甘肅省慶陽市寧縣第一中學(xué)2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷含答案

甘肅省慶陽市寧縣第一中學(xué)2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．將自然數(shù)1，2，3，4，5，……，按照如圖排列，我們將2，4，7，11，16，……都稱為“拐角數(shù)”，則下列哪個(gè)數(shù)不是“拐角數(shù)”.（

）

A．22 B．30 C．37 D．462．在等差數(shù)列an中，已知，，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式可以為（

）A． B． C． D．3．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，若，，則（

）A．550 B．520 C．450 D．4254．過點(diǎn)作直線，若直線與連接，兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則直線的傾斜角范圍為（）A． B．C． D．5．直線：，：，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．0 B．1 C．0或1 D．或16．已知直線與直線平行，則與之間的距離為（

）A．2 B．3 C．4 D．57．若點(diǎn)在圓C：的外部，則m的取值可能為（

）A．5 B．1 C． D．8．已知線段的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是，端點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知是的前項(xiàng)和，，，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C． D．是以為周期的周期數(shù)列10．已知等比數(shù)列中，，，則（

）A．公比為 B．C．當(dāng)時(shí)， D．的前10項(xiàng)積為111．若方程表示的曲線為圓，則實(shí)數(shù)的值可以為（

）A．0 B． C．1 D．2三、填空題（本大題共3小題）12．設(shè)等差數(shù)列與的前n項(xiàng)和分別為，，且，則．13．設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為P，則P到直線的距離的最大值為．14．已知，，，第三個(gè)頂點(diǎn)C在曲線上移動(dòng)，則的重心的軌跡方程是．四、解答題（本大題共5小題）15．等差數(shù)列an的前項(xiàng)和為，已知，.(1)求數(shù)列an(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.16．已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，且，，成等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．17．已知點(diǎn)，直線.(1)求點(diǎn)P到直線l的距離；(2)求點(diǎn)P關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)Q的坐標(biāo).18．已知的圓心在x軸上，經(jīng)過點(diǎn)和．(1)求的方程；(2)過點(diǎn)的直線l與交于A、B兩點(diǎn)．（?。┤?，求直線l的方程；（ⅱ）求弦AB最短時(shí)直線l的方程．19．把滿足任意總有的函數(shù)稱為和弦型函數(shù).(1)已知為和弦型函數(shù)且，求的值；(2)在（1）的條件下，定義數(shù)列：，求的值；(3)若為和弦型函數(shù)且對任意非零實(shí)數(shù)，總有．設(shè)有理數(shù)滿足，判斷與的大小關(guān)系，并給出證明．

參考答案1．【答案】B【分析】由根據(jù)題意觀察“拐角數(shù)”的性質(zhì)，可得第個(gè)“拐角數(shù)”等于，進(jìn)而逐項(xiàng)判斷即可得到答案.【詳解】由題意得第1個(gè)“拐角數(shù)”為，第2個(gè)“拐角數(shù)”為，第3個(gè)“拐角數(shù)”為，第4個(gè)“拐角數(shù)”為，…，則第個(gè)“拐角數(shù)”為.對于A：第6個(gè)“拐角數(shù)”是，故A錯(cuò)誤；對于B，C：第7個(gè)“拐角數(shù)”是，第8個(gè)“拐角數(shù)”是，則30不是“拐角數(shù)”，故B正確，故C錯(cuò)誤；對于D：第9個(gè)“拐角數(shù)”是，故D錯(cuò)誤.故選B.2．【答案】C【詳解】方法一（基本量法）設(shè)an的首項(xiàng)為，公差為d，則由，得，∴．代入，整理得，解得．當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，．方法二（等差數(shù)列的性質(zhì)）∵，∴．，∴，∴．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．方法三（方程思想）∵，∴，∴，（由和與積，聯(lián)想到根與系數(shù)的關(guān)系）∴，是方程的兩根，∴或由，，得，∴．同理，由，，得．故選：3．【答案】D【詳解】由等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)可得，，，，成等比數(shù)列，則，設(shè)，則，∵等比數(shù)列中，，∴解得，，故，∴，故選：D．4．【答案】B【詳解】

