第1講集合命題充要條件（講義）（原卷版）

第1講集合、命題、充要條件知識(shí)梳理<1>集合的有關(guān)知識(shí)1．集合的概念把某些能夠確切指定的對(duì)象全體看作一個(gè)整體，這個(gè)整體就稱為一個(gè)集合，集合中的每個(gè)對(duì)象稱為該集合的元素。任何一個(gè)對(duì)象對(duì)于某一個(gè)集合來(lái)說(shuō)，或是屬于該集合，或是不屬于該集合。集合中元素的性質(zhì)：確定性，互異性，無(wú)序性；集合的分類：有限集，無(wú)限集，空集；常用數(shù)集：正整數(shù)集，自然數(shù)集，整數(shù)集，有理數(shù)集，實(shí)數(shù)集；集合的表示法：列舉法和描述法。2.子集與真子集子集：若集合中任何一個(gè)元素都屬于集合，則集合叫做集合的子集，記作或；真子集：對(duì)于集合和，若,且中至少有一個(gè)元素不屬于，則集合叫做集合的真子集，記作相等的集合：對(duì)于兩個(gè)集合和，若，且，則叫做集合與集合相等，記作；空集是任何集合的子集，即，空集是任何非空集合的真子集；任何集合是其自身的子集，即；子集的傳遞性：若，則；若，則或；相等的集合中的所含元素完全相同；連接元素與集合的符號(hào)有：和；連接集合與集合的符號(hào)有：，，等；含有個(gè)元素的集合的子集共有個(gè),真子集有個(gè)。3.集合的運(yùn)算交集：；并集：；補(bǔ)集：；交集與并集的定義僅一字之差，但結(jié)果卻完全不同，交集中的且有時(shí)可以省略，而并集中的或不能省略，補(bǔ)集是相對(duì)于全集而言的，全集不同，相應(yīng)的補(bǔ)集也不同；交集的性質(zhì)：，，，，；并集的性質(zhì)：，，，，；，；集合的運(yùn)算滿足分配律：，；補(bǔ)集的性質(zhì)：，，；摩根定律：，；例題解析1、集合的概念、關(guān)系和運(yùn)算1）集合的概念與性質(zhì)1．（2020·上海黃浦區(qū)·格致中學(xué)高三月考）已知集合，若，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_______2．（2020·上海市崇明中學(xué)高三期中）集合用列舉法可以表示為_(kāi)__________.3．（2020·上海市松江二中高三期中）定義集合運(yùn)算：.設(shè)，，則集合的所有元素之和為_(kāi)_____.4．（2021·上海黃浦區(qū)·高三一模）已知集合，若，則___________.5．（2020·上海閔行區(qū)·高三一模）已知集合，則__________.6．（2020·上海市七寶中學(xué)高三月考）已知集合，，，則非零實(shí)數(shù)______.7．（2020·上海市崇明中學(xué)高三期中）不等式的解集為，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.8．（2020·上海閔行區(qū)·高三一模）已知集合，，則=___________.(用列舉法表示)9．（2020·寶山區(qū)·上海交大附中高三期中）設(shè)是一個(gè)循環(huán)節(jié)長(zhǎng)度為兩位的循環(huán)純小數(shù)，其中和分別為10以內(nèi)的非負(fù)整數(shù)，且，，若集合，則中所有元素的和為_(kāi)____.10．（2020·寶山區(qū)·上海交大附中高三其他模擬）已知整數(shù)數(shù)列共5項(xiàng)，其中，，且對(duì)任意，都有，則符合條件的數(shù)列個(gè)數(shù)為_(kāi)_____.11．（2020·華東師范大學(xué)附屬天山學(xué)校高三開(kāi)學(xué)考試）設(shè)M是由滿足下列性質(zhì)的函數(shù)構(gòu)成的集合：在定義域內(nèi)存在，使得成立，已知下列函數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4），其中屬于集合M的函數(shù)是____________.（寫出所有滿足要求的函數(shù)的序號(hào)）12．（2020·上海市七寶中學(xué)高三其他模擬）已知，表示小于的最大整數(shù)，，令，則中元素之和為_(kāi)_______.2）集合的關(guān)系1．（2020·上海市崇明中學(xué)高三期中）已知命題“若，則”是真命題，集合滿足，集合滿足.下列判斷正確的是（）A． B． C． D．2．（2021·上海華師大二附中高三月考）已知全集，，是的非空子集，且，則必有（）A． B． C． D．3．（2020·上海高三專題練習(xí)）符合關(guān)系的集合A的個(gè)數(shù)為（）A．5 B．6 C．7 D．84．（2020·上海普陀區(qū)·高三月考）已知常數(shù)，不等式的解集為，不等式的解集為，則下列關(guān)系式中不可能成立的是（）A． B． C． D．5．