專題9-3排列組合19種歸類（理）（講練）-2023年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

專題93排列組合19種歸類目錄TOC\o"11"\h\u講高考 1題型全歸納 3【題型一】基礎(chǔ)方法1：人坐座位 3【題型二】基礎(chǔ)模型2：球放盒子 4【題型三】基本方法3：插書保序型 5【題型四】基本模型4：最短路徑字母化法 7【題型五】基礎(chǔ)方法5：相同元素法 9【題型六】基礎(chǔ)方法6：相鄰與不相鄰型 10【題型七】小大順序型 12【題型八】左右鞋配對型 14【題型九】放球與盒子編號 16【題型十】平均分組型 17【題型十一】染色型 19【題型十二】立體幾何型染色 21【題型十三】邏輯電路型 23【題型十四】斐波那契數(shù)列型 25【題型十五】空座位型 27【題型十六】函數(shù)解析幾何型 28【題型十七】不定方程型 29【題型十八】數(shù)列中的排列組合 30【題型十九】綜合難題 33專題訓(xùn)練 36講高考1．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）現(xiàn)從4名男生和3名女生中，任選3名男生和2名女生，分別擔(dān)任5門不同學(xué)科的課代表，則不同安排方法的種數(shù)是（

）A．12 B．120 C．1440 D．17280【答案】C【分析】首先選3名男生和2名女生，再全排列，共有種不同安排方法.【詳解】首先從4名男生和3名女生中，任選3名男生和2名女生，共有種情況，再分別擔(dān)任5門不同學(xué)科的課代表，共有種情況.所以共有種不同安排方法.故選：C2．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）在的二項(xiàng)展開式中，第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題可通過二項(xiàng)式系數(shù)的定義得出結(jié)果.【詳解】第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，故選：A.3．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）現(xiàn)有5位老師，若每人隨機(jī)進(jìn)入兩間教室中的任意一間聽課，則恰好全都進(jìn)入同一間教室的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用古典概型概率公式，結(jié)合分步計數(shù)原理，計算結(jié)果.【詳解】5位老師，每人隨機(jī)進(jìn)入兩間教室中的任意一間聽課，共有種方法，其中恰好全都進(jìn)入同一間教室，共有2種方法，所以.故選：B4．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個項(xiàng)目，每個項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（

）A．60種 B．120種 C．240種 D．480種【答案】C【分析】先確定有一個項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，然后利用組合，排列，乘法原理求得.【詳解】根據(jù)題意，有一個項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2人，組成一個小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四個元素，四個項(xiàng)目看成四個不同的位置，四個不同的元素在四個不同的位置的排列方法數(shù)有4！種，根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有種不同的分配方案，故選：C.5．（2021·全國·高考真題）將3個1和2個0隨機(jī)排成一行，則2個0不相鄰的概率為（

）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8【答案】C【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.【詳解】解：將3個1和2個0隨機(jī)排成一行，可以是：，共10種排法，其中2個0不相鄰的排列方法為：，共6種方法，故2個0不相鄰的概率為，故選：C.6．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）將4個1和2個0隨機(jī)排成一行，則2個0不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】將4個1和2個0隨機(jī)排成一行，可利用插空法，4個1產(chǎn)生5個空，若2個0相鄰，則有種排法，若2個0不相鄰，則有種排法，所以2個0不相鄰的概率為.故選：C.題型全歸納【題型一】基礎(chǔ)方法1：人坐座位【講題型】例題1.一排11個座位，現(xiàn)安排甲、乙2人就座，規(guī)定中間的3個座位不能坐，且2人不能相鄰，則不同排法的種數(shù)是（

）A．28 B．32 C．38 D．44【答案】D【分析】根據(jù)甲、乙兩人在三個空位同側(cè)與異側(cè)進(jìn)行分類，分別求解，再利用分類加法原理進(jìn)行求值.【詳解】根據(jù)兩人在三個空位同側(cè)與異側(cè)進(jìn)行分類，當(dāng)甲、乙兩人在三個空位左側(cè)時：共（種），同理，當(dāng)甲、乙兩人在三個空位右側(cè)時：共（種），當(dāng)甲、乙兩人在三個空位異側(cè)時：共（種），即共（種），故選：D.例題2.．2022年2月4日北京冬奧會順利開幕.在開幕式當(dāng)晚，周明約李亮一家一起觀看.周明一家四口相鄰而坐，李亮一家四口也相鄰而坐，已知他們兩家人的8個座位連在一起（在同一排且一人一座），且周明與李亮也相鄰而坐，則他們不同的坐法有（

）A．432種 B．72種 C．1152種 D．144種【答案】B【分析】依題意周明與李亮只能坐中間兩個位置，先安排周明與李亮的座位，再安排周明家其余人與李亮家其余人的座位，按照分步乘法計數(shù)原理計算可得.【詳解】解：依題意周明與李亮坐中間兩個位置，則有種坐法，此時周明家其余人有種坐法，同理李亮家其余人有種坐法，所以他們不同的坐法有種.故選：B【講技巧】人坐座位，要考慮以下情況：一人一位；2、有順序；3、座位可能空；4、人是否都來？來的是誰；5、必要時，座位拆遷，剩余空座位隨人排列【練題型】1.現(xiàn)有一圓桌，周邊有標(biāo)號為1，2，3，4的四個座位，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)坐在一起探討一個數(shù)學(xué)課題，每人只能坐一個座位，甲先選座位，且甲、乙不能相鄰，則所有選座方法有（

）．A．6種 B．8種 C．12種 D．16種【答案】B【分析】甲比較特殊，先安排甲，隨著甲的安排乙也確定了，然后剩下位置給丙丁即可.【詳解】先安排甲，其選座方法有種，由于甲、乙不能相鄰，所以乙只能坐甲對面，而丙、丁兩位同學(xué)坐另兩個位置的坐法有種，所以共有坐法種數(shù)為種．故選：B．2．共有編號分別為1，2，3，4，5的五個座位，在甲同學(xué)不坐2號座位，乙同學(xué)不坐5號座位的條件下，甲、乙兩位同學(xué)的座位號相加是偶數(shù)的概率為A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出事件：甲同學(xué)不坐2號座位，乙同學(xué)不坐5號座位的基本事件的總數(shù)，再求得事件：甲、乙兩位同學(xué)的座位號相加是偶數(shù)包含事件的個數(shù)，然后代入古典概型的概率公式即可．【詳解】事件：甲同學(xué)不坐2號座位，乙同學(xué)不坐5號座位包含的基本事件為（1,2）、（1,3）、（1,4）、（3、1）、（3,2）、(3,4)、（4,1）、（4,2）、（4,3）、（5,1）（5,2）、（5,3）、（5,4），共13種情況．事件：甲、乙兩位同學(xué)的座位號相加是偶數(shù)包含（1,3）、（3、1）、（4,2）、（5,1）、（5,3）共5種情況，所以該事件發(fā)生的該.故選B.【題型二】基礎(chǔ)模型2：球放盒子【講題型】例題1.將4個不同的球放到3個不同的盒子里，每個盒子中至少放一個球，則放法種數(shù)有（

）．A．72 B．60 C．48 D．36【答案】D【分析】先分組共有種分組方法，然后分配，有種，由分步計數(shù)原理可得結(jié)果．【詳解】先分組共有種分組方法，然后分配，有種，由分步計數(shù)原理得有種放法．故選：D．例題2.將7個相同的球放入4個不同的盒子中，則每個盒子都有球的放法種數(shù)為（

）A．22 B．25 C．20 D．48【答案】C【分析】將7個相同的球放入4個不同的盒子中，即把7個相同的球分成4組，不妨將7個球擺成一排，中間形成6個空，只需在這6個空插入3個隔板將它們隔開，即分成4組，據(jù)此即可的解.【詳解】解：將7個相同的球放入4個不同的盒子中，即把7個相同的球分成4組，因?yàn)槊總€盒子都有球，所以每個盒子至少又一個球，不妨將7個球擺成一排，中間形成6個空，只需在這6個空插入3個隔板將它們隔開，即分成4組，不同插入方法共有種，所以每個盒子都有球的放法種數(shù)為20.故選：C.【講技巧】球放盒子，要考慮以下情況是否存在：類型一：球不同，盒子不同（主要的）類型二：球相同，盒子不同方法技巧：不受限制，則指數(shù)冪形式，受限制，則“先分組再排列”【練題型】1.7個相同的小球放入，，三個盒子，每個盒子至少放一球，共有（

）種不同的放法．A．60種 B．36種 C．30種 D．15種【答案】D【分析】7個小球有6個空，采用插空法可求.【詳解】將7個小球分成三組即可，可采用插空法，7個小球有6個空，則有種不同的方法.故選：D.2．將A，B，C，D四個小球放入編號為1，2，3的三個盒子中，若每個盒子中至少放一個球且A，B不能放入同一個盒子中，則不同的放法種數(shù)為（

）A．15 B．30 C．20 D．42【答案】B【分析】按照放入同一盒子的球進(jìn)行分類，最后由分類加法計數(shù)原理計算即可.【詳解】當(dāng)放入一個盒子的是時，有種不同的放法當(dāng)放入一個盒子的是時，有種不同的放法當(dāng)放入一個盒子的是時，有種不同的放法當(dāng)放入一個盒子的是時，有種不同的放法當(dāng)放入一個盒子的是時，有種不同的放法則共有種不同的放法故選：B3．3．把3個相同的紅球和2個不同的白球放在四個不同的盒子中，每個盒子中至少放一個球，則不同的放法有（

