化歸與轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

摘

要：基于當(dāng)前的教學(xué)變化與發(fā)展，高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)模式亟待創(chuàng)新與升級(jí)。而在高中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中滲透并深入應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想，將幫助學(xué)生明晰轉(zhuǎn)化思想的內(nèi)涵與應(yīng)用特點(diǎn)，繼而培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想的意識(shí)和能力，從而提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。此外，此舉還將幫助教師挖掘數(shù)學(xué)學(xué)科的精髓，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生擁有清晰的解題思路，最終更新數(shù)學(xué)教學(xué)模式。因此，促進(jìn)化歸與轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)解題中的教學(xué)應(yīng)用，對(duì)教師的教和學(xué)生的學(xué)都有著十分重要的意義。關(guān)鍵詞：化歸與轉(zhuǎn)化思想；高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)思想數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程就是一系列問(wèn)題的轉(zhuǎn)化過(guò)程，具體表現(xiàn)為由難到易、由繁到簡(jiǎn)、由未知到已知等。也就是說(shuō)，在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)將一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題通過(guò)轉(zhuǎn)化分析，化歸為一個(gè)簡(jiǎn)單的熟悉問(wèn)題，從而使問(wèn)題得到有效解決。因此，文章將探討化歸思想在高中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中的應(yīng)用。一、化歸與轉(zhuǎn)化思想的內(nèi)涵化歸與轉(zhuǎn)化思想是高中數(shù)學(xué)中的一種重要思維方式和工作方法，它通過(guò)將一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)更簡(jiǎn)單的問(wèn)題，從而幫助學(xué)生解決難題。化歸指的是將復(fù)雜或抽象的問(wèn)題化簡(jiǎn)為具體、易于處理的問(wèn)題，通過(guò)轉(zhuǎn)化使問(wèn)題的難度降低，從而更容易找到問(wèn)題的解決方法。轉(zhuǎn)化則是指通過(guò)改變問(wèn)題的形式或角度，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與已知知識(shí)相關(guān)的問(wèn)題，利用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法來(lái)解決問(wèn)題。換句話說(shuō)，化歸與轉(zhuǎn)化思想能夠幫助學(xué)生從不同的角度理解和解決問(wèn)題，提高數(shù)學(xué)問(wèn)題的分析能力和解決能力。二、化歸與轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用意義化歸與轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，不僅可以幫助學(xué)生更好地理解和解決問(wèn)題，還能培養(yǎng)他們的抽象思維能力、問(wèn)題轉(zhuǎn)化能力以及創(chuàng)新思維能力。具體而言，通過(guò)化歸與轉(zhuǎn)化思想，學(xué)生可以將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的或更容易處理的問(wèn)題。這樣一來(lái)，問(wèn)題的難度得以降低，學(xué)生可以利用已有的知識(shí)和解題方法更快地找到解決方案。例如，在解代數(shù)方程時(shí)，化歸思想可以將復(fù)雜的高次方程轉(zhuǎn)化為一次或二次方程，進(jìn)而應(yīng)用解方程的方法求解。這種思維方式使學(xué)生能夠應(yīng)對(duì)更加復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，提高解題效率和準(zhǔn)確性。另外，通過(guò)將問(wèn)題從具體的形式抽象化，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)問(wèn)題之間的共性和規(guī)律，從而掌握一類(lèi)問(wèn)題的解決方法。這對(duì)學(xué)生深入掌握數(shù)學(xué)知識(shí)和解決不同類(lèi)型的問(wèn)題具有重要意義?；瘹w與轉(zhuǎn)化思想還促進(jìn)了學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，問(wèn)題的轉(zhuǎn)化要求學(xué)生有發(fā)散性思維和創(chuàng)造性靈感。通過(guò)不斷轉(zhuǎn)化問(wèn)題，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的多種角度和解法，形成對(duì)問(wèn)題的獨(dú)特見(jiàn)解和創(chuàng)新的解決方法。