山東省淄博市張店實驗中學(xué)2024-2025學(xué)年上學(xué)期九年級第一次月考數(shù)學(xué)試卷（五四學(xué)制）

2024-2025學(xué)年山東省淄博市張店實驗中學(xué)九年級（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（五四學(xué)制）一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則下列結(jié)論中不正確的是(

)A.點(diǎn)A位于第二或四象限 B.圖象一定經(jīng)過

C.在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小 D.圖象一定經(jīng)過2.已知反比例函數(shù)的圖象在一、三象限，則化簡代數(shù)式得(

)A. B. C. D.3.已知，那么銳角的取值范圍是(

)A. B. C. D.4.在中，，，則的值為(

)A. B. C. D.5.如圖，曲線是雙曲線：繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)得到的圖形，P是曲線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)A在直線l：上，且，則的面積等于(

)A.

B.6

C.3

D.126.如圖，已知動點(diǎn)P在反比例函數(shù)的圖象上，軸于點(diǎn)A，動點(diǎn)B在y軸正半軸上，當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)逐漸變小時，的面積將會(

)A.越來越小

B.越來越大

C.不變

D.先變大后變小

7.近年來，隨著智能技術(shù)的發(fā)展，智能機(jī)器人已經(jīng)服務(wù)于社會生活的各個方面.圖1所示是一款智能送貨機(jī)器人，圖2是其側(cè)面示意圖，現(xiàn)測得其矩形底座ABCD的高BC為30cm，上部顯示屏EF的長度為30cm，側(cè)面支架EC的長度為100cm，，，則該機(jī)器人的最高點(diǎn)F距地面AB的高度約為參考數(shù)據(jù)：，，A.143 B.77 C.62 D.1588.如圖，在中，，，的面積為6，AO與x軸負(fù)半軸的夾角為，雙曲線經(jīng)過點(diǎn)A，則k的值為(

)A.

B.

C.

D.

9.如圖所示，正方形ABCD與其中邊BC，EF分別在x，y軸的正半軸上的公共頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，直線DG與x，y軸分別相交于點(diǎn)M，若這兩個正方形的面積之和是，且則k的值是(

)A.5 B.1 C.3 D.210.已知函數(shù)的圖象如圖所示，點(diǎn)P是y軸負(fù)半軸上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的垂線交圖象于A，B兩點(diǎn)，連接OA、下列結(jié)論：

①若點(diǎn)，在圖象上，且，則；

②當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為時，是等腰三角形；

③無論點(diǎn)P在什么位置，始終有，；

④當(dāng)點(diǎn)P移動到使時，點(diǎn)A的坐標(biāo)為

其中正確的結(jié)論個數(shù)為(

)

A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題：本題共5小題，每小題4分，共20分。11.已知為銳角，且，則等于______12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，已知，，則方程的根是______.

13.設(shè)函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則的值為______.14.如圖，和都是等腰直角三角形，，反比例函數(shù)在第一象限的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，則與的面積之差為______.

15.如圖，已知點(diǎn)A在反比例函數(shù)上，作，點(diǎn)D為斜邊AC的中點(diǎn)，連DB并延長交y軸于點(diǎn)E，若的面積為6，則______.

三、解答題：本題共8小題，共90分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.本小題10分

計算；

17.本小題10分

如圖，在中，，，，求AB的長.18.本小題10分

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函的圖象交于點(diǎn)，

求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；

請根據(jù)函數(shù)圖象直接寫出關(guān)于x的不等式的解.

連接OA，OB，求的面積.19.本小題10分

小明想測一棵樹的高度，他發(fā)現(xiàn)樹的影子恰好落在地面和一斜坡上，如圖，此時測得地面上的影長為16米，坡面上的影長為8米.已知斜坡的坡角為，同一時刻，一根長為1米、垂直于地面放置的標(biāo)桿在地面上的影長為2米，求樹的高度.20.本小題12分

如圖，在中，，，是AB邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作直線CD的垂線，與邊BC相交于點(diǎn)

求線段CE的長；

求的值.21.本小題12分

如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于，B兩點(diǎn)，與x，y軸分別相交于點(diǎn)C，且

分別求這兩個函數(shù)的表達(dá)式；

以點(diǎn)D為圓心，線段DB的長為半徑作弧與x軸正半軸相交于點(diǎn)E，連接AE，求的面積；

根據(jù)函數(shù)的圖象直接寫出關(guān)于x的不等式的解集.22.本小題13分

如圖，我國某海域上有A、B兩個小島，B在A的正東方向.有一艘漁船在點(diǎn)C處捕魚，在A島測得漁船在東北方向上，在B島測得漁船在北偏西的方向上，且測得B、C兩處的距離為海里.

