云南省新平彝族傣自治縣第一中學(xué)2025屆高三第五次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

云南省新平彝族傣自治縣第一中學(xué)2025屆高三第五次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若函數(shù)在處取得極值2，則（）A．-3 B．3 C．-2 D．22．若函數(shù)滿足，且，則的最小值是（）A． B． C． D．3．已知，則，不可能滿足的關(guān)系是（）A． B． C． D．4．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（，）對應(yīng)向量（O為坐標(biāo)原點），設(shè)，以射線Ox為始邊，OZ為終邊旋轉(zhuǎn)的角為，則，法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)了棣莫弗定理：，，則，由棣莫弗定理可以導(dǎo)出復(fù)數(shù)乘方公式：，已知，則（）A． B．4 C． D．165．過拋物線的焦點作直線與拋物線在第一象限交于點A，與準(zhǔn)線在第三象限交于點B，過點作準(zhǔn)線的垂線，垂足為.若，則（）A． B． C． D．6．已知圓M:x2+y2-2ay=0a>0截直線x+y=0A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離7．定義在上的偶函數(shù)，對，，且，有成立，已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．8．函數(shù)y=sin2x的圖象可能是A． B．C． D．9．已知是第二象限的角，，則()A． B． C． D．10．已知等差數(shù)列中，，則（）A．20 B．18 C．16 D．1411．一場考試需要2小時，在這場考試中鐘表的時針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為（）A． B． C． D．12．設(shè)函數(shù)若關(guān)于的方程有四個實數(shù)解，其中，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）已知為實數(shù)，向量，，且，則____________．14．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，其中是虛數(shù)單位，若是的共軛復(fù)數(shù)，則____________．15．已知函數(shù)，若在定義域內(nèi)恒有，則實數(shù)的取值范圍是__________．16．函數(shù)的圖像如圖所示，則該函數(shù)的最小正周期為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，其前項和為，，若，，成等比數(shù)列．（1）求及；（2）設(shè)，設(shè)數(shù)列的前項和，證明：．18．（12分）已知數(shù)列的前項和為，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，為數(shù)列的前項和.求證：.19．（12分）已知函數(shù)．當(dāng)時，求不等式的解集；，，求a的取值范圍．20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，且兩個坐標(biāo)系取相等的長度單位，建立極坐標(biāo)系.（1）設(shè)直線l的極坐標(biāo)方程為，若直線l與曲線C交于兩點A．B，求AB的長；（2）設(shè)M、N是曲線C上的兩點，若，求面積的最大值.21．（12分）已知直線與拋物線交于兩點.（1）當(dāng)點的橫坐標(biāo)之和為4時，求直線的斜率；（2）已知點，直線過點，記直線的斜率分別為，當(dāng)取最大值時，求直線的方程.22．（10分）如圖，在直三棱柱中，，，為的中點，點在線段上，且平面．（1）求證：；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

對函數(shù)求導(dǎo),可得,即可求出,進而可求出答案.【詳解】因為,所以,則,解得,則.故選:A.【點睛】本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值,考查了學(xué)生的運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】

由推導(dǎo)出，且，將所求代數(shù)式變形為，利用基本不等式求得的取值范圍，再利用函數(shù)的單調(diào)性可得出其最小值.【詳解】函數(shù)滿足，，即，，，，即，，則，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.，由于函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，所以，當(dāng)時，取得最小值.故選：A.【點睛】本題考查代數(shù)式最值的計算，涉及對數(shù)運算性質(zhì)、基本不等式以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.3、C【解析】

根據(jù)即可得出，，根據(jù)，，即可判斷出結(jié)果．【詳解】∵；∴，；∴，，故正確；，故C錯誤；∵，故D正確故C．【點睛】本題主要考查指數(shù)式和對數(shù)式的互化，對數(shù)的運算，以及基本不等式：和不等式的應(yīng)用，屬于中檔題4、D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)乘方公式：，直接求解即可.【詳解】，.故選：D【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的新定義題目、同時考查了復(fù)數(shù)模的求法，解題的關(guān)鍵是理解棣莫弗定理，將復(fù)數(shù)化為棣莫弗定理形式，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

需結(jié)合拋物線第一定義和圖形，得為等腰三角形，設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點為，過點作，再由三角函數(shù)定義和幾何關(guān)系分別表示轉(zhuǎn)化出，，結(jié)合比值與正切二倍角公式化簡即可【詳解】如圖，設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點為，過點作.由拋物線定義知，所以，，，，所以.故選：C【點睛】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，三角函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于中檔題6、B【解析】化簡圓M:x2+(y-a)2=a又N(1,1),r7、A【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)和單調(diào)性即可判斷.【詳解】解：對，，且，有在上遞增因為定義在上的偶函數(shù)所以在上遞減又因為，，所以故選：A【點睛】考查偶函數(shù)的性質(zhì)以及單調(diào)性的應(yīng)用，基礎(chǔ)題.8、D【解析】分析:先研究函數(shù)的奇偶性，再研究函數(shù)在上的符號，即可判斷選擇.詳解：令，因為，所以為奇函數(shù)，排除選項A,B;因為時，，所以排除選項C，選D.點睛：有關(guān)函數(shù)圖象的識別問題的常見題型及解題思路：（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象的左、右位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上、下位置；（2）由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；（3）由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；（4）由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)．9、D【解析】

