【數(shù)學(xué)】直線的傾斜角與斜率說課課件-2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊

學(xué)情分析教學(xué)反思教材分析教學(xué)設(shè)計(jì)直線的傾斜角與斜率

作為選擇性必修主題二中的第二單元“平面解析幾何”的前半部分，“直線和圓的方程”通過對學(xué)生相對比較熟悉的幾何對象-直線和圓的研究，試圖建立起一種用坐標(biāo)法研究幾何問題的范式，即研究如何用代數(shù)的方法描述幾何對象，如何用代數(shù)運(yùn)算研究幾何對象之間的關(guān)系，以及如何用代數(shù)的手段研究幾何對象的應(yīng)用。通過在平面直角坐標(biāo)系中對直線和圓這兩種幾何對象的深入研究，學(xué)生能夠由簡到繁，由特殊到一般，感悟平面解析幾何中研究幾何對象的基本方法與核心思想。

“運(yùn)算”是本單元的重中之重，這里“運(yùn)算”既包括了狹義的針對數(shù)與式的代數(shù)運(yùn)算，這在解析幾何中是語言，也是工具；“運(yùn)算”也包括了更為廣泛的含義，即通過設(shè)計(jì)合理的途徑來嘗試解決問題，在此過程中用程序思想理解和表達(dá)問題等，通過本單元這一部分的學(xué)習(xí)，學(xué)生能有效地發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，此外，也將發(fā)展直觀想象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理等素養(yǎng)。一、教材分析——單元整體分析

為了更好的凸顯本單元“從綜合法到坐標(biāo)法發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)”的主題，我們對單元課時(shí)的設(shè)計(jì)做了如下調(diào)整:

一是增加一個(gè)單元前準(zhǔn)備環(huán)節(jié)，對學(xué)生的學(xué)情進(jìn)行了調(diào)查，幫助學(xué)生回憶在初中我們是如何研究點(diǎn)、線、圓這些幾何圖形的。以及在初中，平面直角坐標(biāo)系在研究這些幾何問題中所發(fā)揮的作用，甚至在點(diǎn)、直線、圓這些幾何對象之間構(gòu)建一張知識結(jié)構(gòu)圖。

二是在“小結(jié)”部分安排一節(jié)復(fù)習(xí)提升課，旨在梳理本章所學(xué)的解析幾何的基本思想，邏輯結(jié)構(gòu)和典型的運(yùn)算方法，進(jìn)而使學(xué)生進(jìn)一步感悟解析幾何方法的特點(diǎn)與優(yōu)勢，另外，也為用方程描述曲線的嚴(yán)謹(jǐn)性給出一些說明，為之后學(xué)習(xí)橢圓、雙曲線和拋物線奠定基礎(chǔ)。一、教材分析——單元整體分析本章知識結(jié)構(gòu)框圖確定直線位置的幾何要素：點(diǎn)、方向直線的傾斜角與斜率過兩點(diǎn)的直線斜率公式直線的點(diǎn)斜式方程判斷直線平行或垂直直線的兩點(diǎn)式方程直線的一般方程點(diǎn)到直線的距離公式平行直線間的距離直線與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系直線與直線的位置關(guān)系兩點(diǎn)間的距離公式確定圓的幾何要素：圓心、半徑圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的一般方程

本節(jié)課選自人教版《普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊》?！爸本€與圓的方程”是解析幾何的起始單元，而“直線的傾斜角與斜率”又是本單元的起始課。直線作為一種最基本、最簡單的曲線，曾在初中階段運(yùn)用綜合法對其進(jìn)行了較充分的研究，并且在研究一次函數(shù)時(shí)，已經(jīng)知道其函數(shù)圖象是一條直線。在本單元中運(yùn)用坐標(biāo)法研究直線，起到了承上啟下的作用，只有將直線的幾何特征、代數(shù)特征，及兩者之間的關(guān)系梳理清楚，才能為“運(yùn)用代數(shù)方法研究幾何問題”起到引導(dǎo)作用，從而更好地為本單元乃至整個(gè)“解析幾何”的學(xué)習(xí)做好鋪墊。一、教材分析——本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容解析

本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素，主要包含直線的傾斜角和斜率兩個(gè)概念，探究了如何運(yùn)用代數(shù)方法刻畫直線的斜率，并得到過兩點(diǎn)的直線(不重直于x軸)斜率的計(jì)算公式。

