觀察數(shù)據(jù)可得y=4'.

4.某種細(xì)胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，…，現(xiàn)有2個這樣的細(xì)胞，分裂

工次后得到細(xì)胞的個數(shù)y與x的函數(shù)關(guān)系式是（）

A.y=2xB.y=2x~1

C.y=yD.y=2x+l

答案D

解析分裂一次后由2個變成2X2=2?（個），分裂兩次后變成4X2=23（個），…，分裂x次后

變成丁=2產(chǎn)1（個）.

5.凡r）為指數(shù)函數(shù)，若1工）過點（-2,4）,則歡—1））=.

答案i

解析設(shè)人工）=爐3>0且〃W1）,

所以八-2）=4,2=%解得。

所以汽幻=6）,

所以1-D=G）r=2,

所以歡—1））=式2）=（｝）2=；

-課堂小結(jié)?

1.知識清單：

（1）指數(shù)函數(shù)的定義.

（2）指數(shù)增長型和指數(shù)衰減型函數(shù)模型.

2.方法歸納：待定系數(shù)法.

3.常見誤區(qū)：易忽視底數(shù)a的限制條件：。＞0且aWL

課時對點練注重雙基強(qiáng)化落實

--------------------N-------

▽基礎(chǔ)鞏固

1.下列函數(shù)中，指數(shù)函數(shù)的個數(shù)為（）

①尸0I;

?y=a\a＞Of且”W1）；

③y=1

④y=（護(hù)-1.

A.0B.IC.3D.4

答案B

解析由指數(shù)函數(shù)的定義可判定，只有②正確.

2.若函數(shù)外）=（%—3）加是指數(shù)函數(shù)，則的值為（）

A.2B.-2C.-2y[2D.2啦

答案D

解析因為函數(shù)兒0是指數(shù)函數(shù)，

所以5—3=1,所以。=8,

所以外）=8],/0=8，=2應(yīng)

3.下列函數(shù)關(guān)系中，可以看作是指數(shù)型函數(shù)y=kf（2￡R,加＞0且。工1）的模型的是（）

A.豎直向上發(fā)射的信號彈.，從發(fā)射開始到信號彈到達(dá)最高點，信號彈的高度與時間的關(guān)系（不

計空氣阻力）

B.我國人口年自然增長率為1%時，我國人口總數(shù)與年份的關(guān)系

C.如果某人，s內(nèi)騎車行進(jìn)了1km,那么此人騎車的平均速度。與時間，的函數(shù)關(guān)系

D.信件的郵資與其重量間的函數(shù)關(guān)系

答案B

解析A中的函數(shù)模型是二次函數(shù)；

B中的函數(shù)模型是指數(shù)型函數(shù)；

C中的函數(shù)模型是反比例函數(shù)；

D中的函數(shù)模型是一次函數(shù).故選B.

4.據(jù)報道，某淡水湖的湖水在50年內(nèi)減少了10%,若每年以相同的衰減率呈指數(shù)衰減，按

此規(guī)律，設(shè)2019年的湖水量為m,從2019年起，經(jīng)過x年后湖水量y與x的函數(shù)關(guān)系為（）

X

A.y=0.950

X

B.

X

C.y=0.9有機(jī)

D.y=（l-0.i50v>

答案C

解析方法一設(shè)每年的衰減率為q%,

則（q%嚴(yán)=0.9,

I

所以夕%=0.9石，

X

所以X年后的湖水量y=0.9而m.

方法二設(shè)每年的衰減率為g%,

1

則（1一9％）50—0.9,所以夕%—1一0.9而，

!x

所以（1—09°）『=0.950m.

5.下列函數(shù)圖象中，有可能表示指數(shù)函數(shù)的是（）

答案C

解析A為一次函數(shù)；B為反比例函數(shù)；D為二次函數(shù)；選項C的圖象呈指數(shù)衰減，是指數(shù)

衰減型函數(shù)模型，故選C.

2

6.已知函數(shù)人0=/37+3（。>0且。#1）,若y（l）=4,則/一1）=.

答案0

2

解析由貝1)=4得。=3.把工=一1代入人工)=#二7+3得到貝-1)=0.

7.若函數(shù)兀0=3?—2a+2)S+l)*是指數(shù)函數(shù)，貝.

答案1

力2——+2=1,

解析由指數(shù)函數(shù)的定義得<〃+1>0,解得。=1.

.〃+1盧1,

8.已知某種放射性物質(zhì)經(jīng)過100年剩余質(zhì)量是原來質(zhì)量的95.76%,設(shè)質(zhì)量為1的這種物質(zhì),

經(jīng)過x年后剩余質(zhì)量為y,則居y之間的關(guān)系式是.

X

答案y=0.9576麗

解析設(shè)質(zhì)量為1的物質(zhì)1年后剩余質(zhì)量為m

則小=0.9576.

1

所以〃=0.9576同，

所以y=〃=0.9576100.

5

-

9.已知函數(shù)/U)=2，+2"+〃,2b的值.

r5

二

-

由

意得

解

題<2

222°+2天

17=2=

k4

2-]=20十方

即+

2-2=2^bf

a-\-b=—\,1.

所以解得

2。+6=—2,b=0.

10.有一種樹栽植5年后可成材.在栽植后5年內(nèi)，該種樹的產(chǎn)量年增長率為20%,如果不

砍伐，從第6年到第10年，該種樹的產(chǎn)量年增長率為10%,現(xiàn)有兩種砍伐方案：

甲方案：栽植5年后不砍伐，等到10年后砍伐.

乙方案：栽植5年后砍伐重栽，然后過5年再砍伐一次.

請計算后回答：10年內(nèi)哪一個方案可以得到較多的木材？

解設(shè)該種樹的最初栽植量為Q,甲方案在10年后的木材產(chǎn)量為