《微分方程數(shù)值解》課程教學(xué)大綱

《微分方程數(shù)值解》教學(xué)大綱課程名稱：微分方程數(shù)值解英文名稱：NumericalMethodsofDifferentialEquations課程編號：F035092182學(xué)分：2.5總學(xué)時/課內(nèi)實踐學(xué)時：40/8課程性質(zhì)：選修課程開課單位：數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院數(shù)學(xué)系基層教學(xué)組織適應(yīng)對象：信息與計算科學(xué)專業(yè)一、課程簡介微分方程數(shù)值解課程是信息與計算科學(xué)及相關(guān)專業(yè)的重要課程之一，旨在幫助學(xué)生掌握微分方程數(shù)值求解的基本方法和技巧。該課程的主要內(nèi)容包括常微分方程和偏微分方程的數(shù)值解法，如Euler法、Runge-Kutta法、有限差分法和有限元法等。通過理論講授與編程實踐相結(jié)合，學(xué)生將學(xué)習(xí)如何有效地應(yīng)用這些數(shù)值方法解決實際問題。教學(xué)方式以講授為主，輔以上機實驗和課題研究，考核方式包括平時作業(yè)、實驗報告和期末考試。課程的特色在于強調(diào)數(shù)值方法在工程和科學(xué)計算中的廣泛應(yīng)用，并培養(yǎng)學(xué)生分析和解決復(fù)雜問題的能力。在教學(xué)過程中融入思政元素，通過歷史數(shù)學(xué)家的貢獻(xiàn)和科學(xué)進(jìn)步的案例，增強學(xué)生的責(zé)任意識和社會擔(dān)當(dāng)，同時培養(yǎng)他們的創(chuàng)新精神和民族自豪感。TheNumericalSolutionsofDifferentialEquationscourseisafundamentalcourseforInformationandComputationalScienceandrelatedmajors.Itaimstoequipstudentswithessentialmethodsandtechniquesforsolvingdifferentialequationsnumerically.Thecoursecoverskeytopicssuchasnumericalmethodsforordinaryandpartialdifferentialequations,includingEuler'smethod,Runge-Kuttamethods,finitedifferencemethods,andfiniteelementmethods.Bycombiningtheoreticallectureswithhands-onprogrammingpractice,studentswilllearnhowtoeffectivelyapplythesenumericalmethodstosolvereal-worldproblems.Thecourseistaughtprimarilythroughlectures,supplementedbycomputerlabsessionsandresearchprojects.Assessmentsincluderegularassignments,labreports,andafinalexam.Thecourseischaracterizedbyitsemphasisontheextensiveapplicationsofnumericalmethodsinengineeringandscientificcomputing,fosteringstudents'abilitiestoanalyzeandsolvecomplexproblems.Ideologicalandpoliticalelementsareintegratedintothecoursebydiscussingthecontributionsofhistoricalmathematiciansandexamplesofscientificprogress,therebyenhancingstudents'senseofresponsibility,socialcommitment,innovationspirit,andnationalpride.二、課程目標(biāo)1.了解橢圓、拋物和雙曲三類典型偏微分方程有限元法和有限差分法的發(fā)展歷程、前沿研究動態(tài)，勤奮踏實，具備良好的科學(xué)和文化素養(yǎng)，培養(yǎng)協(xié)同合作、服務(wù)社會的意識和利用現(xiàn)代技術(shù)獲取信息、開展學(xué)術(shù)研究的綜合素質(zhì)，增強科技興國的使命感。2.