利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可.【詳解】因為,由誘導(dǎo)公式可得,,即,因為,所以,由二倍角的正弦公式可得,,所以.故選:D【點睛】本題考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角的正弦公式;考查運算求解能力和知識的綜合運用能力;屬于中檔題.10、A【解析】

設(shè)等差數(shù)列的公差為,再利用基本量法與題中給的條件列式求解首項與公差,進而求得即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為.由得,解得.所以.故選：A【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的基本量求解,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

因為時針經(jīng)過2小時相當(dāng)于轉(zhuǎn)了一圈的，且按順時針轉(zhuǎn)所形成的角為負(fù)角，綜合以上即可得到本題答案.【詳解】因為時針旋轉(zhuǎn)一周為12小時，轉(zhuǎn)過的角度為，按順時針轉(zhuǎn)所形成的角為負(fù)角，所以經(jīng)過2小時，時針?biāo)D(zhuǎn)過的弧度數(shù)為.故選：B【點睛】本題主要考查正負(fù)角的定義以及弧度制，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像知：，，，計算得到答案.【詳解】，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：根據(jù)圖像知：，，故，且.故.故選：.【點睛】本題考查了函數(shù)零點問題，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力，畫出圖像是解題的關(guān)鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、5【解析】

由，，且，得，解得，則，則．14、【解析】

由于，則．15、【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象可將原題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，湊而可知的圖象在過原點且與兩函數(shù)相切的兩條切線之間；利用過一點的曲線切線的求法可求得兩切線斜率，結(jié)合分母不為零的條件可最終確定的取值范圍.【詳解】由指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象可知：，恒成立可轉(zhuǎn)化為恒成立，即恒成立，，即是夾在函數(shù)與的圖象之間，的圖象在過原點且與兩函數(shù)相切的兩條切線之間.設(shè)過原點且與相切的直線與函數(shù)相切于點，則切線斜率，解得：；設(shè)過原點且與相切的直線與函數(shù)相切于點，則切線斜率，解得：；當(dāng)時，，又，滿足題意；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查恒成立問題的求解，重點考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義應(yīng)用中的過一點的曲線切線的求解方法；關(guān)鍵是能夠結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)圖象將問題轉(zhuǎn)化為切線斜率的求解問題；易錯點是忽略分母不為零的限制，忽略對于臨界值能否取得的討論.16、【解析】

根據(jù)圖象利用，先求出的值，結(jié)合求出，然后利用周期公式進行求解即可．【詳解】解：由，得，，，則，，，即，則函數(shù)的最小正周期，故答案為：8【點睛】本題主要考查三角函數(shù)周期的求解，結(jié)合圖象求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）證明見解析.【解析】

（1）根據(jù)題中條件求出等差數(shù)列的首項和公差，然后根據(jù)首項和公差即可求出數(shù)列的通項和前項和；（2）根據(jù)裂項求和求出，根據(jù)的表達式即可證明.【詳解】（1）設(shè)的公差為，由題意有，且，所以，；（2）因為，所以，.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列基本量的求解，裂項求和法，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）利用求得數(shù)列的通項公式.（2）先將縮小即，由此結(jié)合裂項求和法、放縮法，證得不等式成立.【詳解】（1）∵，令，得.又，兩式相減，得.∴.（2）∵.又∵，，∴.∴.∴.【點睛】本小題主要考查已知求，考查利用放縮法證明不等式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.19、（1）；（2）.【解析】

（1）當(dāng)時，，①當(dāng)時，，令，即，解得，②當(dāng)時，，顯然成立，所以，③當(dāng)時，，令，即，解得，綜上所述，不等式的解集為．（2）因為，因為，有成立，所以只需，解得，所以a的取值范圍為．【點睛】絕對值不等式的解法：法一：利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；法二：利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；法三：通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想．20、（1）；（2）1.【解析】

（1）利用參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程間的互化公式即可；（2），，由（1）通過計算得到，即最大值為1.【詳解】（1）將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程為，即；再將，，代入上式，得，故曲線C的極坐標(biāo)方程為，顯然直線l與曲線C相交的兩點中，必有一個為原點O，不妨設(shè)O與A重合，即.（2）不妨設(shè)，，則面積為當(dāng)，即取時，.【點睛】本題考查參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程間的互化，三角形面積的最值問題，是一道容易題.21、（1）（2）【解析】

（1）設(shè)，根據(jù)直線的斜率公式即可求解；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，由韋達定理得，，結(jié)合直線的斜率公式得到，換元后討論的符號，求最值可求解.【詳解】（1）設(shè)，因為，即直線的斜率為1.（2）顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為.聯(lián)立方程組，可得則，令，則則當(dāng)時，；當(dāng)且僅當(dāng)，即時，解得時，取“=”號，當(dāng)時，；當(dāng)時，綜上所述，當(dāng)時，取得最大值，此時直線的方程是.【點睛】本題主要考查了直線的斜率公式，直線與拋物線的位置關(guān)系，換元法，均值不等式，考查了運算能力，屬于難題.22、見解析【解析】

（1）如圖，連接，交于