數(shù)學(xué)學(xué)案：集合的概念

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精數(shù)學(xué)人教B必修1第一章1。1．了解集合的含義，會(huì)使用符號(hào)“∈"或“?”表示元素與集合之間的關(guān)系．2．理解集合中元素的特性，重點(diǎn)理解其確定性與互異性．3．熟悉常用數(shù)集的符號(hào)，尤其要注意空集的含義及表示．1．集合的有關(guān)概念一般地，把一些能夠____的____的對(duì)象看成一個(gè)整體，就說(shuō)這個(gè)整體是由這些對(duì)象的全體構(gòu)成的____（或____），常用英語(yǔ)大寫(xiě)字母A，B，C，…表示．構(gòu)成集合的每個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的____(或____)，常用英語(yǔ)小寫(xiě)字母a，b，c，…表示．集合是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中不加定義的基本概念,學(xué)習(xí)這個(gè)概念應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：(1)集合是一個(gè)“整體”；（2)構(gòu)成集合的對(duì)象必須是“確定”且“不同”的．【做一做1】下列各組對(duì)象不能構(gòu)成集合的是（）A．著名的中國(guó)數(shù)學(xué)家B．所有的負(fù)數(shù)C．清華大學(xué)招收的2011級(jí)新本科生D．2011年11月第十九屆APEC（亞太經(jīng)合組織）會(huì)議將在夏威夷檀香山舉行，所有APEC的成員國(guó)2．元素與集合的關(guān)系知識(shí)點(diǎn)關(guān)系概念記法讀法元素與集合的關(guān)系屬于如果____________,就說(shuō)a屬于A____a屬于A不屬于如果____________，就說(shuō)a不屬于A____a不屬于A元素與集合的聯(lián)系與區(qū)別如下表：【做一做2】已知集合M只含有兩個(gè)元素2011a，2013－a，且2011∈M，求a的值3．集合中元素的性質(zhì)特征(1)______，(2)______，(3）______．在處理集合中有關(guān)元素的問(wèn)題時(shí)，求得其中元素(或字母)的值以后,要充分考慮集合元素的互異性與分類討論思想的應(yīng)用，要進(jìn)行代入檢驗(yàn)，舍去不符合要求的值．【做一做3－1】若a，a,b，b，a2，b2構(gòu)成集合M，則M中的元素最多有（)A．6個(gè)B．5個(gè)C．4個(gè)D．3個(gè)【做一做3－2】方程x2－2x＋1＝0的解集中有__________個(gè)元素．4．集合的分類【做一做4】指出下列集合是有限集還是無(wú)限集．（1）滿足2011＜x＜2013的整數(shù)構(gòu)成的集合;（2）平面α內(nèi)所有直線構(gòu)成的集合．5．常用數(shù)集及表示符號(hào)名稱自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)________________【做一做5】下列關(guān)系表示正確的是()A．0∈N＋B．π?RC．1?QD．0∈Z一、集合中元素的特性剖析：確定性：集合中的元素是確定的,即任何一個(gè)對(duì)象都能明確它是或不是某個(gè)集合的元素，兩者必居其一，它是判斷一組對(duì)象是否形成集合的標(biāo)準(zhǔn)．互異性：一個(gè)給定集合的元素中，任何兩個(gè)元素都是不同的，因而在同一個(gè)集合中,不能重復(fù)出現(xiàn)同一個(gè)元素，這一點(diǎn)很容易被大家忽視，在解題中要切記這一性質(zhì)．無(wú)序性:集合中的元素沒(méi)有順序，在表示集合時(shí)先寫(xiě)哪個(gè)元素都可以．二、特殊集合-—空集剖析：我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作。空集是一個(gè)實(shí)實(shí)在在的集合,只不過(guò)此集合中無(wú)任何元素，故稱之為空集．如“方程x2＋2＝0的實(shí)數(shù)根”組成的集合，因?yàn)闆](méi)有適合該集合的元素，故它是空集．要謹(jǐn)防①0＝｛0}，②{0}＝,③｛｝＝的錯(cuò)誤，實(shí)際上，①0是集合｛0｝的一個(gè)元素,可記為0∈{0｝；②表示空集，而｛0｝表示含一個(gè)元素0的集合；③{}表示含有一個(gè)元素的集合．三、教材中的“思考與討論”1．你能否確定，你所在班級(jí)中，高個(gè)子同學(xué)構(gòu)成的集合？并說(shuō)明理由．剖析：不能構(gòu)成集合．原因是對(duì)高個(gè)子同學(xué)高的程度沒(méi)有確定的標(biāo)準(zhǔn)，所以無(wú)法判定哪些同學(xué)符合要求，因此不能構(gòu)成集合．2．你能否確定，你所在班級(jí)中,最高的3位同學(xué)構(gòu)成的集合？剖析：能構(gòu)成集合．因?yàn)榘嗬镒罡叩?位同學(xué)是確定的（只要按身高從高到低取前三名即可），將他們作為元素放在一起即構(gòu)成所要求的集合．題型一集合中元素的確定性【例1】下列各組對(duì)象能構(gòu)成集合嗎？