湖北省武漢市重點(diǎn)中學(xué)5G聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)

湖北省武漢市重點(diǎn)中學(xué)5G聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間：2024年11月8日試卷滿分：150分?？荚図樌⒁馐马?xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效．3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效．4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．直線的傾斜角為（

）A．0 B． C． D．2．已知空間向量，且，則（

）A．10 B．6 C．4 D．3．已知直線與直線，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知向量，，向量在向量上的投影向量為（

）．A． B．C． D．5．如圖，在直三棱柱中，，，，，則與所成的角的余弦值為（

）A． B． C． D．6．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為是上的任意一點(diǎn)，則錯(cuò)誤的是（

）A．的離心率為 B．C．的最大值為 D．使為直角的點(diǎn)有2個(gè)7．已知互不相同的20個(gè)樣本數(shù)據(jù)，若去掉其中最大和最小的數(shù)據(jù)，設(shè)剩下的18個(gè)樣本數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)為；去掉的兩個(gè)數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)為；原樣本數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)為，若，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（

）A．B．剩下的18個(gè)樣本數(shù)據(jù)與原樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)不變C．D．剩下18個(gè)數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)大于原樣本數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)8．已知P為棱長(zhǎng)為1的正方體的內(nèi)切球表面一動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分．9．已知事件A，B滿足，，則（

）A．若，則B．若A與B互斥，則C．若P(AB)=0.1，則A與B相互獨(dú)立D．若A與B相互獨(dú)立，則10．（多選）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則（

）A．點(diǎn)到直線的距離為 B．直線到直線的距離為C．點(diǎn)到平面的距離為 D．直線到平面的距離為11．?dāng)?shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式不同于自然美或藝術(shù)美那樣直觀，它蘊(yùn)藏于特有的抽象概念、公式符號(hào)、推理論證、思維方法等之中，揭示了規(guī)律性，是一種科學(xué)的真實(shí)美.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線就是一條形狀優(yōu)美的曲線，對(duì)于此曲線，下列說(shuō)法正確的有（

