福建省廈門市、泉州市五校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考試題 數(shù)學(xué) 含解析

廈泉五校2024-2025學(xué)年高二年級第一學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（考試時間：120分鐘滿分：150分命題人：高玉華審核人：黃文根）試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分第I卷（選擇題，共58分）一、單選題:（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知，則（）A. B. C. D.2.橢圓上一點P到左焦點距離為6，則P到右焦點的距離為（）A.5 B.6 C.4 D.123.“”是“直線與圓：相切”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分條件也不必要條件4.下列命題中，不正確的命題是（）A.空間中任意兩個向量一定共面B.若，則存在唯一的實數(shù)，使得C.對空間中任一點O和不共線的三點A，B，C，若，則P，A，B，C四點共面D.若是空間的一個基底，，則也是空間的一個基底5.平行六面體的底面是邊長為2的正方形，且，，為，的交點，則線段的長為（）A. B. C.3 D.6.在平面直角坐標系中，直線：被圓：截得的最短弦的長度為（）A. B.2 C. D.47.已知分別為橢圓的兩個焦點，是橢圓上的點，，且，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.8.如圖是一個棱數(shù)為，棱長為的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，可以看成是由一個正方體截去八個一樣的四面體所得.若點為線段上的動點，則直線與直線所成角的余弦值的取值范圍是（）A. B. C. D.二、多選題：（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．）9.空間直角坐標系中，已知，，下列結(jié)論正確的有（）A. B.點關(guān)于平面對稱點的坐標為C.若，則 D.若，，則10.如圖，在棱長為2正方體中，E，F(xiàn)，G分別為棱，，的中點，則（）A.直線與所成角的余弦值為 B.點F到直線的距離為1C.平面 D.點到平面的距離為11.已知橢圓，分別為它的左右焦點，A，B分別為它的左右頂點，點P是橢圓上的一個動點，下列結(jié)論中正確的有（）A.存在P使得 B.橢圓C的弦MN被點平分，則C.，則的面積為9 D.直線PA與直線PB斜率乘積為定值第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）三、填空題:(本題共3小題，每小題5分，共15分.)12.已知直線的一個方向向量為，則直線的斜率為_______．13.已知F為橢圓的一個焦點，點M在C上，O為坐標原點，若，則的面積為________．14.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯（約公元首262～公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，著作中這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)（且）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓，已知點，，圓，在圓上存在點滿足，則實數(shù)的取值范圍是______．四、解答題:(本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)15.已知的頂點，邊上的高所在直線為，為中點，且所在直線方程為.（1）求邊所在的直線方程；（2）求頂點的坐標.16.已知空間三點，，．（1）求向量與夾角的余弦值；（2）求的面積.17.已知圓的圓心在直線上，并且經(jīng)過點，與直線相切．（1）求圓的方程；（2）經(jīng)過點的直線與圓相交于A，B兩點，若，求直線的方程．18.已知橢圓C的中心在坐標原點，左焦點為F1（﹣，0），點在橢圓上.（1）求橢圓C的標準方程；（2）過點P（1，0）的直線l交橢圓C于兩個不同的點A、B，若△AOB（O是坐標原點）的面積S=，求直線AB的方程.19.已知為坐標原點，圓：，直線：（），如圖，直線與圓相交于（在軸的上方），兩點，圓與軸交于兩點（在的左側(cè)），將平面沿軸折疊，使軸正半軸和軸所確定的半平面（平面）與軸負半軸和軸所確定的半平面（平面）互相垂直，再以為坐標原點，折疊后原軸負半軸，原軸正半軸，原軸正半軸所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系．（1）若．（?。┣笕忮F體積；（ⅱ）求二面角的余弦值．（2）是否存在，使得折疊后長度與折疊前的長度之比為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．廈泉五校2024-2025學(xué)年高二年級第一學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（考試時間：120分鐘滿分：150分命題人：高玉華審核人：黃文根）試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分第I卷（選擇題，共58分）一、單選題:（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標運算求值即可.【詳解】因為.故選：B2.