核心考點10計數(shù)原理

核心考點10計數(shù)原理目錄一．古典概型及其概率計算公式（共10小題）二．分類加法計數(shù)原理（共3小題）三．分步乘法計數(shù)原理（共2小題）四．計數(shù)原理的應用（共4小題）五．排列及排列數(shù)公式（共5小題）六．組合及組合數(shù)公式（共10小題）七．排列、組合及簡單計數(shù)問題（共10小題）八．二項式定理（共10小題）考點考點考向一．古典概型及其概率計算公式【考點歸納】1．定義：如果一個試驗具有下列特征：（1）有限性：每次試驗可能出現(xiàn)的結果（即基本事件）只有有限個；（2）等可能性：每次試驗中，各基本事件的發(fā)生都是等可能的．則稱這種隨機試驗的概率模型為古典概型．*古典概型由于滿足基本事件的有限性和基本事件發(fā)生的等可能性這兩個重要特征，所以求事件的概率就可以不通過大量的重復試驗，而只要通過對一次試驗中可能出現(xiàn)的結果進行分析和計算即可．2．古典概率的計算公式如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結果有n個，而且所有結果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個基本事件的概率都是；如果某個事件A包含的結果有m個，那么事件A的概率為P（A）＝＝．【解題技巧】1．注意要點：解決古典概型的問題的關鍵是：分清基本事件個數(shù)n與事件A中所包含的基本事件數(shù)．因此要注意清楚以下三個方面：（1）本試驗是否具有等可能性；（2）本試驗的基本事件有多少個；（3）事件A是什么．2．解題實現(xiàn)步驟：（1）仔細閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；（2）判斷本試驗的結果是否為等可能事件，設出所求事件A；（3）分別求出基本事件的個數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個數(shù)m；（4）利用公式P（A）＝求出事件A的概率．3．解題方法技巧：（1）利用對立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．二．列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率【知識點的知識】1、等可能條件下概率的意義：一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結果，那么事件A發(fā)生的概率為P（A）＝．等可能條件下概率的特征：（1）對于每一次試驗中所有可能出現(xiàn)的結果都是有限的；（2）每一個結果出現(xiàn)的可能性相等．2、概率的計算方法：（1）列舉法（列表或畫樹狀圖），（2）公式法；列表法或樹狀圖這兩種舉例法，都可以幫助我們不重不漏的列出所以可能的結果．列表法（1）定義：用列出表格的方法來分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法．（2）列表法的應用場合當一次試驗要設計兩個因素，并且可能出現(xiàn)的結果數(shù)目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用列表法．樹狀圖法（1）定義：通過列樹狀圖列出某事件的所有可能的結果，求出其概率的方法叫做樹狀圖法．（2）運用樹狀圖法求概率的條件當一次試驗要設計三個或更多的因素時，用列表法就不方便了，為了不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用樹狀圖法求概率．三．分類加法計數(shù)原理【知識點的認識】1．定義：完成一件事有兩類不同方案：在第1類辦法中有m種不同的方法，在第2類辦法中有n種不同的方法，那么完成這件事共有：N＝m+n種不同的方法．2．推廣：完成一件事有n類不同方案：在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2種不同的方法，…，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有：N＝m1+m2+…+mn種不同的方法．3．特點：（1）完成一件事的n類方案相互獨立；（2）同一類方案中的各種方法相對獨立．（3）用任何一類方案中的任何一種方法均可獨立完成這件事；4．注意：與分步乘法計數(shù)原理區(qū)別分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理相同點計算“完成一件事”的方法種數(shù)不同點分類完成，類類相加分步完成，步步相乘每類方案中的每一種方法都能獨立完成這件事每步依次完成才算完成這件事情（每步中的每一種方法不能獨立完成這件事）注意點類類獨立，不重不漏步步相依，步驟完整【解題步驟】如果完成一件事情有n類方案，且每一類方案中的任何一種方法均能獨立完成這件事，則可使用分類加法計數(shù)原理．實現(xiàn)步驟：（1）分類；（2）對每一類方法進行計數(shù)；（3）用分類加法計數(shù)原理求和；【命題方向】與實際生活相聯(lián)系，以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，并綜合排列組合知識成為能力型題目，主要考查學生分析問題和解決問題的能力及分類討論思想．四．分步乘法計數(shù)原理【知識點的認識】1．定義：完成一件事需要分成兩個步驟：做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有：N＝m×n種不同的方法．2．推廣：完成一件事需要分成n個步驟：做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有：N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．3．特點：完成一件事的n個步驟相互依存，必須依次完成n個步驟才能完成這件事；4．注意：與分類加法計數(shù)原理區(qū)別分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理相同點計算“完成一件事”的方法種數(shù)不同點分類完成，類類相加分步完成，步步相乘每類方案中的每一種方法都能獨立完成這件事每步依次完成才算完成這件事情（每步中的每一種方法不能獨立完成這件事）注意點類類獨立，不重不漏步步相依，步驟完整【解題步驟】如果完成一件事情有n個步驟，各個步驟都是不可缺少的，需要依次完成所有的步驟才能完成這件事，則可使用分步乘法計數(shù)原理．實現(xiàn)步驟：（1）分步；（2）對每一步的方法進行計數(shù)；（3）用分步乘法計數(shù)原理求積；【命題方向】與實際生活相聯(lián)系，以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，并綜合排列組合知識成為能力型題目，主要考查學生分析問題和解決問題的能力及分類討論思想．五．計數(shù)原理的應用【知識點的認識】1．兩個計數(shù)原理（1）分類加法計數(shù)原理：N＝m1+m2+…+mn（2）分步乘法計數(shù)原理：N＝m1×m2×…×mn2．兩個計數(shù)原理的比較分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理共同點都是計數(shù)原理，即統(tǒng)計完成某件事不同方法種數(shù)的原理．