新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題突破 專題1 第3講　不等式（含解析）

第3講不等式[考情分析]1.不等式的性質(zhì)與解法常與集合、函數(shù)相結(jié)合，也可滲透在三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、導(dǎo)數(shù)等題目中.2.線性規(guī)劃主要考查利用代數(shù)式的幾何意義(如斜率、截距、距離等)求目標(biāo)函數(shù)的最值.3.基本不等式通常與其他知識(shí)綜合考查求最值、范圍等問題.4.此部分內(nèi)容多以選擇題、填空題形式呈現(xiàn)，中等難度．考點(diǎn)一不等式的性質(zhì)與解法核心提煉判斷關(guān)于不等式命題真假的常用方法(1)作差法、作商法，作商法要注意除數(shù)的正負(fù)．(2)利用不等式的性質(zhì)推理判斷．(3)利用函數(shù)的單調(diào)性．(4)特殊值驗(yàn)證法，特殊值法只能排除錯(cuò)誤的命題，不能判斷正確的命題．例1(1)(2022·黃岡中學(xué)模擬)已知a，b，c均為非零實(shí)數(shù)，且a>b>c，則下列不等式中，一定成立的是________．(填序號(hào))①ac>bc；②ac2>bc2；③(a－b)c<(a－c)c；④ln

eq\f(a－b,a－c)<0.答案②④解析對(duì)于①，取特殊值a＝2，b＝1，c＝－1，滿足a>b>c，但ac<bc，故①不成立；對(duì)于②，因?yàn)閍，b，c均為非零實(shí)數(shù)，且a>b>c，所以c2>0，所以ac2>bc2，故②成立；對(duì)于③，取特殊值a＝3，b＝2，c＝－1，滿足非零實(shí)數(shù)a>b>c，此時(shí)(a－b)c＝(3－2)－1＝1，(a－c)c＝(3＋1)－1＝4－1＝eq\f(1,4)，但(a－b)c>(a－c)c，故③不成立；對(duì)于④，因?yàn)閍，b，c均為非零實(shí)數(shù)，且a>b>c，所以－b<－c，a－c>0，a－b>0，所以0<a－b<a－c，0<eq\f(a－b,a－c)<1，所以ln

eq\f(a－b,a－c)<ln1，即ln

eq\f(a－b,a－c)<0，故④成立．(2)若關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集為(－1，2)，則關(guān)于x的不等式eq\f(2a＋b,x)＋c>bx的解集為________．答案(－∞，0)解析由題意，關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集為(－1，2)，則－1，2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)＝－1＋2，,\f(c,a)＝－1×2，,a<0，))解得b＝－a，c＝－2a，且a<0，則關(guān)于x的不等式eq\f(2a＋b,x)＋c>bx可化為eq\f(a,x)－2a>－ax，即eq\f(1,x)－2<－x，即eq\f(x2－2x＋1,x)＝eq\f(x－12,x)<0，解得x<0，所以不等式eq\f(2a＋b,x)＋c>bx的解集為(－∞，0)．易錯(cuò)提醒解不等式問題的易錯(cuò)點(diǎn)(1)對(duì)參數(shù)討論時(shí)分類不完整，易忽視a＝0的情況．(2)一元二次不等式中，易忽視開口方向，從而錯(cuò)解．(3)分式不等式易忽視分母不為0.跟蹤演練1(1)(2022·臨川模擬)若實(shí)數(shù)a，b滿足a6<a5b，則下列選項(xiàng)中一定成立的是()A．a(chǎn)<b B．a(chǎn)3<b3C．ea－b>1 D．lneq\f(a,b)<0答案D解析因?yàn)閍6<a5b，所以a6－a5b＝a5(a－b)<0，顯然a≠0，所以a(a－b)<0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,a－b<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,a－b>0，))即0<a<b或b<a<0.若0<a<b，則a3<b3，ea－b<e0＝1，lneq\f(a,b)<ln1＝0；若b<a<0，則a3>b3，ea－b>e0＝1，lneq\f(a,b)<ln1＝0，則一定成立的是選項(xiàng)D.(2)若關(guān)于x的不等式x2－(m＋2)x＋2m<0的解集中恰有4個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A．(6，7] B．[－3，－2)C．[－3，－2)∪(6，7] D．[－3，7]答案C解析不等式x2－(m＋2)x＋2m<0，即(x－2)(x－m)<0，當(dāng)m>2時(shí)，不等式的解集為(2，m)，此時(shí)要使解集中恰有4個(gè)整數(shù)，這4個(gè)整數(shù)只能是3，4，5，6，故6<m≤7；當(dāng)m＝2時(shí)，不等式的解集為?，此時(shí)不符合題意；當(dāng)m<2時(shí)，不等式的解集為(m，2)，此時(shí)要使解集中恰有4個(gè)整數(shù)，這4個(gè)整數(shù)只能是－2，－1，0，1，故－3≤m<－2.綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為[－3，－2)∪(6，7]．考點(diǎn)二線性規(guī)劃核心提煉1．截距型：形如z＝ax＋by，求這類目標(biāo)函數(shù)的最值常將函數(shù)z＝ax＋by轉(zhuǎn)化為y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(z,b)(b≠0)，通過求直線的截距eq\f(z,b)的最值間接求出z的最值．