期末測試卷02高一數(shù)學(xué)講義（人教A版2019）

20212022學(xué)年高一數(shù)學(xué)（下）期末自測試卷（乙）（時間120分鐘，滿分150分）選擇題（18每小題5分，共計40分）1.已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘方運算以及共軛復(fù)數(shù)的概念即可求解.【詳解】，.故選：C2.已知向量，，若與共線，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)共線向量的坐標關(guān)系，求出，即可求解.【詳解】，，與共線，.故選：C.【點睛】本題考查向量坐標運算，涉及共線向量、向量模長，屬于基礎(chǔ)題.3.幸福指數(shù)是某個人主觀地評價他對自己目前生活狀態(tài)的滿意程度指標，常用內(nèi)的一個數(shù)來表示，該數(shù)越接近10表示滿意程度越高.現(xiàn)隨機抽取8位小區(qū)居民，他們的幸福指數(shù)分別是3，4，5，6，7，8，9，5，則這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是（

）A．6 B．7 C．7.5 D．8【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合百分位數(shù)的計算方法，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，把幸福指數(shù)從小到大排列為：3，4，5，5，6，7，8，9，由，知這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是7.故選：B.4.學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生在課外讀物方面的支出情況，抽取了一個容量為的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在的同學(xué)有人，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】結(jié)合樣本容量的計算公式即可.【詳解】由頻率分布直方圖可知，支出在的同學(xué)的頻率為：，故選：5.已知，是兩個不同平面，，是兩不同直線，下列命題中不正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】C【解析】【分析】由線面垂直的判定定理、面面平行的判定定理、線面平行的性質(zhì)定理，以長方體為載體逐一分析即可得出結(jié)論．【詳解】對于A，若，則取內(nèi)任意兩條相交直線，使得，，又，則，，由線面垂直的判定定理得，故A正確；對于B，垂直于同一條直線的兩個平面平行，故B正確；對于C，若，，如圖，設(shè)，平面為平面，，設(shè)平面為平面，，則，故C錯誤；對于D，由面面垂直的判定定理可得，故D正確；故選：C．【點睛】思路點睛：本題主要考查線面平行的性質(zhì)定理、面面平行的判定定理以及線面垂直的判定定理，通常借助長方體為載體進行判斷，屬于基礎(chǔ)題．6.中，AB=4，BC=3，CA=2，則其最大內(nèi)角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由三角形中大邊對大角，知最大，結(jié)合余弦定理即可得到正確選項.【詳解】由題意知，中，最大，故由余弦定理得：.故選：C.7.概率論起源于賭博問題．法國著名數(shù)學(xué)家布萊爾帕斯卡遇到兩個賭徒向他提出的賭金分配問題：甲、乙兩賭徒約定先贏滿局者，可獲得全部賭金法郎，當(dāng)甲贏了局，乙贏了局，不再賭下去時，賭金如何分配？假設(shè)每局兩人輸贏的概率各占一半，每局輸贏相互獨立，那么賭金分配比較合理的是（

）A．甲法郎，乙法郎 B．甲法郎，乙法郎C．甲法郎，乙法郎 D．甲法郎，乙法郎【答案】A【解析】【分析】利用獨立事件計算出甲、乙各自贏得賭金的概率，由此可求得兩人各分配的金額.【詳解】甲贏得法郎的概率為，乙贏得法郎的概率為，因此，這法郎中分配給甲法郎，分配給乙法郎.故選：A.8.如圖，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝2a，E是AB的中點，將△ADE沿DE翻折至△A1DE的位置，使三棱錐A1﹣CDE的體積取得最大值，若此時三棱錐A1﹣CDE外接球的表面積為16π，則a＝（

）A．2 B． C． D．4【答案】A【解析】【分析】首先分析出何時三棱錐A1﹣CDE的體積取得最大值，然后作出圖形，找到球心與半徑，根據(jù)表面積列出方程，求解即可.【詳解】當(dāng)平面平面時，三棱錐A1﹣CDE的體積取得最大值，因為AB＝2AD＝2a，E是AB的中點，所以，，所以為等腰直角三角形，因此取的中點，連接，則，因為平面平面，且平面平面，所以平面，又平面，所以，又因為，所以為等腰直角三角形，因為，所以，故，所以，又由，所以為直角三角形，且，取的中點，連接，則有，即外接球的球心，則為球半徑，所以，即.故選：A.多項選擇題（912每小題5分，共計20分）9.已知兩個平面垂直，下列命題錯誤的有（