）A．24 B．28 C．48 D．52【答案】D【分析】分兩種情況討論：一、2個不同的白球放在一個盒子里，其他3個相同的紅球分別放在其他三個盒子中，一個盒子放一個球；二、2個不同的白球分別放在四個盒子中的兩個，且各放一個球，其余兩個盒子中各放1個紅球，最后1個紅球從四個盒子中選一個來放.【詳解】解：由題意，5個球放在四個不同的盒子中，每個盒子中至少放一個球，則有一個盒子放2個球，有三個盒子分別各放1個球，又5個球?yàn)?個相同的紅球和2個不同的白球，則分兩種情況討論：一、2個不同的白球放在一個盒子里，其他3個相同的紅球分別放在其他三個盒子中，一個盒子放一個球，有種放法；二、2個不同的白球分別放在四個盒子中的兩個，且各放一個球，其余兩個盒子中各放1個紅球，最后1個紅球從四個盒子中選一個來放，有種放法；綜上，共有種放法.故選：D.【題型三】基本方法3：插書保序型【講題型】例題1.某校高一學(xué)生進(jìn)行演講比賽，原有5名同學(xué)參加比賽，后又增加兩名同學(xué)參賽，如果保持原來5名同學(xué)比賽順序不變，那么不同的比賽順序有（

）A．12種 B．30種 C．36種 D．42種【答案】D【分析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可求出結(jié)果.【詳解】將第6名同學(xué)放到原來5名同學(xué)形成的6個空中，有6種放法；將第7名同學(xué)放到已經(jīng)排好的6名同學(xué)形成的7個空中，有7種放法，故不同的比賽順序共有種.故選：D例題2.班會課上原定有3位同學(xué)依次發(fā)言，現(xiàn)臨時加入甲，乙2位同學(xué)也發(fā)言，若保持原來3位同學(xué)發(fā)言的相對順序不變，且甲，乙的發(fā)言順序不能相鄰，則不同的發(fā)言順序種數(shù)為（

）A．6 B．12 C．18 D．24【答案】B【分析】根據(jù)題意可知在原來三位同學(xué)的發(fā)言順序一定時，他們之間會形成個空位，插入甲，乙2位同學(xué)，由此即可求出結(jié)果.【詳解】在原來三位同學(xué)的發(fā)言順序一定時，他們之間會形成個空位，插入甲，乙2位同學(xué)有種.故選：B.【講技巧】插書保序型，主要是保持某些元素的順序不改變，增加新元素的種數(shù)，要考慮以下情況：（1）書架上原有書的順序不變；（（2）新書要一本一本插；【練題型】1.為引領(lǐng)廣大家庭和少年兒童繼承黨的光榮傳統(tǒng)、弘揚(yáng)黨的優(yōu)良作風(fēng)，進(jìn)一步增強(qiáng)聽黨話、感黨恩、跟黨走的思想自覺性和行動自覺性，某市文明辦舉行“少年兒童心向黨”主題活動，獻(xiàn)禮中國共產(chǎn)黨成立100周年原定表演6個節(jié)目，已排成節(jié)目單，開演前又臨時增加了2個互動節(jié)目．如果保持原節(jié)目的順序不變，那么不同排法的種數(shù)為（

）A．42 B．56 C．30 D．72【答案】B【分析】結(jié)合倍縮法即可解決部分定序問題.【詳解】增加2個互動節(jié)目后，一共有8個節(jié)目，這8個節(jié)目的不同排法有種，而原有的6個節(jié)目對應(yīng)的不同排法有種，所以不同的排法有（種）．故選：B.2.書架上某一層有5本不同的書，新買了3本不同的書插進(jìn)去，要保持原來5本書的順序不變，則不同的插法種數(shù)為（

）.A．60 B．120 C．336 D．504【答案】C【分析】依據(jù)分步計數(shù)原理即可求得不同的插法種數(shù).【詳解】將新買的3本書逐一插進(jìn)去：第1本書插入5本書形成的6個空隙中的1個，有6種插法；第2本書插入6本書形成的7個空隙中的1個，有7種插法；最后1本書插入7本書形成的8個空隙中的1個，有8種插法.由分步乘法計數(shù)原理，知不同的插法種數(shù)為6×7×8=336.故選：C3.書架上某層有6本不同的書，新買了3本不同的書插進(jìn)去，要保持原來6本書的原有順序，則不同的插法共有______種．【答案】504【分析】把原來6本書和新買的3本書看成9個位置，將3本新書放入其中個位置即可得．【詳解】把書架上這一層欲排的9本書看成9個位置，將新買的3本書放入這9個位置中的3個，其余的6本書按著原來順序依次放入，因此插法種數(shù)為．故答案為：504【題型四】基本模型4：最短路徑字母化法【講題型】例題1.如圖，小明從街道的處出發(fā)，先到處與小紅會合，再一起到位于處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為（）A．24 B．18 C．12 D．35【答案】B【分析】利用組合數(shù)以及分步乘法計數(shù)原理即可求解.【詳解】從到，每條東西向的街道被分成2段，每條南北向的街道被分成2段，從到最短的走法，無論怎樣走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每種最短走法，即是從4段中選出2段走東向的，選出2段走北向的，故共有種走法.同理從到，最短的走法，有種走法.∴小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為種走法.所以B選項(xiàng)是正確的.故選：B例題2.如圖，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿著水平面的線條爬行到點(diǎn)，再由點(diǎn)沿著置于水平面的正方體的棱爬行至頂點(diǎn)，則它可以爬行的不同的最短路徑有（

）條A．40 B．60 C．80 D．120【答案】B【詳解】試題分析：螞蟻從到需要走五段路，其中三縱二豎，共有條路徑，從到共有條路徑，根據(jù)分步計數(shù)乘法原理可知，螞蟻從到可以爬行的不同的最短路徑有條，故選B.考點(diǎn)：分步計數(shù)乘法原理.【講技巧】類似這類左右上下移動的最短距離，可以把移動方向看做字母，比如，向右是字母A，向上是字母B，則移動幾步就是幾個A，與B相同元素排列字母化法：標(biāo)記元素為數(shù)字或字母，重新組合，特別適用于“相同元素”【練題型】1.如圖，小芳從街道B處出發(fā)先到C處與小明會合，再一起到位于D處的社區(qū)參加志愿者活動，則小芳到社區(qū)的最短路徑的條數(shù)為（

）A．9 B．12 C．18 D．24【答案】C【分析】最短路徑的條數(shù)，即橫向和縱向走法的不同組合數(shù)，由組合數(shù)公式和分步乘法計數(shù)原理進(jìn)行計算即可.【詳解】不妨設(shè)圖中向上方向?yàn)楸保蛴曳较驗(yàn)闁|，圖中最小矩形的一條邊長為1個街道，則最短路徑即通過的街道最少，從B處到D處，共需2個步驟：第1步，從B處到C處，最短路徑為向北通過1個街道和向東通過2個街道共3個街道，從3次通過的街道中，選出1次向北，其余向東，共有條路徑；第2步，從C出到D出，最短路徑為向北通過2個街道和向東通過2個街道共4個街道，從4次通過的街道中，選出2次向北，其余向東，共有條路徑，∴由分步乘法計數(shù)原理，小芳到社區(qū)的最短路徑的共有條.故選：C.2．方形是中國古代城市建筑最基本的形態(tài)，它體現(xiàn)的是中國文化中以綱常倫理為代表的社會生活規(guī)則，中國古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各種方形建筑.如圖，用大小相同的竹棍構(gòu)造一個大正方體（由個大小相同的小正方體構(gòu)成），若一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，沿著竹棍到達(dá)點(diǎn)，則螞蟻選擇的不同的最短路徑共有（

）A．種 B．種C．種 D．種【答案】D【分析】分析可知從到最少需要步完成，其中有步是橫向的，步是縱向的，步是豎向的，利用組合計數(shù)原理結(jié)合分步乘法計數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】由題意可知，從到最少需要步完成，其中有步是橫向的，步是縱向的，步是豎向的，則螞蟻選擇的不同的最短路徑共有種.故選：D.3．夏老師從家到學(xué)校，可以選擇走錦繡路、楊高路、張楊路或者浦東大道，由于夏老師不知道楊高路有一段在修路導(dǎo)致第一天上班就遲到了，所以夏老師決定以后要繞開那段維修的路，如圖，假設(shè)夏老師家在處，學(xué)校在處，段正在修路要繞開，則夏老師從家到學(xué)校的最短路徑有（

）條．A．23 B．24 C．25 D．26【答案】D【分析】先求出由到的最短路徑的條數(shù)，然后求出由到且經(jīng)過的最短路徑的條數(shù)，最后相減即可.【詳解】由到的最短路徑需要向右走四段路，向上走三段路，所以有條路，由到的最短路徑需要向右走兩段路，向上走一段路，所以有條路，由到的最短路徑需要向右走一段路，向上走兩段路，所以有條路，所以由到不經(jīng)過的最短路徑有.故選：D.【題型五】基礎(chǔ)方法5：相同元素法【講題型】例題1.的展開式為多項(xiàng)式，其展開式經(jīng)過合并同類項(xiàng)后的項(xiàng)數(shù)一共有（

）A．72項(xiàng) B．75項(xiàng) C．78項(xiàng) D．81項(xiàng)【答案】C【分析】由多項(xiàng)式展開式中的項(xiàng)為，即，將問題轉(zhuǎn)化為將2個隔板和11個小球分成三組，應(yīng)用組合數(shù)求項(xiàng)數(shù)即可.【詳解】由題設(shè)，多項(xiàng)式展開式各項(xiàng)形式為且，故問題等價于將2個隔板和11個小球分成三組，即.故選：C例題2.把6個相同的小球放入4個不同的箱子中，每個箱子都不空，共有多少種放法（