2．距離型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)，定點(diǎn)M(a，b)，則z＝|PM|2.3．斜率型：形如z＝eq\f(y－b,x－a)(x≠a)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)，定點(diǎn)M(a，b)，則z＝kPM.例2(1)(2022·全國(guó)乙卷)若x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥2，,x＋2y≤4，,y≥0，))則z＝2x－y的最大值是()A．－2B．4C．8D．12答案C解析方法一由題意作出可行域，如圖陰影部分(含邊界)所示，轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)z＝2x－y為y＝2x－z，上下平移直線y＝2x－z，可得當(dāng)直線過點(diǎn)(4，0)時(shí)，直線截距最小，z最大，所以zmax＝2×4－0＝8.方法二由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,x＋2y＝4，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2，))此時(shí)z＝2×0－2＝－2；由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,y＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝0，))此時(shí)z＝2×2－0＝4；由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝4，,y＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝0，))此時(shí)z＝2×4－0＝8.綜上所述，z＝2x－y的最大值為8.(2)(2022·安徽省十校聯(lián)盟聯(lián)考)已知實(shí)數(shù)x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x＋y－1≥0，,3x－y－3≤0，))則目標(biāo)函數(shù)z＝eq\f(2y＋1,2x－1)的取值范圍為()A．(－∞，－1]∪[3，＋∞)B．(－∞，－3]∪[1，＋∞)C．[－1，3]D．[－3，1]答案B解析作出約束條件的可行域，如圖陰影部分(含邊界)所示，其中A(1，0)，B(0，1)，C(2，3)，z＝eq\f(2y＋1,2x－1)＝eq\f(y＋\f(1,2),x－\f(1,2))，表示定點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)))與可行域內(nèi)點(diǎn)(x，y)連線的斜率，因?yàn)閗MA＝eq\f(\f(1,2),1－\f(1,2))＝1，kMB＝eq\f(1＋\f(1,2),－\f(1,2))＝－3，所以z的取值范圍是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．規(guī)律方法含參數(shù)的線性規(guī)劃問題，參數(shù)位置一般有兩種形式：一是目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)，這時(shí)可以準(zhǔn)確作出可行域，這類問題的一般特征是其最優(yōu)解是可知的，因此解題時(shí)可充分利用目標(biāo)函數(shù)的斜率特征加以轉(zhuǎn)化；二是在約束條件中含參，可行域的邊界線中有一條是動(dòng)態(tài)的，所以要充分依據(jù)目標(biāo)函數(shù)及最值等條件數(shù)形結(jié)合處理，有時(shí)還需分類討論．跟蹤演練2(1)(2022·寧波模擬)若實(shí)數(shù)x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≥0，,y≥x，,y≤－x＋2m，))且z＝3x＋y的最大值為8，則實(shí)數(shù)m的值為()A．0B．1C．2D．3答案C解析畫出不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≥0，,y≥x，,y≤－x＋2m))所表示的可行域(含邊界)如圖所示，O(0，0)，A(m，m)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2m,3)，\f(4m,3)))，由圖中直線斜率關(guān)系知，當(dāng)直線y＝－3x＋z向上平移時(shí)，依次經(jīng)過點(diǎn)O，B，A.故經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，z有最大值4m，由4m＝8，得m＝2.(2)(2022·榆林模擬)已知實(shí)數(shù)x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－2y＋6≥0，,2x－3y－6≤0，,x＋2y＋2≥0，))則目標(biāo)函數(shù)z＝(x＋1)2＋(y＋2)2的最小值為________．答案eq\f(9,5)解析作出不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－2y＋6≥0，,2x－3y－6≤0，,x＋2y＋2≥0))表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分(包括邊界)所示，函數(shù)z＝(x＋1)2＋(y＋2)2表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)(－1，－2)的距離的平方．