江蘇省無(wú)錫市江陰市六校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期11月期中大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 含解析

2024-2025學(xué)年度秋學(xué)期期中聯(lián)考試卷高一數(shù)學(xué)命題人：王慧復(fù)核人：王登智一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由并集運(yùn)算法則可得，再由區(qū)間表示可得結(jié)果.【詳解】集合，則，再由集合的區(qū)間表示可得.故選：B2.設(shè)命題：，則的否定為（）A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】本題根據(jù)題意直接寫出命題的否定即可.【詳解】解：因?yàn)槊}：，所以的否定：，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查含有一個(gè)量詞的命題的否定，是基礎(chǔ)題.3.“”成立的一個(gè)充分不必要條件是（）A.或 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，解出不等式，然后將充分不必要條件轉(zhuǎn)化為真子集關(guān)系，即可得到結(jié)果.【詳解】解不等式可得，解得或，所以不等式的解集為或，因此不等式成立的一個(gè)充分不必要條件，對(duì)應(yīng)的范圍是解集的真子集，即是或的真子集.故選：B4.若、、，，則下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)依次分析選項(xiàng)即可求解.【詳解】對(duì)于A，B，取，，則，，故A，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，，所以，故C正確；對(duì)于D，取，則，故D錯(cuò)誤；故選：C5.函數(shù)的定義域是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由且可求得結(jié)果.【詳解】由題意得，解得且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：C6.函數(shù)的部分圖象大致為（

）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，結(jié)合特殊值排除即可.【詳解】定義域?yàn)?，且，則原函數(shù)為奇函數(shù).排除B.再取特殊值，且為正數(shù).排除D.當(dāng)時(shí)，，越大函數(shù)值越接近1，排除C.故選：A.7.一元二次不等式則對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及二次不等式的解法列式可得.【詳解】由一元二次不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則，解得.滿足一元二次不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立的k的取值范圍是.故選：C.8.已知定義在上的函數(shù)，對(duì)，都有，若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（）A. B. C.2 D.1【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)的奇偶性和周期性求出即可；【詳解】由函數(shù)fx?1的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，可得，即，為偶函數(shù)，由得，即是以4為周期的偶函數(shù)，所以，由,令可得，所以.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列選項(xiàng)正確的是（

）A.集合的真子集有7個(gè);B.設(shè)，是兩個(gè)集合，則;C.若集合，則的元素個(gè)數(shù)為4;D.已知，則的取值范圍為.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)集合中元素的個(gè)數(shù)判斷集合真子集的個(gè)數(shù)，可判斷A的真假；根據(jù)集合的運(yùn)算結(jié)果，可判斷兩集合的包含關(guān)系，判斷B的真假；可列出集合中的元素，判斷C的真假；根據(jù)不等式的性質(zhì)確定的取值范圍，判斷D的真假.【詳解】對(duì)A：因?yàn)榧嫌?個(gè)元素，所以其真子集的個(gè)數(shù)為：，故A正確；對(duì)B：因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：由題意：，有4個(gè)元素，故C正確；對(duì)D：因?yàn)?，，兩式相加得：，即，故D錯(cuò)誤.故選：AC10.若正實(shí)數(shù)，滿足，則下列說(shuō)法正確的是（）A.有最大值 B.有最大值C.有最小值 D.有最小值4【答案】ABD【解析】【分析】由基本不等式和乘“1”法逐項(xiàng)分析即可；【詳解】對(duì)于A，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故A正確；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以有最大值，故B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D正確；故選：ABD.11.