三、高中數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)原則高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)合理且有效地應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法，以便引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)、思考及探究，提高個(gè)人知識(shí)水平、個(gè)人能力以及個(gè)人素養(yǎng)等。但要想真正做到這一點(diǎn)，需要遵循以下原則：其一，重視過(guò)程性。數(shù)學(xué)思想方法并不是游離在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之外的另一種學(xué)習(xí)內(nèi)容，它產(chǎn)生于數(shù)學(xué)理論知識(shí)與解題過(guò)程，不能單獨(dú)存在。所以，為了使數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中充分發(fā)揮作用，首先需要教師正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用價(jià)值，其次需要教師在組織學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、引導(dǎo)學(xué)生解答數(shù)學(xué)習(xí)題的過(guò)程中，和學(xué)生一起發(fā)現(xiàn)、認(rèn)識(shí)、了解及總結(jié)數(shù)學(xué)思想方法，逐漸形成數(shù)學(xué)思想應(yīng)用體系，使學(xué)生能夠在自主學(xué)習(xí)或者獨(dú)立解題的過(guò)程中，靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法，達(dá)到事半功倍的效果。其二，重視反復(fù)性。幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)思想應(yīng)用體系并非一朝一夕就能夠?qū)崿F(xiàn)的，需要反復(fù)練習(xí)、反復(fù)總結(jié)、反復(fù)積累，如此才能夠達(dá)到融會(huì)貫通的狀態(tài)?；诖?，數(shù)學(xué)教師在組織學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)或者復(fù)習(xí)的過(guò)程中，要為他們創(chuàng)造實(shí)踐鍛煉的機(jī)會(huì)。比如針對(duì)不同類(lèi)型習(xí)題，要求學(xué)生運(yùn)用不同數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行思考與解答。教師在這一過(guò)程中觀察學(xué)生解題實(shí)際情況，進(jìn)而判斷他們是靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法還是生搬硬套。如若后者，教師應(yīng)注意了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，遵循因材施教原則，采取恰當(dāng)?shù)姆绞椒椒▉?lái)指導(dǎo)學(xué)生。四、化歸與轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用（一）充分挖掘數(shù)學(xué)思想理論教學(xué)與解題教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的兩條主線，數(shù)學(xué)思想的教學(xué)應(yīng)貫穿于這兩條主線中。由于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想從了解到認(rèn)識(shí)，從理解到掌握應(yīng)用，需經(jīng)歷較長(zhǎng)的時(shí)間，而且解題教學(xué)更側(cè)重于數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，因此，教師必須把數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)過(guò)程作為滲透數(shù)學(xué)思想的主渠道，充分挖掘教材中基礎(chǔ)知識(shí)部分蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，盡可能創(chuàng)造較多的機(jī)會(huì)展現(xiàn)數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生在掌握知識(shí)的同時(shí)，逐步感知、理解數(shù)學(xué)思想的真諦。例如，立體幾何中多面體與旋轉(zhuǎn)體直觀圖的畫(huà)法，其實(shí)是借助于平面圖形來(lái)刻畫(huà)空間圖形，通過(guò)“展開(kāi)圖”將柱體、錐體、臺(tái)體的側(cè)面置于某平面，把空間曲面的面積轉(zhuǎn)化為平面圖形的面積來(lái)計(jì)算。這些看似平淡的內(nèi)容，無(wú)一不體現(xiàn)著轉(zhuǎn)化思想——空間問(wèn)題平面化，教師在教學(xué)中若因其簡(jiǎn)單而忽視，就會(huì)失去滲透數(shù)學(xué)思想的良機(jī)。（二）轉(zhuǎn)化導(dǎo)入，促進(jìn)知識(shí)遷移數(shù)學(xué)學(xué)科表現(xiàn)出強(qiáng)烈的邏輯性，很多知識(shí)之間均有密切的聯(lián)系，受數(shù)學(xué)知識(shí)連貫性的限制，要求教師的“教”與學(xué)生的“學(xué)”具有整體性，教師要充分利用學(xué)生認(rèn)知范圍內(nèi)已學(xué)習(xí)的、使用熟練的舊知識(shí)，作為新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，采用轉(zhuǎn)化的方式，使學(xué)生自然輕松地獲得新知識(shí)。