由圖知，eq\r(z)＝eq\r(x＋12＋y＋22)的最小值為點(diǎn)(－1，－2)到直線x＋2y＋2＝0的距離，即eq\f(|－1－4＋2|,\r(5))＝eq\f(3\r(5),5)，所以z的最小值為eq\f(9,5).考點(diǎn)三基本不等式核心提煉基本不等式求最值的三種解題技巧(1)湊項(xiàng)：通過調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，配湊出符合基本不等式條件的項(xiàng)，使其積或和為定值．(2)湊系數(shù)：若無法直接運(yùn)用基本不等式求解，通過湊系數(shù)后可得到和或積為定值，從而利用基本不等式求最值．(3)換元：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開，即化為y＝m＋eq\f(A,gx)＋Bg(x)(AB>0)，g(x)恒正或恒負(fù)的形式，然后運(yùn)用基本不等式來求最值．例3(1)已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，則eq\f(x＋1,xy)的最小值為()A．9 B．12C．2eq\r(6)＋5 D.eq\r(6)＋5答案C解析因?yàn)閤>0，y>0，且2x＋y＝1，所以eq\f(x＋1,xy)＝eq\f(x＋2x＋y,xy)＝eq\f(3,y)＋eq\f(1,x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,y)＋\f(1,x)))(2x＋y)＝eq\f(6x,y)＋eq\f(y,x)＋5≥2eq\r(\f(6x,y)·\f(y,x))＋5＝2eq\r(6)＋5，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(6x,y)＝eq\f(y,x)，即y＝eq\r(6)x時(shí)取等號(hào)．(2)(2022·全國(guó)甲卷)已知△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.當(dāng)eq\f(AC,AB)取得最小值時(shí)，BD＝________.答案eq\r(3)－1解析設(shè)BD＝k(k>0)，則CD＝2k.根據(jù)題意作出大致圖形，如圖．在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝22＋k2－2×2k×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝k2＋2k＋4.在△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos∠ADC＝22＋(2k)2－2×2×2k×eq\f(1,2)＝4k2－4k＋4，則eq\f(AC2,AB2)＝eq\f(4k2－4k＋4,k2＋2k＋4)＝eq\f(4k2＋2k＋4－12k－12,k2＋2k＋4)＝4－eq\f(12k＋1,k2＋2k＋4)＝4－eq\f(12k＋1,k＋12＋3)＝4－eq\f(12,k＋1＋\f(3,k＋1)).∵k＋1＋eq\f(3,k＋1)≥2eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當(dāng)且僅當(dāng)k＋1＝\f(3,k＋1)，即k＝\r(3)－1時(shí)等號(hào)成立))，∴eq\f(AC2,AB2)≥4－eq\f(12,2\r(3))＝4－2eq\r(3)＝(eq\r(3)－1)2，∴當(dāng)eq\f(AC,AB)取得最小值eq\r(3)－1時(shí)，BD＝k＝eq\r(3)－1.規(guī)律方法利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的條件(1)一正二定三相等，三者缺一不可．(2)若連續(xù)兩次使用基本不等式求最值，必須使兩次等號(hào)成立的條件一致，否則最值取不到．跟蹤演練3(1)若a，b∈R，ab>0，則eq\f(a4＋4b4＋1,ab)的最小值為()A．6B．4C．2eq\r(2)D．2答案B解析∵ab>0，∴eq\f(a4＋4b4＋1,ab)≥eq\f(2\r(a4·4b4)＋1,ab)＝eq\f(4a2b2＋1,ab)＝4ab＋eq\f(1,ab)≥2eq\r(4ab·\f(1,ab))＝4.當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＝4b4，,4ab＝\f(1,ab)，))即a2＝2b2＝eq\f(\r(2),2)時(shí)取等號(hào)．(2)(2022·新高考全國(guó)Ⅱ改編)若x，y滿足x2＋y2－xy＝1，則下列結(jié)論正確的是________．(填序號(hào))①x＋y≤1；②x＋y≥－2；③x2＋y2≤2；④x2＋y2≥1.