不同點分類完成，類類相加分步完成，步步相乘n類方案相互獨立，且每類方案中的每種方法都能獨立完成這件事n個步驟相互依存，每步依次完成才算完成這件事情（每步中的每一種方法不能獨立完成這件事）注意點類類獨立，不重不漏步步相依，步驟完整【解題方法】1．計數(shù)原理的應用（1）如果完成一件事的各種方法是相互獨立的，那么計算完成這件事的方法數(shù)時，使用分類加法計數(shù)原理；（2）如果完成一件事的各個步驟是相互聯(lián)系的，即各個步驟都必須完成，這件事才告完成，那么計算完成這件事的方法數(shù)時，使用分步乘法計數(shù)原理．2．解題步驟（1）指明要完成一件什么事，并依事件特點確定是“分n類”還是“分n步”；（2）求每“類”或每“步”中不同方法的種數(shù)；（3）利用“相加”或“相乘”得到完成事件的方法總數(shù)；（4）作答．【命題方向】分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理是推導排列數(shù)、組合數(shù)公式的理論基礎，也是求解排列、組合問題的基本思想方法．常見考題類型：（1）映射問題（2）涂色問題（①區(qū)域涂色②點的涂色③線段涂色④面的涂色）（3）排數(shù)問題（①允許有重復數(shù)字②不允許有重復數(shù)字）六．排列及排列數(shù)公式【考點歸納】1．定義（1）排列：一般地，從n個不同的元素中任取m（m≤n）個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．（其中被取的對象叫做元素）（2）排列數(shù)：從n個不同的元素中取出m（m≤n）個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號表示．2．相關定義：（1）全排列：一般地，n個不同元素全部取出的一個排列，叫做n個不同元素的一個全排列．（2）n的階乘：正整數(shù)由1到n的連乘積，叫做n的階乘，用n!表示．（規(guī)定0!＝1）3．排列數(shù)公式（1）排列計算公式：＝．m，n∈N+，且m≤n．（2）全排列公式：＝n?（n﹣1）?（n﹣2）?…?3?2?1＝n!．七．組合及組合數(shù)公式【考點歸納】1．定義（1）組合：一般地，從n個不同元素中，任意取出m（m≤n）個元素并成一組，叫做從n個元素中任取m個元素的一個組合．（2）組合數(shù)：從n個不同元素中，任意取出m（m≤n）個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中，任意取出m個元素的組合數(shù)，用符號表示．2．組合數(shù)公式：＝．m，n∈N+，且m≤n．3．組合數(shù)的性質：性質1性質2．八．排列、組合及簡單計數(shù)問題【知識點的知識】1、排列組合問題的一些解題技巧：①特殊元素優(yōu)先安排；②合理分類與準確分步；③排列、組合混合問題先選后排；④相鄰問題捆綁處理；⑤不相鄰問題插空處理；⑥定序問題除法處理；⑦分排問題直排處理；⑧“小集團”排列問題先整體后局部；⑨構造模型；⑩正難則反、等價轉化．對于無限制條件的排列組合問題應遵循兩個原則：一是按元素的性質分類，二是按時間發(fā)生的過程進行分步．對于有限制條件的排列組合問題，通常從以下三個途徑考慮：①以元素為主考慮，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素；②以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置；③先不考慮限制條件，計算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列或組合數(shù)．2、排列、組合問題幾大解題方法：（1）直接法；（2）排除法；（3）捆綁法：在特定要求的條件下，將幾個相關元素當作一個元素來考慮，待整體排好之后再考慮它們“局部”的排列．它主要用于解決“元素相鄰問題”；（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它們之間或兩端的空檔中，此法主要解決“元素不相鄰問題”；（5）占位法：從元素的特殊性上講，對問題中的特殊元素應優(yōu)先排列，然后再排其他一般元素；從位置的特殊性上講，對問題中的特殊位置應優(yōu)先考慮，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解題原則；（6）調序法：當某些元素次序一定時，可用此法；（7）平均法：若把kn個不同元素平均分成k組，每組n個，共有；（8）隔板法：常用于解正整數(shù)解組數(shù)的問題；（9）定位問題：從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列規(guī)定某r個元素都包含在內，并且都排在某r個指定位置則有；（10）指定元素排列組合問題：①從n個不同元素中每次取出k個不同的元素作排列（或組合），規(guī)定某r個元素都包含在內．先C后A策略，排列；組合；②從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列（或組合），規(guī)定某r個元素都不包含在內．先C后A策略，排列；組合；③從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列（或組合），規(guī)定每個排列（或組合）都只包含某r個元素中的s個元素．先C后A策略，排列；組合．九．二項式定理【二項式定理】又稱牛頓二項式定理．公式（a+b）n＝?nian﹣i?bi．通過這個定理可以把一個多項式的多次方拆開．例1：用二項式定理估算1.0110＝1.105．（精確到0.001）解：1.0110＝（1+0.01）10＝110+C101?19×0.01+C102?18?0.012≈1+0.1+0.0045≈1.105．故答案為：1.105．這個例題考查了二項式定理的應用，也是比較常見的題型．例2：把把二項式定理展開，展開式的第8項的系數(shù)是．解：由題意T8＝C107×＝120×3i＝360i．故答案為：360i．通過這兩個例題，大家可以看到二項式定理的重點是在定理，這類型的題都是圍著這個定理運作，解題的時候一定要牢記展開式的形式，能正確求解就可以了．【性質】1、二項式定理一般地，對于任意正整數(shù)n，都有這個公式就叫做二項式定理，右邊的多項式叫做（a+b）n的二項展開式．其中各項的系數(shù)叫做二項式系數(shù)．注意：（1）二項展開式有n+1項；（2）二項式系數(shù)與二項展開式系數(shù)是兩個不同的概念；（3）每一項的次數(shù)是一樣的，即為n次，展開式依a的降冪排列，b的升冪排列展開；（4）二項式定理通常有如下變形：①；②；（5）要注意逆用二項式定理來分析問題、解決問題．2、二項展開式的通項公式二項展開式的第n+1項叫做二項展開式的通項公式．它體現(xiàn)了二項展開式的項數(shù)、系數(shù)、次數(shù)的變化規(guī)律，是二項式定理的核心，它在求展開式的某些特定的項及其系數(shù)方面有著廣泛的應用．注意：（1）通項公式表示二項展開式的第r+1項，該項的二項式系數(shù)是?nr；（2）字母b的次數(shù)和組合數(shù)的上標相同；（3）a與b的次數(shù)之和為n．3、二項式系數(shù)的性質．（1）對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即；（2）增減性與最大值：當k＜時，二項式系數(shù)是逐漸增大的．