27.1.3 圓周角 同步練習

第27章圓27.1.3圓周角基礎過關全練知識點1圓周角及其定理與推論1.(2023河南南陽宛城期中)在☉O中,∠ACB是圓周角的是() 2.(2023吉林長春第二實驗中學月考)從下列直角三角板與圓弧的位置關系中,可判斷圓弧為半圓的是() 3.(2023山西省實驗中學月考)如圖,由邊長為1的小正方形構成的網格中,點A,B,C都在格點上,以AB為直徑的圓經過點C,D,則cos∠ADC的值為()A.21313 B.31313 C.4.(2023吉林長春第二實驗中學期中)如圖,將含30°角的三角板的頂點放在半圓上,這個三角板的兩邊分別與半圓相交于點A,B,則弦AB所對的圓心角是°.5.(2023吉林省實驗中學模擬)如圖,點A,B,C均在☉O上,若∠A=66°,則∠OCB的度數是.

(2023山西長治上黨期末)如圖,AB是☉O的直徑,C,D兩點在☉O上,∠BCD=45°.(1)求證:AD=BD;(2)若∠CDB=30°,BC=3,求☉O的半徑.知識點2圓的內接四邊形7.(2023四川樂山市中模擬)如圖,四邊形ABCD內接于☉O,AB是☉O的直徑,∠ABD=20°,則∠BCD的度數是.8.(2023浙江紹興嵊州期末)如圖,四邊形ABCD內接于☉O,分別延長BC,AD,使它們相交于點E,AB=8,且DC=DE.(1)求證:∠A=∠AEB;(2)若∠EDC=90°,點C為BE的中點,求☉O的半徑.能力提升全練9.(2023山東泰安中考)如圖,AB是☉O的直徑,D,C是☉O上的點,∠ADC=115°,則∠BAC的度數是()A.25° B.30° C.35° D.40°10.(2023吉林中考)如圖,AB,AC是☉O的弦,OB,OC是☉O的半徑,點P為OB上任意一點(點P不與點B重合),連結CP.若∠BAC=70°,則∠BPC的度數可能是()A.70° B.105° C.125° D.155°11.(2023內蒙古赤峰中考)如圖,圓內接四邊形ABCD中,∠BCD=105°,連結OB,OC,OD,BD,∠BOC=2∠COD,則∠CBD的度數是()A.25° B.30° C.35° D.40°12.(2023湖南永州模擬)如圖,☉O上有兩定點A、B,點P是☉O上一動點(不與A、B兩點重合),若∠OAB=30°,則∠APB的度數是.

[變式·構造圓,研究點在圓上的運動](2023湖南衡陽船山實驗中學模擬)在平面直角坐標系中,已知點A(4,0)、B(-6,0),點C是y軸上的一個動點,當∠BCA=45°時,點C的坐標為.

13.(2023山西臨汾侯馬模擬)閱讀以下材料,并按要求完成相應的關于圓的任務.關于圓的引理在《阿基米德全集》的《引理集》中,記述了古希臘的數學家、物理學家阿基米德提出的六個關于圓的引理,其中第二個引理為:如圖,在半圓O中,P是AB上的任意一點,PN⊥直徑AB于點N,D在直徑AB上,且AN=ND,在AB上取一點Q,使PQ=PA,連結BQ,則BQ=BD.任務:(1)尺規(guī)作圖:請根據材料,在圖中補全圖形;(保留作圖痕跡,標明字母,不寫作法)(2)善思小組的同學嘗試證明該引理,請按照下面的證明思路,寫出該證明的剩余部分.證明:連結PA,PD,PQ,QD.……素養(yǎng)探究全練14.(2023湖北天門模擬)如圖1,O為半圓的圓心,C、D為半圓上的兩點,且BD=CD.連結AC并延長,與BD的延長線相交于點E,連結CD.(1)求證:CD=ED;(2)AD與OC,BC分別交于點F,H.①若CF=CH,如圖2,求證:CF·AF=FO·AH;②若圓的半徑為2,BD=1,如圖3,求AC的長.