答案②③解析由x2＋y2－xy＝1可變形為(x＋y)2－1＝3xy≤3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))2，解得－2≤x＋y≤2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝－1時(shí)，x＋y＝－2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時(shí)，x＋y＝2，所以①錯(cuò)誤，②正確；由x2＋y2－xy＝1可變形為x2＋y2－1＝xy≤eq\f(x2＋y2,2)，解得x2＋y2≤2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝±1時(shí)取等號(hào)，所以③正確；x2＋y2－xy＝1可變形為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(y,2)))2＋eq\f(3,4)y2＝1，設(shè)x－eq\f(y,2)＝cosθ，eq\f(\r(3),2)y＝sinθ，所以x＝cosθ＋eq\f(\r(3),3)sinθ，y＝eq\f(2\r(3),3)sinθ，因此x2＋y2＝cos2θ＋eq\f(5,3)sin2θ＋eq\f(2\r(3),3)sinθcosθ＝1＋eq\f(\r(3),3)sin2θ－eq\f(1,3)cos2θ＋eq\f(1,3)＝eq\f(4,3)＋eq\f(2,3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,6)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，2))，所以當(dāng)x＝eq\f(\r(3),3)，y＝－eq\f(\r(3),3)時(shí)滿足等式，但是x2＋y2≥1不成立，所以④錯(cuò)誤．專題強(qiáng)化練一、選擇題1．不等式eq\f(4,x－2)≤x－2的解集是()A．(－∞，0]∪(2，4] B．[0，2)∪[4，＋∞)C．[2，4) D．(－∞，2)∪(4，＋∞)答案B解析當(dāng)x－2>0，即x>2時(shí)，(x－2)2≥4，即x－2≥2，解得x≥4；當(dāng)x－2<0，即x<2時(shí)，(x－2)2≤4，即－2≤x－2<0，解得0≤x<2.綜上，不等式的解集為[0，2)∪[4，＋∞)．2．(2022·衡水中學(xué)模擬)已知eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，則下列結(jié)論一定正確的是()A．a(chǎn)2>b2 B.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)<2C．|a|a<|a|b D．lga2<lgab答案D解析由eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，可得b<a<0，則a＋b<0，a－b>0，ab>0，A中，由a2－b2＝(a＋b)(a－b)<0，得a2<b2，所以A不正確；B中，由eq\f(b,a)>0，eq\f(a,b)>0，且eq\f(b,a)≠eq\f(a,b)，得eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)>2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2，所以B不正確；C中，當(dāng)|a|＝1時(shí)，eq\f(|a|a,|a|b)＝|a|a－b＝1，此時(shí)|a|a＝|a|b，所以C不正確；D中，由lga2－lgab＝lg

eq\f(a2,ab)＝lg

eq\f(a,b)，且b<a<0，得0<eq\f(a,b)<1，所以lg

eq\f(a,b)<0，可得lga2<lgab，所以D正確．3．(2021·全國(guó)乙卷)下列函數(shù)中最小值為4的是()A．y＝x2＋2x＋4 B．y＝|sinx|＋eq\f(4,|sinx|)C．y＝2x＋22－x D．y＝lnx＋eq\f(4,lnx)答案C解析選項(xiàng)A，因?yàn)閥＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3，所以當(dāng)x＝－1時(shí)，y取得最小值，且ymin＝3，所以選項(xiàng)A不符合題意；選項(xiàng)B，因?yàn)閥＝|sinx|＋eq\f(4,|sinx|)≥2eq\r(|sinx|·\f(4,|sinx|))＝4，當(dāng)且僅當(dāng)|sinx|＝eq\f(4,|sinx|)，即|sinx|＝2時(shí)取等號(hào)，但是根據(jù)正弦函數(shù)的有界性可知|sinx|＝2不可能成立，因此可知y>4，所以選項(xiàng)B不符合題意(或設(shè)|sinx|＝t，則t∈(0，1]，根據(jù)函數(shù)y＝t＋eq\f(4,t)在(0，1]上單調(diào)遞減可得ymin＝1＋eq\f(4,1)＝5，所以選項(xiàng)B不符合題意)；選項(xiàng)C，因?yàn)閥＝2x＋22－x≥2eq\r(2x·22－x)＝4，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝22－x，即x＝2－x，即x＝1時(shí)取等號(hào)，所以ymin＝4，所以選項(xiàng)C符合題意；選項(xiàng)D，當(dāng)0<x<1時(shí)，lnx<0，y＝lnx＋eq\f(4,lnx)<0，所以選項(xiàng)D不符合題意．4．(2022·河南省名校聯(lián)盟聯(lián)考)若x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,x－y≤0，,x＋y－4≤0，))則z＝eq\f(2y－2,x)取得最大值的最優(yōu)解為()A．(1，3)B．(1，1)C．4D．0答案A解析由約束條件可得如圖中陰影部分(含邊界)所示的可行域，又z＝eq\f(2y－2,x)表示可行域中任意一點(diǎn)與A(0，1)所在直線斜率的2倍，由圖可知，可行域中只有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝4，,x＝1))的交點(diǎn)(1，3)與A(0，1)所在直線的斜率最大，且最大值為eq\f(3－1,1－0)＝2.所以z＝eq\f(2y－2,x)的最大值為4，取得最大值的最優(yōu)解為(1，3)．5．