本節(jié)課是運(yùn)用代數(shù)方法研究幾何問題的初探，就傾斜角和斜率等知識本身而言，相對比較容易理解和掌握。而其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，如借助坐標(biāo)系將幾何問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)語言表達(dá)，將新知識與己有的知識體系構(gòu)建聯(lián)系，以及數(shù)形結(jié)合、特例分析、分類討論等研究問題的策略，則對整個(gè)單元學(xué)習(xí)的推進(jìn)起到了引導(dǎo)作用。一、教材分析——本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容解析1.學(xué)生知識基礎(chǔ)情況調(diào)查

在單元前準(zhǔn)備環(huán)節(jié)的基礎(chǔ)上，我們對不同層次的學(xué)生進(jìn)行了課前調(diào)查，并對結(jié)果進(jìn)行歸納整理后得到如下數(shù)據(jù)。（1）關(guān)注幾何對象的概念（2）關(guān)注幾何對象的位置關(guān)系（3）圖文并茂（4）對知識進(jìn)行結(jié)構(gòu)化梳理（5）提及一次函數(shù)（6）提及向量（7）提及直線的方程二、學(xué)情分析2.基于調(diào)查分析得到的結(jié)論

從調(diào)查結(jié)果發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在梳理平面幾何知識的過程中，更加關(guān)注的是幾何對象的位置關(guān)系，相對比較忽視對概念的理解，部分學(xué)生在知識梳理的過程中主動(dòng)提到了一次函數(shù)的圖象，在教學(xué)設(shè)計(jì)的過程中也需要關(guān)注，有一部分學(xué)生沒有考慮到向量和直線的研究之間可能存在的聯(lián)系，還有部分學(xué)生提及直線的方程，可能已經(jīng)有過相關(guān)內(nèi)容的自學(xué)。二、學(xué)情分析3.學(xué)生情況簡析

學(xué)生在初中階段學(xué)習(xí)了點(diǎn)、直線的概念，并且運(yùn)用綜合法研究了點(diǎn)和直線、直線和直線的位置關(guān)系，對直線的“幾何特征”比較了解，同時(shí)學(xué)生在初中階段也學(xué)習(xí)了“一次函數(shù)及其圖象”，這部分內(nèi)容與“直線方程”有所關(guān)聯(lián)又有所不同。在高中階段，學(xué)生還學(xué)習(xí)了平面向量的坐標(biāo)表示，對運(yùn)用代數(shù)方法研究向量也比較熟悉，由于“直線的綜合法研究”和“一次函數(shù)及其圖象”都是學(xué)生熟知的內(nèi)容，所以本課時(shí)教學(xué)將基于學(xué)生的實(shí)際情況出發(fā)，在單元預(yù)備階段進(jìn)行學(xué)生知識基礎(chǔ)調(diào)查分析的基礎(chǔ)上，預(yù)設(shè)“坐標(biāo)系中確定直線的基本要素”和“一次函數(shù):y=kx+b(k≠0)中k的幾何意義”兩條線索，并將兩條線索有機(jī)結(jié)合進(jìn)行研究。二、學(xué)情分析單元教學(xué)目標(biāo)課時(shí)教學(xué)目標(biāo)(1)懂得平面直角坐標(biāo)系是用代數(shù)方法描述和研究幾何對象的重要工具:理解如何在平面直角坐標(biāo)系中用各種形式的方程描述直線與圓；在具體的數(shù)學(xué)情境中，結(jié)合幾何圖形，理解直線與圓的方程中各參數(shù)的幾何意義；會(huì)根據(jù)各種形式的方程在平面直角坐標(biāo)系中作出直線和圓的草圖，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想。(2)對于三類幾何對象:點(diǎn)、直線、圓，經(jīng)歷從綜合幾何到解析幾何，用代數(shù)的方法探索、研究兩兩之間的關(guān)系的過程，初步感悟綜合幾何方法與解析幾何方法在處理不同的幾何問題時(shí)的異同以及各自的優(yōu)勢。(3)初步掌揮用解析兒何的方法解決數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題，能合理地建立坐標(biāo)系。用數(shù)學(xué)眼光觀察實(shí)際問題，將與直線和圓有關(guān)的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并通過運(yùn)算加以解決，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。①在梳理已有平面幾何知識的基礎(chǔ)上，回顧平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)與坐標(biāo)一一對應(yīng)，嘗試在平面直角坐標(biāo)系中探索確定直線的幾何要素。②通過對實(shí)際情境的抽象，理解直線的傾斜角、斜率等概念，并研究這些概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，提升邏輯推理素養(yǎng)。③通過對直線的傾斜角、斜率的研究，對比坐標(biāo)法與綜合法在研究直線問題上的區(qū)別與聯(lián)系，初步體會(huì)運(yùn)用代數(shù)方法研究幾何問題的思想，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。三、教學(xué)設(shè)計(jì)——本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)