下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)表示同一個(gè)函數(shù)；B.函數(shù)的值域是；C.已知，則函數(shù)的解析式為（）；D.函數(shù)，若不等式對(duì)x∈0,+∞恒成立，則范圍為．【答案】BCD【解析】【分析】由兩函數(shù)的定義域不同可得A錯(cuò)誤；由二次函數(shù)的單調(diào)性可得B正確；由換元法設(shè)可得C正確；由換元法結(jié)合指數(shù)冪的運(yùn)算可得D正確；【詳解】對(duì)于A，的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)?，所以不是同一個(gè)函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，圖象關(guān)于對(duì)稱，在上單調(diào)遞減，在1,2上單調(diào)遞增，所以，故B正確對(duì)于C，設(shè)，則，則，即（），故C正確；對(duì)于D，因?yàn)閤∈0,+∞，所以所以，又，令，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以范圍為，故D正確；故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.12.已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則函數(shù)__________;【答案】【解析】【分析】設(shè)出冪函數(shù)的解析式，把點(diǎn)代入求的值.【詳解】設(shè)冪函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)過(guò)點(diǎn)，所以，解得：，所以13.指數(shù)函數(shù)的圖象如圖所示，則二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)的圖象可知，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)分析求解即可.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的圖象可知，所以二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)的橫坐標(biāo).故答案為：.14.若關(guān)于的不等式的解集為且非空，則的值為____________.【答案】或##或-2【解析】【分析】由題意可得，且方程的實(shí)數(shù)解為，再利用韋達(dá)定理求出即可.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集為且非空，所以，且方程的實(shí)數(shù)解為，所以，解得或，所以或.故答案為：或.15.已知函數(shù)，存在直線與的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，則_____，若存在實(shí)數(shù)，滿足，則的取值范圍是_______________．【答案】①.1②.【解析】【分析】作出分段函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象進(jìn)行分析,第一個(gè)填空：當(dāng)時(shí)，直線與的圖象有4個(gè)交點(diǎn)；第二個(gè)填空：當(dāng)時(shí)，存在實(shí)數(shù)，滿足，進(jìn)而可得取值范圍，再結(jié)合函數(shù)對(duì)稱性從而可得結(jié)論.【詳解】當(dāng)時(shí)，令，解得或；令，解得；故可作出的圖象，如圖：由圖可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以若存在直線與的圖象有4個(gè)交點(diǎn)時(shí)，如圖：當(dāng)時(shí)，直線與的圖象有4個(gè)交點(diǎn)；若存在實(shí)數(shù)，滿足，如圖：可知當(dāng)時(shí)，存在實(shí)數(shù)，滿足，令，解得，則可得；因?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱，；同理關(guān)于對(duì)稱，；所以，又因?yàn)椋?，所以的取值范圍?故答案為：1；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：作出分段函數(shù)的圖象是關(guān)鍵，本題考查數(shù)形結(jié)合思想，以及空間想象能力，屬于較難題.四、解答題：本題共6小題，共72分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.16.（1）求值：（2）已知正實(shí)數(shù)滿足，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用指數(shù)運(yùn)算法則直接計(jì)算可得結(jié)果；（2）利用平方關(guān)系可求得，再由立方差公式計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】（1）原式；（2）因?yàn)槭钦龑?shí)數(shù)，由可得，所以，則，所以，可得所以.17.在①，②“”是“”的充分不必要條件，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到本題第（2）問(wèn)的橫線處，并求解.已知集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若______，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）.