專項(xiàng)01 旋轉(zhuǎn)中的常見模型

專項(xiàng)01旋轉(zhuǎn)中的常見模型模型一“手拉手”模型模型解讀如圖,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,連接BD、CE,BD與CE相交于點(diǎn)O.則(1)△ABD≌△ACE;(2)∠BOC=∠DOE=∠BAC=∠DAE.(拉手線的夾角等于等腰三角形的頂角)1.如圖,D為等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn),將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AE,連接CE,BD的延長(zhǎng)線與AC交于點(diǎn)G,與CE交于點(diǎn)F,連接AF.(1)求證:BD=CE;(2)求∠AFE的度數(shù).模型二“半角”模型模型解讀常見的半角模型有“45°半角模型”和“60°半角模型”.下面展示正方形內(nèi)45°半角模型:如圖,在正方形ABCD中,∠MAN=45°,則(1)MN=BM+DN;(2)MA平分∠BMN,NA平分∠DNM.2.【方程思想】如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為9,E、F分別是AB、BC邊上的點(diǎn),且∠EDF=45°.將△DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△DCM.(1)求證:EF=FM;(2)當(dāng)AE=3時(shí),求EF的長(zhǎng).模型三“對(duì)角互補(bǔ)”模型模型解讀如圖,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,點(diǎn)P是斜邊AB的中點(diǎn),∠MPN=90°,連接CP,則△CDP≌△BEP.3.如圖1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC于點(diǎn)D,∠MDN=90°,將∠MDN繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交AB、AC于點(diǎn)E、F.(1)求證:△BDE≌△ADF;(2)如圖2,若DM=DN,連接BM、NA,求證:BM=AN.模型四“雞爪”模型模型解讀“雞爪”模型常出現(xiàn)在等邊三角形和等腰直角三角形中,下面展示等邊三角形中的情況:如圖,在等邊△ABC中,OA=a,OB=b,OC=c,若a2+b2=c2,則∠AOB=150°.4.如圖,O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn),OA=5,OB=12,OC=13,將線段BO繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO',連接OO',AO'.(1)求點(diǎn)O與O'之間的距離;(2)求∠AOB的度數(shù);(3)求△AOB的面積.

專項(xiàng)01旋轉(zhuǎn)中的常見模型答案全解全析1.解析(1)證明:∵線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AE,∴AD=AE,∠DAE=60°.∵△ABC是等邊三角形,∴∠BAC=60°,AB=AC,∴∠BAC=∠DAE,∴∠BAD=∠CAE.在△ABD和△ACE中,AB=AC,∴△ABD≌△ACE(SAS),∴BD=CE.(2)如圖,過點(diǎn)A作AM⊥BF于點(diǎn)M,AN⊥CF,交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N.∵△ABD≌△ACE,∴∠ABD=∠ACE,S△ABD=S△ACE.又∵∠AGB=∠CGF,∴∠BFC=∠BAC=60°,∴∠BFE=120°,∵S△ABD=S△ACE,∴12BD·AM=1在Rt△AFM和Rt△AFN中,AF=AF,∴Rt△AFM≌Rt△AFN(HL),∴∠AFB=∠AFE,∴∠AFE=12∠BFE=12.解析(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,∴∠A=∠FCD=90°,∵△DAE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCM,∴∠DCM=∠A=90°,DE=DM,∠EDM=90°,∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°,∴F、C、M三點(diǎn)共線,∵∠EDF=45°,∴∠FDM=45°=∠EDF.在△DEF和△DMF中,DE=DM,∴△DEF≌△DMF(SAS),∴EF=MF.(2)∵AE=3,∴CM=AE=3,BE=9-3=6.設(shè)CF=x,則BF=9-x,EF=FM=3+x.在Rt△EBF中,BE2+BF2=EF2,即62+(9-x)2=(3+x)2.解得x=4.5.∴EF=3+x=7.5.3.證明(1)∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠B=∠C=45°.∵AD⊥BC,∴∠DAF=45°,D為BC的中點(diǎn),∴BD=CD=AD=12∵∠BDE+∠ADE=∠ADB=90°,∠ADE+∠ADF=∠MDN=90°,∴∠BDE=∠ADF,在△BDE和△ADF中,∠B=∠DAF,∴△BDE≌△ADF(ASA).(2)由(1)知BD=AD,∠BDM=∠ADN,在△MBD和△NAD中,BD=AD,∴△MBD≌△NAD(SAS),∴BM=AN.4.解析(1)∵將線段BO繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO',∴BO=BO',∠O'BO=60°,∴△OBO'是等邊三角形,∴OO'=OB=12.(2)∵△ABC是等邊三角形,∴AB=CB,∠ABC=60°.∵∠OBO'=60°,BO=BO',∴∠O'BA=∠OBC,在△BO'A和△BOC中,AB=CB,∴△BO'A≌△BOC(SAS).∴O'A=OC=13.∵AO2