六年級上冊數學培優(yōu)奧數講義-第24講與比有關的行程問題

第24講與比有關的行程問題知識與方法行程問題中有很多比例關系，在只知道比例時，用比例法可求得具體數值。更重要的是，在一些較復雜的題目中，有些條件(如路程、速度、時間)往往是不確定的，在沒有具體數值的情況下，只能用比解題。初級挑戰(zhàn)1A、B兩地相距380千米，甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發(fā),相向而行，當甲車行了全程的時，乙車行了全程的。那么甲、乙兩車相遇時，各行了多少千米？思路引領：同樣的時間，甲車行駛的路程與乙車行駛的路程的比是（）。答案：相遇時，甲、乙的路程比為：:＝10:91份路程：380÷（10＋9）＝20（千米）甲車：20×10＝200（千米）乙車：20×9＝180（千米）能力探索1甲、乙兩車同時從A、B兩地出發(fā),相向而行，2小時后兩車相遇，這時甲車正好行了全程的，已知甲車每小時行45千米，求相遇時乙車共行了多遠？答案：相遇時乙車行了全程的1－＝甲車路程:乙車路程＝:＝3:5相遇時甲車行駛：45×2＝90（千米）乙車：90÷3×5＝150（千米）初級挑戰(zhàn)2甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發(fā),相向而行，它們的速度比是5:3。當兩車相遇時，甲車比乙車多行了18千米，A、B兩地相距多少千米？思路引領：時間一定時，已知甲、乙兩車的速度比是5:3，可求出甲、乙兩車的路程比是（）。相遇時甲車比乙車多走（）份，對應（）千米，算出每份數即可求出總路程。答案：甲的速度：乙的速度＝甲的路程：乙的路程＝5:3，每份對應路程：18÷（5－3）＝9（千米），總路程：9×（5＋3）＝72（千米）能力探索2甲、乙兩車分別從兩地同時出發(fā),相向而行，2.5小時相遇。已知甲車速度是乙車速度的，相遇時乙車比甲車多走了40千米。甲、乙兩車的速度各是多少？答案：甲的速度:乙的速度＝甲的路程:乙的路程＝3:41份路程：40÷（4－3）＝40（千米），甲的路程：3×40＝120（千米），甲的速度：120÷2.5＝48（千米/時）；乙的速度：48÷＝64（千米/時）。中級挑戰(zhàn)1甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發(fā),相向而行，當甲車行了全程的時，乙車行了全程的，當乙車行完全程時，甲車距終點還有20千米。A、B兩地相距多少千米？思路引領：根據題意可知，相同的時間，甲、乙所行的路程之比為＝3:4，當乙車行完全程時，假設乙車行了4份，那么甲車行了（）份，甲、乙兩車所行的路程相差（）份，正好是20千米。答案：甲、乙路程之比為＝3:4，20÷（4－3）×4＝80（千米）。能力探索3甲、乙兩車同時從A、B兩地相對開出，當甲車行了全程的時，乙車行了36千米；當甲車到達B地時，乙車行了全程的。A、B兩地相距多少千米？答案：當甲車到達B地時，乙車行了全程的，說明甲乙兩車路程之比為10:7，因此，當甲行了全程的時，乙行了全程的×＝，A、B兩地相距：36÷＝120（千米）中級挑戰(zhàn)2貨車速度是客車的，兩車分別從甲、乙兩地同時出發(fā),相向而行，在離兩地中點3千米處相遇。相遇后，兩車分別用原速度繼續(xù)前進，問當客車到達甲站時，貨車還離乙站多遠？思路引領：根據題意可先求出當兩車相遇時，貨車與客車所行路程之比是（）。而在離兩地中點3千米處相遇，說明相遇時客車比貨車多走了（）千米。那么根據路程之比和路程差可先求出甲、乙兩站的距離，進而求解。答案：方法一：貨車路程：客車路程＝貨車速度：客車速度＝9:10，相遇時客車比貨車多走了3×2＝6（千米），設貨車走了9份，那么客車走了10份，多走了1份路程，那么1份路程為6÷（10－9）＝6（千米），那么總路程為：6×（9＋10）＝114（千米），而當客車到達甲站時，貨車行駛了全程的，那么貨車離乙站還有：114×（1－）＝11.4（千米）。