141充分條件與必要條件（教學設計）-2021-2022學年高一數(shù)學(人教A版2019)

《充分條件與必要條件》教學設計本小節(jié)內容選自《普通高中數(shù)學必修第一冊》人教A版（2019）第一章《集合與常用邏輯用語》的第四節(jié)《充分條件與必要條件》，以下是“常用邏輯用語”單元的課時安排：第四節(jié)第五節(jié)課時內容充分條件與必要條件全稱量詞與存在量詞所在位置教材第17頁教材第26頁新教材內容分析通過列舉學生熟悉的數(shù)學命題，加深學生對命題的條件與結論的認識，教材主要以“若p則q”形式的命題為載體，通過考察命題中的條件p與結論q之間的關系，學習充分條件、必要條件、充要條件這三個邏輯用語。全稱量詞和存在量詞是數(shù)學中經(jīng)常使用的量詞，教材通過豐富的數(shù)學實例，介紹了這兩類量詞的意義，探究了全稱量詞命題和存在量詞命題的否定，并鼓勵學生使用新的數(shù)學符號，使學生習慣于運用數(shù)學符號語言表達一些數(shù)學內容。核心素養(yǎng)培養(yǎng)通過觀察實例，理解充分條件、必要條件、充要條件的意義，會辨析充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分又不必要條件，體現(xiàn)了邏輯推理的核心素養(yǎng)。通過數(shù)學實例，使學生理解全稱量詞、存在量詞的意義，體現(xiàn)了數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)；會判定命題的真假，會寫出命題的否定，體現(xiàn)了邏輯推理的核心素養(yǎng)。教學主線命題的真假判斷學生在初中階段已經(jīng)接觸過命題，對命題的真假判斷有了一定的基礎，這對學習本節(jié)內容有一定的幫助，但是學生的知識儲備不夠豐富，邏輯思維能力訓練不夠，在學習過程中會有困難，所以在教學時應多舉一些實例引導學生去分析，使之與學生的知識結構同步完善發(fā)展。1．通過對典型數(shù)學命題的梳理，理解充分條件的意義，理解判定定理與充分條件的關系，培養(yǎng)數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)；2．通過對典型數(shù)學命題的梳理，理解必要條件的意義，理解性質定理與必要條件的關系，培養(yǎng)數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)；3.會根據(jù)命題的條件和結論的關系判斷是否為充分條件、必要條件，強化邏輯推理的核心素養(yǎng)。重點：充分條件與必要條件概念的概念的理解；難點：1.必要條件的理解2.充分條件、必要條件的判斷方法（一）新知導入1.創(chuàng)設情境，生成問題從前有一個牧民，養(yǎng)了幾十只羊，白天放牧，晚上趕進一個用柴草和木樁等物圍起來的羊圈內。一天早晨，這個牧民去放羊，發(fā)現(xiàn)羊少了一只。原來羊圈破了個窟窿，夜間有狼從窟窿里鉆了進來，把一只羊叼走了。鄰居勸告他說：“趕快把羊圈修一修，堵上那個窟窿吧?！彼f：“羊已經(jīng)丟了，還去修羊圈干什么呢?”沒有接受鄰居的好心勸告。第二天早上，他去放羊，發(fā)現(xiàn)又少了一只羊。原來狼又從窟窿里鉆進羊圈，又叼走了一只羊。這位牧民很后悔沒有認直接受鄰居的勸告，去及時采取補救措施。于是，他趕緊堵上那個窟窿，又從整體進行加固，把羊圈修得十分牢固的。從此，這個牧民的羊就再也沒有被野狼叼走過了。從這個小故事咱們發(fā)現(xiàn)一問題，在有狼的情況下，要想不丟羊，修理好羊圈是必要條件。2.探索交流，解決問題【問題1】下列“若p，則q”形式的命題中，哪些是真命題？哪些是假命題？(1)若平行四邊形的對角線互相垂直，則這個平行四邊形是菱形；(2)若兩個三角形的周長相等，則這兩個三角形全等．（3）若x2-4x+3=0,（4）若平面內兩條直線a和b均垂直于直線l,則a//b.【提示】（1）(4)是真命題，（2）（3）是假命題?！驹O計意圖】通過問題的探究，引導學生探索充分條件、必要條件的概念，提高學生用數(shù)學抽象的思維方式思考并解決問題的能力。（二）充分條件與必要條件一般地，“若p，則q”為真命題，是指由p通過推理可以得出q.這時，我們就說，由p可以推出q，記作p?q，并且說p是q的充分條件(sufficientcondition)，q是p的必要條件(necessarycondition)．如果“若p，則q”為假命題，那么由條件p不能推出結論q，記作p?q.此時，我們就說p不是q的充分條件，q不是p的必要條件．【思考1】（1）p是q的充分條件與q是p的必要條件所表示的推出關系是否相同？（2）若p是q的充分條件，那么p是唯一的嗎？舉例說明。（3）若p是q的必要條件，那么p是唯一的嗎？舉例說明。（4）如何理解充分條件與必要條件？【提示】（1）相同，都是p?q；（2）不是，如x>2，x>3都是x>0的充分條件；（3）不是，如x>0，x>5等都是x>9的必要條件．（4）所謂充分，就是說條件是充分的，也就是說條件是充足的，條件是足夠的，條件是足以保證的；所謂必要，就是條件是必須有的，必不可少的，缺其不可．【做一做】用符號“?”與“?”填空:①x2>1______x>1.②a,b都是偶數(shù)______a+b是偶數(shù)2.