（2020·上海浦東新區(qū)·華師大二附中高三月考）已知非空集合M滿足：對(duì)任意，總有，且，若，則滿足條件的M的個(gè)數(shù)是A．11 B．12 C．15 D．166．（2020·上海普陀區(qū)·高三一模）設(shè)集合，，若?，則對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)對(duì)有A．對(duì) B．對(duì) C．對(duì) D．對(duì)7．（2020·上海市行知中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）若、，點(diǎn)集，，，則（）A． B． C． D．以上皆錯(cuò)8．（2020·上海崇明區(qū)·高三二模）已知函數(shù)，記集合，集合，若，且都不是空集，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題9．（2020·上海黃浦區(qū)·格致中學(xué)高三月考）已知集合，若，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_______10．（2020·上海市崇明中學(xué)高三期中）集合用列舉法可以表示為_(kāi)__________.11．（2020·上海市松江二中高三期中）定義集合運(yùn)算：.設(shè)，，則集合的所有元素之和為_(kāi)_____.12．（2020·上海崇明區(qū)·高三月考）已知或，或，如果是的必要非充分條件，那么實(shí)數(shù)的取值的集合為_(kāi)_______13．（2020·徐匯區(qū)·上海中學(xué)高三期中）對(duì)于非空集合（，），其所有元素的幾何平均數(shù)記為，即，若非空集合滿足以下兩個(gè)條件：①；②，則稱為的一個(gè)“保均值真子集”；據(jù)此，集合的“保均值真子集”有________個(gè)14．（2021·上海金山區(qū)·高三一模）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.15．（2020·上海市七寶中學(xué)高三月考）已知集合，，，則非零實(shí)數(shù)______.16．（2020·上海市崇明中學(xué)高三期中）不等式的解集為，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.17．（2020·上海閔行區(qū)·高三一模）已知集合，，則=___________.(用列舉法表示)18．（2021·上海楊浦區(qū)·高三二模）非空集合中所有元素乘積記為.已知集合，從集合的所有非空子集中任選一個(gè)子集，則為偶數(shù)的概率是__________．（結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）19．（2020·上海市七寶中學(xué)高三其他模擬）已知，表示小于的最大整數(shù)，，令，則中元素之和為_(kāi)_______.20．（2020·上海市崇明中學(xué)高三期中）已如全集為，集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的范圍.21．（2020·上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)高三期中）已知，.（1）若m=3，求；（2）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.3）集合的運(yùn)算一、單選題1．（2020·上海市新場(chǎng)中學(xué)高三月考）設(shè)全集，，，則（）A． B． C． D．2．（2020·上海青浦區(qū)·高三一模）設(shè)函數(shù)，其中是實(shí)數(shù)集的兩個(gè)非空子集，又規(guī)定，，則下列說(shuō)法：（1）一定有；（2）若，則；（3）一定有；（4）若，則.其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．43．（2020·上海黃浦區(qū)·格致中學(xué)高三期中）設(shè)集合中至少兩個(gè)元素，且滿足：①對(duì)任意，若，則，②對(duì)任意，若，則，下列說(shuō)法正確的是（）A．若有2個(gè)元素，則有3個(gè)元素B．若有2個(gè)元素，則有4個(gè)元素C．存在3個(gè)元素的集合，滿足有5個(gè)元素D．存在3個(gè)元素的集合，滿足有4個(gè)元素4．（2020·上海市建平中學(xué)高三期中）設(shè)定義在上的函數(shù)的值域?yàn)?，若集合為有限集，且?duì)任意，存在使得，則滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．5 C．7 D．無(wú)窮個(gè)二、填空題5．（2020·上海交通大學(xué)附屬中學(xué)浦東實(shí)驗(yàn)高中高三期中）已知全集，集合或，則________．