）A．一個平面內(nèi)任意一條直線必垂直于另一個平面內(nèi)的任意一條直線B．一個平面內(nèi)的任意一條直線必垂直于另一個平面的無數(shù)條直線C．一個平面內(nèi)的任一條直線必垂直于另一個平面D．過一個平面內(nèi)任意一點作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面【答案】ACD【解析】【分析】利用平面和平面垂直的性質(zhì)進行判斷.【詳解】一個平面內(nèi)只有垂直交線的直線和另一平面垂直，才和另一個平面內(nèi)的任意一條直線垂直，所以A,C錯誤；過一個平面內(nèi)任意一點作交線的垂線，該垂線在平面內(nèi)時，則此垂線必垂直于另一個平面，若點在交線上時，作交線的垂線，則垂線不一定在平面內(nèi)，此垂線不一定垂直于另一個平面，所以D錯誤；因為另一個平面內(nèi)有無數(shù)條平行直線垂直于該平面，都與該直線垂直，所以B正確.故選：ACD10.袋子中有5個大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個紅球、3個黃球，從中不放回地依次隨機摸出2個球，下列結(jié)論正確的是（

）A．第一次摸到紅球的概率為 B．第二次摸到紅球的概率為C．兩次都摸到紅球的概率為 D．兩次都摸到黃球的概率為【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)袋子中有5個大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個紅球、3個黃球，利用古典概型和獨立事件的概率求解.【詳解】因為袋子中有5個大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個紅球、3個黃球，所以第一次摸到紅球的概率為，故A正確；若第一次摸到紅球，則第二次摸到紅球的概率為，若第一次摸到黃球，則第二次摸到紅球的概率為，所以第二次摸到紅球的概率為，故BC正確；兩次都摸到黃球的概率為，故D錯誤，故選：ABC11.點P是所在平面內(nèi)一點，滿足，則的形狀不可能是（

）A．鈍角三角形 B．直角三角形C．銳角三角形 D．等邊三角形【答案】ACD【解析】【分析】由已知結(jié)合向量的線性表示及數(shù)量積的性質(zhì)可得，進而可求．【詳解】因為，，所以，兩邊同時平方得，故，即，則的形狀為直角三角形．故選：ACD．12.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，的面積為．下列與有關(guān)的結(jié)論，正確的是（

）A．若，，，則或B．若為銳角三角形，則C．若為的外接圓半徑，則D．若，，則是直角三角形【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)解三角形知識，對選項逐一判斷【詳解】對于A，由正弦定理得，解得，又，故，故A錯誤對于B，為銳角三角形，可知，則，故，故B正確對于C，由正弦定理得，故C錯誤對于D，，，由余弦定理得化簡后得又由正弦定理化簡得化簡后得，可得，故D正確，故選：BD.填空題（1316每小題5分，共計20分）13.某工廠有，，三個車間，車間有600人，車間有500人.若通過比例分配的分層隨機抽樣方法得到一個樣本量為30的樣本，其中車間10人，則樣本中車間的人數(shù)為________【答案】8【解析】【分析】根據(jù)題意，先確定分層抽樣的抽樣比，求出樣本中車間的人數(shù)，進而可求出車間的人數(shù).【詳解】因為車間有500人，樣本中車間10人，所以抽樣比為，因此車間抽取的人數(shù)為，所以樣本中車間的人數(shù)為.故答案為：.【點睛】本題主要考查分層抽樣，屬于基礎(chǔ)題型.14.若是方程的一個根，則______.【答案】38【解析】【分析】假設(shè)另外一個根為，根據(jù)是實數(shù)，結(jié)合韋達定理，可得結(jié)果.【詳解】假設(shè)另外一個根為，是方程的一個根，則