由對稱性知，它的后半部分是逐漸減小的，且在中間取最大值．當n為偶數(shù)時，則中間一項的二項式系數(shù)最大；當n為奇數(shù)時，則中間的兩項，相等，且同時取得最大值．考點考點精講一．古典概型及其概率計算公式（共10小題）1．（2022秋?徐匯區(qū)校級期末）小陳擲兩次骰子出現(xiàn)6的概率為．【分析】根據(jù)古典概型求解即可．【解答】解：第一次不出現(xiàn)6的概率為，第二次不出現(xiàn)6的概率也為，則擲兩次骰子都不出現(xiàn)6的概率為，故擲兩次骰子出現(xiàn)6的概率為1﹣，故答案為：．【點評】本題主要考查古典概型，屬于基礎題．2．（2023?上海模擬）上海電視臺五星體育頻道有一檔四人撲克牌競技節(jié)目“上海三打一”，在打法中有—種“三帶二”的牌型，即點數(shù)相同的三張牌外加一對牌，（三張牌的點數(shù)必須和對牌的點數(shù)不同）．在一副不含大小王的52張撲克牌中不放回的抽取五次，已知前三次抽到兩張A，一張K，則接下來兩次抽取能抽到“三帶二”的牌型（AAAKK或KKKAA）的概率為．【分析】從52張撲克牌中不放回的抽取三次之后，還剩49張牌，至此，將所求概率問題轉化為一般的古典概型，求出不放回的抽取兩次的方法總數(shù)，以及抽到一張A一張K或抽到兩張K的方法總數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式計算概率即可．【解答】解：由題意，從一副不含大小王的52張撲克牌中不放回的抽取三次，抽到兩張A，一張K，還剩49張撲克，其中有兩張A，三張K，再不放回的抽取兩次，共有49×48（種）抽法，抽到一張A一張K的方法有2×3+3×2＝12（種），抽到兩張K的方法有3×2＝6（種），故接下來兩次抽取能抽到“三帶二”的牌型的方法有12+6＝18（種），故所求概率為P＝＝．故答案為：．【點評】本題主要考查了古典概型的概率公式，屬于基礎題．3．（2022秋?靜安區(qū)期末）現(xiàn)有5根細木棍，長度分別為1、3、5、7、9（單位：cm），從中任取3根，能搭成一個三角形的概率是0.3．【分析】根據(jù)古典概型，先求出樣本空間，再求出條件空間即可．【解答】解：從5根木棍中任取3個共有C＝10種，符合條件有（3，5，7），（3，7，9），（5，7，9），共3種，∴能搭成一個三角形的概率為＝0.3，故答案為：0.3．【點評】本題主要考查古典概型的問題，熟記概率的計算公式即可，屬于?？碱}型．4．（2022秋?楊浦區(qū)校級期末）電影公司隨機收集了電影的有關數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到如表：電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)16080260200740560好評率0.40.30.20.250.30.15（好評率是指：一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值）從這六類電影中隨機選取一部電影，則估計這部電影沒有獲得好評的概率為．【分析】分別求得總的電影部數(shù)和獲得好評的電影部數(shù)，由古典概率和對立事件的概率公式，可得所求值．【解答】解：總的電影部數(shù)為160+80+260+200+740+560＝2000，獲得好評的電影部數(shù)為160×0.4+80×0.3+260×0.2+200×0.25+740×0.3+560×0.15＝496，這部電影獲得好評的概率為＝，故這部電影沒有獲得好評的概率為1﹣＝．故答案為；．【點評】本題考查古典概型和概率計算公式，考查運算能力，屬于基礎題．5．（2022秋?楊浦區(qū)校級期末）8個男生和4個女生排成一排，要求女生不排在兩端，則4個女生排在一起的概率為．【分析】由分步計數(shù)原理和古典概型計算公式，可得所求值．【解答】解：8個男生和4個女生排成一排，要求女生不排在兩端，可以排男生，則總數(shù)為AA，4個女生排在一起的總數(shù)為AAA，則4個女生排在一起的概率為＝，故答案為：．【點評】本題考查古典概型和概率計算公式，考查運算能力，屬于基礎題．6．（2022秋?楊浦區(qū)校級期末）某高中已經(jīng)從高一、高二、高三3個年級中各挑選出4男5女，現(xiàn)從這27人中選出一人評選區(qū)三好學生，則此人是男生或是高二年級學生的概率是．【分析】設A是“選出的一人為男生”，B是“選出的一人為高二年級學生”，AB是“選出的一人是高二年級的男生”，由古典概型公式和P（A+B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB），計算可得所求值．【解答】解：設A是“選出的一人為男生”，B是“選出的一人為高二年級學生”，AB是“選出的一人是高二年級的男生”，則P（A）＝，P（B）＝＝，P（AB）＝，所以P（A+B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝+﹣＝．故答案為：．【點評】本題考查古典概型和概率計算公式，考查運算能力和推理能力，屬于基礎題．7．（2022秋?徐匯區(qū)校級期末）從{1，2，3，4，5}中隨機取兩個元素（可相同），則這兩個元素的積不是6的倍數(shù)的概率為．【分析】根據(jù)古典概型定義可解．【解答】解：從{1，2，3，4，5}中隨機取兩個元素，則有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，3），（3，4），（3，5），（4，4），（4，5），（5，5），共15種取法，則兩個元素的積不是6的倍數(shù)有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，2），（2，4），（2，5），（3，3），（3，5），（4，4），（4，5），（5，5），共13種，則這兩個元素的積不是6的倍數(shù)的概率為【點評】本題考查古典概型概率計算，屬于基礎題．8．（2022秋?徐匯區(qū)校級期末）第14屆國際數(shù)學教育大會（ICME﹣14）于2021年7月12日至18日在上海舉辦，已知張老師和李老師都在7天中隨機選擇了連續(xù)的3天參會，則兩位老師所選的日期恰好都不相同的概率為．【分析】設7天的編號依次為1，2，3，4，5，6，7，則連續(xù)的三天分別為：123，234，345，456，567，共5種情況，分別求出兩人總的選擇的個數(shù)以及所求事件的個數(shù)，然后根據(jù)古典概型的概率計算公式即可求解．【解答】解：設7天的編號依次為1，2，3，4，5，6，7，則連續(xù)的三天分別為：123，234，345，456，567，共5種情況，所以張老師與李老師隨機選擇的總數(shù)為C＝25種情況，兩人選擇的日期恰好都不相同的分別為（123，456），（123，567），（234，567），（456，123），（567，123），（567，234）共6種情況，所以所求事件的概率為，故答案為：．【點評】本題考查了古典概型的概率計算公式的應用，考查了學生的理解運算能力，屬于基礎題．9．（2023?浦東新區(qū)模擬）數(shù)學老師從6道習題中隨機抽3道讓同學檢測，規(guī)定至少要解答正確2道題才能及格．某同學只能求解其中的4道題，則他能及格的概率是．【分析】先求出基本事件總數(shù)n＝，再求出他能及格包含的基本事件個數(shù)m＝＝16，由此能求出他能及格的概率．