用“充分條件”或“必要條件”填空：（1）是的______________；（2）四邊形的對角線互相垂直是四邊形為菱形的________.[答案]1.??2.充分條件必要條件【設計意圖】通過問題探究，使學生深入充分條件、必要條件的概念，培養(yǎng)數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)。（三）充分條件與必要條件的判斷例1.(1)下列命題中，p是q的充分條件的是________．①p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0；②p：兩個三角形面積相等，q：兩個三角形全等；③p：m<－2，q：方程x2－x－m＝0無實根．[解析]①∵(x－2)(x－3)＝0，∴x＝2或x＝3，不能推出x－2＝0.∴p不是q的充分條件．②∵兩個三角形面積相等，不能推出兩個三角形全等，∴p不是q的充分條件．③∵m<－2，∴12＋4m<0，∴方程x2－x－m＝0無實根，∴p是q的充分條件．[答案]③例2.下列命題中，p是q的必要條件的是________．(1)p：x>2且y>3，q：x＋y>5；(2)p：四邊形的四個角都相等，q：四邊形是正方形．[解析](1)由于x＋y>5推不出x>2且y>3，故p不是q的必要條件．(2)由四邊形是正方形可以推出四邊形的四個角都相等，故p是q的必要條件．[答案]（2）【類題通法】充分、必要條件的判斷方法(1)定義法：首先分清條件和結論，然后判斷p?q和q?p是否成立，最后得出結論．(2)命題判斷法：①如果命題：“若p，則q”為真命題，那么p是q的充分條件，同時q是p的必要條件；②如果命題：“若p，則q”為假命題，那么p不是q的充分條件，同時q也不是p的必要條件．顯然，p是q的充分條件與q是p的必要條件表述的是同一個邏輯關系，即p?q，只是說法不同而已．【鞏固練習1】指出下列各組命題中，p是q的什么條件：(1)在△ABC中，p：A>B，q：BC>AC；(2)p：a＝3，q：(a＋2)(a－3)＝0；(3)p：a<b，q：eq\f(a,b)<1.[解析]在(1)中，由大角對大邊，且A>B知BC>AC，反之也正確，所以p既是q的充分條件，也是q的必要條件；在(2)中，若a＝3，則(a＋2)(a－3)＝0，但(a＋2)(a－3)＝0不一定a＝3，所以p是q的充分條件但不是必要條件；在(3)中，當a＝－2，b＝－1時，eq\f(a,b)＝2>1；當a＝2，b＝－1時，eq\f(a,b)＝－2<1，所以p既不是q的充分條件，也不是必要條件．【設計意圖】通過實例分析，將新知（充分條件、必要條件的概念）的構建過程轉化為已有知識（命題真假的判斷）的應用過程.強化邏輯推理的核心素養(yǎng)。（四）充分條件與必要條件的應用例3.已知p：關于x的不等式eq\f(3－m,2)<x<eq\f(3＋m,2)，q：0<x<3，若p是q的充分條件，求實數(shù)m的取值范圍．[思維引導]p是q的充分條件轉化為對應A?B，q是p的必要條件轉化為A?B.[解析]記A=x3-m2<x<若p是q的充分條件，則A?B，分兩種情況討論：①若A=?,即3-m2≥3+m2,解得m②若A≠?,要使A?B，應有3-m2<綜上可得，實數(shù)m的取值范圍是.[變式]本例中，若將“若p是q的充分條件”改為“p是q的必要條件”，其他條件不變，求實數(shù)m的取值范圍．[解析]記A=x3-m2<x<若p是q的必要條件，則B?A，則3-m2≤所以實數(shù)m的取值范圍是.【類題通法】充分條件與必要條件的應用技巧(1)應用：可利用充分性與必要性進行相關問題的求解，特別是求參數(shù)的值或取值范圍問題．(2)求解步驟：先把p，q等價轉化，利用充分條件、必要條件與集合間的包含關系，建立關于參數(shù)的不等式(組)進行求解．【鞏固練習2】已知p：實數(shù)x滿足3a<x<a，其中a<0；q：實數(shù)x滿足－2≤x≤3.若p是q的充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．[解析]p：3a<x<a，即集合A＝{x|3a<x<a}．q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．因為p?q，所以A?B，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a≥－2，,a≤3，,a<0))解得－eq\f(2,3)≤a<0，所以a的取值范圍是.（五）操作演練素養(yǎng)提升1．若條件p：兩個三角形相似，q：兩個三角形全等，則p是q的________條件．2．已知A?B，則“x∈A”是“x∈B”的________條件．3．p：|x|＝|y|，q：x＝y(tǒng)，則p是q的________條件．4．p：a＝0，q：ab＝0，則p是q的________條件．[答案]1.必要2.充分3.必要4.充分【設計意圖】通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題的能力，感悟其中蘊含的數(shù)學思想，增強學生的應用意識。（六）課堂小結，反思感悟1.知識總結：2.學生反思：（1）通過這節(jié)課，你學到了什么知識？（2）在解決問題時，用到了哪些數(shù)學思想？【設計意圖】通過總結，讓學生進一步鞏固充分條件與必要條件的判斷方法，提高語言轉換和抽象概括能力,培養(yǎng)正確的邏輯推理意識。完成教材：第20頁練習第1，2，3題