第27章圓27.1.3圓周角答案全解全析基礎過關全練1.D選項A、C中,∠ACB的頂點不在圓上,故不是圓周角;選項B中,∠ACB的兩邊只有一邊與圓相交,故不是圓周角.故選D.2.B∵直徑所對的圓周角等于直角,∴從選項中,可判斷圓弧為半圓的是B.3.B∵AB為直徑,∴∠ACB=90°,∵點A,B,C,D都在同一個圓上,AC=AC,∴∠ADC=∠ABC,在Rt△ABC中,cos∠ABC=BCAB=332方法解讀當與已知角有關的問題不易求解時,可先嘗試對圖形進行分析,能否通過轉化的思想將已知角進行轉化,從而實現解決問題的目的.常見的等角轉換的方法有:等邊對等角;兩直線平行,同位角、內錯角相等;全等或相似三角形的對應角相等;同(等)角的余角、補角相等;平行四邊形的對角相等;在同(等)圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等等.4.60解析如圖,連結OA,OB,由圓周角定理得∠AOB=2∠ACB,∵∠ACB=30°,∴∠AOB=60°.5.24°解析∵∠A與∠BOC所對弧相同,∴∠BOC=2∠A=2×66°=132°,∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,∴∠OCB=126.解析(1)證明:∵∠DCB=45°,∴∠DAB=∠DCB=45°,∵AB是☉O的直徑,∴∠ADB=90°,∴∠ABD=45°,∴∠DAB=∠ABD,∴AD=BD.(2)如圖,連結AC,∵AB是☉O的直徑,∴∠ACB=90°,∵∠CAB=∠CDB=30°,BC=3,∴AB=6,∴☉O的半徑為3.7.110°解析(解法1:圓周角定理的推論)∵AB是☉O的直徑,∴∠ADB=90°,∴∠ABD+∠A=90°.∵∠ABD=20°,∴∠A=70°.∵四邊形ABCD是圓內接四邊形,∴∠A+∠BCD=180°,∴∠BCD=110°.(解法2:等腰三角形的性質)如圖,連結OD,∵∠AOD=2∠ABD=40°,OA=OD,∴∠OAD=∠ODA=12(解法3:圓周角定理)如圖,連結AC,∵AB是☉O的直徑,∴∠ACB=90°.∵AD=AD,∴∠ACD=∠ABD=20°,∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=20°+90°=110°.8.解析(1)證明:∵四邊形ABCD內接于☉O,∴∠A+∠BCD=180°,∵∠BCD+∠DCE=180°,∴∠A=∠DCE,∵DC=DE,∴∠E=∠DCE,∴∠A=∠AEB.(2)如圖,連結AC,∵∠EDC=90°,∴∠ADC=90°,∴AC是☉O的直徑,∴∠ABC=90°,∵∠BAE=∠AEB,∴AB=BE,∵AB=8,∴BE=8,∵點C為BE的中點,∴BC=12BE=4,在Rt△ABC中,AC=AB2+BC2=能力提升全練9.A如圖,連結OC,∵∠ADC=115°,∴優(yōu)弧ABC所對的圓心角為2×115°=230°,∴∠BOC=230°-180°=50°,∴∠BAC=1210.D∵∠BAC=70°,∴∠BOC=2∠BAC=140°,∴∠BPC=∠BOC+∠OCP=140°+∠OCP≥140°.故選D.11.A∵四邊形ABCD是☉O的內接四邊形,∴∠A+∠BCD=180°,∵∠BCD=105°,∴∠A=75°,∴∠BOD=2∠A=150°,∵∠BOC=2∠COD,∴∠BOD=3∠COD=150°,∴∠COD=50°,∴∠CBD=1212.60°或120°解析如圖,連結OB.∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA=30°,∴∠AOB=120°,分兩種情況求解如下:(1)當點P在優(yōu)弧AB上時,∠P=12(2)當點P(即P')在劣弧AB上時,∠AP'B=180°-12綜上所述,∠APB的度數為60°或120°.[變式]答案(0,12)或(0,-12)解析設線段BA的中點為E,∵A(4,0)、B(-6,0),∴AB=10,E(-1,0),分情況求解如下:(1)如圖1所示,過點E在第二象限作EP⊥BA,且EP=12AB=5,則易知△PBA為等腰直角三角形,∠BPA=90°,PA=PB=52,以點P為圓心,PA(或PB)長為半徑作☉P,與y軸的正半軸交于點C,∵∠BCA為圓周角,∴∠BCA=12∠BPA=45°,點C即為所求.過點P作PF⊥y軸于點F,則OF=PE=5,PF=1,在Rt△PFC中,PF=1,PC=52,由勾股定理得CF=(2)如圖2所示,在第三象限可以參照(1)作同樣操作,同理求得y軸負半軸上的點C的坐標為(0,-12).綜上所述,點C的坐標為(0,12)或(0,-12).13.解析(1)補全圖形如圖所示:(2)證明:連結PA,PD,PQ,QD.∵PA=PQ,∴PA=PQ,∵PN⊥AB于點N,∴∠PNA=∠PND=90°,又∵AN=ND,PN=PN,∴△APN≌△DPN,∴∠PAD=∠PDA,PA=PD.∴PD=PQ,∴∠PQD=∠PDQ.∵四邊形APQB是圓內接四邊形,∴∠PAD+∠PQB=180°,∴∠PDA+∠PQB=180°,∵∠PDA+∠PDB=180°,∴∠PQB=∠PDB,∴∠BQD=∠BDQ,∴BQ=BD.素養(yǎng)探究全練14.解析(1)證明:如圖1,連結BC.∵BD=CD,∴∠DCB=∠DBC,∵AB是直徑,∴∠ACB=∠BCE=90°,∴∠E+∠DBC=90°,∠ECD+∠DCB=90°,∴∠E=∠DCE,∴CD=ED.(2)①證明:∵CF=CH,∴∠CFH=∠CHF,∵∠AFO=