【解答】解：數(shù)學老師從6道習題中隨機抽3道讓同學檢測，基本事件總數(shù)n＝，規(guī)定至少要解答正確2道題才能及格．某同學只能求解其中的4道題，則他能及格包含的基本事件個數(shù)m＝＝16，∴他能及格的概率p＝．故答案為：．【點評】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想，是基礎題．10．（2023?上海）為了學習宣傳黨的二十大精神，某校學生理論宣講團赴社區(qū)宣講，已知有4名男生，6名女生，從10人中任選3人，則恰有1名男生2名女生的概率為0.5．【分析】根據(jù)古典概型求解即可．【解答】解：從10人中任選3人的事件個數(shù)為，恰有1名男生2名女生的事件個數(shù)為，則恰有1名男生2名女生的概率為，故答案為：0.5．【點評】略二．分類加法計數(shù)原理（共3小題）11．（2020?上海）已知A＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，a、b∈A，則|a|＜|b|的情況有18種．【分析】先討論a的取值，得到對應b的值，再整體求和即可．【解答】解：當a＝﹣3，0種，當a＝﹣2，2種，當a＝﹣1，4種；當a＝0，6種，當a＝1，4種；當a＝2，2種，當a＝3，0種，故共有：2+4+6+4+2＝18．故答案為：18．【點評】本題主要考查分類討論思想在概率中的應用，屬于基礎題目．12．（2023春?閔行區(qū)月考）小張同學計劃從6本歷史類讀本、5本軍事類讀本和3本哲學類讀本中任選1本閱讀，則不同的選法共有14種．【分析】根據(jù)分類加法計數(shù)原理可解決此題．【解答】解：根據(jù)分類加法計數(shù)原理可知，小張同學計劃從6本歷史類讀本、5本軍事類讀本和3本哲學類讀本中任選1本閱讀，共有6+5+3＝14種不同的選法．【點評】本題考查分類加法計數(shù)原理應用，考查數(shù)學運算能力及抽象能力，屬于基礎題．13．（2022?崇明區(qū)二模）某學校每天安排4項課后服務供學生自愿選擇參加．學校規(guī)定：（1）每位學生每天最多選擇1項；（2）每位學生每項一周最多選擇1次．學校提供的安排表如下：時間周一周二周三周四周五課后服務音樂、閱讀、體育、編程口語、閱讀、編程、美術手工、閱讀、科技、體育口語、閱讀、體育、編程音樂、口語、美術、科技若某學生在一周內共選擇了閱讀、體育、編程3項，則不同的選擇方案共有14種．（用數(shù)值表示）【分析】根據(jù)題意，由表可知周一至周四都可選閱讀，周一，周三和周四可選體育，周一，周二和周四可選編程，由此分4種情況討論，由加法原理計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，由表可知周一至周四都可選閱讀，周一，周三和周四可選體育，周一，周二和周四可選編程，故分4種情況討論：當周一選閱讀，若體育選周三，編程有2種方法，若體育選周四，編程有1種方法，共3種選法，當周二選閱讀，若編程選周一，體育有2種方法，若編程選周四，體育有2種方法，共4種選法，當周三選閱讀，若體育選周一，編程有2種方法，若體育選周四，編程有2種方法，共4種選法，當周四選閱讀，若體育選周一，編程有1種方法，若體育選周三，編程有2種方法，共3種選法，再由分類加法計數(shù)原理可得不同的選課方案共有3+4+4+3＝14種．故答案為：14．【點評】本題考查排列組合的應用，涉及分類計數(shù)原理的應用，屬于基礎題．三．分步乘法計數(shù)原理（共2小題）14．（2020春?徐匯區(qū)校級期中）從甲地到乙地有2條路可走，從乙地到丙地有3條路可走，從甲地到丁地有4條路可走，從丁地到丙地有2條路可走，從甲地到丙地共有14種不同的走法．【分析】兩條路線可選：甲地→乙地→丙地；甲地→丁地→丙地，再由分類計數(shù)原理，得解．【解答】解：從甲地到丙地有兩條路線可選：路線一：甲地→乙地→丙地，共有2×3＝6種；路線二：甲地→丁地→丙地，共有4×2＝8種，由分類計數(shù)原理知，共有6+8＝14種不同的走法．故答案為：14．【點評】本題考查分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，屬于基礎題．15．（2022春?長寧區(qū)校級期末）將3封不同的信投入4個不同的郵箱，則有64種不同投法．【分析】根據(jù)題意可知每封信都有4種不同的投法，由分步計數(shù)原理可得結果．【解答】解：因為第一封信有4種投法，第二封信有4種投法，第三封信有4種投法，所以由分步乘法計數(shù)原理知，共有不同投法43＝64（種）．故答案為：64．【點評】本題主要考查了分步計數(shù)原理的應用，屬基礎題．四．計數(shù)原理的應用（共4小題）16．（2021春?浦東新區(qū)校級期末）有6本不同的書按下列分配方式分配，問共有多少種不同的分配方式？（1）分成1本、2本、3本三組；（2）分給甲、乙、丙人，其中一個人1本，一個人2本，一個人3本；（3）分成每組都是2本的三個組；（4）分給甲、乙、丙三人，每個人2本．【分析】（1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本，是無序不均勻分組問題，直接利用組合數(shù)公式求解即可．（2）甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本，甲、乙、丙三人有序不均勻分組問題．直接求出即可．（3）平均分成三份，每份2本．這是平均分組問題，列舉（AB，CD，EF），（AB，EF，CD）、（CD，AB，EF）、（CD，EF，AB）、（EF，CD，AB）、（EF，AB，CD）是一種分法，求出組合總數(shù)除以A33即可．（4）分給甲、乙、丙三人，每個人2本，甲、乙、丙三人有序均勻分組問題．直接求出即可【解答】解：（1）無序不均勻分組問題．先選1本有C16種選法；再從余下的5本中選2本有C25種選法；最后余下3本全選有C33種方法，故共有C16C25C33＝60種．（2）有序不均勻分組問題．由于甲、乙、丙是不同的三人，在第（1）題基礎上，還應考慮再分配，共有C16C25C33A33＝360種．（3）無序均勻分組問題．先分三步，則應是C26C24C22種方法，但是這里出現(xiàn)了重復．不妨記6本書為A、B、C、D、E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，記該種分法為（AB，CD，EF），則C26C24C22種分法中還有（AB，EF，CD）、（CD，AB，EF）、（CD，EF，AB）、（EF，CD，AB）、（EF，AB，CD），共A33種情況，而這A33種情況僅是AB、CD、EF的順序不同，因此只能作為一種分法，故分配方式有＝15種．（4）在（3）的基礎上，還應考慮再分配，共有15A33＝90種．【點評】本題考查排列、組合及簡單計數(shù)問題，正確區(qū)分無序不均勻分組問題．有序不均勻分組問題．無序均勻分組問題．是解好組合問題的一部分；本題考查計算能力，理解能力17．（2021春?徐匯區(qū)校級期中）54的不同正約數(shù)有8個．【分析】根據(jù)正約數(shù)的定義，即可求解．【解答】解：54的正約數(shù)有1，2，3，6，9，18，27，54，共8個．故答案為：8．【點評】本題主要考查了正約數(shù)的定義，即可求解．18．（2023春?閔行區(qū)月考）五名旅客在三家旅店投宿的方法有243種．【分析】根據(jù)題意，分析可得：完成這件事，可分成五個步驟：每一步依次安排一名旅客，都各自有3種方法，由分步計數(shù)原理，計算可得答案．