（1)你所在班級(jí)的男生；（2)參加2010年廣州亞運(yùn)會(huì)的高大運(yùn)動(dòng)員；(3）關(guān)于x的方程ax2＋1＝0的實(shí)數(shù)解；（4）從1988年到2012年舉辦奧運(yùn)會(huì)的城市；（5）所有小的正數(shù)；（6）到兩定點(diǎn)距離的和等于兩定點(diǎn)間的距離的點(diǎn)．分析:“高大”和“小”沒(méi)有確定的標(biāo)準(zhǔn)，因此（2)（5）的對(duì)象不能構(gòu)成集合，(3)中的方程可能有實(shí)數(shù)解,也可能沒(méi)有實(shí)數(shù)解，當(dāng)a給定后，其方程解的情況就是確定的．反思：看一組對(duì)象能否構(gòu)成一個(gè)集合，只要看這組對(duì)象是否是確定的，即任何一個(gè)對(duì)象，要么在這一組對(duì)象中，要么不在這組對(duì)象之中，而沒(méi)有第三種情況出現(xiàn)．題型二集合中元素的互異性【例2】由元素3,x,x2－2x構(gòu)成集合M，則x應(yīng)滿足的條件是__________．反思：互異性是集合中元素的重要性質(zhì)，在解決集合中有關(guān)元素的問(wèn)題時(shí)，一定要注意利用互異性進(jìn)行驗(yàn)證．題型三元素與集合的關(guān)系【例3】已知集合P中有三個(gè)元素a－3，2a－1，a2＋4，且－3∈P，求實(shí)數(shù)a的值分析：利用－3是集合P中的元素，可列方程求a的值，最后需驗(yàn)證集合中元素的互異性．反思：在根據(jù)元素與集合的關(guān)系解題時(shí),一定要注意最后代入檢驗(yàn),看是否符合題意及元素的互異性等性質(zhì)．1下列各組對(duì)象，能構(gòu)成集合的是(）A．平面直角坐標(biāo)系內(nèi)x軸上方的y軸附近的點(diǎn)B．平面內(nèi)兩邊之和小于第三邊的三角形C．新華書(shū)店中有意義的小說(shuō)D．π（π＝3。141…)的近似值的全體2由a2，2－a,4組成一個(gè)集合A，且集合A中含有3個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的取值可以是（）A．1B．－2C．6D．3集合A是由點(diǎn)（2011,2012）和點(diǎn)（2012，2011)構(gòu)成的,則A中有__________個(gè)元素．4設(shè)L(A，B)表示直線AB上所有點(diǎn)組成的集合，“P是直線AB上的一個(gè)點(diǎn)”這句話就可以簡(jiǎn)單地寫(xiě)成P__________L(A，B）．5判斷下列說(shuō)法是否正確,并說(shuō)明理由．（1）1，eq\f(3，2)，eq\f（6,4），eq\b\lc\|\rc\｜(\a\vs4\al\co1(－\f（1,2））)，eq\f（1，2)這些數(shù)組成的集合有5個(gè)元素;(2）方程(x－3)（x－2)2＝0的解組成的集合有3個(gè)元素．答案：基礎(chǔ)知識(shí)·梳理1．確定不同集合集元素成員【做一做1】A因?yàn)檫x項(xiàng)B,C,D中所給的對(duì)象都是確定的，從而可以構(gòu)成集合；而選項(xiàng)A中所給對(duì)象不確定，原因是沒(méi)有具體的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)衡量一位數(shù)學(xué)家怎樣才算著名，故不能構(gòu)成集合．2．a(chǎn)是集合A的元素a∈Aa不是集合A的元素a?A【做一做2】解：∵2011∈M，∴2011a＝2011或2013－a＝2011.解得a＝1或a＝2.∴a的值為1或2。3．（1)確定性（2)互異性(3)無(wú)序性【做一做3－1】C由集合元素的互異性，知集合M中的元素最多為a，b，a2，b2，且4個(gè)元素互不相等．【做一做3－2】14．有限集無(wú)限集【做一做4】解：(1）滿足2011＜x＜2013的整數(shù)僅有2012一個(gè)，故此集合是有限集．(2)無(wú)限集．5．NN＋或N＊ZQR【做一做5】D典型例題·領(lǐng)悟【例1】解：（1)（3）（4)(6)可以構(gòu)成集合；(2）（5)不能構(gòu)成集合．【例2】x≠3且x≠0且x≠－1由集合中元素的互異性可得出3,x,x2－2x互不相等，由此可求出x應(yīng)滿足的條件．即由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠3，，x2－2x≠3，,x2－2x≠x,)）解得x≠3且x≠0且x≠－1。【例3】解：∵－3∈P，a2＋4≥4,∴a－3＝－3或2a－1＝－3，解得a＝0或a＝－1。經(jīng)檢驗(yàn)a＝0時(shí),P中三個(gè)元素為－3,－1，4，滿足集合中元素的互異性；a＝－1時(shí)，P中三個(gè)元素為－4,－3,5，也滿足集合中元素的互異性．綜上，a的值為0或－1.隨堂練習(xí)·鞏固1．B選項(xiàng)A，C，D中的對(duì)象不具有確定性，故不能構(gòu)成集合；而選項(xiàng)B為，故能構(gòu)成集合．2．C代入驗(yàn)證如下:當(dāng)a＝1時(shí),a2＝2－a;當(dāng)a＝－2時(shí),a2＝2－a＝4；當(dāng)a＝2時(shí)，a2＝4，所以1,－2，2均不能滿足集合A中元素的互異性,而a＝6時(shí)，a2＝36，2－a＝－4，故選C.3．2因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)是有順序性的,所以集合A中有2個(gè)點(diǎn)，即A中有2個(gè)元素．4．∈5．解：(1)不正確．對(duì)于一個(gè)給定