）A．10種 B．種 C．種 D．60種【答案】A【分析】采用隔板法，在個空中插入塊板，根據(jù)組合數(shù)公式計算可得；【詳解】解：依題意，采用隔板法，在個空中插入塊板，則不同的放法共有種；故選：A【講技巧】相同元素，一般多以“三好學(xué)生”指標(biāo)分配，相同小球方盒子等題型出現(xiàn)，可以有兩種思維方法：1.擋板法2.字母化法【練題型】1.把5個相同的小球分給3個小朋友，使每個小朋友都能分到小球的分法有（

）A．4種 B．6種 C．21種 D．35種【答案】B【分析】元素相同問題用隔板法.【詳解】利用隔板法：由題可知使每個小朋友都能分到小球的分法有種.故選：.2.某高級中學(xué)將2022年獲得省級表彰的6個三好學(xué)生的名額分給本校高三年級的4個班級，則這4個班級中每個班級至少獲得一個三好學(xué)生名額的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將6個名額隨機(jī)分配給高三年級4個班級，分4種情況①0個，0個，0個，6個，②0個，0個，1個，5個或者0個，0個，2個，4個，或者0個，0個，3個，3個③0個，1個，1個，4個名額，或者0個，1個，2個，3個，或者0個，2個，2個，2個，④1個，1個，1個，3個，或者1個，1個，2個，2個，再利用古典概型的概率求解.【詳解】將6個名額隨機(jī)分配給高三年級4個班級，一共會出現(xiàn)以下4種情況：①6個名額分到1個班，4個班級分別獲得0個，0個，0個，6個名額，共有種分配方案；②6個名額分到2個班，4個班級分別獲得0個，0個，1個，5個名額，或者獲得0個，0個，2個，4個名額，或者獲得0個，0個，3個，3個名額，共有種分配方案；③6個名額分到3個班，4個班級分別獲得0個，1個，1個，4個名額，或者獲得0個，1個，2個，3個名額，或者獲得0個，2個，2個，2個名額，共有種分配方案；④6個名額分到4個班，4個班級分別獲得1個，1個，1個，3個名額，或者獲得1個，1個，2個，2個名額，共有種分配方案；所以6個名額隨機(jī)分配給高三年級4個班級，一共出現(xiàn)4＋30＋40＋10＝84種分配方案，其中這4個班級中每個班級至少獲得一個三好學(xué)生名額有10種分配方案，所以每個班級至少獲得一個三好學(xué)生名額的概率．故選：B．7個相同的小球放入，，三個盒子，每個盒子至少放一球，共有（

）種不同的放法．A．60種 B．36種 C．30種 D．15種【答案】D【分析】7個小球有6個空，采用插空法可求.【詳解】將7個小球分成三組即可，可采用插空法，7個小球有6個空，則有種不同的方法.故選：D.【題型六】基礎(chǔ)方法6：相鄰與不相鄰型【講題型】例題1.某班班會準(zhǔn)備從含甲、乙、丙的7名學(xué)生中選取4人發(fā)言，要求甲、乙兩人至少有一個發(fā)言，且甲、乙都發(fā)言時丙不能發(fā)言，則甲、乙兩人都發(fā)言且發(fā)言順序不相鄰的概率為A． B． C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)題意，分種情況討論，若甲乙其中一人參加，有種情況，若甲乙兩人都參加，則丙不能參加，有種情況，其中甲乙相鄰的有種情況，則甲、乙兩人都發(fā)言順序不相鄰的概率為，故選C.例題2.甲?乙?丙等七人相約到電影院看電影《長津湖》，恰好買到了七張連號的電影票，若甲?乙兩人必須相鄰，且丙坐在七人的正中間，則不同的坐法的種數(shù)為（

）A．240 B．192 C．96 D．48【答案】B【分析】分三步：先安排丙，再安排甲、乙，然后安排其他四人.【詳解】丙在正中間（4號位）；甲?乙兩人只能坐12，23或56，67號位，有4種情況，考慮到甲?乙的順序有種情況；剩下的4個位置其余4人坐有種情況；故不同的坐法的種數(shù)為.故選：B.【講技巧】相鄰不相鄰1.相鄰元素捆綁法，要注意捆綁在一起的元素，是否還需要排列2.不相鄰元素排列，一般是插空法，不相鄰者最后插孔排【練題型】1.某一天的課程表要排入語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)、生物六門課，如果數(shù)學(xué)只能排在第一節(jié)或者最后一節(jié)，物理和化學(xué)必須排在相鄰的兩節(jié)，則共有（

）種不同的排法A． B． C． D．【答案】D【分析】先安排數(shù)學(xué)，將物理和化學(xué)捆綁，與其余三門課程進(jìn)行排序，結(jié)合分步乘法計數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】若數(shù)學(xué)只能排在第一節(jié)或者最后一節(jié)，則數(shù)學(xué)的排法有種，物理和化學(xué)必須排在相鄰的兩節(jié)，將物理和化學(xué)捆綁，與語文、英語、生物三門課程進(jìn)行排序，有種排法.由分步乘法計數(shù)原理可知，共有種不同的排法.故選：D.2.甲、乙等5人去北京天安門游玩，在天安門廣場排成一排拍照留念，則甲和乙相鄰且都不站在兩端的排法有（

）A．12種 B．24種 C．48種 D．120種【答案】B【分析】運(yùn)用“捆綁法”與“排除法”即可.【詳解】將甲、乙捆綁在一起看成一個元素，有種排法，其中甲、乙相鄰且在兩端的有種，故甲、乙相鄰且都不站在兩端的排法有（種）．故選:B．3.現(xiàn)有三名學(xué)生與兩名教師隨機(jī)地排一排照相，則每名學(xué)生都至少與一名教師相鄰的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)排列求出每名學(xué)生都至少與一名教師相鄰的排法種數(shù)，再由古典概型求解即可.【詳解】由已知三名學(xué)生不相鄰○○或是如下排列○○，○○時，滿足條件，其中代表學(xué)生，○代表老師.共有種，故概率，故選：D.【題型七】小大順序型【講題型】例題1.．驗(yàn)證碼就是將一串隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)字或符號，生成一幅圖片，圖片里加上一些干擾象素（防止），由用戶肉眼識別其中的驗(yàn)證碼信息，輸入表單提交網(wǎng)站驗(yàn)證，驗(yàn)證成功后才能使用某項(xiàng)功能.很多網(wǎng)站利用驗(yàn)證碼技術(shù)來防止惡意登錄，以提升網(wǎng)絡(luò)安全.在抗疫期間，某居民小區(qū)電子出入證的登錄驗(yàn)證碼由0，1，2，…，9中的五個數(shù)字隨機(jī)組成.將中間數(shù)字最大，然后向兩邊對稱遞減的驗(yàn)證碼稱為“鐘型驗(yàn)證碼”（例如：如14532，12543），已知某人收到了一個“鐘型驗(yàn)證碼”，則該驗(yàn)證碼的中間數(shù)字是7的概率為__________.【答案】【解析】首先判斷出中間號碼的所有可能取值，由此求得基本事件的總數(shù)以及中間數(shù)字是的事件數(shù)，根據(jù)古典概型概率計算公式計算出所求概率.【詳解】根據(jù)“鐘型驗(yàn)證碼”中間數(shù)字最大，然后向兩邊對稱遞減，所以中間的數(shù)字可能是.當(dāng)中間是時，其它個數(shù)字可以是，選其中兩個排在左邊（排法唯一），另外兩個排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種.當(dāng)中間是時，其它個數(shù)字可以是，選其中兩個排在左邊（排法唯一），另外兩個排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種.當(dāng)中間是時，其它個數(shù)字可以是，選其中兩個排在左邊（排法唯一），另外兩個排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種.當(dāng)中間是時，其它個數(shù)字可以是，選其中兩個排在左邊（排法唯一），另外兩個排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種.當(dāng)中間是時，其它個數(shù)字可以是，選其中兩個排在左邊（排法唯一），另外兩個排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種.當(dāng)中間是時，其它個數(shù)字可以是，選其中兩個排在左邊（排法唯一），另外兩個排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種.所以該驗(yàn)證碼的中間數(shù)字是7的概率為.故答案為：例題2.從A，B，C，D，a，b，c，d中任選5個字母排成一排，要求按字母先后順序排列（即按先后順序，但大小寫可以交換位置，如或都可以），這樣的情況有__________種．（用數(shù)字作答）【答案】160【分析】先根據(jù)A、B、C、D選取的個數(shù)分為四類：第一類:A、B、C、D中取四個，a、b、c、d中取一個；第二類:A、B、C、D中取三個，a、b、c、d中取二個；第三類:A、B、C、D中取二個,a、b、c、d中取三個；第四類:A、B、C、D中取一個,a、b、c、d中取四個.【詳解】分為四類情況：第一類：在A、B、C、D中取四個，在a、b、c、d中取一個，共有；第二類：在A、B、C、D中取三個，在a、b、c、d中取兩個，分兩種情況：形如AaBbC(大小寫有兩個字母相同)共有，形如AaBCd（大小寫只有一個字母相同）共有；第三類：在A、B、C、D中取兩個，在a、b、c、d中取三個，取法同第二類情況；第四類：在A、B、C、D中取一個，在a、b、c、d中取四個，取法同第一類情況；所以共有：2(8++)=160【講技巧】小大順序，一般是比較常見的“波浪數(shù)”型?！安ɡ藬?shù)”主要方法是分類討論。不重復(fù)不遺漏【練題型】1.設(shè)是，，．．．的一個排列，把排在的左邊且比小的數(shù)的個數(shù)稱為，，的順序數(shù)，如在排列，，，，，中，的順序數(shù)為，的順序數(shù)為，則在至這個數(shù)的排列中，的順序數(shù)為，的順序數(shù)為，的順序數(shù)為的不同排列的種數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)8和7的特點(diǎn)，分類討論，再把所有滿足的情況加起來.【詳解】因?yàn)榈捻樞驍?shù)為，所以8一定在第三位，因?yàn)?是最大的；因?yàn)榈捻樞驍?shù)為，7一定在第五位，因?yàn)榍懊娉?以外所有數(shù)都比它小.因?yàn)榈捻樞驍?shù)為，所以5一定在7后面這里分兩種情況：①6在5前面，此時5一定在第七位，6在前面第一、二、四、六位上，因此有種；②6在5后面，此時5一定在第六位，6在后面第七、八位上，因此有種；從而一共有故A，B，D錯誤.故選：C．2.幾只猴子在一棵枯樹上玩耍，假設(shè)它們均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的過程中依次撞擊到樹枝A，B，C；（2）乙在下落的過程中依次撞擊到樹枝D，E，F(xiàn)；（3）丙在下落的過程中依次撞擊到樹枝G，A，C；（4）丁在下落的過程中依次撞擊到樹枝B，D，H；（5）戊在下落的過程中依次撞擊到樹枝I，C，E,則這九棵樹枝從高到低不同的順序共有（