【解答】解：完成這件事，可分成五個步驟：第一步安排一名旅客，有3種投宿方法，同理第二步，第三步，第四步，第五步依次安排一名旅客，都各自有3種方法，根據(jù)分步計數(shù)原理，得到五名旅客在三家旅店投宿的方法有N＝3×3×3×3×3＝35＝243（種）；故答案為：243．【點評】本題考查分步計數(shù)原理的運用，解題時首先要分析題意，明確題目中的關系，是分步問題還是分類問題．19．（2022春?青浦區(qū)校級期末）6個人排成一排，甲、乙兩人相鄰的排法有240種．【分析】甲、乙兩人相鄰可以捆綁看成一個元素，而甲乙可以交換位置，利用排列即可得出結論．【解答】解：甲、乙兩人相鄰可以捆綁看成一個元素，而甲乙可以交換位置，因此6個人排成一排，甲、乙兩人相鄰的排法有?＝240種．故答案為：240．【點評】本題考查了排列數(shù)的意義及其計算公式、轉化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．五．排列及排列數(shù)公式（共5小題）20．（2022春?浦東新區(qū)校級期末）＝120．【分析】根據(jù)組合數(shù)公式計算即可．【解答】解：＝＝＝120．故答案為：120．【點評】本題考查了組合數(shù)公式的應用問題，是基礎題目．21．（2022秋?嘉定區(qū)校級期中）若，則x＝5．【分析】根據(jù)排列數(shù)，組合數(shù)公式，進行化簡即可求解．【解答】解：3＝3＝，＝（x+1）x，由，得＝（x+1）x，∵x＞0，∴x＝5，故答案為：5．【點評】本題考查了排列數(shù)，組合數(shù)公式的應用，是基礎題．22．（2022春?閔行區(qū)校級期末）求滿足下列方程組的正整數(shù)的解：（1）；（2）．【分析】利用排列、組合公式列方程，并化簡求值即可，注意n的范圍．【解答】解：（1）由＝，可得2n（2n﹣1）（2n﹣2）＝28n（n﹣1），而n≥2，故2n﹣1＝7，可得n＝4；（2）﹣＝+，可得﹣＝+n+1，所以2n+3＝，則n2﹣3n﹣4＝（n﹣4）（n+10）＝0，而n≥2，故n＝4．【點評】本題考查了組合數(shù)公式的應用問題，也考查了邏輯推理與證明的應用問題，是基礎題．23．（2022?黃浦區(qū)模擬）已知m∈N*，用非負整數(shù)n1、n2表示m，m＝n1+，若Am為其表示方法的數(shù)組（n1，n2）的個數(shù)，則Am＝m+1．【分析】對任意正整數(shù)m，有m＝0+＝1+＝2+＝……＝m+，從而求出Am的不等式．【解答】解：對任意正整數(shù)m，有m＝0+＝1+＝2+＝……＝m+，∴Am＝m+1，故答案為：m+1．【點評】本題主要考查了排列組合知識，屬于基礎題．24．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）對于任意正整數(shù)n，定義“n的雙階乘n!!”如下：對于n是偶數(shù)時，n!!＝n（n﹣2）（n﹣4）???6×4×2；對于n是奇數(shù)時，n!!＝n（n﹣2）（n﹣4）???5×3×1．現(xiàn)有如下四個命題：①（2021!!）?（2022!!）＝2022!；②2022!!＝21011?1011!；③2022!!的個位數(shù)是0；④2023!!的個位數(shù)是5．正確的命題序號為①②③④．【分析】利用新定義，結合階乘的定義依次判斷即可．【解答】解：由n的雙階乘n!!的定義知，（2021!!）?（2022!!）＝2021×2019×2017×……×1×2022×2020×……×2＝2022!，故①正確；2022!!＝2022×2020×……×2＝21011?1011!，故②正確；2022!!的因數(shù)中有10，故其個位數(shù)是0，故③正確；2023!!的因數(shù)中有5，且沒有偶數(shù)，故其個位數(shù)是5，故④正確．故答案為：①②③④．【點評】本題考查了排列組合公式的變形應用，屬于中檔題．六．組合及組合數(shù)公式（共10小題）25．（2022秋?寶山區(qū)校級期末）若，則x＝（）A．2 B．5 C．2或5 D．7【分析】由組合數(shù)性質可求x的值．【解答】解：由，可得x＝2或x＝7﹣2＝5．故選：C．【點評】本題考查組合數(shù)公式及其性質，屬基礎題．26．（2022春?奉賢區(qū)校級月考）“n＝3”是“”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【分析】利用組合數(shù)公式，再借助充分必要條件的定義判斷即可．【解答】解：∵，∴n＝3或n+3＝8，∴n＝3或n＝5，∴n＝3是的充分不必要條件，故選：A．【點評】本題考查了組合數(shù)公式的應用，充分必要條件的判斷，是基礎題．27．（2022?虹口區(qū)校級開學）關于排列組合的方程的解是n＝8．【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質及排列數(shù)轉化為n的方程，解得即可．【解答】解：因為，所以，即為，解得n＝8．故答案為：n＝8．【點評】本題主要考查組合數(shù)和排列數(shù)公式，屬于基礎題．28．（2022春?松江區(qū)校級期末）若C＝C，則正整數(shù)x的值是5或7．【分析】根據(jù)組合公式，由C＝C列方程求解即可．【解答】解：C＝C，則2x﹣1＝x+6或2x﹣1+x+6＝20，解得x＝5或x＝7．故答案為：5或7．【點評】本題考查了組合數(shù)公式的應用問題，是基礎題．29．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）已知，則m＝4或14．【分析】利用+＝化簡即可得出結論．【解答】解：由+＝，，可得：＝，∴m+1＝5，或m+1+5＝20，解得m＝4或m＝14，故答案為：4或14．【點評】本題考查了組合數(shù)的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．30．（2023春?閔行區(qū)月考）解方程（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)得到x+2＝4或x+2＝6，計算得到答案；（2）根據(jù)排列公式計算得到答案．【解答】解：（1），則x+2＝4或x+2＝6，解得x＝2或x＝4；（2），即（2n+1）（2n）（2n﹣1）（2n﹣2）＝126n（n﹣1）（n﹣2），化簡得到：8n2﹣63n+124＝0，解得n＝4或（舍去）．【點評】本題主要考查排列數(shù)、組合數(shù)的公式，屬于基礎題．31．（2022春?青浦區(qū)校級期末）（1）解不等式；（2）已知，，成等差數(shù)列，求的值．【分析】（1）由排列數(shù)公式及性質列出不等式組即可求解；（2）由題意，2＝+，利用組合數(shù)公式及性質化簡，然后求解方程即可得答案．【解答】解：（1）因為，所以＜6×，所以（8﹣m）（7﹣m）＜6，又，解得m＝6；（2）因為，，成等差數(shù)列，所以2＝+，所以2＝+，即＝+，所以n2﹣21n+98＝0，又n≥12，且n∈N*，解得n＝14，所以，＝＝91．【點評】本題考查了組合數(shù)公式的應用問題，也考查了邏輯推理與證明的應用問題，是基礎題目．32．（2022秋?徐匯區(qū)校級期末）若（n∈N*），則n＝5．【分析】利用組合數(shù)公式直接求解．【解答】解：∵，∴﹣＝，解得n＝5或n＝0（舍）．故答案為：5．