【數(shù)學】直線的傾斜角與斜率說課課件-2024-2025學年高二上學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第一冊

學情分析教學反思教材分析教學設計直線的傾斜角與斜率

作為選擇性必修主題二中的第二單元“平面解析幾何”的前半部分，“直線和圓的方程”通過對學生相對比較熟悉的幾何對象-直線和圓的研究，試圖建立起一種用坐標法研究幾何問題的范式，即研究如何用代數(shù)的方法描述幾何對象，如何用代數(shù)運算研究幾何對象之間的關系，以及如何用代數(shù)的手段研究幾何對象的應用。通過在平面直角坐標系中對直線和圓這兩種幾何對象的深入研究，學生能夠由簡到繁，由特殊到一般，感悟平面解析幾何中研究幾何對象的基本方法與核心思想。

“運算”是本單元的重中之重，這里“運算”既包括了狹義的針對數(shù)與式的代數(shù)運算，這在解析幾何中是語言，也是工具；“運算”也包括了更為廣泛的含義，即通過設計合理的途徑來嘗試解決問題，在此過程中用程序思想理解和表達問題等，通過本單元這一部分的學習，學生能有效地發(fā)展數(shù)學運算素養(yǎng)，此外，也將發(fā)展直觀想象、數(shù)學建模、邏輯推理等素養(yǎng)。一、教材分析——單元整體分析

為了更好的凸顯本單元“從綜合法到坐標法發(fā)展數(shù)學運算素養(yǎng)”的主題，我們對單元課時的設計做了如下調(diào)整:

一是增加一個單元前準備環(huán)節(jié)，對學生的學情進行了調(diào)查，幫助學生回憶在初中我們是如何研究點、線、圓這些幾何圖形的。以及在初中，平面直角坐標系在研究這些幾何問題中所發(fā)揮的作用，甚至在點、直線、圓這些幾何對象之間構建一張知識結(jié)構圖。

二是在“小結(jié)”部分安排一節(jié)復習提升課，旨在梳理本章所學的解析幾何的基本思想，邏輯結(jié)構和典型的運算方法，進而使學生進一步感悟解析幾何方法的特點與優(yōu)勢，另外，也為用方程描述曲線的嚴謹性給出一些說明，為之后學習橢圓、雙曲線和拋物線奠定基礎。一、教材分析——單元整體分析本章知識結(jié)構框圖確定直線位置的幾何要素：點、方向直線的傾斜角與斜率過兩點的直線斜率公式直線的點斜式方程判斷直線平行或垂直直線的兩點式方程直線的一般方程點到直線的距離公式平行直線間的距離直線與圓的位置關系圓與圓的位置關系直線與直線的位置關系兩點間的距離公式確定圓的幾何要素：圓心、半徑圓的標準方程圓的一般方程

本節(jié)課選自人教版《普通高中教科書數(shù)學選擇性必修第一冊》。“直線與圓的方程”是解析幾何的起始單元，而“直線的傾斜角與斜率”又是本單元的起始課。直線作為一種最基本、最簡單的曲線，曾在初中階段運用綜合法對其進行了較充分的研究，并且在研究一次函數(shù)時，已經(jīng)知道其函數(shù)圖象是一條直線。在本單元中運用坐標法研究直線，起到了承上啟下的作用，只有將直線的幾何特征、代數(shù)特征，及兩者之間的關系梳理清楚，才能為“運用代數(shù)方法研究幾何問題”起到引導作用，從而更好地為本單元乃至整個“解析幾何”的學習做好鋪墊。一、教材分析——本節(jié)課的教學內(nèi)容解析

本節(jié)課的教學內(nèi)容是在平面直角坐標系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素，主要包含直線的傾斜角和斜率兩個概念，探究了如何運用代數(shù)方法刻畫直線的斜率，并得到過兩點的直線(不重直于x軸)斜率的計算公式。

本節(jié)課是運用代數(shù)方法研究幾何問題的初探，就傾斜角和斜率等知識本身而言，相對比較容易理解和掌握。而其中蘊含的數(shù)學思想方法，如借助坐標系將幾何問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)語言表達，將新知識與己有的知識體系構建聯(lián)系，以及數(shù)形結(jié)合、特例分析、分類討論等研究問題的策略，則對整個單元學習的推進起到了引導作用。一、教材分析——本節(jié)課的教學內(nèi)容解析1.學生知識基礎情況調(diào)查

在單元前準備環(huán)節(jié)的基礎上，我們對不同層次的學生進行了課前調(diào)查，并對結(jié)果進行歸納整理后得到如下數(shù)據(jù)。（1）關注幾何對象的概念（2）關注幾何對象的位置關系（3）圖文并茂（4）對知識進行結(jié)構化梳理（5）提及一次函數(shù)（6）提及向量（7）提及直線的方程二、學情分析2.基于調(diào)查分析得到的結(jié)論

