福建省福州市倉山區(qū)匠心恒一培訓學校2024-2025學年高三上學期第二次（11月）月考數(shù)學試題含答案

2024～2025學年第一學期高三第二次月考數(shù)學試卷考試時間：120分鐘，滿分150分，第I卷（選擇題）一．單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由一元二次不等式化簡集合，即可由并運算求解.由得，所以，故選：D2.為虛數(shù)單位，，則（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的除法化簡運算，在根據(jù)模長公式求解即可得答案.因為，所以，則.故選：B.3.下列函數(shù)最小值為4的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)性質，基本不等式確定最小值后判斷．選項A，時，，最小值不是4，A錯；選項B，由基本不等式知，當且僅當時等號成立，B正確；選項CD中，當時，函數(shù)最小值為0，CD均錯．故選：B．4.在中，，則的面積為（）A.2 B. C.4 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由余弦定理可得，再由三角形的面積公式即可得到結果.由余弦定理得，且，所以，所以．故選：B5.已知函數(shù)在上為減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】結合函數(shù)單調性可得在上恒成立，計算即可得.由題意可得在上恒成立，則有在上恒成立，由在上單調遞增，則有，故.故選：C.6.設函數(shù)在區(qū)間內恰有三個極值點、兩個零點，則取值范圍是（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質列不等式求解.時，，，因此由題意，解得．故選：A．7.設函數(shù)，其中.若，都有.則的圖象與直線的交點個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】利用給定條件求出，再作出圖像求解交點個數(shù)即可.對，都有，所以是y=f所以，又，所以.所以，在平面直角坐標系中畫出與的圖象，當時，，，當時，，，當時，，，當時，，所以如圖所示，可知y=fx的圖象與直線的交點個數(shù)為3，故C故選：C.8.已知定義在上的奇函數(shù)滿足：，且當時，（為常數(shù)），則的值為（）A. B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】首先根據(jù)其為奇函數(shù)，從而得，解出值，再根據(jù)其周期計算即可.因為在R上的奇函數(shù)，所以，解得，所以，因為，所以的周期為6，所以.故選：D.二．多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，則下列結論正確的有（）.A.的最小正周期為B.為偶函數(shù)C.在區(qū)間內的最小值為1D.的圖象關于直線對稱【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)給定的三角函數(shù)的圖象，得到函數(shù)的解析式為，根據(jù)余弦函數(shù)的性質，逐項判定，即可求解.根據(jù)函數(shù)的部分圖象，可得，，可得，，故選項A正確；由得，又，所以，所以，所以，因為定義域為R，且，所以為奇函數(shù)，故選項B錯誤；當，可得，所以，所以，故在區(qū)間內的最小值為1，選項C正確；當時，可得，所以函數(shù)y=fx的對稱中心為，即函數(shù)y=fx的圖象不關于直線對稱，所以D故選：AC.10.在中，角，，的對邊分別是，，，下列說法正確的是（）A.若，則B.若，，，則有兩解C.若，則銳角三角形D.若，則為等腰三角形或直角三角形【答案】ACD【解析】【分析】利用正、余弦定理對每項逐一判斷即可得解．對于A，，則，由正弦定理可得，，故A正確；對于B，由正弦定理，，此時無解，故B錯誤；對于C，，又且，，可知，，均為銳角，故為銳角三角形，故C正確；對于D：，，，，，或，若，，則，所以為等腰三角形或直角三角形，故D正確．故選：ACD．11.已知函數(shù)的定義域為R，且為偶函數(shù)，則（）A. B.為偶函數(shù)C. D.【答案】ACD【解析】【分析】對于A，利用賦值法即可判斷；對于B，利用賦值法與函數(shù)奇偶性的定義即可判斷；對于C，利用換元法結合的奇偶性即可判斷；對于D，先推得的一個周期為6，再依次求得，從而利用的周期性即可判斷.對于A，因為，令，則，故，則，故A正確；對于B，因為的定義域為，關于原點對稱，令，則，又不恒為0，故，所以為奇函數(shù)，故B錯誤；對于C，因為為偶函數(shù)，所以，令，則，故，令，則，故，又為奇函數(shù)，故，所以，即，故C正確；對于D，由選項C可知，所以，故的一個周期為6，因為，所以，對于，令，得，則，令，得，則，令，得，令，得，令，得，所以，又，所以由的周期性可得：，故D正確.故選：ACD.【點睛】關鍵點睛：本題解題的關鍵在于利用賦值法與函數(shù)奇偶性的定義推得fx的奇偶性，再結合題設條件推得fx第II卷（非選擇題）三．填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)二倍角公式以及誘導公式即可得結果.因為，所以，所以，故答案為：.13.若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則_______．【答案】【解析】試題分析：對函數(shù)求導得，對求導得，設直線與曲線相切于點，與曲線相切于點，則，由點在切線上得，由點在切線上得，這兩條直線表示同一條直線，所以，解得.【考點】導數(shù)的幾何意義【名師點睛】函數(shù)f（x）在點x0處的導數(shù)f′（x0）的幾何意義是曲線y＝f（x）在點P（x0，y0）處的切線的斜率．相應地，切線方程為y?y0＝f′（x0）（x?x0）．