）A．23 B．24 C．32 D．33【答案】D【分析】先判斷出，按順序排在前四個位置中的三個位置，，，且一定排在后四個位置，然后分排在前四個位置中的一個位置與不排在前四個位置中的一個位置兩種情況討論，利用分類計數(shù)加法原理可得結(jié)果.【詳解】不妨設(shè)代表樹枝的高度，五根樹枝從上至下共九個位置，根據(jù)甲依次撞擊到樹枝；乙依次撞擊到樹枝；丙依次撞擊到樹枝；丁依次撞擊到樹枝；戊依次撞擊到樹枝可得，在前四個位置，，，且一定排在后四個位置，（1）若排在前四個位置中的一個位置，前四個位置有4種排法，若第五個位置排C,則第六個位置一定排D，后三個位置共有3種排法，若第五個位置排D，則后四個位置共有4種排法，所以I排在前四個位置中的一個位置時，共有種排法；（2）若不排在前四個位置中的一個位置，則按順序排在前四個位置，由于，所以后五個位置的排法就是H的不同排法，共5種排法，即若不排在前四個位置中的一個位置共有5種排法，由分類計數(shù)原理可得，這9根樹枝從高到低不同的次序有種.故選：D.3.2020年疫情期間，某縣中心醫(yī)院分三批共派出6位年齡互不相同的醫(yī)務(wù)人員支援武漢六個不同的方艙醫(yī)院，每個方艙醫(yī)院分配一人.第一批派出一名醫(yī)務(wù)人員的年齡為，第二批派出兩名醫(yī)務(wù)人員的年齡最大者為，第三批派出三名醫(yī)務(wù)人員的年齡最大者為，則滿足的分配方案的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】假設(shè)6位醫(yī)務(wù)人員年齡排序?yàn)?，由必在第三批，將派遣方式按第一批所派遣的人員不同分成四類，求出滿足的派遣方法數(shù)，再計算總派遣方法數(shù)，即可求概率.【詳解】假設(shè)6位醫(yī)務(wù)人員年齡排序?yàn)椋深}意知，年齡最大的醫(yī)務(wù)人員必在第三批，派遣方式如下：1、第一批派，第二批年齡最大者為，第三批年齡最大者為：剩下的醫(yī)務(wù)人員一個在第二批，兩個在第三批有種方法，2、第一批派，第二批年齡最大者為或，第三批年齡最大者為：當(dāng)?shù)诙畲笳邽椋瑒t有種方法，當(dāng)?shù)诙畲笳邽?，則有種方法，共種方法；3、第一批派，第二批年齡最大者為或或，第三批年齡最大者為：當(dāng)?shù)诙畲笳邽椋瑒t有種方法，當(dāng)?shù)诙畲笳邽?，則有種方法，當(dāng)?shù)诙畲笳邽?，則有1種方法，共種方法；4、第一批派，第二批年齡最大者為或或，第三批年齡最大者為：當(dāng)?shù)诙畲笳邽椋瑒t有種方法，當(dāng)?shù)诙畲笳邽?，則有種方法，當(dāng)?shù)诙畲笳邽?，則有1種方法，共種方法；∴種方法，而總派遣方法有種，∴滿足的分配方案的概率為.故選：A.【題型八】左右鞋配對型【講題型】例題1.柜子里有3雙不同的鞋，隨機(jī)地取出2只，取出的鞋一只是左腳的，一只是右腳的，但它們不成對的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】這是一個古典概型，先根據(jù)柜子里有3雙不同的鞋，算出隨機(jī)取出2只的方法數(shù)，然后先選出左腳的一只，再從剩下兩雙的右腳中選出一只的方法數(shù)，然后代入公式求解.【詳解】因?yàn)楣褡永镉?雙不同的鞋，所以隨機(jī)取出2只，共有種方法，然后先選出左腳的一只有種選法，再從剩下兩雙的右腳中選出一只有種方法，所以一共有種方法，故隨求事件的概率為，故選：A例題2.從6雙不同鞋子中任取4只，使其中至少有2只鞋配成一雙的概率是（

）.A． B． C． D．【答案】B【詳解】從6雙不同鞋子中任取4只.沒有2只鞋子配成一雙的概率為.所以，其中至少有2只鞋子配成一雙的概率為.故答案為B【練題型】1.從不同號碼的雙鞋中任取只，其中恰好有雙的取法種數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，分兩步來進(jìn)行：①從5雙鞋中取出1雙，②從剩下的4雙中任取兩雙，在這兩雙中各取1只，易得其取法數(shù)目；進(jìn)而由分步計數(shù)原理計算可得答案．【詳解】解：依題意先從五雙鞋中選出一雙，有種，再從剩余的四雙中選兩只但是不能為一雙，故先從四雙中選兩雙有中，再從兩雙中選不同的兩只有種，綜上可得一共有種取法；故選：A2.甲、乙、丙、丁、戊五位媽媽相約各帶一個小孩去觀看花卉展，她們選擇共享電動車出行，每輛電動車只能載兩人，其中孩子們表示都不坐自己媽媽的車，甲的小孩一定要坐戊媽媽的車，則她們坐車不同的搭配方式有A．種 B．種 C．種 D．種【答案】B【分析】由題意結(jié)合排列組合問題的解法整理計算即可求得最終結(jié)果.【詳解】解法一：不對號入座的遞推公式為：，，，據(jù)此可得：，即五個人不對號入座的方法為種，由排列組合的對稱性可知：若甲的小孩一定要坐戊媽媽的車，則坐車不同的搭配方式有種.本題選擇B選項(xiàng).解法二：設(shè)五位媽媽為，五個小孩為，對五個小孩進(jìn)行排練后坐五位媽媽的車即可，由于甲的小孩一定要坐戊媽媽的車，故排列的第五個位置一定是，對其余的四個小孩進(jìn)行排列：；；；.共有24中排列方法，其中滿足題意的排列方法為：，，，，共有11種.本題選擇B選項(xiàng).3..新冠疫情期間，網(wǎng)上購物成為主流．因保管不善，五個快遞ABCDE上送貨地址模糊不清，但快遞小哥記得這五個快遞應(yīng)分別送去甲乙丙丁戊五個地方，全部送錯的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】5個快遞送到5個地方有種方法，全送錯的方法：第一步A送錯有4種可能，然后第二步是關(guān)鍵，考慮A送錯的地方對應(yīng)的快遞，如送到丙地，第二步考慮快遞，而送錯位置分兩類，一類是送到甲，一類是送其他三個地方，再對剩下的3個快遞分別考慮即可完成．【詳解】5個快遞送到5個地方有種方法，全送錯的方法數(shù)：先分步：第一步快遞送錯有4種方法，第二步考慮所送位置對應(yīng)的快遞，假設(shè)送到丙地，第二步考慮快遞，對分類，第一類送到甲地，則剩下要均送錯有2種可能（丁戊乙，戊乙?。?，第二類送到乙丁戊中的一個地方，有3種可能，如送到丁地，剩下的只有甲乙戊三地可送，全送錯有3種可能（甲戊乙，戊甲乙，戊乙甲），∴總的方法數(shù)為，所求概率為．故選：C．【題型九】放球與盒子編號【講題型】例題1.把16個相同的小球放到三個編號為1，2，3的盒子中，且每個盒子內(nèi)的小球數(shù)要多于盒子的編號數(shù)，則共有多少種放法（

）A．18 B．28 C．36 D．42【答案】C【分析】根據(jù)題意，先在1號盒子里放1個球，在2號盒子里放2個球，在3號盒子里放3個球，則原問題可以轉(zhuǎn)化為將剩下的10個小球，放入3個盒子，每個盒子至少放1個的問題，由擋板法分析可得答案．【詳解】根據(jù)題意，個相同的小球放到三個編號為的盒子中，且每個盒子內(nèi)的小球數(shù)要多于盒子的編號數(shù)，先在號盒子里放個球，在號盒子里放個球，在號盒子里放個球，則原問題可以轉(zhuǎn)化為將剩下的個小球，放入個盒子，每個盒子至少放個的問題，將剩下的個球排成一排，有個空位，在個空位中任選個，插入擋板，有種不同的放法，即有個不同的符合題意的放法；故選：C．例題2.將12個相同的小球分給甲、乙、丙三個人，其中甲至少1個，乙至少2個，丙至少3個，則共有（