轉(zhuǎn)化導(dǎo)入就是以此作為突破口，充分利用學(xué)生的原有經(jīng)驗(yàn)，教師采用具有針對(duì)性的問(wèn)題引導(dǎo)，使學(xué)生在舊知識(shí)的基礎(chǔ)上生長(zhǎng)出新概念，從而獲取新知的導(dǎo)入方式。轉(zhuǎn)化導(dǎo)入通過(guò)有效的自我思維轉(zhuǎn)化全過(guò)程與教師的引導(dǎo)，不僅有助于學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)，也可以促進(jìn)學(xué)生新舊知識(shí)融會(huì)貫通，厘清知識(shí)之間的清晰脈絡(luò)，將學(xué)習(xí)的新知識(shí)點(diǎn)納入自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)，經(jīng)過(guò)一系列的沖突與融合，逐漸形成全新的知識(shí)體系。例如，在講解《直線與平面平行關(guān)系的判定》時(shí)，利用學(xué)生已有的豐富生活經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生觀察門(mén)邊框與墻面、書(shū)的紙張邊緣與書(shū)脊的位置關(guān)系，歸納其共有屬性，將實(shí)物位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力。教師在講授平面與在歸納推理判定定理的過(guò)程中，其核心在于要將直線與平面平行的空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與直線平行的平面問(wèn)題，將直線與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條線條直線平行的無(wú)限問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為已知直線與一條直線平行的有限問(wèn)題。在本節(jié)課的導(dǎo)入過(guò)程中，教師要依靠學(xué)生對(duì)生活模型的理解和與平面三個(gè)基本事實(shí)及推論的掌握，作為新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，精心設(shè)計(jì)問(wèn)題串，為學(xué)生指明探究的方向，使轉(zhuǎn)化過(guò)程自然流暢地進(jìn)行，并讓學(xué)生從中學(xué)習(xí)這種降維的轉(zhuǎn)化思想，提升學(xué)生在獨(dú)立解決立體幾何的相關(guān)習(xí)題時(shí)的轉(zhuǎn)化意識(shí)，這對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有很大益處。（三）強(qiáng)化專(zhuān)題訓(xùn)練，提高解題效率化歸、類(lèi)比思想也是函數(shù)解題過(guò)程中常用的思想方法，其在函數(shù)解題過(guò)程中的應(yīng)用，能有效化抽象為直觀、化復(fù)雜為簡(jiǎn)潔，從而有效提升函數(shù)問(wèn)題的解題效率，提高函數(shù)問(wèn)題解題的準(zhǔn)確性。例如，在函數(shù)教學(xué)中，教師可以設(shè)計(jì)以下題目，將化歸、類(lèi)比思想滲透于解題過(guò)程中?！耙阎猣（x）為奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f（x）=x2-sinx。問(wèn)，若x<0，f（x）的解析式又當(dāng)如何表示？”在分析這一問(wèn)題時(shí)，教師可以先引導(dǎo)學(xué)生了解化歸思想，思考如何通過(guò)轉(zhuǎn)化題目條件得到問(wèn)題的答案。x<0可以轉(zhuǎn)化為-x>0，然后推導(dǎo)出f（-x）=-f（x），從而得出當(dāng)x<0時(shí)，f（x）=x2-sinx。在該函數(shù)問(wèn)題的整個(gè)分析、推導(dǎo)過(guò)程中，化歸思想發(fā)揮了重要作用。所以，對(duì)函數(shù)問(wèn)題的分析、解決，化歸思想是最基礎(chǔ)、最關(guān)鍵的數(shù)學(xué)思想與方法。在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生掌握該思想與方法。（四）數(shù)形轉(zhuǎn)化思想促進(jìn)思維發(fā)展分析數(shù)學(xué)是研究空間形式與數(shù)量關(guān)系的一門(mén)學(xué)科，解析幾何就是將數(shù)與形真正統(tǒng)一起來(lái)，利用代數(shù)方法解決代數(shù)問(wèn)題。在這一部分中，數(shù)形轉(zhuǎn)化是重要的轉(zhuǎn)化思維，其中包含“數(shù)轉(zhuǎn)形”“形轉(zhuǎn)數(shù)”等類(lèi)型。數(shù)形轉(zhuǎn)化將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)與直觀圖形聯(lián)系起來(lái)，可以使知識(shí)直觀化、簡(jiǎn)單化，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)與知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系的理解。