根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)設(shè)定為:①在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線的幾何要素:②理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式。

根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況:

本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)設(shè)定為:直線斜率的幾何意義。三、教學(xué)設(shè)計(jì)——本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)本節(jié)課采取探究式教學(xué)法，通過問題串設(shè)計(jì)的方式，引導(dǎo)學(xué)生自發(fā)的生成傾斜角的概念，并通過學(xué)習(xí)活動(dòng)的方式，自主探究直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系，體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)與優(yōu)化的過程，提升直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)。其中傾斜角的研究源自單元前準(zhǔn)備活動(dòng)這一數(shù)學(xué)情境以及滑雪場構(gòu)造這一現(xiàn)實(shí)情境，而傾斜角與斜率的關(guān)系則是通過小組合作探究開展的，在小組討論的基礎(chǔ)上形成一致結(jié)論，并通過組間交流鼓勵(lì)學(xué)生之間的互動(dòng)，進(jìn)一步加深對問題的思考。引導(dǎo)學(xué)生探究直線的斜率k與一次函數(shù)中一次項(xiàng)系數(shù)k是否是同一個(gè)量，旨在幫助學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，并進(jìn)一步體會(huì)解析幾何中代數(shù)與幾何的聯(lián)系。三、教學(xué)設(shè)計(jì)——本節(jié)課的教學(xué)策略單元整體導(dǎo)向--從綜合法到坐標(biāo)法發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)知識基礎(chǔ)坐標(biāo)法數(shù)學(xué)背景實(shí)際情景直線的傾斜角直線的斜率綜合法研究直線一次函數(shù)的圖象代數(shù)化聯(lián)系回歸抽象關(guān)系三、教學(xué)設(shè)計(jì)——本節(jié)課的教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)意圖單元整體導(dǎo)向說明

在單元的起始課向?qū)W生介紹整個(gè)單元的學(xué)習(xí)線索，說明引入坐標(biāo)法的積極意義，為整個(gè)單元運(yùn)用代數(shù)方法研究幾何問題的導(dǎo)向埋下伏筆。構(gòu)建直線的傾斜角概念

在數(shù)學(xué)情境和實(shí)際情境中抽象出“坡角”的初步想法，并在平面直角坐標(biāo)系中，引導(dǎo)學(xué)生自發(fā)的生成并逐步優(yōu)化形成“傾斜角”的概念，體會(huì)傾斜角定義的合理性。探究直線斜率的幾何意義

從直線上的兩點(diǎn)坐標(biāo)與直線的傾斜角之間的關(guān)系出發(fā)，通過小組活動(dòng)，運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算來探究直線斜率，體會(huì)代數(shù)方法在研究幾何問題的積極意義，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理能力。探究直線斜率與一次函數(shù)的關(guān)系

通過活動(dòng)探究，發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)表達(dá)式中，一次項(xiàng)的系數(shù)就是函數(shù)圖象所在直線的斜率，體會(huì)數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系。三、教學(xué)設(shè)計(jì)——本節(jié)課的教學(xué)環(huán)節(jié)活動(dòng)目的:從實(shí)際情境中抽象出用來刻畫直線傾斜情況的“角”，并且在確定平面直角坐標(biāo)系后，引導(dǎo)學(xué)生自發(fā)生成“傾斜角”初步的概念，并進(jìn)一步運(yùn)用數(shù)學(xué)語言嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋磉_(dá)傾斜角的概念。三、教學(xué)設(shè)計(jì)——本節(jié)課的活動(dòng)設(shè)計(jì)活動(dòng)目的:通過具體案例研究提煉方法，進(jìn)而指導(dǎo)一般情況的研究，在研究知識本體的同時(shí)，體會(huì)從特例入手，提煉方法，再從特殊到一般的問題研究策略，在小組合作的過程中，通過組員之間的互相學(xué)習(xí)和互相評價(jià)，形成積極的學(xué)習(xí)導(dǎo)向，在合作的基礎(chǔ)上完成探究任務(wù)。三、教學(xué)設(shè)計(jì)——本節(jié)課的活動(dòng)設(shè)計(jì)活動(dòng)目的:將新知識與己有知識進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系和結(jié)構(gòu)，通過小組合作，在組內(nèi)不同意見的探討過程中，嘗試用數(shù)學(xué)語言說服對方，用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拇鷶?shù)證明為自己的觀點(diǎn)立論，體會(huì)運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算研究幾何問題的過程。三、教學(xué)設(shè)計(jì)——本節(jié)課的活動(dòng)設(shè)計(jì)作業(yè)內(nèi)容設(shè)計(jì)意圖(1)梳理本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容，完善“單元學(xué)習(xí)指引表”；一方面，通過表格的填寫，回顧和梳理本節(jié)課所學(xué)習(xí)的內(nèi)容，幫助學(xué)生形成反思的學(xué)習(xí)習(xí)慣；另一方面，明確本節(jié)課所學(xué)習(xí)內(nèi)容的知識結(jié)構(gòu)和過程方法，融合到整個(gè)單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容體系中。(2)習(xí)題2.1