）種不同的分法.A．24 B．26 C．28 D．30【答案】C【分析】根據(jù)題意甲最多可以分7個，最少可以分1個，以此類推，確定所有分法，相加后即可求解.【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)甲分得7個時，乙可以分得2個，此時丙對應(yīng)3個，所以只有1種分法；當(dāng)甲分得6個時，乙可以分得2個或3個，此時丙對應(yīng)分得4個或3個，所以有2種分法；當(dāng)甲分得5個時，乙可以分得2個或3個或4個，此時丙對應(yīng)分得5個或4個或3個，所以有3種分法；當(dāng)甲分得4個時，乙可以分得2個或3個或4個或5個，此時丙對應(yīng)分得6個或5個或4個或3個，所以有4種分法；當(dāng)甲分得3個時，乙可以分得2個或3個或4個或5個或6個，此時丙對應(yīng)分得7個或6個或5個或4個或3個，所以有5種分法；當(dāng)甲分得2個時，乙可以分得2個或3個或4個或5個或6個或7個，此時丙對應(yīng)分得8個或7個或6個或5個或4個或3個，所以有6種分法；當(dāng)甲分得1個時，乙可以分得2個或3個或4個或5個或6個或7個或8個，此時丙對應(yīng)分得9個或8個或7個或6個或5個或4個或3個，所以有7種分法；綜上：甲至少1個，乙至少2個，丙至少3個一共有.故選：C.【練題型】1.把個相同的小球放到三個編號為的盒子中，且每個盒子內(nèi)的小球數(shù)要多于盒子的編號數(shù)，則共有多少種放法A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意，先在號盒子里放個球，在號盒子里放個球，在號盒子里放.個球，則原問題可以轉(zhuǎn)化為將剩下的個小球，放入個盒子，每個盒子至少放個的問題，由擋板法分析可得答案．【詳解】根據(jù)題意，個相同的小球放到三個編號為的盒子中，且每個盒子內(nèi)的小球數(shù)要多于盒子的編號數(shù)，先在號盒子里放個球，在號盒子里放個球，在號盒子里放個球，則原問題可以轉(zhuǎn)化為將剩下的個小球，放入個盒子，每個盒子至少放個的問題，將剩下的個球排成一排，有個空位，在個空位中任選個，插入擋板，有種不同的放法，即有個不同的符合題意的放法；故選B．2.把20個相同的小球裝入編號分別為①②③④的4個盒子里，要求①②號盒每盒至少3個球，③④號盒每盒至少4個球，共有種方法.A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)四個盒子中裝的小球個數(shù)分別為，，，，則，要求①②號盒每盒至少3個球，③④號盒每盒至少4個球，令，，，，則，，，都大于或等于1，且，問題相當(dāng)于將10個球分成四部分，使用“隔板法”即可【詳解】設(shè)四個盒子中裝的小球個數(shù)分別為，，，，則，要求①②號盒每盒至少3個球，③④號盒每盒至少4個球，令，，，，則，，，都大于或等于1，且，問題相當(dāng)于將10個球分成四部分，在10個球的9個間隔里選三個隔開，有種方法，故選擇A3.將10個相同的小球裝入3個編號分別為1、2、3的盒子內(nèi)（每次要把10個球裝完），要求每個盒子里球的個數(shù)不少于盒子的編號數(shù)，這樣的裝法共有（

）種.A．9 B．12 C．15 D．18【答案】C【詳解】設(shè)編號分別為1、2、3的盒子中球的個數(shù)依次為、、，則.記，則.于是，問題轉(zhuǎn)化為求方程的正整數(shù)解的組數(shù).易知其組數(shù)為.【題型十】平均分組型【講題型】例題1.甲?乙?丙?丁?戊5名志愿者參加新冠疫情防控志愿者活動，現(xiàn)有三個小區(qū)可供選擇，每個志愿者只能選其中一個小區(qū).則每個小區(qū)至少有一名志愿者，且甲不在小區(qū)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，先求得所有情況數(shù)，然后求得甲去的情況數(shù)，從而得到甲不去小區(qū)的情況數(shù)，再結(jié)合概率公式，即可得到結(jié)果.【詳解】首先求所有可能情況，5個人去3個地方，共有種情況，再計算5個人去3個地方，且每個地方至少有一個人去，5人被分為或當(dāng)5人被分為時，情況數(shù)為;當(dāng)5人被分為時，情況數(shù)為；所以共有.由于所求甲不去，情況數(shù)較多，反向思考，求甲去的情況數(shù)，最后用總數(shù)減即可，當(dāng)5人被分為時，且甲去，甲若為1，則，甲若為3，則共計種，當(dāng)5人被分為時，且甲去，甲若為1，則，甲若為2，則，共計種，所以甲不在小區(qū)的概率為故選：B.例題2.將6名志愿者分配到3個社區(qū)參加服務(wù)工作，每名志愿者只分配到1個小區(qū)，每個小區(qū)至少分配1名志愿者，則分配到3個小區(qū)的志愿者人數(shù)互不相同的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先將6名志愿者分組，然后再全排列到各個小區(qū).【詳解】將6名志愿者分配到3個社區(qū)參加服務(wù)工作，每名志愿者只分配到1個小區(qū)，每個小區(qū)至少分配1名志愿者，共三種情況，第1種情況：3個社區(qū)的志愿者人數(shù)分別為4，1，1，不同的分配方案共有種；第2種情況：3個社區(qū)的志愿者人數(shù)分別為3，2，1，不同的分配方案共有種；第3種情況：3個社區(qū)的志愿者人數(shù)分別為2，2，2，不同的分配方案共有種，則分配到3個小區(qū)的志愿者人數(shù)互不相同的概率．故選：D．【講技巧】平均分成幾組，就除以幾組數(shù)的階乘，如果既有平均分組又有不平均分組的，也要除以相同組的組數(shù)的階乘【練題型】1.某社區(qū)為了做好疫情防控工作，安排6名志愿者進(jìn)行核酸檢測，需要完成隊(duì)伍組織?信息錄入?采集核酸三項(xiàng)任務(wù)，每項(xiàng)任務(wù)至少安排一人但至多三人，則不同的安排方法有（

）A．450種 B．72種 C．90種 D．360種【答案】A【分析】根據(jù)題意，分兩種情況考慮：第一種：人數(shù)為的三組，第二種：人數(shù)為的三組求解.【詳解】6名志愿者分成三組，每組至少一人至多三人，可分兩種情況考慮：第一種：人數(shù)為的三組，共有種；第二種：人數(shù)為的三組，共有種.所以不同的安排方法共有種，故選：.2.第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動會于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省張家口市聯(lián)合舉行．某校安排甲、乙、丙、丁、戊五名大學(xué)生分別做冰球、冰壺和短道速滑三個比賽項(xiàng)目的志愿者，每個比賽項(xiàng)目至少安排1人，學(xué)生甲被單獨(dú)安排到冰球比賽項(xiàng)目做志愿者的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先按分組分配原則求出學(xué)生甲被單獨(dú)安排到冰球比賽項(xiàng)目做志愿者的方法數(shù)，5名學(xué)生分配到三個項(xiàng)目中做志愿者的方法數(shù)，然后由概率公式計算．【詳解】學(xué)生甲被單獨(dú)安排到冰球比賽項(xiàng)目做志愿者，那么冰壺和短道速滑兩個比賽項(xiàng)目的志愿者人數(shù)分別為1，3或2，2，方法數(shù)為，五個人分配到三個項(xiàng)目上去，可先分組再分配，5人按或分成三組，然后安排到三個項(xiàng)目，方法數(shù)為，因此學(xué)生甲被單獨(dú)安排到冰球比賽項(xiàng)目做志愿者的概率為．故選：C．3.從今年8月開始，南充高中教師踴躍報名志愿者參加各街道辦、小區(qū)、學(xué)校的防疫工作，彰顯師者先行、師德?lián)?dāng)?shù)木瘢酪吖ぷ靼瑨呙杞】荡a、取咽拭子、后勤協(xié)調(diào)三項(xiàng)工作，現(xiàn)從6名教師志愿者中，選派4人擔(dān)任掃描健康碼、取咽拭子、后勤協(xié)調(diào)工作，要求每項(xiàng)工作都有志愿者參加，不同的選派方法共有（