【點評】本題考查組合方程的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意組合數(shù)公式的合理運用．33．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）若，則r＝7或3．【分析】由題意利用組合數(shù)的計算公式，組合數(shù)的性質，求得n的值．【解答】解：∵；則r＝3，或r+3＝10，求得r＝3或r＝7，故答案為：3或7．【點評】本題主要考查組合數(shù)的計算公式，組合數(shù)的性質，屬于基礎題．34．（2022秋?靜安區(qū)校級期中），求正整數(shù)x的值．【分析】由題意，利用組合數(shù)的性質，求得x的值．【解答】解：∵，∴2x﹣1＝x+3或2x﹣1+x+3＝8，求得正整數(shù)x＝4或x＝2．【點評】本題主要考查組合數(shù)的性質，屬于基礎題．七．排列、組合及簡單計數(shù)問題（共10小題）35．（2022秋?寶山區(qū)校級期末）4名同學到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名同學，則不同的安排方法種數(shù)為（）A．36 B．64 C．72 D．81【分析】先把4名同學分成“1，1，2”的組合，再將這三組安排到3個小區(qū)，最后由分步計數(shù)原理得解．【解答】解：依題意可知，其中一個小區(qū)必安排2名同學，則先把4名同學分成“1，1，2”的組合，有種方式，再將這三組安排到3個小區(qū)，有種方式，所以符合題意的不同的安排方法種數(shù)為6×6＝36種．故選：A．【點評】本題考查排列組合的綜合運用，考查運算求解能力，屬于基礎題．36．（2023春?閔行區(qū)月考）將4名新老師安排到A，B，C三所學校去任教，每所學校至少一人，則不同的安排方案的種數(shù)是（）A．54 B．36 C．24 D．18【分析】分類討論A，B，C分別有兩名新教師的情況，進而計算出4名新教師安排到A，B，C三所學校去任教每所學校至少一人的所有情況．【解答】解：將4名新教師安排到A，B，C三所學校去任教，每所學校至少一人，分配方案是：1，1，2，A學校有兩名新老師：；B學校有兩名新老師：；C學校有兩名新老師：，所以共有種情況．故選：B．【點評】本題主要考查組合及簡單計數(shù)問題，屬于基礎題．37．（2022秋?徐匯區(qū)校級期末）某校安排5名同學去A，B，C，D四個愛國主義教育基地學習，每人去一個基地，每個基地至少安排一人，則甲同學被安排到A基地的排法總數(shù)為（）A．24 B．36 C．60 D．240【分析】對A基地安排的人數(shù)，分類討論即可求解．【解答】解：①當A基地安排1人時，排法總數(shù)為＝36；②當A基地安排2人時，排法總數(shù)為＝24，∴滿足題意的所有排法數(shù)為36+24＝60．故選：C．【點評】本題考查分組分配問題，分類討論思想，屬基礎題．38．（2023?浦東新區(qū)校級一模）電視臺在電視劇開播前連續(xù)播放6個不同的廣告，其中4個商業(yè)廣告2個公益廣告，現(xiàn)要求2個公益廣告不能連續(xù)播放，則不同的播放方式共有（）A．A?A B．C?C C．A?A D．C?C【分析】先把4個商業(yè)廣告排好順序，再用插空法求得2個公益廣告不能連續(xù)播放的方法數(shù)．【解答】解：先把4個商業(yè)廣告排好順序，共有種方法，再把2個公益廣告插入5個空（包括兩頭）中，根據(jù)分步計數(shù)原理，共有?種方法，故選：A．【點評】本題主要考查排列組合的應用，分步計數(shù)原理，不相鄰問題采用插空法，屬于中檔題．39．（2022秋?寶山區(qū)校級期末）電視臺在電視劇開播前連續(xù)播放5個不同的廣告，其中3個商業(yè)廣告2個公益廣告，現(xiàn)要求2個公益廣告不能連續(xù)播放，則不同的播放方式共有72種．【分析】先安排3個商業(yè)廣告的播放順序，再將2個公益廣告插入3個商業(yè)廣告所形成的4個空擋中，最后由分步計數(shù)原理得解．【解答】解：先安排3個商業(yè)廣告的播放順序，有種方式再將2個公益廣告插入3個商業(yè)廣告所形成的4個空擋中，有種方式，則由分步計數(shù)原理可知，符合題意的不同的播放方式共有6×12＝72種．故答案為：72．【點評】本題考查排列組合的綜合運用，考查運算求解能力，屬于基礎題．40．（2022秋?浦東新區(qū)校級期末）10個相同的小球放到6個不同的盒子里，每個盒子里至少放一個小球，則不同的放法有126種．【分析】利用“隔板法”求解即可．【解答】解：利用“隔板法”，10個相同小球中間共有9個空隙，從中任意選擇5個放上“隔板”，即可把10個相同的小球放到6個不同的盒子里，每個盒子里至少放一個小球，所以不同的放法有＝126種．故答案為：126．【點評】本題主要考查了排列組合知識，考查了“隔板法”的應用，屬于基礎題．41．（2022秋?徐匯區(qū)校級期末）有一道路網(wǎng)如圖所示，通過這一路網(wǎng)從A點出發(fā)不經(jīng)過C、D點到達B點的最短路徑有24種．【分析】根據(jù)已知，要想避開C、D點，需分步考慮．得到每一步的方法種類，用分步計數(shù)原理乘起來即可得出答案．【解答】解：如圖，由已知可得，應從A點，先到E點，再到F點，最后經(jīng)點G到B點即可．第一步：由A點到E點，最短路徑為4步，最短路徑方法種類為；第二步：由E點到F點，最短路徑為3步，最短路徑方法種類為；第三步：由F點經(jīng)點G到B點，最短路徑為3步，最短路徑方法種類為．根據(jù)分步計數(shù)原理可得，最短路徑有4×3×2＝24種．故答案為：24．【點評】本題考查分步計數(shù)原理，屬于基礎題．42．（2022秋?虹口區(qū)校級期末）從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有16種．（用數(shù)字填寫答案）【分析】反面考慮，先求出所選的人中沒有女生的選法種數(shù)，再根據(jù)從6人中任選3人的選法種數(shù)減去沒有女生的選法種數(shù)，即可解出．【解答】解：沒有女生入選有種選法，從6名學生中任意選3人有種選法，故至少有1位女生入選，則不同的選法共有20﹣4＝16種．故答案為：16．【點評】本題主要考查組合及簡單計數(shù)問題，屬于基礎題．43．（2022秋?靜安區(qū)期末）2022年11月27日上午7點，時隔兩年再度回歸的上海馬拉松賽在外灘金牛廣場鳴槍開跑，途徑黃浦、靜安和徐匯三區(qū)．數(shù)千名志愿者為1.8萬名跑者提供了良好的志愿服務．現(xiàn)將5名志愿者分配到防疫組、檢錄組、起點管理組、路線垃圾回收組4個組，每組至少分配1名志愿者，則不同的分配方法共有240種．（結果用數(shù)值表示）【分析】先將5人分為4組，再分配到不同的4個崗位，利用排列組合數(shù)公式求解即可．【解答】解：將5名志愿者分配到防疫組、檢錄組、起點管理組、路線垃圾回收組4個組，每組至少分配1名志愿者，則不同的分配方法共有＝240種．故答案為：240．【點評】本題考查了排列組合的混合問題，先選后排是最基本的指導思想，屬于基礎題．44．（2022秋?楊浦區(qū)校級期末）某興趣小組有10名學生，若從10名學生中選取3人，則選取的3人中恰有1名女生的概率為，且女生人數(shù)超過1人，現(xiàn)在將10名學生排成一排，其中男生不相鄰，且男生的左右相對順序固定，則共有25200種不同的站隊方法．【分析】由已知得10名學生中，有女生6人，男生4人，再利用插空法求解即可．