1、2、3；通過教材中習(xí)題，鞏固本節(jié)課學(xué)習(xí)的知識。(3)根據(jù)“單元學(xué)習(xí)指引表”中，對確定直線的基本要素的梳理內(nèi)容，類比點(diǎn)與坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系，思考如何用代數(shù)方法表示直線。單元的學(xué)習(xí)具有整體性，課時(shí)之間也有內(nèi)在的邏輯順序和聯(lián)系，本節(jié)課研究確定直線位置的基本元素，是為之后研究如何用代數(shù)方法表示直線這一幾何對象，即研究直線的方程起到鋪墊作用，可以通過作業(yè)讓學(xué)生先行思考，從而為單元中其它課時(shí)的學(xué)習(xí)服務(wù)。三、教學(xué)設(shè)計(jì)——本節(jié)課的活動(dòng)設(shè)計(jì)1.對于學(xué)情的掌握有助于合理設(shè)計(jì)單元學(xué)習(xí)活動(dòng)

人教版《普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊》在“直線的傾斜角與斜率”這一課時(shí)中并沒有專門介紹與一次函數(shù)有關(guān)的內(nèi)容，但是在單元前準(zhǔn)備活動(dòng)階段，有一部分學(xué)生在梳理直線相關(guān)知識的時(shí)候就提到了一次函數(shù)，在實(shí)際的課堂教學(xué)中，也有學(xué)生提及一次函數(shù)，基于課前調(diào)查，教師掌握了學(xué)生的情況，所以在研究直線斜率時(shí)，設(shè)計(jì)了寫一次函數(shù)有關(guān)的活動(dòng)，符合學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知情況。四、教學(xué)反思2.單元起始課服務(wù)于整個(gè)單元學(xué)習(xí)的任務(wù)驅(qū)動(dòng)

在單元的起始課，就在課前平面幾何知識梳理的基礎(chǔ)上，向?qū)W生說明本單元的主旨——運(yùn)用代數(shù)方法研究幾何問題，使得學(xué)生對于整個(gè)單元能夠有一個(gè)初步的整體認(rèn)知，明確本單元的主要任務(wù)?！皢卧獙W(xué)習(xí)指引表”的設(shè)計(jì)與使用，使得學(xué)生將已有的知識與本單元學(xué)習(xí)的知識進(jìn)行對比，通過不同的方法研究同一個(gè)對象，在比較方法各自優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)，還會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)，為學(xué)生體會(huì)解析幾何的基本思想提供幫助。四、教學(xué)反思3.課時(shí)活動(dòng)設(shè)計(jì)是單元活動(dòng)設(shè)計(jì)的一部分

課時(shí)學(xué)習(xí)活動(dòng)是單元學(xué)習(xí)活動(dòng)的有機(jī)組成部分,基于單元學(xué)習(xí)活動(dòng)開展的課時(shí)學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)，可以給學(xué)生一個(gè)整體連貫的體驗(yàn)，為本單元其他課時(shí)學(xué)生自發(fā)的學(xué)習(xí)活動(dòng)提供引領(lǐng)和參考。四、教學(xué)反思4.活動(dòng)設(shè)計(jì)要把握好學(xué)生主體和教師引導(dǎo)之間的關(guān)系

學(xué)習(xí)活動(dòng)的形式，對是否能夠高效達(dá)成活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖有著重要的影響