）種A．90 B．270 C．540 D．1080【答案】C【分析】先選出4人有種方法，再分為3組，最后分配到3個崗位.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理將各步的結(jié)果乘起來即可得出答案.【詳解】用分步乘法計數(shù)原理：第一步，從6名教師志愿者中選派4人，不同的選派方法種類為；第二步，將選出的4人分為3組，不同的分組方法種類為；第三步，將分好的3組，分配到不同的3項(xiàng)工作，不同的分配方法種類為.所以，不同的選派方法種類為.故選：C.【題型十一】染色型【講題型】例題1.用四種不同的顏色為正六邊形（如圖）中的六塊區(qū)域涂色，要求有公共邊的區(qū)域涂不同顏色，一共有__________種不同的涂色方法．【答案】【詳解】如圖，記六個區(qū)域的涂色數(shù)為，若涂色相同，則相當(dāng)于5個區(qū)域涂色，記5個區(qū)域涂色數(shù)為，同理只有4個區(qū)域時涂色數(shù)記為，易知，．例題2.五邊形中，若把頂點(diǎn)、、、、染上紅、黃、綠三種顏色中的一種，使得相鄰頂點(diǎn)所染的顏色不相同，則不同的染色方法有__________種．【答案】30【詳解】分析：本題需要分類來解答，首先A選取一種顏色，有3種情況．如果A的兩個相鄰點(diǎn)顏色相同，2種情況，這時最后兩個邊也有2種情況；如果A的兩個相鄰點(diǎn)顏色不同，2種情況，最后兩個邊有3種情況．根據(jù)計數(shù)原理得到結(jié)果．詳解：由題意知本題需要分類來解答，首先A選取一種顏色，有3種情況.如果A的兩個相鄰點(diǎn)顏色相同，2種情況；這時最后兩個邊也有2種情況；如果A的兩個相鄰點(diǎn)顏色不同，2種情況；這時最后兩個邊有3種情況.∴方法共有3(2×2+2×3)=30種.【講技巧】染色問題，要從“顏色用了幾種”，“地圖有沒有公用區(qū)域”方向考慮：1.用了幾種顏色。如果顏色沒有全部用完，就要有選色的步驟2.盡量先從公共相鄰區(qū)域開始。所以要觀察“地圖”是否可以“拓?fù)洹鞭D(zhuǎn)化染色的地圖，還要從“拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)”來轉(zhuǎn)化以下這倆圖，就是“拓?fù)洹币恢碌慕Y(jié)構(gòu)【練題型】1.在一個如圖所示的6個區(qū)域栽種觀賞植物，要求同一塊區(qū)域中種同一種植物，相鄰的兩塊區(qū)域中種不同的植物.現(xiàn)有4種不同的植物可供選擇，則不同的栽種方案的總數(shù)為____．【答案】【分析】先種B、E兩塊，再種A、D,而種C、F與種A、D情況一樣，根據(jù)分類與分步計數(shù)原理可求．【詳解】先種B、E兩塊，共種方法，再種A、D,分A、E相同與不同，共種方法，同理種C、F共有7種方法，總共方法數(shù)為2.隨機(jī)給如圖所示的四塊三角形區(qū)域涂色，有紅、黃、藍(lán)、綠、黑這5種顏色供選擇，則“任意兩個有公共邊的三角形所涂顏色不同”的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出所有涂色方法數(shù)為，再求出在任意兩個有公共邊的三角形所涂顏色不同的方法數(shù)，可以先從中間一個三角形涂色，然后再涂其他三個三角形．【詳解】解：隨機(jī)給如圖所示的四塊三角形區(qū)域涂色，有紅，黃，藍(lán)，綠，黑這5種顏色供選擇，每個三角形均有種涂法，故基本事件總數(shù)，有公共邊的三角形為不同色，先考慮中間一塊涂色有5種方法，其他的三個三角形在剩下的4中顏色中任意涂色均可有種涂法，這一共有種涂法，所求概率為．故選：A．3..如圖，用種不同的顏色把圖中、、、四塊區(qū)域分開，若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有（

）種A． B． C． D．【答案】C【分析】依次對區(qū)域、、、涂色，結(jié)合分類加法與分步乘法計數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】先對區(qū)域涂色，有種選擇，其次再對區(qū)域涂色，有種選擇，然后再與區(qū)域、涂色，有兩種情況：（1）若區(qū)域、同色，有種情況；（2）若區(qū)域、不同色，有種情況.綜上所述，不同的涂法種數(shù)為種.故選：C.【題型十二】立體幾何型染色【講題型】例題1.在如圖所示的十一面體中，用種不同顏色給這個幾何體各個頂點(diǎn)染色，每個頂點(diǎn)染一種顏色，要求每條棱的兩端點(diǎn)異色，則不同的染色方案種數(shù)為__________．【答案】6【詳解】分析：首先分析幾何體的空間結(jié)構(gòu)，然后結(jié)合排列組合計算公式整理計算即可求得最終結(jié)果.詳解：空間幾何體由11個頂點(diǎn)確定，首先考慮一種涂色方法：假設(shè)A點(diǎn)涂色為顏色CA，B點(diǎn)涂色為顏色CB，C點(diǎn)涂色為顏色CC，由AC的顏色可知D需要涂顏色CB，由AB的顏色可知E需要涂顏色CC，由BC的顏色可知F需要涂顏色CA，由DE的顏色可知G需要涂顏色CA，由DF的顏色可知I需要涂顏色CC，由GI的顏色可知H需要涂顏色CB，據(jù)此可知，當(dāng)△ABC三個頂點(diǎn)的顏色確定之后，其余點(diǎn)的顏色均為確定的，用三種顏色給△ABC的三個頂點(diǎn)涂色的方法有種，故給題中的幾何體染色的不同的染色方案種數(shù)為6.例題2..用五種不同顏色給三棱臺的六個頂點(diǎn)染色，要求每個點(diǎn)染一種顏色，且每條棱的兩個端點(diǎn)染不同顏色.則不同的染色方法有___________種.【答案】1920.【詳解】分析：分兩步來進(jìn)行，先涂，再涂，然后分若5種顏色都用上、若5種顏色只用4種、若5種顏色只用3種這三種情況，分別求得結(jié)果，再相加，即可得結(jié)果.詳解：分兩步來進(jìn)行，先涂，再涂.第一類：若5種顏色都用上，先涂，方法有種，再涂中的兩個點(diǎn)，方法有種，最后剩余的一個點(diǎn)只有2種涂法，故此時方法共有種；第二類：若5種顏色只用4種，首先選出4種顏色，方法有種；先涂，方法有種，再涂中的一個點(diǎn)，方法有3種，最后剩余的兩個點(diǎn)只有3種涂法，故此時方法共有種；第三類：若5種顏色只用3種，首先選出3種顏色，方法有種；先涂，方法有種，再涂，方法有2種，故此時方法共有種；綜上可得，不同涂色方案共有種，故答案是1920.【講技巧】立體型結(jié)構(gòu)，可以“拍扁了”，“拓?fù)洹睘槠矫嫘腿旧?，這是幾何體染色的一個小技巧所以注意這類圖形之間的互相轉(zhuǎn)化【練題型】1.以平行六面體的任意三個頂點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，從中隨機(jī)取出兩個三角形，則這兩個三角形不共面的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先計算能構(gòu)成多少個三角形，再將共面的情況剔除，即通過對立事件就可以計算不共面的概率．【詳解】解：平行六面體有個頂點(diǎn)，任意取構(gòu)成的三角形個數(shù)為，即從56個三角形中任取兩個三角形，現(xiàn)共面的情況為表面?zhèn)€面與個對角面，每個面構(gòu)成個三角形，設(shè)任取兩個三角形不共面為事件“”，，故選：A．2.將一個四棱錐的每個頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同的染色方法的總數(shù)是A．540 B．480 C．420 D．360【答案】C【詳解】分兩步，由題設(shè)四棱錐的頂點(diǎn)所染顏色互不相同，則共有，當(dāng)染好時，不妨設(shè)所染顏色依次為，若染，則可染或或，共三種，若染，則可染或，共種，若染，則可染或，共種，即當(dāng)染好時，還有種染法，所以共有，故選C.3.用4種顏色給正四棱錐的五個頂點(diǎn)涂色，同一條棱的兩個頂點(diǎn)涂不同的顏色，則符合條件的所有涂法共有A．24種 B．48種 C．64種 D．72種【答案】D【詳解】解法一：假設(shè)四種顏色為紅、黑、白、黃，先考慮三點(diǎn)的涂色方法，有種，若與不同色，則、點(diǎn)只有種涂色的方法，有種涂法；若與同色，則點(diǎn)有種涂色的方法，共種涂法，所以不同的涂法共有種．解法二：用種顏色涂色時，即與，與都同色，共有種涂色的方法，用種顏色時，有與，與中一組同色，有種情況，共有種，故共有種，故選D．【題型十三】邏輯電路型【講題型】例題1.如圖所示為一電路圖，從A到B共有條不同的線路可通電（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【詳解】試題分析：分兩類：下方一種閉合方法，上方三種閉合方法，所以有1+3=4種通電線路，故選D．考點(diǎn)：本題主要考查分類計數(shù)原理的應(yīng)用．點(diǎn)評：簡單題，審清題意，理解好“可通電”的條件．例題2.如圖，電路中共有個電阻與一個電燈A，若燈A不亮，則因電阻斷路的可能性的種數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】每個電阻都有斷路與通路兩種情況，圖中從上到下有3條支線，分別計算每條支線斷路的種數(shù)，再根據(jù)分步計數(shù)原理求得結(jié)果．【詳解】每個電阻都有斷路與通路兩種狀態(tài)，圖中從上到下的三條支線路，分別記為支線，支線中至少有一個電阻斷路情況都均為有種；支線中至少有一個電阻斷路的情況有種，每條支線至少有一個電阻斷路，燈就不亮，因此燈不亮的情況共有種情況，所以D正確.故選：D.【練題型】1.如圖所示,電路中有4個電阻和一個電流表A,若沒有電流流過電流表A,其原因僅為電阻斷路的可能情況共有

A．9種 B．10種 C．11種 D．12種【答案】C【分析】利用分類計數(shù)加法原理分析即可.【詳解】一個電阻壞,使得沒有電流流過電流表A的情況有1種,2個電阻壞的情況有5種,3個電阻壞的情況有4種,4個電阻全壞的情況有1種,根據(jù)分類加法計數(shù)原理知,共11種可能情況.故選C2.如圖，一條電路從處到處接通時，可構(gòu)成的通路有（

）A．8條 B．6條 C．5條 D．3條【答案】B【分析】分別寫出處、處的連通方式，進(jìn)而確定構(gòu)成通路的條數(shù).【詳解】由圖知：要構(gòu)成通路，則處有種方式，處種方式，∴可構(gòu)成的通路有種.故選：B3.如圖，在由開關(guān)組與組成的電路中，閉合開關(guān)使燈發(fā)光的方法有（