6．（2020·上海虹口區(qū)·高三一模）已知集合，，則___________.7．（2020·上海嘉定區(qū)·高三一模）已知集合，，則___________.8．（2020·上海市洋涇中學(xué)高三期中）已知，則__________.9．（2020·上海浦東新區(qū)·高三一模）已知集合，，則=________．10．（2021·上海徐匯區(qū)·位育中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）設(shè)，，則________.11．（2021·長(zhǎng)寧區(qū)·上海市延安中學(xué)高三期中）已知全集，集合，集合，則________.12．（2021·上海普陀區(qū)·高三二模）設(shè)全集，若集合，則___________．13．（2021·上海高三二模）集合，，則等于_______________．14．（2021·上海金山區(qū)·高三二模）已知集合，集合，若，則=_______15．（2021·上海高三二模）已知集合，，則___________.16．（2020·上海徐匯區(qū)·高三一模）設(shè)集合，則__________．三、解答題17．（2020·華東師范大學(xué)附屬天山學(xué)校高三開(kāi)學(xué)考試）已知A=x|18．（2020·上海）設(shè)復(fù)數(shù)集合，求集合中元素的模的范圍．19．（2020·上海市松江二中高三期中）已知，.（1）求；（2）已知集合，，，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（2020·上海市行知中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）定義：有限非空數(shù)集的所有元素的“乘積”稱為數(shù)集的“積數(shù)”，例如：集合，其“積數(shù)”.（1）若有限數(shù)集，求證：集合的所有非空子集的“積數(shù)”之和滿足；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，對(duì)于有限非空數(shù)集（），記集合A的所有非空子集的“積數(shù)”之和，試寫出的表達(dá)式，并利用“數(shù)學(xué)歸納法”給予證明；（3）若有限集，①試求由中所有奇數(shù)個(gè)元素構(gòu)成的非空子集的“積數(shù)”之和奇數(shù)；②試求由中所有偶數(shù)個(gè)元素構(gòu)成的非空子集的“積數(shù)”之和偶數(shù).知識(shí)梳理<2>命題的有關(guān)知識(shí)1.命題：能夠判斷真假的陳述句叫命題。分類：真命題和假命題;簡(jiǎn)單命題和復(fù)合命題。命題和命題真命題假命題如果，并且，那么記作，叫做與等價(jià)2.四種命題形式：規(guī)定命題的否定形式為原命題：逆命題：否命題：逆否命題：注：常見(jiàn)結(jié)論的否定形式：（拓展內(nèi)容）原結(jié)論否定形式原結(jié)論否定形式是不是至少有一個(gè)沒(méi)有都是不都是至多有一個(gè)至少有二個(gè)大于小于或等于至少有個(gè)至多有1個(gè)小于大于或等于至多有個(gè)至少有+1個(gè)對(duì)所有的成立存在不成立或非且非對(duì)任何的不成立存在成立且非或非3.復(fù)合命題的真值（真值表如下）“非p”形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示：p非p真假假真“p且q”形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示：pqp且q真真真真假假假真假假假假“p且q”形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示：pqP或q真真真真假真假真真假假假4.四種命題的關(guān)系：原命題與逆否命題是等價(jià)的，即同真同假<3>充分條件與必要條件:若成立，則稱為的充分條件，為的必要條件若既有成立，又有成立，則稱、互為充要條件。證明：①充分性：②必要性：<4>子集與推出關(guān)系：設(shè)若，則的充分條件；若，則的必要條件；若，則的充分非必要條件；若，則的必要非充分條件；若，則的充要條件例題解析2、命題的形式和充要條件 1）命題的形式1．（2020·浦東新區(qū)·上海師大附中高三期中）下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是（）①的反函數(shù)是；②，的反函數(shù)是，；③，的反函數(shù)是，；④已知函數(shù)，若存在，，且，使成立，則.A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)2．