從調(diào)查結(jié)果發(fā)現(xiàn)，學生在梳理平面幾何知識的過程中，更加關注的是幾何對象的位置關系，相對比較忽視對概念的理解，部分學生在知識梳理的過程中主動提到了一次函數(shù)的圖象，在教學設計的過程中也需要關注，有一部分學生沒有考慮到向量和直線的研究之間可能存在的聯(lián)系，還有部分學生提及直線的方程，可能已經(jīng)有過相關內(nèi)容的自學。二、學情分析3.學生情況簡析

學生在初中階段學習了點、直線的概念，并且運用綜合法研究了點和直線、直線和直線的位置關系，對直線的“幾何特征”比較了解，同時學生在初中階段也學習了“一次函數(shù)及其圖象”，這部分內(nèi)容與“直線方程”有所關聯(lián)又有所不同。在高中階段，學生還學習了平面向量的坐標表示，對運用代數(shù)方法研究向量也比較熟悉，由于“直線的綜合法研究”和“一次函數(shù)及其圖象”都是學生熟知的內(nèi)容，所以本課時教學將基于學生的實際情況出發(fā)，在單元預備階段進行學生知識基礎調(diào)查分析的基礎上，預設“坐標系中確定直線的基本要素”和“一次函數(shù):y=kx+b(k≠0)中k的幾何意義”兩條線索，并將兩條線索有機結(jié)合進行研究。二、學情分析單元教學目標課時教學目標(1)懂得平面直角坐標系是用代數(shù)方法描述和研究幾何對象的重要工具:理解如何在平面直角坐標系中用各種形式的方程描述直線與圓；在具體的數(shù)學情境中，結(jié)合幾何圖形，理解直線與圓的方程中各參數(shù)的幾何意義；會根據(jù)各種形式的方程在平面直角坐標系中作出直線和圓的草圖，體會數(shù)形結(jié)合的思想。(2)對于三類幾何對象:點、直線、圓，經(jīng)歷從綜合幾何到解析幾何，用代數(shù)的方法探索、研究兩兩之間的關系的過程，初步感悟綜合幾何方法與解析幾何方法在處理不同的幾何問題時的異同以及各自的優(yōu)勢。(3)初步掌揮用解析兒何的方法解決數(shù)學問題與實際問題，能合理地建立坐標系。用數(shù)學眼光觀察實際問題，將與直線和圓有關的實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，并通過運算加以解決，提升數(shù)學運算素養(yǎng)。①在梳理已有平面幾何知識的基礎上，回顧平面直角坐標系中點與坐標一一對應，嘗試在平面直角坐標系中探索確定直線的幾何要素。②通過對實際情境的抽象，理解直線的傾斜角、斜率等概念，并研究這些概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，提升邏輯推理素養(yǎng)。③通過對直線的傾斜角、斜率的研究，對比坐標法與綜合法在研究直線問題上的區(qū)別與聯(lián)系，初步體會運用代數(shù)方法研究幾何問題的思想，提升數(shù)學運算素養(yǎng)。三、教學設計——本節(jié)課的教學目標

根據(jù)教學內(nèi)容和課程標準的要求，本節(jié)課的教學重點設定為:①在平面直角坐標系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線的幾何要素:②理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線斜率的計算公式。

根據(jù)學生的實際情況:

本節(jié)課的教學難點設定為:直線斜率的幾何意義。三、教學設計——本節(jié)課的教學重點和難點本節(jié)課采取探究式教學法，通過問題串設計的方式，引導學生自發(fā)的生成傾斜角的概念，并通過學習活動的方式，自主探究直線的傾斜角與斜率之間的關系，體驗發(fā)現(xiàn)與優(yōu)化的過程，提升直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)。其中傾斜角的研究源自單元前準備活動這一數(shù)學情境以及滑雪場構造這一現(xiàn)實情境，而傾斜角與斜率的關系則是通過小組合作探究開展的，在小組討論的基礎上形成一致結(jié)論，并通過組間交流鼓勵學生之間的互動，進一步加深對問題的思考。引導學生探究直線的斜率k與一次函數(shù)中一次項系數(shù)k是否是同一個量，旨在幫助學生體會數(shù)學知識的內(nèi)在聯(lián)系，并進一步體會解析幾何中代數(shù)與幾何的聯(lián)系。三、教學設計——本節(jié)課的教學策略單元整體導向--從綜合法到坐標法發(fā)展數(shù)學運算素養(yǎng)知識基礎坐標法數(shù)學背景實際情景直線的傾斜角直線的斜率綜合法研究直線一次函數(shù)的圖象代數(shù)化聯(lián)系回歸抽象關系三、教學設計——本節(jié)課的教學環(huán)節(jié)教學環(huán)節(jié)設計意圖單元整體導向說明