）種A． B． C． D．【答案】D【分析】按組開關(guān)閉合的個數(shù)分類即可求解【詳解】分兩類,每類中分兩步.第一類:第步:組開關(guān)閉合一個,有種閉法,第步:組開關(guān)閉合個,有種閉法;組開關(guān)閉合個,有種閉法;組開關(guān)閉合個,有種閉法.此時共種閉法.第二類:第步:組開關(guān)閉合個,共種閉法,第步:組開關(guān)閉合個,有種閉法;組開關(guān)閉合個,有種閉法;組開關(guān)閉合個,有種閉法.此時共種閉法.綜上,共種閉法.故選：D【題型十四】斐波那契數(shù)列型【講題型】例題1.從一樓到二樓共有12級臺階，可以一步邁一級也可以一步邁兩級，要求8步從一樓到二樓共有走法．A．12 B．8 C．70 D．66【答案】C【分析】一步上一級或者一步上兩級，8步走完樓梯，可以從一級和兩級各幾步來考慮．【詳解】解：設(shè)一步一級x步，一步兩級y步，則故走完樓梯的方法有種．故答案為C.例題2.欲登上第10級樓梯，如果規(guī)定每步只能跨上一級或兩級，則不同的走法共有A．34種 B．55種C．89種 D．144種【答案】C【分析】解法一：分類考慮，第一類是只有一步一級走法，第二類是恰有一步兩級，第三類恰有兩步是一步兩級，依次到恰好五步都是一步兩級，由此求得答案；解法二;采用遞推法，設(shè)走n級有種走法，第一類：第一步是一步一級，則余下的級有種走法；第二類：第一步是一步兩級，則余下的級有種走法，得到，由此可求得答案.【詳解】解法1：分類法：第一類：沒有一步兩級，只有一步一級，則只有一種走法；第二類：恰有一步是一步兩級，則走完10級要走9步，9步中選一步是一步兩級的，有種可能走法；第三類：恰有兩步是一步兩級，則走完10級要走8步，8步中選兩步是一步兩級的，有種可能走法；依此類推，共有=89，故選:C解法2：遞推法：設(shè)走n級有種走法，這些走法可按第一步來分類，第一類：第一步是一步一級，則余下的級有種走法；第二類：第一步是一步兩級，則余下的級有種走法，于是可得遞推關(guān)系式，又，由遞推可得，故選：C．【講技巧】上臺階，一般可以有如下思維：1.斐波那契數(shù)列數(shù)列構(gòu)造求解2.可以把臺階轉(zhuǎn)化為數(shù)字化型，一次一階，記為數(shù)字1，一步兩階記為數(shù)字2，以此類推，這樣上臺階轉(zhuǎn)化為數(shù)字1,2，。。排列，注意重復(fù)元素的排列【練題型】1.某幢樓房從2樓到3樓共10個臺階，上樓可以一步上1個臺階，也可以一步上2個臺階.若規(guī)定從2樓到3樓用8步走完，則上樓的方法有（

）.A．14種 B．16種 C．21種 D．28種【答案】D【分析】轉(zhuǎn)化成組合問題去解決即可.【詳解】由于10÷8的余數(shù)為2，所以可以判定一步1個臺階共6次，一步2個臺階共2次.選定在這8步中一步1個臺階的位置即可，則上樓的方法有種故選：D2.某人從上一層到二層需跨10級臺階.他一步可能跨1級臺階，稱為一階步，也可能跨2級臺階，稱為二階步，最多能跨3級臺階，稱為三階步.從一層上到二層他總共跨了6步，而且任何相鄰兩步均不同階.則他從一層到二層可能的不同過程共有（

）種.A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【詳解】按題意要求，不難驗(yàn)證這6步中不可能沒有三階步，也不可能有多于1個的三階步.因此，只能是1個三階步，2個二階步，3個一階步.為形象起見，以白、黑、紅三種顏色的球來記錄從一層到二層跨越10級臺階的過程：白球表示一階步，黑球表示二階步，紅球表示三階步.每一過程可表為3個白球、2個黑球、1個紅球的一種同色球不相鄰的排列.下面分三種情形討論.（1）第1、第6球均為白球，則兩黑球必分別位于中間白球的兩側(cè).此時，共有4個黑白球之間的空位放置紅球.所以，此種情況共有4種可能的不同排列.（2）第1球不是白球.（i）第1球?yàn)榧t球，則余下5球只有一種可能的排列；（ii）若第1球?yàn)楹谇?，則余下5球因紅、黑球的位置不同有兩種不同的排列，此種情形共有3種不同排列.（3）第6球不是白球，同（2），共有3種不同排列.總之，按題意要求從一層到二層共有種可能的不同過程.【題型十五】空座位型【講題型】例題1.某停車場行兩排空車位，每排4個，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4輛車需要泊車，若每排都有車輛停泊，且甲、乙兩車停泊在同一排，則不同的停車方案有（

）A．288種 B．336種 C．384種 D．672種【答案】D【分析】分兩類情況，甲、乙兩車停泊在同一排，丙、丁兩車停泊在同一排時，與丙、丁選一輛與甲、乙停泊在同一排，另一輛單獨(dú)一排，計算可得.【詳解】甲乙兩車停泊在同一排，丙、丁兩車停泊在同一排時，種方案，丙、丁選一輛與甲、乙停泊在同一排，另一輛單獨(dú)一排，種方案，所以共有種方案.故選：D例題2.某公司門前有一排9個車位的停車場，從左往右數(shù)第三個，第七個車位分別停著A車和B車，同時進(jìn)來C，D兩車．在C，D不相鄰的情況下，C和D至少有一輛與A和B車相鄰的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出基本事件總數(shù)，和至少有一輛與和車相鄰的對立事件是和都不與和車相鄰，由此能求出和至少有一輛與和車相鄰的概率．【詳解】解：某公司門前有一排9個車位的停車場，從左往右數(shù)第三個，第七個車位分別停著車和車，同時進(jìn)來，兩車，在，不相鄰的條件下，基本事件總數(shù)，和至少有一輛與和車相鄰的對立事件是和都不與和車相鄰，和至少有一輛與和車相鄰的概率：．故選：B．【講技巧】空座位型，1.單獨(dú)空座位，可以看成相同元素?zé)o排列，字母化法處理。2.2個或者3個或者更多空座位相連型，與單獨(dú)空座位則屬于不同元素【練題型】1.停車站劃出一排12個停車位置，今有8輛不同的車需要停放，若要求剩余的4個車位連在一起，則不同的停車方法有（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】4個空車位連在一起捆綁當(dāng)作一個元素與8輛車進(jìn)行排序，即可求出結(jié)果.【詳解】4個空車位連在一起捆綁當(dāng)作一個元素與8輛車構(gòu)成9個元素，共有種排法.故選：C.2.某單位有8個連在一起的車位，現(xiàn)有4輛不同型號的車需要停放，如果要求剩余的4個車位中恰好有3個連在一起，則不同的停放方法的種數(shù)為（

）A．240 B．360 C．480 D．720【答案】C【分析】給8個車位編號：1，2，3，4，5，6，7，8，按照連在一起的3個車位分6類計數(shù)可得結(jié)果.【詳解】給8個車位編號：1，2，3，4，5，6，7，8，當(dāng)1，2，3號為空時，有種停放方法；當(dāng)2，3，4號為空時，有種停放方法；當(dāng)3，4，5號為空時，有種停放方法；當(dāng)4，5，6號為空時，有種停放方法；當(dāng)5，6，7號為空時，有種停放方法；當(dāng)6，7，8號為空時，有種停放方法；所以不同的停放方法的種數(shù)為種.故選：C.3.某單位有7個連在一起的車位，現(xiàn)有3輛不同型號的車需停放，如果要求剩余的4個車位中恰好有3個連在一起，則不同的停放方法的種數(shù)為A．16 B．18 C．32 D．72【答案】D【分析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①分析3輛不同型號的車的停放方法，②利用插空法分析剩余的4個車位中恰有3個連在一起的排法，由分步計數(shù)原理計算即可得．【詳解】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①，3輛不同型號的車需停放，共有種方法，②，要求剩余的4個車位中恰有3個連在一起，利用插空法，有種方法，所以不同的停放方法有種．故選．【題型十六】函數(shù)解析幾何型【講題型】例題1.已知直線（，是非零常數(shù)）與圓有公共點(diǎn)，且公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)，那么這樣的直線共有__________條（用數(shù)字作答）.【答案】60【分析】直線是截距式方程，因而不平行坐標(biāo)軸，不過原點(diǎn)，考查圓上橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)的個數(shù)，結(jié)合排列組合知識分類解答即可得到答案.【詳解】可知直線的截距存在且不為0，即與坐標(biāo)軸不垂直，不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，而圓上的公共點(diǎn)共有12個點(diǎn)，分別為：，，，，,,前8個點(diǎn)中，過任意一點(diǎn)的圓的切線滿足，有8條；12個點(diǎn)中過任意兩點(diǎn)，構(gòu)成條直線，其中有4條直線垂直x軸，有4條垂直于y軸，還有6條過原點(diǎn)（圓上點(diǎn)的對稱性），滿足題設(shè)的直線有52條，綜上可知滿足題設(shè)的直線共有52+8=60條，故答案為60.例題2.圓周上有10個等分點(diǎn)，以這10個等分點(diǎn)的4個點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成四邊形，其中梯形的個數(shù)為（

）A．10 B．20 C．40 D．60【答案】D【分析】把10個點(diǎn)看成5條線段的組合，再利用組合公式計算即可.【詳解】梯形的兩條邊平行，可以從5組平行于直徑的5條平行弦中選取，也可以從5組不平行于直徑的4條平行弦中選取，去除矩形后，梯形共有60個.故選：D【練題型】1.在圓上有6個不同的點(diǎn)，將這6個點(diǎn)兩兩連接成弦，這些弦將圓分割成的區(qū)域數(shù)最多為（