掌握變分形式Ritz-Galerkin方法，橢圓型方程和拋物型方程的有限元法，二階橢圓、拋物和雙曲三類典型偏微分方程的有限差分法，離散化方程的解法等相關(guān)的基本理論，學(xué)會使用成熟的求解偏微分方程的模塊化軟件，為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)和理論的實踐應(yīng)用打下堅實基礎(chǔ)。3.培養(yǎng)學(xué)生設(shè)計和分析數(shù)值求解橢圓型方程的有限元法和有限差分法的基本能力，掌握用數(shù)值方法處理實際應(yīng)用問題時所遵循的基本步驟和基本思想；培養(yǎng)獨立思考和判斷，具備基本的算法編程和數(shù)值模擬實驗的能力，能夠運用所學(xué)專業(yè)知識解決實際問題的應(yīng)用和創(chuàng)新能力。1.Toknowtheelliptic,parabolicandhyperbolicpartialdifferentialequationsofthreekindsoftypicaldevelopmentoffiniteelementmethodandfinitedifferencemethod,dynamicandcutting-edgeresearchassiduoussureness,havegoodscientificandculturalquality,cultivatetheconsciousnessofcooperationandservethesocietyandmakeuseofmoderninformationtechnology,todevelopthecomprehensivequalityofacademicresearch,enhancethesenseofscienceandtechnologyandrejuvenatingthecountry.2.MastervariationalRitz-Galerkinmethod,finiteelementmethodforellipticequationsandparabolicequations,finitedifferencemethodforsecond-orderelliptic,parabolicandhyperbolicpartialdifferentialequations,solutionmethodfordiscretizedequationsandotherrelatedbasictheories,andlearntousematuremodularsoftwareforsolvingpartialdifferentialequations.Layasolidfoundationforthestudyofsubsequentcoursesandthepracticalapplicationoftheory.3.Trainstudentstodesignandanalyzethebasicabilityoffiniteelementmethodandfinitedifferencemethodforsolvingellipticequationsnumerically,andmasterthebasicstepsandideasfollowedbynumericalmethodstodealwithpracticalapplicationproblems;Cultivateindependentthinkingandjudgment,havetheabilityofbasicalgorithmprogrammingandnumericalsimulationexperiment,andcanusetheprofessionalknowledgetosolvepracticalproblemswiththeapplicationandinnovationability.三、課程目標(biāo)與畢業(yè)要求對應(yīng)關(guān)系本課程的課程目標(biāo)對信息與計算科學(xué)專業(yè)畢業(yè)要求指標(biāo)點的支撐情況如表1所示：表1課程目標(biāo)與畢業(yè)要求對應(yīng)關(guān)系畢業(yè)要求指標(biāo)點課程目標(biāo)畢業(yè)要求1：知識要求具有扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，掌握信息科學(xué)、計算科學(xué)和計算機科學(xué)的基本理論和基本知識。課程目標(biāo)2畢業(yè)要求2：能力要求能運用所學(xué)數(shù)學(xué)和計算機知識解決某些科研或生產(chǎn)中的實際問題。課程目標(biāo)3畢業(yè)要求3：素質(zhì)要求具有正確的人生觀、價值觀和道德觀，愛國、誠信、友善、守法，具有高度的社會責(zé)任感；具有良好的心理素質(zhì)和積極的人生態(tài)度。