(2022·宜賓質(zhì)檢)已知a∈[－1，1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，則x的取值范圍為()A．(－∞，2)∪(3，＋∞)B．(－∞，1)∪(2，＋∞)C．(－∞，1)∪(3，＋∞)D．(1，3)答案C解析令f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，則不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立轉(zhuǎn)化為f(a)>0在[－1，1]上恒成立．則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1>0，,f1>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－2＋x2－4x＋4>0，,x－2＋x2－4x＋4>0，))整理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－5x＋6>0，,x2－3x＋2>0，))解得x<1或x>3.故x的取值范圍為(－∞，1)∪(3，＋∞)．6．(2022·開封模擬)已知(2，1)是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一點(diǎn)，則連接橢圓C的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積()A．有最小值4 B．有最小值8C．有最大值8 D．有最大值16答案B解析因?yàn)?2，1)是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一點(diǎn)，所以eq\f(4,a2)＋eq\f(1,b2)＝1，即a2b2＝4b2＋a2，所以a2b2＝4b2＋a2≥2eq\r(4b2·a2)＝4ab，所以ab≥4.連接橢圓C的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為S＝eq\f(1,2)×2a×2b＝2ab≥2×4＝8.即面積有最小值8.7．已知關(guān)于x的不等式mx2－6x＋3m<0在(0，2]上有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(－∞，eq\r(3)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(12,7)))C．(eq\r(3)，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,7)，＋∞))答案A解析由題意得，mx2－6x＋3m<0，x∈(0，2]，即m<eq\f(6x,x2＋3)，故問題轉(zhuǎn)化為m<eq\f(6x,x2＋3)在(0，2]上有解，設(shè)g(x)＝eq\f(6x,x2＋3)，則g(x)＝eq\f(6x,x2＋3)＝eq\f(6,x＋\f(3,x))，x∈(0，2]，因?yàn)閤＋eq\f(3,x)≥2eq\r(3)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\r(3)∈(0，2]時(shí)取等號(hào)，所以g(x)max＝eq\f(6,2\r(3))＝eq\r(3)，故m<eq\r(3).8．已知x<eq\f(3,2)，f(x)＝x＋eq\f(8,2x－3)，則下列說法正確的是()A．f(x)有最大值－eq\f(1,2) B．f(x)有最大值－eq\f(5,2)C．f(x)有最小值eq\f(11,2) D．f(x)有最小值eq\f(7,2)答案B解析∵x<eq\f(3,2)，∴x－eq\f(3,2)<0，∴f(x)＝x＋eq\f(4,x－\f(3,2))＝x－eq\f(3,2)＋eq\f(4,x－\f(3,2))＋eq\f(3,2)＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－x))＋\f(4,\f(3,2)－x)))＋eq\f(3,2)≤－2eq\r(4)＋eq\f(3,2)＝－eq\f(5,2)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝－eq\f(1,2)時(shí)取等號(hào)．9．(2022·嘉興質(zhì)檢)已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≤0，,x＋y≤2，,3x－y＋2≥0，))則z＝|x－2y＋6|的最大值是()A．10B．7C．5D．2答案B解析畫出不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≤0，,x＋y≤2，,3x－y＋2≥0))所表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分(含邊界)所示，設(shè)m＝x－2y＋6，則y＝eq\f(1,2)x＋3－eq\f(m,2)，當(dāng)直線y＝eq\f(1,2)x＋3－eq\f(m,2)經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，目標(biāo)函數(shù)m＝x－2y＋6取得最小值，當(dāng)直線y＝eq\f(1,2)x＋3－eq\f(m,2)經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，目標(biāo)函數(shù)m＝x－2y＋6取得最大值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,3x－y＋2＝0，))解得A(0，2)，又由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,3x－y＋2＝0，))解得B(－1，－1)，所以目標(biāo)函數(shù)的最小值為2，最大值為7，所以z＝|x－2y＋6|的最大值是7.10．