）A．32 B．15 C．16 D．31用）【答案】D【解析】按照增加一條弦，多出一個區(qū)域，增加一對相交弦，另外再多增加一個區(qū)域進(jìn)行計算可得解.【詳解】兩個點(diǎn)可以連一條弦，將圓分為兩部分，加一個點(diǎn)，多兩條弦，將圓多分出來兩部分，所以每加一條弦可以按這種方式多出一個區(qū)域，再加一個點(diǎn)，變成了一對相交弦和四條其他的弦，共分為8個區(qū)域，所以除去前一種方式增加的區(qū)域數(shù)，一對相交弦還會多產(chǎn)生一個區(qū)域，故當(dāng)點(diǎn)數(shù)多于4個時，最多可分得總的區(qū)域數(shù)為，此題，所以最多可分為31個區(qū)域.故選：D.2.方程中的，且互不相同，在所有這些方程所表示的曲線中，不同的拋物線共有_____條．【答案】【詳解】方程變形得，若表示拋物線，則，分五種情況：（1）當(dāng)時，或或或.（2）當(dāng)時，或或或,以上兩種情況下有條重復(fù)，故共有條.（3）同理當(dāng)或時，共有條.（4）當(dāng)時，或或或，共有條，綜上，共有，故答案為.【題型十七】不定方程型【講題型】例題1.有三個盒子，每個盒子里有若干大小形狀都相同的卡片.第一個盒子中有三張分別標(biāo)號為的卡片；第二個盒子中有五張分別標(biāo)號為的卡片；第三個盒子中有七張分別標(biāo)號為的卡片.現(xiàn)從每個盒子中隨機(jī)抽取一張卡片，設(shè)從第個盒子中取出的卡片的號碼為，則為奇數(shù)的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由分步乘法計數(shù)原理求出樣本空間中的基本事件數(shù)，再由分步乘法計數(shù)原理和分類加法計數(shù)原理求出事件為奇數(shù)所包含的基本事件數(shù)，再由古典概型概率公式求概率.【詳解】從三個盒子中各隨機(jī)抽取一張卡片可分為三步完成，第一步從第一個盒子中取一張卡片，有3種方法，第二步從第二個盒子中取一張卡片，有5種方法，第三步從第三個盒子中取一張卡片，有7種方法，由分步乘法計數(shù)原理可得共有種方法，事件為奇數(shù)等價于，，都為奇數(shù)或，，中有一個為奇數(shù)，兩個為偶數(shù)，其中事件，，都為奇數(shù)包含個基本事件，即24個基本事件，事件為奇數(shù)，，為偶數(shù)包含個基本事件，即12個基本事件，事件為奇數(shù)，，為偶數(shù)包含個基本事件，即9個基本事件，事件為奇數(shù)，，為偶數(shù)包含個基本事件，即8個基本事件，所以事件包含的基本事件數(shù)為，即53個基本事件，所以，故選：B.例題2.方程的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)為_________【答案】120【詳解】把分成個,每個看作一個元素，看作四個不同的對象,現(xiàn)將個元素分配給四個對象分類：①中三個為,有種；②中兩個為,有種；③中有一個為,有④中均不為,有種.故非負(fù)整數(shù)解組.故答案為.【練題型】1.若集合，則集合中元素有______個.【答案】242【分析】由題可得，然后可得必為一奇一偶，偶數(shù)必是，進(jìn)而即得.【詳解】由題可得，∴，又必為一奇一偶，而偶數(shù)必是,，共有121種情況，又奇偶未定，故集合中元素只有242個.故答案為：242.2.若方程，其中，則方程的正整數(shù)解得個數(shù)為______.【答案】10【分析】依據(jù)擋板法去求解即可.【詳解】因?yàn)榉匠?，其中，則.將其轉(zhuǎn)化為有6個1排成一列，利用2個擋板法將其分成3組，第一組1的數(shù)目為，第二組1的數(shù)目為，第三組1的數(shù)目為，則.2個擋板的放置方法共有種，故方程的正整數(shù)解的個數(shù)為10.故答案為：10【題型十八】數(shù)列中的排列組合【講題型】例題1.定義數(shù)列如下：存在，滿足，且存在，滿足，已知數(shù)列共4項(xiàng)，若且，則數(shù)列共有（

）A．190個 B．214個 C．228個 D．252個【答案】A【分析】由題意，滿足條件的數(shù)列中的4項(xiàng)有四種情況：4項(xiàng)中每一項(xiàng)都不同；4項(xiàng)中有2項(xiàng)相同；4項(xiàng)中有3項(xiàng)相同；4項(xiàng)中兩兩相同，利用排列組合知識分別求出每種情況的個數(shù)即可求解.【詳解】解：由題意，滿足條件的數(shù)列中的4項(xiàng)有四種情況：（1）4項(xiàng)中每一項(xiàng)都不同，共有個；（2）4項(xiàng)中有2項(xiàng)相同（如x,y,z,x）,共有個；（3）4項(xiàng)中有3項(xiàng)相同（如x,x,y,x）,共有個；（4）4項(xiàng)中兩兩相同（如x,y,x,y）,共有個；所以數(shù)列共有個.故選：A.例題2.定義域?yàn)榧蟵1，2，3，…，12}上的函數(shù)滿足：（1）；（2）（）；（3）、、成等比數(shù)列；這樣的不同函數(shù)的個數(shù)為（

）A．155 B．156 C．157 D．158【答案】A【分析】根據(jù)題意，分析出的所有可能取值，得到使、、成等比數(shù)列時對應(yīng)的項(xiàng)，再運(yùn)用計數(shù)原理求出這樣不同函數(shù)的個數(shù)即可.【詳解】根據(jù)題意，的取值最大值為，最小值為，并且成為以2為公差的等差數(shù)列，故的可能取值為，的可能取值為，所有能使、、成等比數(shù)列時，、、的可能取值只有2種情況：①、、；②、、，由于（），所有或，即得到后項(xiàng)時，把前項(xiàng)加1或者把前項(xiàng)減1，（1）當(dāng)、、時，即要構(gòu)造滿足條件的等比數(shù)列分為2步，第一步：從變化到，第二步：從變化到，從變化到，有5次變化，函數(shù)值從1變化到2，故應(yīng)從5次中選擇3次加1，2次減1，則對應(yīng)的方法有種，從變化到，有6次變化，函數(shù)值從2變化到4，故應(yīng)從6次中選擇4次加1，2次減1，則對應(yīng)的方法有種，故根據(jù)分布乘法原理，共有種，（1）當(dāng)、、時，即要構(gòu)造滿足條件的等比數(shù)列分為2步，第一步：從變化到，第二步：從變化到，從變化到，有5次變化，函數(shù)值從1變化到，故應(yīng)從5次中選擇1次加1，4次減1，則對應(yīng)的方法有種，從變化到，有6次變化，函數(shù)值從變化到4，故應(yīng)從6次中選擇6次加1，則對應(yīng)的方法有種，故根據(jù)分布乘法原理，共有種，綜上：滿足條件的共有155個.故選：A.【練題型】1.設(shè)整數(shù)數(shù)列，，…，滿足，，且，，則這樣的數(shù)列的個數(shù)為___________.【答案】80【分析】由條件可知，，則或，由此構(gòu)造新數(shù)列進(jìn)而求得答案.【詳解】設(shè)，則有…①，…②，用t表示中值為2的項(xiàng)數(shù)，由②知，t也是中值為2的項(xiàng)數(shù)，其中，所以的取法數(shù)為，取定后，任意指定的值，有種方式.由①知，應(yīng)取使得為偶數(shù)，而這樣的的取法是唯一的，并且確定了整數(shù)的值，進(jìn)而數(shù)列唯一對應(yīng)一個滿足條件的數(shù)列，綜上可知，滿足條件的數(shù)列的個數(shù)為20×4=80.故答案為：80.2.已數(shù)列，令為，，，中的最大值2，，，則稱數(shù)列為“控制數(shù)列”，數(shù)列中不同數(shù)的個數(shù)稱為“控制數(shù)列”的“階數(shù)”例如：為1，3，5，4，2，則“控制數(shù)列”為1，3，5，5，5，其“階數(shù)”為3，若數(shù)列由1，2，3，4，5，6構(gòu)成，則能構(gòu)成“控制數(shù)列”的“階數(shù)”為2的所有數(shù)列的首項(xiàng)和是______．【答案】1044【分析】根據(jù)新定義，分別利用排列、組合，求出首項(xiàng)為1，2，3，4，5的所有數(shù)列，再求出和即可．【詳解】依題意得，首項(xiàng)為1的數(shù)列有1，6，a，b，c，d，故有種，首項(xiàng)為2的數(shù)列有2，1，6，b，c，d，或2，6，a，b，c，d，故有種，首項(xiàng)為3的數(shù)列有3，6，a，b，c，d，或3，1，6，b，c，d，或3，2，6，b，c，d或3，1，6，c，d或，3，2，1，6，c，d，故有種，首項(xiàng)為4的數(shù)列有種，即4，6，a，b，c，d，有種，4，1，6，b，c，d，或4，2，6，b，c，d，或4，3，6，b，c，d，有種，4，a，b，6，c，d，其中a，2，，則有種，4，a，b，c，6，d，其中a，b，2，，則有6種，首項(xiàng)為5的數(shù)列有種，即5，6，a，b，c，d，有種，5，1，6，b，c，d，或5，2，6，b，c，d，或5，3，6，b，c，d，或5，4，6，b，c，d有種，5，a，b，6，c，d，其中a，2，3，，則有種，5，a，b，c，6，d，其中a，b，2，3，，則有24種，5，a，b，c，d，6，其中a，b，c，2，3，，則有24種，綜上，所有首項(xiàng)的和為．故答案為10443.已知數(shù)列共16項(xiàng)，且，記關(guān)于x的函數(shù)，，若是函數(shù)的極值點(diǎn)，且曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為15，則滿足條件的數(shù)列的個數(shù)_____.【答案】1176【分析】對求導(dǎo)，由題意可知,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求得或，分類討論,根據(jù)分類加法及分步乘法計數(shù)原理，即可求得滿足條件的