第05講對數與對數函數（講義）（原卷版）

第05講對數與對數函數目錄考點要求考題統(tǒng)計考情分析（1）理解對數的概念及運算性質，能用換底公式將一般對數轉化成自然對數或常用對數.（2）通過實例，了解對數函數的概念，會畫對數函數的圖象，理解對數函數的單調性與特殊點.（3）了解指數函數與對數函數(，且)互為反函數．2022年天津卷第6題，5分2022年浙江卷第7題，5分2022年I卷I卷第7題，5分從近五年的高考情況來看，對數運算與對數函數是高考的一個重點也是一個難點，常與二次函數、冪函數、指數函數、三角函數綜合，考查數值大小的比較和函數方程問題.1、對數式的運算(1)對數的定義：一般地，如果且，那么數叫做以為底的對數，記作，讀作以為底的對數，其中叫做對數的底數，叫做真數．(2)常見對數：①一般對數：以且為底，記為，讀作以為底的對數；②常用對數：以為底，記為；③自然對數：以為底，記為；(3)對數的性質和運算法則：①；；其中且；②(其中且，)；③對數換底公式：；④；⑤；⑥，；⑦和；⑧；2、對數函數的定義及圖像(1)對數函數的定義：函數且叫做對數函數．對數函數的圖象圖象性質定義域：值域：過定點，即時，在上增函數在上是減函數當時，，當時，當時，，當時，【解題方法總結】1、對數函數常用技巧在同一坐標系內，當時，隨的增大，對數函數的圖象愈靠近軸；當時，對數函數的圖象隨的增大而遠離軸．(見下圖)題型一：對數運算及對數方程、對數不等式【例1】（2023·四川成都·成都七中?？寄M預測）______．【對點訓練1】（2023·遼寧沈陽·沈陽二中?？寄M預測）已知，，則______．【對點訓練2】（2023·上海徐匯·位育中學?？寄M預測）方程的解集為________．【對點訓練3】（2023·山東淄博·統(tǒng)考二模）設，滿足，則__________.【對點訓練4】（2023·天津南開·統(tǒng)考二模）計算的值為______.【對點訓練5】（2023·全國·高三專題練習）若，，用a，b表示____________【對點訓練6】（2023·上?！じ呷Ｂ摽茧A段練習）若，且，則__________．【對點訓練7】（2023·全國·高三專題練習）=____________；【對點訓練8】（2023·全國·高三專題練習）解關于x的不等式解集為_____．【對點訓練9】（2023·上海楊浦·高三上海市楊浦高級中學校考開學考試）已知函數是定義在上的奇函數，當時，，則的解集是__________.【對點訓練10】（2023·上海浦東新·高三華師大二附中?？茧A段練習）方程的解為_________．【解題方法總結】對數的有關運算問題要注意公式的順用、逆用、變形用等.對數方程或對數不等式問題是要將其化為同底，利用對數單調性去掉對數符號，轉化為不含對數的問題，但這里必須注意對數的真數為正.題型二：對數函數的圖像【例2】（2023·全國·高三專題練習）已知函數（a，b為常數，其中且）的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（

）A．， B．，C．， D．，【對點訓練11】（2023·全國·高三專題練習）函數的圖象恒過定點（

）A． B． C． D．【對點訓練12】（2023·北京·統(tǒng)考模擬預測）已知函數，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【對點訓練13】（2023·北京·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）將函數的圖象向上平移1個單位長度，得到函數的圖象，則（

）A． B．C． D．【對點訓練14】（2023·北京海淀·清華附中校考模擬預測）不等式的解集為__________．【對點訓練15】（多選題）（2023·全國·高三專題練習）當時，，則的值可以為（

）A． B． C． D．【解題方法總結】研究和討論題中所涉及的函數圖像是解決有關函數問題最重要的思路和方法.圖像問題是數和形結合的護體解釋.它為研究函數問題提供了思維方向.題型三：對數函數的性質（單調性、最值（值域））【例3】（2023·全國·高三專題練習）已知函數，若在上為減函數，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【對點訓練16】（2023·新疆阿勒泰·統(tǒng)考三模）正數滿足，則a與大小關系為______．【對點訓練17】（2023·全國·高三專題練習）已知函數在上的最大值是2，則a等于_________【對點訓練18】（2023·全國·高三專題練習）若函數（且）在上的最大值為2，最小值為m，函數在上是增函數，則的值是____________．【對點訓練19】（2023·全國·高三專題練習）若函數有最小值，則的取值范圍是______．【對點訓練20】（2023·河南·校聯考模擬預測）寫出一個同時具有下列性質①②③的函數:_____.①;②當時，單調遞減;③為偶函數.【對點訓練21】（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學?？茧A段練習）函數的單調遞區(qū)間為（

）A． B． C． D．【對點訓練22】（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）已知函數，則（

）A．在單調遞減，在單調遞增 B．在單調遞減C．的圖像關于直線對稱 D．有最小值，但無最大值【對點訓練23】（2023·全國·高三專題練習）若函數在上單調，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解題方法總結】研究和討論題中所涉及的函數性質是解決有關函數問題最重要的思路和方法.性質問題是數和形結合的護體解釋.它為研究函數問題提供了思維方向.題型四：對數函數中的恒成立問題【例4】（2023·全國·高三專題練習）已知函數，，若存在，任意，使得，則實數的取值范圍是___________.【對點訓練24】（2023·全國·高三專題練習）若，不等式恒成立，則實數的取值范圍為___________.【對點訓練25】（2023·全國·高三專題練習）已知函數，，對任意的，，有恒成立，則實數的取值范圍是___________.【對點訓練26】（2023·全國·高三專題練習）已知函數，若對，使得，則實數的取值范圍為___________.【對點訓練27】（2023·全國·高三專題練習）已知函數.(1)若，求a的值；(2)若對任意的，恒成立，求的取值范圍.【對點訓練28】（2023·全國·高三專題練習）已知，.（1）當時，求函數的值域；（2）對任意，其中常數，不等式恒成立，求實數的取值范圍.【解題方法總結】（1）利用數形結合思想，結合對數函數的圖像求解；（2）分離自變量與參變量，利用等價轉化思想，轉化為函數的最值問題.（3）涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價轉化，借助同構思想構造函數，利用導數探求函數單調性、最值是解決問題的關鍵.題型五：對數函數的綜合問題【例5】（多選題）（2023·湖北·黃岡中學校聯考模擬預測）已知，，，，則以下結論正確的是（

）A． B．C． D．【對點訓練29】（2023·海南海口·統(tǒng)考模擬預測）已知正實數，滿足：，則的最小值為______.【對點訓練30】（多選題）（2023·廣東惠州·統(tǒng)考一模）若，則（

）A． B．C． D．【對點訓練31】（2023·河南·高三信陽高中校聯考階段練習）已知，分別是方程和的根，若，實數a，，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．2【對點訓練32】（2023·全國·高三專題練習）若滿足，滿足，則等于（

）A．2 B．3 C．4 D．5【對點訓練33】（2023·全國·高三專題練習）已知是方程的根，