課程目標(biāo)1四、課程教學(xué)安排課程共有6項教學(xué)內(nèi)容，具體安排如下。表2：課程教學(xué)安排表序號教學(xué)內(nèi)容思政元素課堂教學(xué)學(xué)時實驗/實踐教學(xué)學(xué)時學(xué)時小計1橢圓型方程的有限差分法培養(yǎng)奮斗精神4482離散化方程的解法883拋物型方程的差分法和有限元法4264雙曲型方程的有限差分法厚植愛國主義情懷4265變分形式Ritz-Galerkin方法愛國教育666有限元空間與橢圓型方程的有限元法66合計32840教學(xué)安排1.橢圓型方程的有限差分法教學(xué)要求：1.掌握差分逼近的基本概念：截斷誤差、網(wǎng)函數(shù)、相容條件、穩(wěn)定性和先驗估計等；2.掌握直接差分化法和有限體積法，了解待定系數(shù)法和變分差分法和邊值條件的逼近方法；3.掌握Poisson方程的五點差分格式、誤差估計和邊值條件的處理；4.掌握極值定理、比較定理和五點格式的斂速估計。教學(xué)內(nèi)容：1.差分逼近的基本概念；2.兩點邊值問題的差分格式；3.二階橢圓型方程的差分格式；4.極值定理、斂速估計。重點難點：極值定理、斂速估計。思政要素:借助橢圓型方程的實際應(yīng)用案例，引導(dǎo)學(xué)生要像工匠一樣吃苦耐勞，精益求精，積極進(jìn)取，善于創(chuàng)新，為我國的社會主義事業(yè)貢獻(xiàn)力量。2.離散化方程的解法教學(xué)要求：1.掌握離散方程的基本特征、求解的四類一般迭代法；2.掌握交替方向迭代；3.了解共軛梯度法和預(yù)共軛梯度法的基本原理；4.了解多重網(wǎng)格法的構(gòu)造和思想。教學(xué)內(nèi)容：1．基本迭代法；2．交替方向迭代法；3．預(yù)處理共軛梯度法；4.多重網(wǎng)格法。重點難點：多重網(wǎng)格法。3.拋物型方程的差分法和有限元法教學(xué)要求：1.以一維熱傳導(dǎo)方程為例，掌握拋物型方程的四種最簡差分格式；2.掌握拋物型方程有限差分法的穩(wěn)定性的定義和判別方法，了解差分格式的收斂性和誤差估計；3.掌握拋物型方程的有限元法。教學(xué)內(nèi)容：1．最簡差分格式；2．穩(wěn)定性與收斂性；3．有限元法。重點難點：有限元法。4.雙曲型方程的有限差分法教學(xué)要求：1.掌握波動方程及其特征，了解依存域、決定域和影響域，掌握顯格式的構(gòu)造及其穩(wěn)定性分析；2.掌握幾種常見的逼近雙曲方程的差分格式：迎風(fēng)格式、積分守恒差分格式和黏性差分格式；3.掌握雙曲方程幾種邊值條件的提法及相應(yīng)的逼近方法。教學(xué)內(nèi)容：1.波動方程的差分逼近；2.初值問題的差分逼近；3.初邊值問題和對流占優(yōu)擴散方程的差分逼近。重點難點：初邊值問題和對流占優(yōu)擴散方程的差分逼近。思政元素:講授我國數(shù)學(xué)家的案例，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)精神，激發(fā)學(xué)生愛國情懷。5.變分形式Ritz-Galerkin方法教學(xué)要求：1.以二次函數(shù)的極值問題為例，掌握變分問題的基本概念和方法；2.了解弦平衡方程的建立，掌握一維Sobolev空間的相關(guān)概念和性質(zhì)，掌握極小位能原理和虛功原理；3.掌握二維Sobolev空間的相關(guān)概念和性質(zhì)，以Poisson方程的第一邊值問題為例，掌握一般二階橢圓邊值問題的極小位能原理和虛功原理，初步了解一般和特殊的辯證思維方式；4.掌握求解變分問題的一種重要數(shù)值解法：Ritz-Galerkin方法，了解有限元法的發(fā)展歷程，培養(yǎng)科學(xué)和文化素養(yǎng)。教學(xué)內(nèi)容：1．二次函數(shù)的極值；2．兩點邊值問題；3．二階橢圓邊值問題；4.Ritz-Galerkin方法。重點難點：Ritz-Galerkin方法。思政元素：講授我國古代南北朝數(shù)學(xué)家祖沖之推算的圓周率的真值比歐洲要早一千多年。他不僅在數(shù)學(xué)界出名，還是偉大的天文學(xué)家。通過這些介紹，學(xué)生不僅深刻理解無理數(shù)的概念，也認(rèn)識到我們祖先的聰明智慧，增強民族自豪感，激發(fā)學(xué)生的求知欲，激勵學(xué)生發(fā)奮學(xué)習(xí)，積極向上，勇于創(chuàng)新。6.有限元空間與橢圓型方程的有限元法教學(xué)要求：1.掌握兩點邊值問題從不同觀點出發(fā)可導(dǎo)出相同的有限元法；2.掌握線性有限元法的誤差估計的結(jié)論及證明過程，特別是要掌握有限元解在關(guān)于L2范數(shù)下的對偶論證方法；3.會構(gòu)造基于三角形網(wǎng)格的Lagrange型和