（2020·上海楊浦區(qū)·高三二模）設(shè)是2020項(xiàng)的實(shí)數(shù)數(shù)列，中的每一項(xiàng)都不為零，中任意連續(xù)11項(xiàng)的乘積是定值.①存在滿足條件的數(shù)列，使得其中恰有365個(gè)1；②不存在滿足條件的數(shù)列，使得其中恰有550個(gè)1.命題的真假情況為（）A．①和②都是真命題 B．①是真命題，②是假命題C．②是真命題，①是假命題 D．①和②都是假命題3．（2021·上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三開(kāi)學(xué)考試）已知集合M、P都是非空集合，若命題“M中的元素都是P中的元素”是假命題，則下列必定為真命題的是（）A． B．M中至多有一個(gè)元素不屬于PC．P中有不屬于M的元素 D．M中有不屬于P的元素4．（2021·上海靜安區(qū)·高三一模）已知，命題：若，則且的逆否命題是__．5．（2020·上海市建平中學(xué)高三月考）設(shè)常數(shù)，命題“存在，使”為假命題，則a的取值范圍為_(kāi)________.6．（2020·上海市行知中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）定義：若對(duì)非空數(shù)集中任意兩個(gè)元素、，實(shí)施“加減乘除”運(yùn)算（如、、、），其結(jié)果仍然是P中的元素，則稱數(shù)集是一個(gè)“數(shù)域”.下列四個(gè)命題：①有理數(shù)集是數(shù)域；②若有理數(shù)集，則數(shù)集是數(shù)域；③數(shù)域必是無(wú)限集；④存在無(wú)窮多個(gè)數(shù)域；上述命題錯(cuò)誤的序號(hào)是_________.2）充要條件1．（2021·上海高三二模）已知???都是非零實(shí)數(shù)，成立的充要條件是（）A． B．C． D．2．（2021·上海高三二模）已知函數(shù)，則“”是“為偶函數(shù)”的（）條件A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件3．（2021·上海普陀區(qū)·高三二模）設(shè)是兩個(gè)不重合的平面，是兩條不重合的直線，則“”的一個(gè)充分非必要條件是（）A．，且， B．，，且 C．，且 D．，，且4．（2021·上海楊浦區(qū)·高三二模）若，是虛數(shù)單位，則“”是“為純虛數(shù)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．（2021·上海高三二模）設(shè)，表示兩個(gè)不同的平面，表示一條直線，且，則是的（）A．充分而不必要條件 B．充分必要條件C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件6．（2021·上海華師大二附中高三月考）“是“直線與直線平行”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充要條件7．（2021·上海徐匯區(qū)·位育中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）“數(shù)列和數(shù)列極限都存在”是“數(shù)列和數(shù)列極限都存在”的（）條件A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．非充分非必要8．（2021·上海高三二模）設(shè)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．（2021·長(zhǎng)寧區(qū)·上海市延安中學(xué)高三期中）設(shè)，則是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件10．（2021·上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三開(kāi)學(xué)考試）無(wú)窮等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，前項(xiàng)和為，則“”是“為遞增數(shù)列”的A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要簡(jiǎn)單的邏輯關(guān)聯(lián)詞1．（2016·上海閔行區(qū)·閔行中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）給出下列四個(gè)命題：①兩根均為實(shí)數(shù)的一元二次方程一定是實(shí)系數(shù)方程；②已知曲線:和兩定點(diǎn)?,若是上的動(dòng)點(diǎn),則；③設(shè)是定義在上的函數(shù),且對(duì)任意的,恒成立,則是上的奇函數(shù)或偶函數(shù)；④設(shè)?均是定義在上的函