橢圓上一點P到左焦點的距離為6，則P到右焦點的距離為（）A.5 B.6 C.4 D.12【答案】C【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義求解即得.【詳解】由，則，所以，根據(jù)橢圓的定義，點到右焦點的距離為.故選：C.3.“”是“直線與圓：相切”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分條件也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)相切關(guān)系可得或，結(jié)合充分、必要條件分析判斷.【詳解】圓：的圓心為，半徑為，若直線與圓相切，則，解得或，且是的真子集，所以“”是“直線與圓：相切”的充分不必要條件．故選：A.4.下列命題中，不正確的命題是（）A.空間中任意兩個向量一定共面B.若，則存在唯一的實數(shù)，使得C.對空間中任一點O和不共線的三點A，B，C，若，則P，A，B，C四點共面D.若是空間的一個基底，，則也是空間的一個基底【答案】B【解析】【分析】根據(jù)共面向量、向量平行、四點共面、基底等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，空間中任意兩個向量可以通過平移的方法平移到同一個平面，所以空間中任意兩個向量一定共面，A選項正確.B選項，若，可能是非零向量，是零向量，此時不存在，使，所以B選項錯誤.C選項，對于，有，所以四點共面，所以C選項正確.D選項，若是空間的一個基底，，假設(shè)，，則共面，與已知矛盾，所以不共面，所以是基底，所以D選項正確.故選：B5.平行六面體的底面是邊長為2的正方形，且，，為，的交點，則線段的長為（）A. B. C.3 D.【答案】A【解析】【分析】由平方即可求解.【詳解】由題意可知：，則，所以.故選：A.6.在平面直角坐標系中，直線：被圓：截得的最短弦的長度為（）A. B.2 C. D.4【答案】C【解析】【分析】先求出直線過定點，由圓的幾何性質(zhì)可知，當(dāng)直線時，弦長最短，求解即可.【詳解】直線：過定點，圓：，圓心，半徑因為點在圓內(nèi)，由圓的幾何性質(zhì)可知，當(dāng)直線時，弦長最短為，故選：C7.已知分別為橢圓的兩個焦點，是橢圓上的點，，且，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用橢圓的定義結(jié)合勾股定理，易得等式求出離心率.【詳解】由橢圓定義得：，又因為，所以解得：，再由于，，結(jié)合勾股定理可得：，解得，所以橢圓的離心率為，故選：C.8.如圖是一個棱數(shù)為，棱長為的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，可以看成是由一個正方體截去八個一樣的四面體所得.若點為線段上的動點，則直線與直線所成角的余弦值的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】在原正方體中建立空間直角坐標系，由空間向量求解【詳解】由題意得該幾何體有6個面為邊長為的正方形，8個面為邊長為的等邊三角形，在原正方體中建立如圖所示空間直角坐標系，原正方體邊長為2，則，，，設(shè)，，，則直線DE與直線AF所成角的余弦值，而，故，，故選：C.二、多選題：（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．）9.空間直角坐標系中，已知，，下列結(jié)論正確的有（）A. B.點關(guān)于平面對稱的點的坐標為C.若，則 D.若，，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)空間向量的坐標運算計算判斷A．由對稱點的性質(zhì)判斷B，由向量的數(shù)量積是否為0判斷C，由向量平行的坐標表示求參判斷D，【詳解】由題意，A正確；關(guān)于平面對稱的點的坐標坐標相同，坐標相反，因此點關(guān)于平面對稱的點的坐標為，B錯，若，則，所以，C正確；若且，則，解得，D正確，故選：ACD．10.如圖，在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)，G分別為棱，，的中點，則（）A.直線與所成角的余弦值為 B.點F到直線的距離為1C.平面 D.點到平面的距離為【答案】BC【解析】【分析】建系，利用空間向量求異面直線夾角、點到線的距離、判斷線面垂直以及點到面的距離.【詳解】如圖，以坐標原點建立空間直角坐標系，

則，且E，F(xiàn)，G分別為棱，，的中點，可知，可得，對于選項A：因，所以直線與所成角的余弦值為，故A錯誤；對于選項B：因為在方向上的投影向量的模長為，且，點F到直線的距離為，故B正確；對于選項C：因為，可得，且，平面，所以平面，故C正確；對于選項D：因為平面的法向量可以為，點到平面的距離為，故D錯誤；故選：BC.11.已知橢圓，分別為它的左右焦點，A，B分別為它的左右頂點，點P是橢圓上的一個動點，下列結(jié)論中正確的有（）A.存在P使得 B.橢圓C的弦MN被點平分，則C.，則的面積為9 D.直線PA與直線PB斜率乘積為定值【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)余弦定理結(jié)合余弦定理求出范圍判斷A；根據(jù)點差法求中點弦的斜率判定B；根據(jù)勾股定理和面積公式求解判斷C；根據(jù)斜率公式及點P在橢圓上求解斜率之積判斷D.【詳解】對于A.由余弦定理知，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因為在上遞減，所以此時為鈍角最大，所以存在P使得，所以A正確；對于B.當(dāng)直線MN的斜率不存在，即直線時，，不是線段MN的中點，所以直線MN的斜率存在.