求A、C兩處的距離；

突然，漁船發(fā)生故障，而滯留C處等待救援.此時，在D處巡邏的救援船立即以每小時40海里的速度沿DC方向前往C處，測得D在小島A的北偏西方向上距A島30海里處.求救援船到達(dá)C處所用的時間結(jié)果保留根號23.本小題13分

如圖，點(diǎn)P為函數(shù)與函數(shù)圖象的交點(diǎn)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4，軸，垂足為點(diǎn)

求m的值；

點(diǎn)M是函數(shù)圖象上一動點(diǎn)不與P點(diǎn)重合，過點(diǎn)M作于點(diǎn)D，若，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，

，故選項B、D正確，不符合題意；

，

圖象位于第一、三象限，故選項A不正確，符合題意；

在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，故選項C正確，不符合題意．

故選：

先求出k的值，再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)解答即可．

本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)解答．2.【答案】C

【解析】解：反比例函數(shù)的圖象在一、三象限，

，

，

故選：

根據(jù)反比例函數(shù)的圖象在一、三象限得出，求出m的取值范圍即可．

本題考查的是反比例函數(shù)的圖象和二次根式的性質(zhì)，根據(jù)題意得出m的取值范圍是解題的關(guān)鍵．3.【答案】A

【解析】解：，，

又，

故選：

由于是銳角，所以，即，又，，而余弦函數(shù)隨角度的增大而減小，從而得出銳角的取值范圍．

熟記特殊角的三角函數(shù)值和了解銳角三角函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵．4.【答案】C

【解析】解：在中，，

，

設(shè)，，則，

故選：

利用余弦的定義得到，設(shè)，，則可求出，然后根據(jù)正切的定義求解．

本題考查了銳角三角函數(shù)的定義．5.【答案】B

【解析】解：如圖，將及直線繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)，則得到雙曲線，直線l與y軸重合．

雙曲線，的解析式為，

過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)B

為OA中點(diǎn)．

由反比例函數(shù)比例系數(shù)k的性質(zhì)，

的面積是6

故選：

將雙曲線逆時針旋轉(zhuǎn)使得l與y軸重合，等腰三角形的底邊在y軸上，應(yīng)用反比例函數(shù)比例系數(shù)k的性質(zhì)解答問題．

本題為反比例函數(shù)綜合題，考查了反比例函數(shù)的軸對稱性以及反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義．.6.【答案】C

【解析】解：如圖，連接OP，

軸，

，

軸，

，

當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)逐漸變小時，的面積不變，始終等于

故選：

根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得出，即可得出結(jié)論．

本題主要考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，熟練掌握在反比例函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，這一點(diǎn)和垂足以及坐標(biāo)原點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積是，且保持不變．7.【答案】A

【解析】解：如圖，過點(diǎn)E作于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作，過點(diǎn)F作于點(diǎn)N，

在中，，，

，

在中，，，

，

機(jī)器人的最高點(diǎn)F距地面AB的高度為，

故選：

通過作垂線或平行線，構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行計算即可．

本題考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提．8.【答案】B

【解析】解：如圖，過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)C，

在中，，，

，

設(shè)，則，，

由題意可知，，

，，

∽，

，即，

，

，

故選：

過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)C，易得，設(shè)，利用含角的直角三角形的性質(zhì)可得，，易證∽，利用相似三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而求得，再利用反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可求解．

本題主要考查含角的直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，利用相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的面積比等于相似比的平方求出是解題關(guān)鍵．9.【答案】C

【解析】解：設(shè)，，

由題意得：

正方形ABCD與其中邊BC，EF分別在x，y軸的正半軸上的公共頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，

，，

，

∽，

，

，

，

，

∽，

，

，

，

，

，

，

故選：

設(shè)，，利用正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)得到a，b的關(guān)系式，再利用求得a，b值，則點(diǎn)A坐標(biāo)可求，最后利用待定系數(shù)法解答即可得出結(jié)論．

本題主要考查了反比例函數(shù)的圖形與性質(zhì)，反比例函數(shù)的系數(shù)k的幾何意義，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，利用線段的長度表示出點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．10.【答案】C

【解析】解：①錯誤．，函數(shù)y隨x是增大而減小，

，故①錯誤．

②正確．，

，，

，，

，

是等腰三角形，故②正確．

③正確．設(shè)，則，，

，，

，

，故③正確．

④正確．設(shè)，則，，

，，，

，，

，，

，

∽，

，

，

，

，

，

，

，故④正確．

②③④正確，

故選

①錯誤．因為，函數(shù)y隨x是增大而減小，所以；

②正確．求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)即可解決問題；

③正確．設(shè)，則，，可得，，推出，；

④正確．設(shè)，則，，推出，，，由∽，可得，列出方程即可解決問題；

本題考查反比例函數(shù)綜合題、等腰三角形的判定、兩點(diǎn)間距離公式、相似三角形的判定和性質(zhì)、待定系數(shù)法等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會利用參數(shù)，構(gòu)建方程解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．11.【答案】80