同時(shí)數(shù)形轉(zhuǎn)化可以促進(jìn)學(xué)生抽象思維與形象思維的協(xié)同發(fā)展，數(shù)形轉(zhuǎn)化意識(shí)使學(xué)生跳出思維定式，從不同的角度去思考條件與結(jié)論的等價(jià)轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學(xué)解題途徑和有效策略，會(huì)恰當(dāng)?shù)厥褂脭?shù)形結(jié)合，有助于學(xué)生事半功倍地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。下面以數(shù)學(xué)實(shí)例說(shuō)明數(shù)形結(jié)合在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的妙用。已知點(diǎn)P是拋物線y2=4x上的一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)點(diǎn)P到點(diǎn)（0，2）的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值？根據(jù)拋物線的性質(zhì)，點(diǎn)P到該拋物線準(zhǔn)線的距離，等于點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離。因此，該問(wèn)題便可以轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)（0，2）與到點(diǎn)（1，0）的距離和的最小值，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短與圖像，即可確定點(diǎn)P的位置與最短距離。（五）掌握函數(shù)題根，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單復(fù)雜化為簡(jiǎn)單是化歸思想的核心內(nèi)涵之一，也是高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)滲透化歸思想的不二之選。對(duì)此，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)重視函數(shù)問(wèn)題的題根的發(fā)掘，對(duì)同類(lèi)型或者題根相同的函數(shù)題目進(jìn)行分門(mén)別類(lèi)，要求學(xué)生掌握不同題根的辨別方法，并傳授一些行之有效的題根轉(zhuǎn)化法，使學(xué)生在面對(duì)一些較為困難復(fù)雜的函數(shù)問(wèn)題時(shí)，能夠準(zhǔn)確地發(fā)掘該函數(shù)的題根，根據(jù)題根所衍生的函數(shù)問(wèn)題來(lái)選擇對(duì)應(yīng)的解題方法。教師可以通過(guò)這樣的題根轉(zhuǎn)化模式來(lái)培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的數(shù)學(xué)思維能力，培養(yǎng)其“化復(fù)雜為簡(jiǎn)單”的“化歸”能力。例如，以題目“已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，對(duì)任意實(shí)數(shù)m，n都有f（m+n）=f（m）·f（n）數(shù)量關(guān)系，并且當(dāng)x>0時(shí)，都有0<f（x）0驗(yàn)證得出f（0）=1成立，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，1），解題步驟如下：</f（x）代入x=0可得f（0）=f（0+0）=f（0）·f（0）=f2（0）?；?jiǎn)得f（0）-f2（0）=f（0）［1-f（0）］=0。所以f（0）=1或f（0）=0。設(shè)f（0）=0，得f（n-n）=f（n）·f（-n）=0。所以f（n）或f（-n）至少有一個(gè)為0。設(shè)f（n）=0，有f（x）=0。因?yàn)閤>0時(shí)，0<f（x）<p=""></f（x）<>（六）注重類(lèi)比思想解題，鍛煉學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力高中數(shù)學(xué)教學(xué)主要分為理論知識(shí)講授與解題訓(xùn)練兩大部分，類(lèi)比思想不僅可以運(yùn)用于理論知識(shí)講授中，也可以運(yùn)用于解題過(guò)程中，運(yùn)用類(lèi)比思想解題往往能夠收到意想不到的效果。這就要求高中數(shù)學(xué)教師在解題訓(xùn)練中重視指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類(lèi)比思想，先把數(shù)學(xué)題目做簡(jiǎn)化處理，結(jié)合相關(guān)數(shù)學(xué)概念與公式，確定解題的切入點(diǎn)；再通過(guò)類(lèi)比命題的解題思路，讓學(xué)生利用邏輯推理找到新的解題思路和方法，進(jìn)而高效地處理數(shù)學(xué)試題，并進(jìn)一步提高學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力。在高中數(shù)學(xué)問(wèn)題中，動(dòng)和靜之間的轉(zhuǎn)化是化歸思想的主要內(nèi)容，這一內(nèi)容常常體現(xiàn)在函數(shù)問(wèn)題中。函數(shù)問(wèn)題常包含了生活中的變量關(guān)系，對(duì)事物的變化和運(yùn)動(dòng)規(guī)律進(jìn)行研究。在教授函數(shù)知識(shí)的過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生探究變量間的關(guān)系，提煉出數(shù)學(xué)模型，借助化歸思想，將靜態(tài)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成變量動(dòng)態(tài)問(wèn)題，