注意：求曲線切線時，要分清在點P處的切線與過點P的切線的不同．14.設函數(shù)的定義域為為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，則__________.【答案】1【解析】【分析】求出函數(shù)的圖象的對稱點，對稱直線，周期，求出，求出.因為函數(shù)的定義域為為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關于點對稱，也關于直線對稱，所以，，所以，則，所以函數(shù)是周期為8的周期函數(shù)，當時，，則，，，，，，，，所以，又因為，所以.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于求出函數(shù)的圖象的對稱點，對稱直線，周期.四．解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）當時，求函數(shù)的最大值．【答案】（1）在上為增函數(shù)；在上為減函數(shù)；（2）【解析】【分析】（1）直接利用函數(shù)的導數(shù)確定函數(shù)的單調區(qū)間．（2）求導根據(jù)函數(shù)的單調性即可求解最值．【小問1詳解】的定義域為，當時，，，當，解得：，當，解得：．在上為增函數(shù)；在上為減函數(shù)；【小問2詳解】的定義域為，，當時，令f'x>0，得，令f'x的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．.16.已知銳角的內角，，，所對的邊分別為，，，且．（1）求角；（2）若銳角外接圓的半徑為，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角形中角之間的關系及正弦定理的正弦值，進而求出角的大?。唬?）由正弦定理可得，的表達式，再由角的范圍可得解．【小問1詳解】在三角形中，由題意，再由正弦定理可得：，而，銳角三角形中，，所以，即，所以；【小問2詳解】由正弦定理可得，所以，故，又，所以，解得，所以，又，所以，所以，所以的取值范圍為．17.已知中，角的對邊分別是，（1）求角的大??；（2）求的最大值；（3）若，為邊上靠近點的三等分點，求的面積．【答案】（1）（2）18（3）【解析】【分析】（1）由正余弦定理邊化角，再由兩角和的正弦公式化簡可求解；（2）由余弦定理，代入已知數(shù)據(jù)結合重要不等式求解；（3）由題意有，兩邊平方化簡得，在中和中，由余弦定理得化簡得，解得，代入②得，可求的面積.【小問1詳解】由，而，所以，即，由正弦定理得．故．即，即，而，，故，即．而，故.【小問2詳解】由余弦定理得，即，而，所以，所以，當且僅當時等號成立．故的最大值為18.【小問3詳解】因為D為邊上靠近B點的三等分點，，，有，即，故，兩邊平方得，即，化簡得①，在中，由余弦定理得；在中，由余弦定理得；而，故，即②，由①和②得：，解得，代入②得，所以的面積為.18.已知函數(shù).（1）若，求曲線在點處的切線的斜率；（2）若，討論的單調性；（3）若，且時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）答案見解析（3）【解析】【分析】（1）先依據(jù)和的圖象過點求出參數(shù)值，進而求出函數(shù)解析式，接著求出導函數(shù)，根據(jù)導數(shù)幾何意義再求出即可得解.（2）根據(jù)函數(shù)的導函數(shù)對參數(shù)進行分類討論得出導函數(shù)的正負情況即可得解.（3）恒成立等價于，所以對a進行分類討論研究函數(shù)的導函數(shù)情況，從而求得函數(shù)的單調性和最小值情況即可得解.【小問1詳解】因為，，所以，又因為函數(shù)的圖象過點，所以，即，故，解得，所以，故，即曲線在點處的切線的斜率為.【小問2詳解】因為，所以，所以，當時，，在區(qū)間R上單調遞增；當時，令，解得，當時，；當時，，所以函數(shù)在單調遞減，在單調遞增.綜上：當時，在區(qū)間R上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.【小問3詳解】因為，所以，所以，設，則，所以，時，所以在上單調遞增，且；①當時，，即，所以函數(shù)在上單調遞增，所以當時，，所以符合題意，.②當時，又在上單調遞增，且，當時，，，使得，，，即，所以在上單調遞減；，，即，所以上單調遞增，所以，所以不合題意.綜上，實數(shù)的取值范圍為.【點睛】思路點睛：研究恒成立求參問題通常轉化成研究函數(shù)最值問題，恒成立等價于，故可用導數(shù)工具結合分類討論法研究函數(shù)的單調性，從而求得函數(shù)的最小值，判斷是否滿足即可得解.19.帕德近似是法國數(shù)學家亨利．帕德發(fā)明的用有理多項式近似特定函數(shù)的方法．給定兩個正整數(shù)m，n，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，…，．注：，，，，…；為的導數(shù)）．已知在處的階帕德近似為．（1）求實數(shù)a，b的值；（2）比較與的大?。唬?）若有3個不同的零點，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】（1），．（2）答案見解析（3）【解析】【分析】（1）求出f'x，f″x，，，根據(jù)，列方程組即可求解；（2）令，利用導數(shù)研究φx的單調性即可比較大?。唬?），hx除1外還有2個零點，設為，，，由導數(shù)由函數(shù)零點個數(shù)求m的范圍．【小問1詳解】由，，知，，，，由題意，，所以，所以，．【小問2詳解】由（1）知，，令，則，所以φx在其定義域內為增函數(shù)，又，∴時，；時，，所以時，；時，．【小問3詳解】由（1）知，，注意到h1=0，則hx除1外還有2個零點，設為，，令，當時，gx<0在0,+∞上恒成立，則所以hx在0,+當時，hx除1外還有2個零點，設為，，則hx不單調，