）A．曲線圍成的圖形有條對(duì)稱軸B．曲線圍成的圖形的周長(zhǎng)是C．若是曲線上任意一點(diǎn)，的最小值是D．曲線上的任意兩點(diǎn)間的距離不超過(guò)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．同時(shí)拋擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，則兩顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為4的概率為；13．過(guò)點(diǎn)且與圓：相切的直線方程為14．已知四棱錐的底面是平行四邊形ABCD，過(guò)棱PC的中點(diǎn)和點(diǎn)作一平面，分別交棱PB和PD于點(diǎn)和.①設(shè)，則.（用向量表示）②記四棱錐的體積為，四棱錐的體積為，則的取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．某高校的入學(xué)面試中有3道難度相當(dāng)?shù)念}目，李明答對(duì)每道題目的概率都是0.6．若每位面試者共有三次機(jī)會(huì)，一旦某次答對(duì)抽到的題目，則面試通過(guò)，否則就一直抽題到第3次為止．用Y表示答對(duì)題目，用N表示沒(méi)有答對(duì)題目，假設(shè)對(duì)抽到的不同題目能否答對(duì)是獨(dú)立的，那么(1)在樹狀圖中填寫樣本點(diǎn)，并寫出樣本空間；(2)求李明第二次答題通過(guò)面試的概率；(3)求李明最終通過(guò)面試的概率．16．為了落實(shí)習(xí)主席提出“綠水青山就是金山銀山”的環(huán)境治理要求，某市政府積極鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案，擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)x（噸），使居民的月用水量不超過(guò)x的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出x的部分按議價(jià)收費(fèi).為了了解居民用水情況，通過(guò)抽樣，獲得了某年200位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中.(1)求直方圖中a，b的值；(2)由頻率分布直方圖估計(jì)該市居民用水的平均數(shù)（每組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作為代表）；(3)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)x（噸），估計(jì)x的值，并說(shuō)明理由.17．已知中，；(1)求邊AB的中線所在直線的方程；(2)求經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(3)已知圓與（2）中圓相交于，求直線AB的方程，并求AB.18．在中，，，，分別是上的點(diǎn)，滿足且經(jīng)過(guò)的重心，將沿折起到的位置，使，是的中點(diǎn)，如圖所示.(1)求證：平面；(2)求與平面所成角的大??；(3)在線段上是否存在點(diǎn)，使平面與平面成角余弦值為？若存在，求出的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.19．有一個(gè)半徑為4的圓形紙片，設(shè)紙片上一定點(diǎn)到紙片圓心的距離為，將紙片折疊，使圓周上一點(diǎn)M與點(diǎn)F重合，以點(diǎn)F，E所在的直線為x軸，線段EF中點(diǎn)為原點(diǎn)O，建立平面直角坐標(biāo)系．(1)記折痕與ME的交點(diǎn)P的軌跡為曲線C，求曲線C的方程．(2)若直線與曲線C交于A，B兩點(diǎn)．（ⅰ）當(dāng)k為何值時(shí)，為常數(shù)d，并求出d的值．（ⅱ）以A，B為切點(diǎn)，作曲線C的兩條切線，設(shè)其交點(diǎn)為Q，當(dāng)時(shí)，證明：1．A【分析】由題及傾斜角定義可得答案.【詳解】斜率為0，則傾斜角為0.故選：A2．C【分析】運(yùn)用空間向量平行的坐標(biāo)結(jié)論計(jì)算.【詳解】因?yàn)?，所?即，則.故選：C.3．A【分析】由垂直關(guān)系求出a的值，再結(jié)合充分、必要條件的概念即可得答案.【詳解】若，則，解得或，所以“”是“”的充分不必要條件．故選：A.4．A【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算及投影向量的公式計(jì)算即可.【詳解】由題意可知，，所以向量在向量上的投影向量為.故選：A5．D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用計(jì)算出與所成的角的余弦值.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，則與所成的角的余弦值為.故選：D6．D【分析】AB選項(xiàng)，由題可得a，b，c，后由離心率計(jì)算式，橢圓定義可判斷選項(xiàng)正誤；C選項(xiàng)，由橢圓方程結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式可判斷選項(xiàng)正誤；D選項(xiàng)，即判斷以原點(diǎn)為圓心，半焦距為半徑的圓與橢圓是否有兩個(gè)交點(diǎn).【詳解】，則.AB選項(xiàng)，，故A正確；，故B正確；C選項(xiàng)，由題可知，，設(shè)Px,y，則，由題可得，則，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，因?yàn)橹苯牵瑒tP在以原點(diǎn)為圓心，半焦距為半徑的圓上，則，與聯(lián)立，可得.則滿足條件的點(diǎn)P為，共4個(gè)，故D錯(cuò)誤.故選：D7．D【分析】設(shè)20個(gè)樣本數(shù)據(jù)從小到大排列分別為，再根據(jù)中位數(shù)、平均數(shù)、第22百分位數(shù)與方差的定義與公式推導(dǎo)即可.【詳解】設(shè)20個(gè)樣本數(shù)據(jù)從小到大排列分別為，則剩下的18個(gè)樣本數(shù)據(jù)為，對(duì)于A，依題意，，，，由，得，即，于是，因此，即，A正確；對(duì)于B，原樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，剩下的18個(gè)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋瑒t，，，于是，，因此，即，C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋瑒t剩下18個(gè)數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，又，則原樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，D錯(cuò)誤.故選：D8．B【分析】如圖建立坐標(biāo)系，可將轉(zhuǎn)化為在方向上的投影向量長(zhǎng)度的倍，結(jié)合圖形可得答案【詳解】如圖以A為原點(diǎn)，分別為x，y，z軸建系，則，則，又，則.表示在方向上的投影向量的長(zhǎng)度.如圖當(dāng)P在G或F時(shí)，即當(dāng)A，O，P共線時(shí)，取最值.因，內(nèi)切球半徑為.則,則，則.故選：B

9．BC【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合概率的性質(zhì)、互斥事件、相互獨(dú)立事件的概率公式，逐項(xiàng)分析判斷即可.【詳解】對(duì)于A，由，得，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由A與B互斥，得，B正確；對(duì)于C，由，得，則A與B相互獨(dú)立，C正確；對(duì)于D，由A與B相互獨(dú)立，得相互獨(dú)立，則，D錯(cuò)誤.故選：BC10．ABD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線的單位方向向量，由點(diǎn)到直線距離的向量公式求解可判斷A；先證明，然后由由點(diǎn)到直線距離的向量公式求解可判斷B；求出平面的法向量，由點(diǎn)到平面的向量公式可判斷CD.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，A1,0,0．因?yàn)?，，．設(shè)，所以，所以點(diǎn)到直線的距離為，故A正確．因?yàn)?，，所以，所以，所以點(diǎn)到直線的距離即為直線到直線的距離．，．設(shè)，所以，所以直線到直線的距離為，故B正確．設(shè)平面的一個(gè)法向量，又，，所以取，則，，所以，所以．又，所以點(diǎn)到平面的距離為，故C錯(cuò)誤．因?yàn)椋矫?，所以平面，所以到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離．又平面的單位法向量，，所以直線到平面的距離為，故D正確．故選：ABD11．BCD【分析】分情況去掉絕對(duì)值，可得曲線的四段關(guān)系式，進(jìn)而作出曲線的圖像，即可判斷各選項(xiàng).【詳解】當(dāng)，時(shí)，曲線方程可化為，即，是以為圓心，為半徑的圓在第一象限的半圓，同理可作出其他象限內(nèi)的圖象，且在曲線上，如圖所示，