【解答】解：設10名學生中，有女生x人，男生（10﹣x）人，則10名學生中選取3人，恰有1名女生的概率P＝＝＝，整理得：x（10﹣x）（9﹣x）＝72，即x3﹣19x2+90x﹣72＝0，因式分解可得：（x﹣6）（x﹣1）（x﹣12）＝0，解得：x＝6＞1或x＝1（舍去）或x＝12（舍去），所以10名學生中，有女生6人，男生4人，將6名女生排成一排有A種方法，再將4名男生插到7個空中有AA種方法，因為男生的左右相對順序固定，而4名男生排成一排有A種方法，所以一共有＝25200，答案為：25200．【點評】本題考查了排列組合的應用問題，屬于基礎題．八．二項式定理（共10小題）45．（2022秋?徐匯區(qū)校級期末）2100被9除所得的余數(shù)為（）A．1 B．3 C．5 D．7【分析】由題意可得：2100＝2（9﹣1）33，結合二項展開式分析求解【解答】解：由題意可得：2100＝2×299＝2×833＝2（9﹣1）33，可知2（9﹣1）33的展開式為，r＝0，1，…，99，當r＝0，1，…，98時，均可被9整除；當r＝99時，T100＝2（﹣1）99＝﹣2被9除所得的余數(shù)為7；綜上所述：2100被9除所得的余數(shù)為7．故選：D．【點評】本題主要考查二項式定理的應用，考查運算求解能力，屬于中檔題．46．（2022秋?靜安區(qū)期末）在的二項展開式中，稱為二項展開式的第r+1項，其中r＝0，1，2，3，…，n．下列關于的命題中，不正確的一項是（）A．若n＝8，則二項展開式中系數(shù)最大的項是 B．已知x＞0，若n＝9，則二項展開式中第2項不大于第3項的實數(shù)x的取值范圍是 C．若n＝10，則二項展開式中的常數(shù)項是 D．若n＝27，則二項展開式中x的冪指數(shù)是負數(shù)的項一共有12項【分析】對于A，根據(jù)系數(shù)最大列不等式，解不等式即可判斷；對于B，根據(jù)題列不等式，分0＜x≤1和x＞1兩種情況解不等式即可判斷；對于C，令10﹣＝0，解方程即可判斷；對于D，令27﹣＜0，解不等式即可判斷．【解答】解：對于A，令，解得，解提r＝2，故A正確；對于B，≤，整理得，當0＜x≤1時，不等式恒成立，當x＞1時，解得1＜x≤（），∴0，故B正確；對于C，令10﹣＝0，解得r＝6，∴常數(shù)項為＝，故C正確；對于D，令27﹣＜0，解得r＞，∴r可取17，18，???，27，共11項，故D錯誤．故選：D．【點評】本題考查二項式定理、二項式展開式系數(shù)、不等式性質等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．47．（2022秋?楊浦區(qū)校級期末）已知（1+x）n的二項展開式中，第5項與第11項的系數(shù)相等，則所有項的系數(shù)之和為（）A．216 B．215 C．214 D．213【分析】由由題意求出展開式的第5項，第11項的系數(shù)，然后建立方程求出n的值，然后再令x＝1即可求解．【解答】解：由題意展開式的第5項，第11項的系數(shù)分別為C，則C，所以n+4+10＝14，則二項式為（1+x）14，令x＝1，則展開式的所有項的系數(shù)之和為214，故選：C．【點評】本題考查了二項式定理的應用，屬于基礎題．48．（2022秋?楊浦區(qū)校級期末）已知，則|a0|+|a1|+|a2|+?+|a7|＝（）A．128 B．2187 C．78125 D．823543【分析】由題意可得|a0|+|a1|+|a2|+?+|a7|為二項式（5x+2）7的展開式的所有項系數(shù)之和，然后令x＝1即可求解．【解答】解：由題意可得|a0|+|a1|+|a2|+?+|a7|為二項式（5x+2）7的展開式的所有項系數(shù)之和，則令x＝1，|a0|+|a1|+...+|a7|＝（5+2）7＝823543，故選：D．【點評】本題考查了二項式定理的應用，屬于基礎題．49．（2023?嘉定區(qū)模擬）已知a＞0，（1+a）12的二項展開式中的第9項是7920，則實數(shù)a為．【分析】根據(jù)二項式定理確定開式中的第9項是，再由a＞0，即可求得實數(shù)a的值．【解答】解：（1+a）12展開式中的第9項是，解得，又a＞0，所以．故答案為：．【點評】本題主要考查了二項式定理的應用，屬于基礎題．50．（2022秋?浦東新區(qū)校級期末）的展開式的常數(shù)項是﹣20（用數(shù)字作答）．【分析】根據(jù)已知條件，結合二項式定理，即可求解．【解答】解：＝（x﹣x﹣1）6展開式中的通項公式為Tr+1＝＝，令6﹣2r＝0，解得r＝3，故的展開式的常數(shù)項是．故答案為：﹣20．【點評】本題主要考查二項式定理，屬于基礎題．51．（2022秋?虹口區(qū)校級期末）若，則a1+a3+a5＝122．【分析】根據(jù)已知條件，結合賦值法，即可求解．【解答】解：，令，令x＝﹣1?a0﹣a1﹣a2﹣a3﹣a4x﹣a5＝﹣1，則．故答案為：122．【點評】本題主要考查二項式定理，屬于基礎題．52．（2022秋?寶山區(qū)校級期末）已知的展開式中第5項與第7項的二項式系數(shù)相等，且展開式的各項系數(shù)之和為1024，則展開式中的常數(shù)項為405．【分析】由已知結合二項式系數(shù)的性質先求出n，然后利用賦值法求出a，再結合通項即可求解．【解答】解：由題意得，故n＝10，令x＝1可得（a﹣1）n＝1024，所以a＝3，所以展開式的通項為Tr+1＝（3x2）10﹣r（﹣）r＝（﹣1）r?310﹣rx，令20﹣＝0，則r＝8，故展開式的通項為405．故答案為：405，．【點評】本題主要考查了二項式定理的應用，屬于基礎題．53．（2022秋?楊浦區(qū)校級期末）450除以17的余數(shù)為16．【分析】因為450＝1625＝（17﹣1）25，然后根據(jù)二項式定理展開，根據(jù)整除的性質以及余數(shù)的求解即可求解．【解答】解：因為450＝1625＝（17﹣1）25＝C+C+...+C，則展開式的前25項都可以被17整除，所以450除以17的余數(shù)為﹣1+17＝16，故答案為：16．【點評】本題考查了二項式定理的應用，涉及到整除的性質，屬于基礎題．54．（2022秋?楊浦區(qū)校級期末）在的二項展開式中，系數(shù)最大的項為70．【分析】求出展開式的通項公式，然后根據(jù)通項公式可知展開式系數(shù)的絕對值與二項式系數(shù)相等，根據(jù)二項式系數(shù)的性質即可求解．【解答】解：二項式的展開式的通項公式為T＝C，r＝0，1，...，8，則展開式系數(shù)的絕對值與二項式系數(shù)相等，因為r＝8，則第5項的二項式系數(shù)最大，即為T5＝C＝70，所以系數(shù)最大項為T5＝70，故答案為：70．【點評】本題考查了二項式定理的應用，涉及到二項式系數(shù)的性質，屬于基礎題．鞏固鞏固提升一、單選題1．（2023春·上海閔行·高二校聯(lián)考階段練習）已知，則被10除所得的余數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)題意得到，再利用二項式定理展開即可得到答案.【詳解】，又因為，又因為都是10的倍數(shù)，所以被除所得的余數(shù)為.故選：B2．（2023春·上海楊浦·高二上海市楊浦高級中學?？奸_學考試）以下5個命題，其中正確的是（