設(shè)直線的傾斜角為，，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，符合，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為，因?yàn)辄c(diǎn)，，，則，，因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)，且與線段總有公共點(diǎn)，所以，因?yàn)?，又，所以，所以直線的傾斜角范圍為.故選：B.5．【答案】C【詳解】因?yàn)椋?，：垂直，所以，解得或，將，代入方程，均滿足題意，所以當(dāng)或時(shí)，.故選：.6．【答案】A【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行，所以，解之得.于是直線，即，所以與之間的距離為.故選：A7．【答案】C【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在圓C：的外部，所以，解得，又方程表示圓，則，即，所以，結(jié)合選項(xiàng)可知，m的取值可以為.故選：C8．【答案】B【詳解】設(shè)，，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，所以，故，因?yàn)锳在圓上運(yùn)動(dòng)，所以，化簡得，故B正確.故選：B9．【答案】BD【詳解】，，，，，，則數(shù)列an是以為周期的周期數(shù)列，故正確；則，故錯(cuò)誤；，故正確；可得，故錯(cuò)誤．故選：10．【答案】ABD【詳解】對于A項(xiàng)，設(shè)等比數(shù)列an的公比為，由，得，解得，故A正確；對于B項(xiàng)，，則，故B正確；對于C項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，，則，故C錯(cuò)誤；對于D項(xiàng)，由，可得an的前10項(xiàng)積為，故D正確．故選：ABD.11．【答案】AD【詳解】方程，即，若方程表示圓，則，解得或，結(jié)合選項(xiàng)可知AD正確，BC錯(cuò)誤.故選：AD12．【答案】【詳解】，故答案為：．13．【答案】【詳解】由可以得到，故，直線的方程可整理為：，故直線過定點(diǎn)，因?yàn)榈街本€的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，故答案為：.14．【答案】【詳解】設(shè)，因，則.因，，則重心坐標(biāo)為.設(shè)，則，則.故重心軌跡方程為：.故答案為：.15．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)和公差的方程，即可求解；（2）根據(jù)數(shù)列正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)的分界，討論與的關(guān)系，求解.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列an的公差為，∵，∴，∵，∴

?，∴公差為，∴，∴；（2）由已知，時(shí)，；時(shí)，；綜上.16．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，且，因?yàn)?，，成等差?shù)列，則，即，解得或（舍去），所以的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）可知：，則，所以.17．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)，直線，所以點(diǎn)P到直線l的距離為；（2）設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則中點(diǎn)的坐標(biāo)為，又直線的斜率為，所以，解得，即.18．【答案】(1)(2)①或；②.【詳解】（1）設(shè)圓心為，由題意可得，解得，所以，圓的半徑為，因此，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）①當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)，圓心到直線的距離為，合題意，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，則，解得，此時(shí)，直線的方程為.綜上所述，直線的方程為或.②當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離最大，此時(shí)，AB取最小值，因?yàn)?，則，此時(shí)，直線的方程為，即.19．【答案】(1)；(2)(3)，證明見解析【分析】（1）利用所給定義，使用賦值法分別令、代入計(jì)算即可得解；（2）令代入計(jì)算可得，即可得其通項(xiàng)公式，結(jié)合對數(shù)運(yùn)算與等差數(shù)列求和公式計(jì)算即可得解；（3）令，數(shù)列滿足，從而只需證明數(shù)列為遞增數(shù)列即可得證.【詳解】（1）令，則，可得，令，則，則；（2）令，則，，即，又，所以數(shù)列為以為公比，為首項(xiàng)的等比數(shù)列，即，則；（3）由題意得：函數(shù)定義域?yàn)?，?/p>