【解析】解：為銳角，，，

，

故答案為

根據(jù)解答．

此題考查了特殊角的三角函數(shù)值，比較簡單，只要熟記特特殊角的三角函數(shù)值即可．12.【答案】或

【解析】解：由題意，由方程的根就是直線與雙曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

又直線與雙曲線的交點(diǎn)是，，

方程的根為或

故答案為：或

依據(jù)題意，由方程的根就是直線與雙曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而可以得解．

本題主要考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)與方程的根的意義，解題時要熟練掌握并理解．13.【答案】

【解析】解：函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為，

，

，，

故答案為：

根據(jù)兩個函數(shù)的交點(diǎn)分別滿足兩個函數(shù)解析式得到，，代入所求代數(shù)式進(jìn)行代值求解即可．

本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，完全平方公式的變形求值，分式的求值，熟知函數(shù)圖象上的一點(diǎn)一定滿足對應(yīng)的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．14.【答案】3

【解析】【分析】

本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及等腰直角三角形，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出的值是解題的關(guān)鍵．根據(jù)和都是等腰直角三角形可得出、，設(shè)，，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出，再根據(jù)三角形的面積即可得出與的面積之差．

【解答】解：和都是等腰直角三角形，

，，

設(shè)，，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為，

反比例函數(shù)在第一象限的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，

，

故答案為15.【答案】12

【解析】解：的面積為8，

，

，

點(diǎn)D為斜邊AC的中點(diǎn)，

，

，

又，

∽，

，

故答案為：

根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，證明∽，根據(jù)相似比求出的值，從而求出的面積．

本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，相似三角形的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是證明∽，得到16.【答案】解：原式

；

原式

【解析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值分別化簡，進(jìn)而得出答案；

直接利用特殊角的三角函數(shù)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)、二次根式的性質(zhì)分別化簡，進(jìn)而得出答案．

此題主要考查了實數(shù)的運(yùn)算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．17.【答案】解：作于D，如圖，

在中，，，

，，

在中，，

，

【解析】作于D，據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到，，再在中根據(jù)正切的定義可計算出BD，然后把AD與BD相加即可．

本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．掌握三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．18.【答案】解：點(diǎn)，在反比例函數(shù)的圖象上，

，，

反比例函數(shù)表達(dá)式為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為

點(diǎn)和在一次函數(shù)的圖象上，

，解得，

一次函數(shù)表達(dá)式為；

由圖象可知，關(guān)于x的不等式的解為或；

是直線AB與y軸的交點(diǎn)，

當(dāng)時，

點(diǎn)

【解析】利用待定系數(shù)法即可求得；

通過觀察圖象即可求得；

把三角形AOB的面積看成是三角形AOC和三角形OCB的面積之和進(jìn)行計算．

本題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及三角形的面積，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．19.【答案】解：如圖，延長AC交BF延長線于D點(diǎn)，作于點(diǎn)

在中，，米，

米，米

在中，

同一時刻，一根長為1米、垂直于地面放置的標(biāo)桿在地面上的影長為2米，米，CE：：2，

米，

米

在中，米，

故樹的高度是米．

【解析】要求樹的高度，考慮將其放在直角三角形中求解．在中，，則，

本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，正確作出輔助線、掌握銳角三角函數(shù)的概念、熟練運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．20.【答案】解：，，，

，

，

，

又為AB中點(diǎn)，

，

，

又，

，，

即，

，

；

如圖，作交AB于點(diǎn)F，

由知，

則，，

設(shè)，則，

在中，，

在中，，

，

解得：，

即，，

【解析】本題主要考查解直角三角形和斜邊上的中線，關(guān)鍵是直角三角形中，正弦、余弦的應(yīng)用．

先由余弦的定義求出AB，再由勾股定理求出BC，再根據(jù)斜邊上的中線求出AD，，由余弦的定義列比例式求出CE；

作交AB于點(diǎn)F，在直角三角形中由勾股定理列出關(guān)于BF的關(guān)系式，從而求出的正弦值．21.【答案】解：由得，

，

，

，

代入得，

一次函數(shù)解析式為

過A作軸，如圖

，

，

，

，

，

代入得，

反比例函數(shù)解析式為

如圖2：過A作軸，交BE于

聯(lián)立和得，

或1，

，

，

，

，

設(shè)直線BE解析式為，

，

，，

直線BE解析式為，

，

面積

看圖得：當(dāng)或時，，即

【解析】由得，由，，故一次函數(shù)解析式為過A作軸，由，得，故反比例函數(shù)解析式為

過A作軸，聯(lián)立和得，得，求出直線BE解析式為，得，故面積

看圖得：當(dāng)或時，，即

本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，掌握反比例