設(shè)，則，兩式相減并化簡得，所以，所以B正確；對于C.，，因為，所以，因為，解得.因為，所以，所以C正確；對于D.，設(shè)，則，整理得，可得直線PA，PB的斜率分別為，所以，所以D錯誤.故選：ABC.第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）三、填空題:(本題共3小題，每小題5分，共15分.)12.已知直線的一個方向向量為，則直線的斜率為_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)直線的方向向量與直線斜率之間的關(guān)系分析求解即可.【詳解】由題意可知，直線的斜率為.故答案為：.13.已知F為橢圓的一個焦點，點M在C上，O為坐標原點，若，則的面積為________．【答案】##【解析】【分析】法一：直接設(shè)出坐標為，利用在橢圓上以及得到關(guān)于的方程組，從而解出，進而求出的面積.法二：利用，推導(dǎo)出與兩焦點構(gòu)成的三角形為直角三角形，再求出該直角三角形面積，從而利用幾何關(guān)系得出的面積.【詳解】法一：設(shè)橢圓上，則，又，聯(lián)立解得，，則．法二：設(shè)橢圓的另一焦點，，則焦點為直角三角形，設(shè)，，則，，解得，所以.則．故答案為：114.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯（約公元首262～公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，著作中這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)（且）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓，已知點，，圓，在圓上存在點滿足，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】設(shè)Px,y，根據(jù)求出點的軌跡方程，根據(jù)題意可得兩個圓有公共點，根據(jù)圓心距大于或等于半徑之差的絕對值小于或等于半徑之和，解不等式即可求解.【詳解】設(shè)Px,y，因為點，，，所以，即，所以，可得圓心，半徑，由圓可得圓心，半徑，因為在圓上存在點滿足，所以圓與圓有公共點，所以，整理可得：，解得，所以實數(shù)的取值范圍是，故答案為：.四、解答題:(本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)15.已知的頂點，邊上的高所在直線為，為中點，且所在直線方程為.（1）求邊所在的直線方程；（2）求頂點的坐標.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用垂直關(guān)系求出直線的斜率，進而求出其方程.（2）求出直線的交點坐標即可.【小問1詳解】由邊上的高所在直線的斜率為1，得直線的斜率為，又直線過，所以直線的方程為，即.【小問2詳解】由直線的方程為，而頂點為直線與直線的交點，由，解得，所以點.16.已知空間三點，，．（1）求向量與夾角的余弦值；（2）求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)空間向量數(shù)量積與模長的坐標表示可得向量夾角余弦值；（2）根據(jù)夾角余弦值可得正弦值，進而可得三角形面積.【小問1詳解】由，，，則，，，，所以；【小問2詳解】由（1）得，則，所以.17.已知圓的圓心在直線上，并且經(jīng)過點，與直線相切．（1）求圓的方程；（2）經(jīng)過點的直線與圓相交于A，B兩點，若，求直線的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）設(shè)圓的方程為，由題意，列出方程組，求解得的值，即可寫出圓的方程；（2）分直線的斜率是否存在進行討論，斜率不存在時，聯(lián)立方程求出點的坐標，計算弦長驗證，斜率存在時，設(shè)的方程為，由圓心到直線的距離等于半徑求出的值即得.【小問1詳解】設(shè)圓方程為，由已知得，解得，，，所以圓的方程為，即；【小問2詳解】①若直線有斜率，可設(shè)的方程為，即，由已知，則圓心到直線的距離解得，此時，直線的方程為，即；②若直線沒有斜率，則的方程為，將其代入，可得或，即得，，滿足條件，綜上所述，直線的方程為或．18.已知橢圓C的中心在坐標原點，左焦點為F1（﹣，0），點在橢圓上.（1）求橢圓C的標準方程；（2）過點P（1，0）的直線l交橢圓C于兩個不同的點A、B，若△AOB（O是坐標原點）的面積S=，求直線AB的方程.【答案】（1）+y2=1；（2）x+y﹣1=0或x﹣y﹣1=0.【解析】【分析】（1）由已知可得橢圓的左、右焦點坐標，而點在橢圓上，所以|MF1|+|MF2|=2a，從而可求出的值，再由可求出，從而可求得橢圓C的標準方程；（2）設(shè)，由題可設(shè)直線AB的方程為x=my+1，然后將直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，消去x，利用根與系數(shù)的關(guān)系，從而可表示出△AOB的面積，列方程可求出的值，進而可得直線AB的方程.【詳解】解：（1）根據(jù)題意，設(shè)橢圓C的方程為=1（a＞b＞0），因為橢圓的左焦點為F1（﹣，0），設(shè)橢圓的右焦點為F2（，0），由橢圓的定義知|MF1|+|MF2|=2a，所以2a=4，所以a=2，所以，所以橢圓C的方程為+y2=1，（2）設(shè)，由題可設(shè)直線AB的方程為x=my+1.聯(lián)立直線與橢圓的方程，，消去x得（4+m2）y2+2my﹣3=0，則有，所以又由S=，即解得m2=1，即m=±1.故