①由，可知是的共軛復(fù)數(shù)，所以

②把②代入①可知所以故答案為：38【點睛】本題重在考查是實數(shù)，掌握復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù)的形式，屬基礎(chǔ)題15.已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為_________．【答案】【解析】【分析】將原問題轉(zhuǎn)化為求解圓錐內(nèi)切球的問題，然后結(jié)合截面確定其半徑即可確定體積的值.【詳解】易知半徑最大球為圓錐的內(nèi)切球，球與圓錐內(nèi)切時的軸截面如圖所示，其中，且點M為BC邊上的中點，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，由于，故，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則：，解得：，其體積：.故答案為：.【點睛】與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.16.在中，，點D在邊上，且，點E是的中點，則________．【答案】或2.5【解析】【分析】利用向量的加法和減法法則，將和化為可以求出夾角余弦值的和即可﹒【詳解】如圖，根據(jù)余弦定理得：，故答案為：﹒解答題（1722共計70分）17.（本題10分）在平面直角坐標系內(nèi)，已知三點，，，求：（1），的坐標；（2）的值；（3）的值.【答案】（1），；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的終點坐標和起點坐標可求向量的坐標.（2）根據(jù)（1）的結(jié)果可求的坐標，從而可求.（3）利用夾角公式可求的值【詳解】（1），．（2）因為，所以．（3）因為，，，故．18.（本題10分）袋子中有4個球大小質(zhì)地完全相同，其中2個紅球，2個黃球，從中不放回地依次隨機摸出2個球，求下列事件的概率：(1)A=第一次摸到紅球(2)B=第二次摸到紅球(3)C=至少一次摸到紅球【答案】(1)0.5；(2)0.5；(3)【分析】（1）首先寫出整個樣本空間中的所有可能的結(jié)果，第一次摸到紅球有6種可能的結(jié)果，根據(jù)古典概型的計算公式即可求解；（2）第二次摸到紅球有6種可能的結(jié)果，根據(jù)古典概型的計算公式即可求解；（3）至少一次摸到紅球的概率等于總概率減去兩次都沒摸到紅球的概率，結(jié)合對立事件的概率公式即可求解．【解析】(1)將兩個紅球編號為1，2，兩個黃球編號為3，4.第一次摸球時有4種等可能的結(jié)果，對應(yīng)第一次摸球的每個可能結(jié)果，第二次摸球時都有3種等可能的結(jié)果，將兩次摸球的結(jié)果配對，組成12種等可能的結(jié)果，用表表示.第一次第二次12341×（1，2）（1，3）（1，4）2（2，1）×（2，3）（2，4）3（3，1）（3，2）×（3，4）4（4，1）（4，2）（4，3）×第一次摸到紅球的可能結(jié)果有6種（表中第1，2行），即，所以.(2)由（1）中表知，第二次摸到紅球的可能結(jié)果也有6種（表中第1、2列），即，所以.(3)由（1）中表知，兩次都沒摸到紅球的事件的概率為，即至少一次摸到紅球的概率為.19.（本題12分）如圖，在三棱柱中，，，，分別為，的中點.（1）求證：平面；（2）求證：.（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）利用中位線證明，即可證明出平面；（2）根據(jù)等腰三角形三線合一證明，再得，即可證明平面，得【詳解】證明：（1）在中，因為為的中點，為的中點，所以是中的中位線，所以.因為平面，平面，所以平面.（2）因為，為的中點，所以.因為中，，由（1）已證，所以，因為平面，，所以平面.又因為平面，所以.【點睛】關(guān)鍵點睛：關(guān)于線面平行的證明，一般利用判定定理先利用中位線或者平行四邊形證明線線平行；關(guān)于線面垂直的證明，一般利用判定定理根據(jù)勾股定理、三線合一等垂直條件證明線線垂直.20.（本題12分）有一種魚的身體吸收汞，一定量身體中汞的含量超過其體重的的魚被人食用后，就會對人體產(chǎn)生危害．某海鮮市場進口了一批這種魚，質(zhì)監(jiān)部門對這種魚進行抽樣檢測，在30條魚的樣本中發(fā)現(xiàn)的汞含量（乘以百萬分之一）如下：0.07

0.34

0.95

0.98

1.02

0.98

1.37

1.40

0.39

1.021.44

1.58

0.54

1.08

0.71

0.70

1.20

1.24

1.62

1.681.85

1.30

0.81

0.82

0.84

1.39

1.26

2.20

0.91

1.31（1）完成下面頻率分布表，并畫出頻率分布直方圖；頻率分布表：分組頻數(shù)頻率1合計301頻率分布直方圖：（2）根據(jù)頻率分布直方圖估算樣本數(shù)據(jù)的平均值（保留小數(shù)點后兩位，同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值代表），并根據(jù)頻率分布直方圖描述這批魚身體中汞含量的分布規(guī)律．（1）填表見解析；作圖見解析；（2）平均值為：，答案見解析．【解析】【分析】（1）由樣本數(shù)據(jù)，即可完善頻率分布表中的數(shù)據(jù)，并畫出頻率直方圖.（2）由（1）的頻率直方圖計算樣本均值，進而描述汞含量分布規(guī)律.【詳解】（1）由題設(shè)樣本數(shù)據(jù)，則可得頻率分布表如下，分組頻數(shù)頻率3101241合計301（2）根據(jù)頻率分布直方圖估算平均值為：，分布規(guī)律：①該頻率分布直方圖呈中間高，兩邊低，大多數(shù)魚身體中汞含量主要集中在區(qū)間；②汞含量在區(qū)間的魚最多，汞含量在區(qū)間的次之，在區(qū)間的最少；③汞含量超過的數(shù)據(jù)所占比例較大，這說明這批魚被人食用，對人體產(chǎn)生危害的可能性比較大．21.（本題12分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別是a，b，c，且．(1)求角B的大小；(2)若，求△ABC的面積．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用正弦定理將邊化為角，利用三角恒等變換，即可求得答案；（2）利用余弦定理結(jié)合條件求出邊長a，c，再