A選項(xiàng)：曲線圍成的圖形有條對(duì)稱軸，分別是直線，，，，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：曲線圍成的圖形的周長(zhǎng)為，B正確；C選項(xiàng)：到直線的距離為，且點(diǎn)到直線的距離為，由圓的性質(zhì)，曲線上任意一點(diǎn)到直線的距離最小值為，即，所以的最小值是，C正確；D選項(xiàng)：綜上，易知曲線上任意兩點(diǎn)間的距離最大值為，D正確；故選：BCD.12．【分析】按古典概型概率公式求解.【詳解】同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，基本事件共有個(gè)；設(shè)兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之和為4為事件，則事件包含：，，共3個(gè)基本事件，所以.故答案為：13．或【分析】首先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，再分切線的斜率存在與不存在兩種情況討論，分別求出切線方程.【詳解】圓：即，圓心為，半徑，當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，直線恰好與圓相切；當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線為，即，則，解得，所求切線方程為，綜上可得過(guò)點(diǎn)與圓相切的直線方程為或.故答案為：或14．【分析】①根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可得，從而得解；②設(shè),利用空間向量基本定理中的推論四點(diǎn)共面得到,設(shè),利用體積分割轉(zhuǎn)化將表示為然后利用得到的關(guān)系將此式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，適當(dāng)整理，利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性即可求得其取值范圍.【詳解】根據(jù)題意，底面是平行四邊形ABCD，所以，即得，如圖所示，設(shè)，，又A，M，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，不共面，，設(shè)，則，由，求得，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，此時(shí)，當(dāng)，或時(shí)，即當(dāng)或時(shí)取得最大值為，故答案為：，

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè),利用空間向量基本定理中的推論四點(diǎn)共面得到,設(shè),利用體積分割轉(zhuǎn)化將表示為然后利用得到的關(guān)系將此式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，適當(dāng)整理，利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性即可求得其取值范圍.15．(1)樹狀圖見解析，樣本空間為(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意，列出樹狀圖，并寫出樣本空間即可；（2）由第二次通過(guò)面試，即第一次沒(méi)有通過(guò)，第二次通過(guò)，結(jié)合相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，即可求解；（3）先求出未通過(guò)面試的概率，結(jié)合對(duì)立事件的概率求法，即可求解.【詳解】（1）解：根據(jù)題意，可得樹狀圖及樣本點(diǎn)，如圖所示，其樣本空間為.（2）解：由題意知，，所以第二次答題通過(guò)面試的概率.（3）解：由題意，李明未通過(guò)的概率為，所以李明通過(guò)面試的概率為.16．(1)，(2)噸(3)【分析】（1）結(jié)合圖中數(shù)據(jù)，由直方圖中所有長(zhǎng)方形的面積之和為1列出等式，即可求出答案；（2）由頻率分布直方圖中平均數(shù)的求法，直接計(jì)算即可；（3）結(jié)合圖中數(shù)據(jù)易知標(biāo)準(zhǔn)在中，由此即可求出的估計(jì)值.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得，又，則，.（2）該市居民用水的平均數(shù)估計(jì)為：（噸）.（3）因的頻率為，的頻率為，故的估計(jì)值為（噸）．所以有的居民每月的用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)（噸）．17．(1)(2)(3).【分析】（1）先求出AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出中線的斜率，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程即可求解；（2）根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)表示求出AB的斜率，進(jìn)而可得直線AB、BC的中垂線方程，聯(lián)立方程組，解之可得，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解；（3）根據(jù)兩圓的方程相減可得，利用點(diǎn)線距公式和幾何法求弦長(zhǎng)計(jì)算即可求解.【詳解】（1）AB中點(diǎn)為，所以其中線方程為.（2），直線AB的中垂線方程為，同理直線BC的中垂線方程為，，解得，即，所以所求圓標(biāo)準(zhǔn)方程為.（3）由題意，圓與的方程相減，得，直線AB的距離為，所以.18．(1)證明見解析(2)(3)存在，或【分析】（1）應(yīng)用線面垂直的判定定理證明線面垂直關(guān)系，再由性質(zhì)定理得到線線垂直關(guān)系，進(jìn)而再利用判定定理證明所求證的線面垂直關(guān)系；（2）以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.用向量法求與平面所成角的大小；（3）假設(shè)存在點(diǎn)，使平面與平面成角余弦值為，設(shè)，分別求解兩平面的法向量，用表示余弦值解方程可得.【詳解】（1）因?yàn)樵谥?，，，且，所以，，則折疊后，，又平面，所以平面，平面，所以，又已知，且都在面內(nèi)，所以平面；（2）由（1），以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)椋?，由幾何關(guān)系可知，，，，故，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，不妨令，則，，.設(shè)與平面所成角的大小為，則有，設(shè)為與平面所成角，故，即與平面所成角的大小為；（3）假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使平面與平面成角余弦值為.在空間直角坐標(biāo)系中，，，，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，則有，即，不妨令，則，，所以，設(shè)平面的法向量為，則有，即，不妨令