（2）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）解不等式可得，代入可得，可得出結(jié)果；（2）根據(jù)選擇的條件得出集合間之間的關(guān)系，對(duì)集合是否為空集進(jìn)行分類討論，得出對(duì)應(yīng)的不等關(guān)系，解不等式可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】由題意得,可得當(dāng)時(shí)，，所以.【小問(wèn)2詳解】若選①，由可得，由已知可得當(dāng)時(shí)，，解得;當(dāng)時(shí)，有，解得；所以若選②“”是“”的充分不必要條件，由已知可得是的真子集，當(dāng)時(shí)，，解得;當(dāng)時(shí)，有，解得；所以，若選③，由已知可得當(dāng)①時(shí)，，解得;當(dāng)時(shí)，需滿足，即；由或，解或；所以可得或即.18.函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.（1）求的解析式；（2）判斷并證明的單調(diào)性；【答案】（1）（2）為增函數(shù)，證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性及已知條件代入即可求出未知參量，從而得出.（2）先下結(jié)論，再根據(jù)單調(diào)性的定義法判斷的單調(diào)性.【小問(wèn)1詳解】由題函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，解得，又由，得，解得，所以，則定義域?yàn)?，且，所?【小問(wèn)2詳解】在區(qū)間上為增函數(shù).證明如下：設(shè)，則，由，得，即，，，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.19.（1）已知，且，求的取值范圍.（2）解關(guān)于的不等式.【答案】（1）；（2）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）運(yùn)用基本不等式，換元結(jié)合一元二次不等式解法求解；（2）進(jìn)行分類討論解二次不等式即可.【詳解】（1）因?yàn)?，且，所?令，則，所以,因?yàn)?，所以，所?（2）由題意得，得，當(dāng)，即時(shí)，由，得，當(dāng)，即時(shí)，無(wú)解，當(dāng)，即時(shí)，由，得，綜上，當(dāng)時(shí)，該不等式解集為；當(dāng)時(shí)，該不等式的解集為;當(dāng)時(shí)，該不等式的解集為.20.某地區(qū)上年度電價(jià)為元/（kW·h），年用電量為kW·h，本年度計(jì)劃將電價(jià)下降到0.55元/（kW·h）至0.75元/（kW·h）之間，而用戶期望電價(jià)為0.4元/（kW·h）.經(jīng)測(cè)算，下調(diào)電價(jià)后新增用電量和實(shí)際電價(jià)與用戶的期望電價(jià)的差成反比（比例系數(shù)為k）.該地區(qū)的電力成本價(jià)為0.3元/（kW·h）.記本年度電價(jià)下調(diào)后電力部門的收益為（單位：元），實(shí)際電價(jià)為（單位：元/（kW·h））.（收益=實(shí)際電量（實(shí)際電價(jià)-成本價(jià)））（1）寫出本年度電價(jià)下調(diào)后電力部門收益為關(guān)于實(shí)際電價(jià)為的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)時(shí)，實(shí)際電價(jià)最低定為多少時(shí)，仍可保證電力部門的收益比上年至少增長(zhǎng)?（3）當(dāng)時(shí)，求收益最小值.【答案】（1），（2）0.6元/（kW.h）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意表示出下調(diào)電價(jià)后新增用電量，從而得到電力部門的收益的表達(dá)式，由此得解；（2）當(dāng)時(shí)，代入表達(dá)式中列出不等式，解之即可得解；（3）當(dāng)時(shí)，代入收益中，利用基本不等式即可得解.【小問(wèn)1詳解】由題意知，下調(diào)電價(jià)后新增用電量為，故電力部門的收益，.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，由題意知且，化簡(jiǎn)得，解得或，又，，所以實(shí)際電價(jià)最低定為：0.6元/（kW·h）時(shí)，仍可保證電力部門的收益比上年至少增長(zhǎng)20%.【小問(wèn)3詳解】當(dāng)時(shí)，，令，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故收益的最小值.21.設(shè)函數(shù)的定義域分別為，且．若對(duì)于任意，都有，則稱為在上的一個(gè)延伸函數(shù)．給定函數(shù)．（1）若是在給定上的延伸函數(shù)，且為奇函數(shù)，求的解析式；（2）設(shè)為在上的任意一個(gè)延伸函數(shù)，且是上的單調(diào)函數(shù)．①證明：當(dāng)時(shí)，．②判斷在的單調(diào)性（直接給出結(jié)論即可）；并證明：都有．【答案】（1）（2）①證明見(jiàn)解析；②單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及“延伸函數(shù)”的定義求得的解析式；（2）①通過(guò)差比較法證得不等式成立；②根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的性質(zhì)證得不等