）①從1，2，3，，9九個數(shù)字中任取3個不同的數(shù)，組成三位數(shù)的個數(shù)為；②4封信投入3個信箱，有種投法；③從a，b，c，d四名學生中選兩名去完成同一份工作，有種選法；④5個人相互通一次，通的總次數(shù)為次；⑤5個人相互寫一封信，所有信的數(shù)量封．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】根據(jù)各命題有無順序，選擇是排列還是組合問題，逐一判斷.【詳解】①3個不同的數(shù)，組成三位數(shù)是排列問題，有順序，組成三位數(shù)的個數(shù)為，故①錯誤；②4封信投入3個信箱，每封信有3種選擇，共有種投法，故②正確；③從a，b，c，d四名學生中選兩名去完成同一份工作，因為是同一份工作，沒有順序，有種選法正確，故③正確；④5個人相互通一次，兩人通一次就是互通，沒有順序，通的總次數(shù)為次正確，故④正確；⑤5個人相互寫一封信，兩人相互寫信指各寫一封信，所有信的數(shù)量封，故⑤錯誤；綜上②③④正確，有3個正確.故選：B.3．（2023春·上海寶山·高三上海交大附中?？奸_學考試）在1、2、3、4、5的所有排列、、、、中，滿足條件，，，的排列個數(shù)是（

）A．10 B．12 C．14 D．16【答案】D【分析】結合枚舉法得出排列個數(shù).【詳解】由題意，只能在中出現(xiàn)，不能出現(xiàn)在中，因此若取值4或5，則排列個數(shù)為，若取值為3或5，則4只能出現(xiàn)在5的的一側，即排列有：13254，23154，45231，45132共4個，綜上，所有排列個數(shù)為12+4=16.故選：D．4．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）若，則（

）A．244 B．243C．242 D．241【答案】C【分析】對偶法，結合二項式展開式的特征，各系數(shù)絕對值之和，將二項式中的改成，然后令即可解出結果.【詳解】顯然，，令得，故.故選：C.二、填空題5．（2023春·上海楊浦·高二上海市楊浦高級中學?？奸_學考試）圓上有10個不同的點，以其中任意3個點為頂點，可以組成______個不同的三角形．【答案】120【分析】根據(jù)圓周上任意三點不會共線，任選三點用組合數(shù)公式計算即可.【詳解】因為三點在圓周上，所以三點是不會共線的，所以從十個點中任選三個點即可構成三角形，所以可以組成不同的三角形的個數(shù)為.故答案為：120.6．（2023春·上?！じ呷Ｂ?lián)考階段練習）在的展開式中，含有項的系數(shù)為__________.【答案】【分析】利用二項式定理即可求解.【詳解】由的展開式的通項公式為，令，解得，所以展開式中含有項的系數(shù)為.故答案為：.7．（2023春·上海楊浦·高二上海市楊浦高級中學?？奸_學考試）滿足等式的正整數(shù)n的值為______．【答案】4【分析】根據(jù)排列數(shù)公式展開，并計算，即可得答案.【詳解】因為，所以，即，則，故答案為：48．（2023春·上?！じ呷Ｂ?lián)考階段練習）二項式的展開式中，含的項的系數(shù)為___．【答案】【分析】先寫出二項式的展開式的通項，然后令的次數(shù)為求出，進而可得系數(shù).【詳解】二項式的展開式的通項為，令，得，所以含的項的系數(shù)為.故答案為：.9．（2023春·上海浦東新·高二上海市川沙中學?？奸_學考試）有7人站一排，甲既不站在排頭、也不站在排尾，有________種不同站法．【答案】3600【分析】先安排甲站中間5個位置，再安排其他人即可.【詳解】有7人站一排，甲既不站在排頭、也不站在排尾，有.故答案為：10．（2023春·上海浦東新·高二上海市川沙中學?？奸_學考試）若的二項展開式中的系數(shù)為，則________（用數(shù)字作答）【答案】2；【分析】利用二項式定理求得的通項，再表示的系數(shù)即可求得.【詳解】解：設的二項展開式的通項為，令得，則的系數(shù)為，解得故答案為：211．（2023春·上海楊浦·高二上海市楊浦高級中學校考開學考試）已知三位數(shù)abc滿足：以a，b，c為三條邊的長可以構成一個等腰（含等邊）三角形，則有______個滿足條件的三位數(shù)．【答案】165【分析】利用排列組合的方法，分等邊三角形和等腰（非等邊）三角形兩類情況分類討論求解.【詳解】若構成等邊三角形，則這樣的三角形的個數(shù)為個；若構成等腰（非等邊）三角形，設這樣的三角形有個，由于三位數(shù)中只有兩個不同數(shù)碼，設為注意到三角形腰與底可以置換，所以可取的數(shù)碼組有,但是當大數(shù)為底時，設，必須滿足.此時，不能構成三角形的數(shù)碼是：9876543214,3,2,14,3,2,13,2,13,2,12,12,111共20種情況，同時，每個數(shù)碼組中的二個數(shù)碼填上三位數(shù)，有種情況，故,綜上，故答案為:165.12．（2023春·上海寶山·高三統(tǒng)考階段練習）在的二項展開式中，項的系數(shù)是______（結果用數(shù)值表示）．【答案】80【分析】由二項式展開式的通項公式，直接求得答案.【詳解】由題意可得的二項展開式的通項公式為：，，當時，展開式中含有，故的系數(shù)為，故答案為：80.13．（2023春·上海楊浦·高三復旦附中?？奸_學考試）的二項式展開中，系數(shù)最大的項為______．【答案】【分析】根據(jù)二項式展開式中系數(shù)的性質即可求解.【詳解】由題意知：的二項式展開中，各項的系數(shù)和二項式系數(shù)相等，因為展開式的通項為，所以時，系數(shù)最大，該項為，故答案為：.14．（2023春·上海普陀·高三曹楊二中校考階段練習）二項式展開中的系數(shù)為___________.【答案】【分析】利用二項式定理，寫出展開式的通項即可求解.【詳解】二項式的展開式為，令，解得，所以展開中的系數(shù)為，故答案為：15．（2023春·上海浦東新·高三華師大二附中?？茧A段練習）如圖為正六棱柱，若從該正六棱柱的6個側面的12條面對角線中，隨機選取兩條，則它們共面的概率是_________．【答案】【分析】共面分為平行和相交，平行時，只需要考慮對面平行中的直線即可，相交時分為：在側面內相交，兩個相鄰面相交于一個點，相隔一個面中相交于對角線延長線上，分別分析幾種情況下對角線共面的個數(shù)，再利用古典概型的概率計算公式，計算結果即可.【詳解】解：由題意知，若兩個對角線在同一個側面，因為有6個側面，所以共有6組；若相交且交點在正六棱柱的頂點上，因為有12個頂點，所以共有12組，若相交且交點在對角線延長線上時，如圖所示，連接，先考慮下底面，根據(jù)正六邊形性質可知，所以，且，故共面，且共面，故相交，且相交，故共面有2組，則正六邊形對角線所對應的有2組共面的面對角線，同理可知正六邊形對角線所對的分別有兩組，共6組，故對于上底面對角線，，同樣各對兩組，共6組，若對面平行，一組對面中有2組對角線平行，三組對面共有6組，所以共面的概率是．故答案為：16．（2023春·上?！じ呷Ｂ?lián)考階段練習）上海電視臺五星體育頻道有一檔四人撲克牌競技節(jié)目“上海三打一”，在打法中有—種“三帶二”的牌型，即點數(shù)相同的三張牌外加一對牌，（三張牌的點數(shù)必須和對牌的點數(shù)不同）．在一副不含大小王的張撲克牌中不放回的抽取五次，已知前三次抽到兩張，一張，則接下來兩次抽取能抽到“三帶二”的牌型（AAAKK或KKKAA）的概率為__________．【答案】【分析】首先求出基本事件總數(shù)，再求出滿足條件的事件數(shù)，最后利用古典概型的概率公式計算可得.【詳解】依題意在一副不含大小王的張撲克牌中不放回的抽取三次，抽到兩