在單元的起始課向?qū)W生介紹整個單元的學習線索，說明引入坐標法的積極意義，為整個單元運用代數(shù)方法研究幾何問題的導向埋下伏筆。構建直線的傾斜角概念

在數(shù)學情境和實際情境中抽象出“坡角”的初步想法，并在平面直角坐標系中，引導學生自發(fā)的生成并逐步優(yōu)化形成“傾斜角”的概念，體會傾斜角定義的合理性。探究直線斜率的幾何意義

從直線上的兩點坐標與直線的傾斜角之間的關系出發(fā)，通過小組活動，運用代數(shù)運算來探究直線斜率，體會代數(shù)方法在研究幾何問題的積極意義，提升數(shù)學運算和邏輯推理能力。探究直線斜率與一次函數(shù)的關系

通過活動探究，發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)表達式中，一次項的系數(shù)就是函數(shù)圖象所在直線的斜率，體會數(shù)學知識的內(nèi)在聯(lián)系。三、教學設計——本節(jié)課的教學環(huán)節(jié)活動目的:從實際情境中抽象出用來刻畫直線傾斜情況的“角”，并且在確定平面直角坐標系后，引導學生自發(fā)生成“傾斜角”初步的概念，并進一步運用數(shù)學語言嚴謹?shù)谋磉_傾斜角的概念。三、教學設計——本節(jié)課的活動設計活動目的:通過具體案例研究提煉方法，進而指導一般情況的研究，在研究知識本體的同時，體會從特例入手，提煉方法，再從特殊到一般的問題研究策略，在小組合作的過程中，通過組員之間的互相學習和互相評價，形成積極的學習導向，在合作的基礎上完成探究任務。三、教學設計——本節(jié)課的活動設計活動目的:將新知識與己有知識進行比較，發(fā)現(xiàn)數(shù)學知識的內(nèi)在聯(lián)系和結(jié)構，通過小組合作，在組內(nèi)不同意見的探討過程中，嘗試用數(shù)學語言說服對方，用嚴謹?shù)拇鷶?shù)證明為自己的觀點立論，體會運用代數(shù)運算研究幾何問題的過程。三、教學設計——本節(jié)課的活動設計作業(yè)內(nèi)容設計意圖(1)梳理本節(jié)課學習的內(nèi)容，完善“單元學習指引表”；一方面，通過表格的填寫，回顧和梳理本節(jié)課所學習的內(nèi)容，幫助學生形成反思的學習習慣；另一方面，明確本節(jié)課所學習內(nèi)容的知識結(jié)構和過程方法，融合到整個單元的學習內(nèi)容體系中。(2)習題2.1

1、2、3；通過教材中習題，鞏固本節(jié)課學習的知識。(3)根據(jù)“單元學習指引表”中，對確定直線的基本要素的梳理內(nèi)容，類比點與坐標的對應關系，思考如何用代數(shù)方法表示直線。單元的學習具有整體性，課時之間也有內(nèi)在的邏輯順序和聯(lián)系，本節(jié)課研究確定直線位置的基本元素，是為之后研究如何用代數(shù)方法表示直線這一幾何對象，即研究直線的方程起到鋪墊作用，可以通過作業(yè)讓學生先行思考，從而為單元中其它課時的學習服務。三、教學設計——本節(jié)課的活動設計1.對于學情的掌握有助于合理設計單元學習活動

人教版《普通高中教科書數(shù)學選擇性必修第一冊》在“直線的傾斜角與斜率”這一課時中并沒有專門介紹與一次函數(shù)有關的內(nèi)容，但是在單元前準備活動階段，有一部分學生在梳理直線相關知識的時候就提到了一次函數(shù)，在實際的課堂教學中，也有學生提及一次函數(shù)，基于課前調(diào)查，教師掌握了學生的情況，所以在研究直線斜率時，設計了寫一次函數(shù)有關的活動，符合學生的實際認知情況。四、教學反思2.單元起始課服務于整個單元學習的任務驅(qū)動

在單元的起始課，就在課前平面幾何知識梳理的基礎上，向?qū)W生說明本單元的主旨——運用代數(shù)方法研究幾何問題，使得學生對于整個單元能夠有一個初步的整體認知，明確本單元的主要任務?！皢卧獙W習指引表”的設計與使用，使得學生將已有的知識與本單元學習的知識進行對比，通過不同的方法研究同一個對象，在比較方法各自優(yōu)點的同時，還會有新的發(fā)現(xiàn)，為學生體會解析幾何的基本思想提供幫助。四、教學反思3.課時活動設計是單元活動設計的一部分

課時學習活動是單元學習活動的有機組成部分,基于單元學習活動開展的課時學習活動設計，可以給學生一個整體連貫的體驗，為本單元其他課時學生自發(fā)的學習活動提供引領和參考。四、教學反思4.活動設計要把握好學生主體和教師引導之間的關系

學習活動的形式，對是否能夠高效達成活動設計意圖有著重要的影響