方法二：相遇時，貨車路程：客車路程＝貨車速度：客車速度＝9:10，那么貨車行了全程的，客車行了全程的，而客車比貨車多行了3×2＝6（千米），因此可求出全程為：6÷（－）＝114（千米），而當客車到達甲站時，貨車行駛了全程的，那么貨車離乙站還有：114×（1－）＝11.4（千米）。能力探索4從A地到B地，甲車每小時行全程的，乙每小時行全程的，現兩車同時從A、B兩地相向開出，并在離中點50千米處相遇，A、B兩地的距離是多少千米？答案：甲車路程:乙車路程＝＝3:5，甲比乙多走2×50＝100（千米），每1份：100÷2＝50（千米），全程：50×（3＋5）＝400（千米）。聰明泉籌算女杰王貞儀女數學家王貞儀(1768－1797)，字德卿，江寧人，是清代學者王錫琛之女，著有《西洋籌算增刪》一卷、《重訂策算證訛》一卷、《象數窺余》四卷、《術算簡存》五卷、《籌算易知》一卷。從她遺留下來的著作可以看出，她是一位從事天文和籌算研究的女數學家。算籌，又被稱為籌、策、籌策等，有時亦稱為算子，是一種棒狀的計算工具。一般是竹制或木制的一批同樣長短粗細的小棒，也有用金屬、玉、骨等質料制成的，不用時放在特制的算袋或算子筒里，使用時在特制的算板、氈或直接在桌上排布。應用“算籌”進行計算的方法叫做“籌算”，算籌傳入日本稱為“算術”。算籌在中國起源甚早，《老子》中有一句“善數者不用籌策”的記述，現在所見的最早記載是《孫子算經》，至明朝籌算漸漸為珠算所取代。17世紀初葉，英國數學家納皮爾發(fā)明了一種算籌計算法，明末介紹到我國，也稱為“籌算”。清代著名數學家梅文鼎、戴震等人曾加以研究。戴震稱其為“策算”。王貞儀也從事研究由西洋傳入我國的這種籌算，并且寫了三卷書向國人介紹西洋籌算。她在著作中對西洋籌算進行增補講解，使之簡易明了。王貞儀介紹的納皮爾算籌乘除法，當時的讀者認為容易了解，但與當時我國的乘除法籌算的方法相比，顯得較繁雜。因此，數學家們沒有使用西洋籌算，一直使用中國籌算法。今天的讀者把中外籌算乘除法視為老古董，采用的是由外國傳入的筆算四則運算，這種筆算于1903年才開始被使用，故我國與世界接軌使用筆算的歷史只有100年。拓展挑戰(zhàn)甲車從A地開往B地，小時行了全程的；乙車每小時行56千米，兩車同時從A、B兩地相向而行。相遇時，乙車行了全程的，A、B兩地相距多少千米？思路引領：甲車1小時行全程的，相遇時，乙車行了全程的，那么甲車走了全程的，甲車用時：（小時），那么乙車也走了6小時。再根據路程＝速度×時間，求得相遇時乙車行：56×6＝336（千米），因此全程為：336÷（千米）。能力探索5甲車從A地開往B地，小時行了全程的，乙車小時行了69千米，兩車同時從A、B兩地相向而行，相遇時乙車所行的路程是甲車的。A、B兩地相距多少千米？答案：甲速：，乙速：69÷＝46（千米/時）。兩車速度比與兩車路程比相同，為3:2。所以甲車速度為46×＝69（千米/時），兩地相距69÷＝690（千米）。課堂小測：1、甲、乙兩地之間的公路長216千米。一輛汽車從甲地開往乙地，行了全程的，離乙地還有多少千米？2、甲車從A地開往B地需要12小時，乙車每小時行50千米，現在兩車同時從A、B兩地出發(fā),相向而行，相遇時，甲車行了全程的，A、B兩地相距多少千米？3、甲、乙兩車同時從A、B兩地相對開出，當甲行了全程的時，乙車行了16千米；當甲車到達B地時，乙車行了全程的。A、B兩地相距多少千米？4、一輛摩托車和一輛汽車同時從A地開往B地。3小時后，摩托車到達A、B兩地的中點，汽車則距中點90千米，已知汽車的速度是摩托車的，摩托車與汽車的速度各是多少？答案1、216×（1－）＝135（千米）2、相遇時間：÷＝7（小時）50×7÷（）＝840（千米）3、甲車路程：乙車路程＝5:4，乙車路程：×＝全程：16÷＝60（千米）4、汽車路程：摩托車路程＝3:5，汽車速度：摩托車速度＝3:51份速度：（90÷3）÷（5－3）＝15（千米/時）汽車速度：15×3＝45（千米/時），摩托車速度：15×5＝75（千米/時）課后作業(yè)1、一輛汽車從甲地開往乙地，第一小時行了全程的，第二小時行了全程的，兩小時行了114千米。兩地之間的公路長多少千米？答案：114÷（＋）＝216（千米）2、甲、乙兩車從A、B兩地相對開出，當甲行了全程的時，乙車行了全程的；當甲車到達B地時，乙車離B地還有9千米。A、