(2022·石家莊模擬)設(shè)正實(shí)數(shù)m，n滿足m＋n＝2，則下列說法正確的是()A.eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的最小值為4B．mn的最小值為1C.eq\r(m)＋eq\r(n)的最大值為2D．m2＋n2的最小值為eq\f(5,4)答案C解析∵m>0，n>0，m＋n＝2，∴eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝eq\f(1,2)(m＋n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(1,n)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(n,m)＋\f(m,n)))≥eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋2\r(\f(n,m)·\f(m,n))))＝2，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(n,m)＝eq\f(m,n)，即m＝n＝1時(shí)，等號(hào)成立，故A不正確；∵m＋n＝2≥2eq\r(mn)，∴mn≤1，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝1時(shí)，等號(hào)成立，故B不正確；∵(eq\r(m)＋eq\r(n))2≤2[(eq\r(m))2＋(eq\r(n))2]＝4，∴eq\r(m)＋eq\r(n)≤eq\r(4)＝2，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝1時(shí)，等號(hào)成立，故C正確；m2＋n2≥eq\f(m＋n2,2)＝2，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝1時(shí)，等號(hào)成立，故D不正確．11．(2022·滁州質(zhì)檢)若實(shí)數(shù)a，b滿足2a＋b＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>\f(1,2)，b>1))，則eq\f(2a,2a－1)＋eq\f(b,b－1)的最小值為()A．6B．4C．3D．2答案A解析令2a－1＝m，b－1＝n，則m>0，n>0，∴m＋n＝2a＋b－2＝1，∵eq\f(2a,2a－1)＋eq\f(b,b－1)＝eq\f(m＋1,m)＋eq\f(n＋1,n)＝2＋eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(1,n)))(m＋n)＝4＋eq\f(n,m)＋eq\f(m,n)≥4＋2eq\r(\f(n,m)·\f(m,n))＝6，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝eq\f(1,2)，即a＝eq\f(3,4)，b＝eq\f(3,2)時(shí)取等號(hào)．12．(2022·廣東聯(lián)考)已知正數(shù)x，y，z滿足x2＋y2＋z2＝1，則S＝eq\f(1＋z,2xyz)的最小值為()A．3 B.eq\f(3\r(3)＋1,2)C．4 D．2(eq\r(2)＋1)答案C解析由題意得，0<z<1，0<1－z<1，∴z(1－z)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(z＋1－z,2)))2＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當(dāng)且僅當(dāng)z＝1－z，即z＝\f(1,2)時(shí)取等號(hào)))，∵x2＋y2＋z2＝1，∴1－z2＝x2＋y2≥2xy(當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)取等號(hào))，∴eq\f(1－z2,2xy)≥1，即eq\f(1－z1＋z,2xy)≥1，∵1－z>0，∴eq\f(1＋z,2xy)≥eq\f(1,1－z)，∴eq\f(1＋z,2xyz)≥eq\f(1,z1－z)≥4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝\f(\r(6),4)，z＝\f(1,2)時(shí)取等號(hào)))，則S＝eq\f(1＋z,2xyz)的最小值為4.二、填空題13．(2022·安慶檢測(cè))能夠說明“設(shè)a，b，c是任意實(shí)數(shù)，若a2＋b2>c2，則a＋b>c”是假命題的一組整數(shù)a，b，c的值依次為________．答案－3，－1，1(答案不唯一)解析令a＝－3，b＝－1，c＝1，則a2＋b2＝10>1＝c2，此時(shí)a＋b＝－4<1，所以該命題是假命題．14．已知關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c>0(a，b，c∈R)的解集為{x|3<x<4}，則eq\f(c2＋5,a＋b)的取值范圍為________.答案[4eq\r(5)，＋∞)解析由不等式的解集知a<0，由根與系數(shù)的關(guān)系知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)＝3＋4＝7，,\f(c,a)＝3×4＝12，))∴b＝－7a，c＝12a，則eq\f(c2＋5,a＋b)＝eq\f(144a2＋5,－6a)＝－24a＋eq\f(5,－6a)≥