專題09空間向量與立體幾何-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)小題多維練（新高考專用）

專題09空間向量與立體幾何1．（2022·北京昌平·二模）如圖，在正四棱柱中，是底面的中心，分別是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．// B．C．//平面 D．平面【答案】B【解析】在正四棱柱中，以點(diǎn)D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，是底面的中心，分別是的中點(diǎn)，則，，，對于A，顯然與不共線，即與不平行，A不正確；對于B，因，則，即，B正確；對于C，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，，因此與不垂直，即不平行于平面，C不正確；對于D，由選項C知，與不共線，即不垂直于平面，D不正確.故選：B2．（2022·福建省福州第一中學(xué)三模）以下四組向量在同一平面的是（

）A．、、 B．、、C．、、 D．、、【答案】B【解析】對于A選項，設(shè)，所以，，無解；對于B選項，因為，故B選項中的三個向量共面；對于C選項，設(shè)，所以，，無解；對于D選項，設(shè)，所以，，矛盾.故選：B.3．（2022·北京·101中學(xué)三模）如圖，已知正方體的棱長為，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)面（含邊界）內(nèi)，若，則面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，設(shè)，則，，因為，所以，得，所以，所以，當(dāng)時，取最小值，易知，所以的最小值為．故選：D.4．（2022·四川雅安·二模）如圖，長方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱，上的動點(diǎn)（異于所在棱的端點(diǎn)）.給出以下結(jié)論：①在F運(yùn)動的過程中，直線能與AE平行；②直線與EF必然異面；③設(shè)直線AE，AF分別與平面相交于點(diǎn)P，Q，則點(diǎn)可能在直線PQ上.其中所有正確結(jié)論的序號是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】B【解析】長方體中，，連接，，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱，中點(diǎn)時，由勾股定理得：，故，同理可得：，故四邊形是平行四邊形，所以在F運(yùn)動的過程中，直線能與AE平行，與EF相交，①正確，②錯誤；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱，中點(diǎn)且長方體為正方體時，設(shè)棱長為2，則，，，則，，則，又兩向量有公共點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，故則點(diǎn)可能在直線PQ上，③正確.故選：B5．（2022·山東泰安·二模）已知A，B兩點(diǎn)都在以PC為直徑的球O的球面上，AB⊥BC，AB＝BC＝4，若球O的體積為，則異面直線PB與AC所成角的余弦值為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】如圖，取中點(diǎn)，連接，由可得是的外心，則平面，又，，由得，即，又，，分別是中點(diǎn)，，，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，與平行的向量，，故異面直線PB與AC所成角的余弦值為.故選：A.6．（2022·浙江嘉興·模擬）如圖，在矩形中，，E，F(xiàn)，G，H分別為邊的中點(diǎn)，將分別沿直線翻折形成四棱錐，下列說法正確的是（

）A．異面直線所成角的取值范圍是 B．異面直線所成角的取值范圍是C．異面直線所成角的取值范圍是 D．異面直線所成角的取值范圍是【答案】C【解析】解：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由題意得，和在平面中的投影分別在和上（如下圖所示），因為，令，則，由比值可知，的x，y，z坐標(biāo)比值為，所以令坐標(biāo)為，因為在平面中的投影在上，所以，同理可得坐標(biāo)為，，則，解得，因為和的范圍均為，所以，即夾角范圍是，故A，B錯誤；同理可得，因為異面直線所成角范圍是，則夾角范圍是．即C正確，D錯誤；故選：C．7．（2022·安徽·合肥市第八中學(xué)模擬（理））平行六面體中，，則與底面所成的線面角的正弦值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：如圖所示，連接，相交于點(diǎn)，連接．平行六面體中，且，不妨令，，都是等邊三角形．是等邊三角形．，，，平面平面，平面，平面平面，是與底面所成角．因為，，所以．如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，其中的坐標(biāo)計算如下，過作交于點(diǎn)，因為，，所以，所以，，因為所以，所以，顯然平面的法向量為，設(shè)與底面所成的角為，則故選：A8．（2022·安徽合肥·二模（文））在直三棱柱中，，，為該三棱柱表面上一動點(diǎn)，若，則點(diǎn)的軌跡長度為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為，，所以可將直三棱柱補(bǔ)形為邊長為2的正方體，取的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，K，L按順序連接.，，如圖所示，正方體中，，，所以面，所以，因為，所以.同理可得，因為，所以面，其中為正六邊形.因為E，G，H，L為的中點(diǎn)，所以M，N為的四等分點(diǎn)，根據(jù)正方體對稱性，知O為MN中點(diǎn)也是BC中點(diǎn)，因為，所以點(diǎn)P在過點(diǎn)O垂直于BC的平面內(nèi)，即點(diǎn)P在面內(nèi).又因為點(diǎn)P在三棱柱表面上，所以P點(diǎn)的軌跡為五邊形MNEFG，，由正六邊形及正方體對稱性可知，故點(diǎn)P的軌跡長度為，故選：B9．（2022·湖南·長郡中學(xué)模擬）（多選題）已知正方體的邊長為2，M為的中點(diǎn)，P為側(cè)面上的動點(diǎn)，且滿足平面，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．平面C．與所成角的余弦值為 D．動點(diǎn)P的軌跡長為【答案】BCD【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2，則，所以，由平面，得，即，化簡可得：，所以動點(diǎn)P在直線上，對于選項A：，所以與不垂直，所以A選項錯誤；對于選項B：平面平面，所以平面，B選項正確；對于選項C：，C選項正確；對于選項D：動點(diǎn)P在直線上，且P為側(cè)面上的動點(diǎn)，則P在線段上，，所以，D選項正確；故選：BCD.10．（2022·江蘇淮安·模擬）（多選題）如圖，已知正方體ABCD—的棱長為1，P為正方形底面ABCD內(nèi)一動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（

）A．三棱錐的體積為定值B．存在點(diǎn)P，使得C．若，則P點(diǎn)在正方形底面ABCD內(nèi)的運(yùn)動軌跡是線段ACD．若點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是的中點(diǎn)，過P，Q作平面α垂直于平面，則平面α截正方體的截面周長為3【答案】ACD【解析】對于A，P為正方形底面ABCD時，三棱錐的高不變，底面積也不變，所以體積為定值，所以A正確；對于B，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，；若，則，即，與題意矛盾，所以B不正確；對于C，，由得，所以的軌跡就是線段，所以C正確；對于D，因為，所以平面；因為平面平面，所以平面；以為參照線作出平面與正方體各個側(cè)面的交線，如圖，易知每個側(cè)面的交線均相等，長度為，所以截面周長為，所以D正確.故選：ACD.11．（2022·江蘇·蘇州市第六中學(xué)校三模）（多選題）某酒店大堂的壁燈的外觀是將兩個正三棱錐的底面重合構(gòu)成的一個六面體（如圖），已知，現(xiàn)已知三棱錐的高大于三棱錐的高，則（

）A．∥平面B．二面角的余弦值小于C．該六面體存在外接球D．該六面體存在內(nèi)切球【答案】BD【解析】連接AE交平面BCD于F.延長DF交BC于H.因為該幾何體為兩個正三棱錐的底面重合構(gòu)成的一個六面體，且，所以為邊長為1的正三角形，且F為的中心，且面,面.所以,.以H為原點(diǎn)，為x軸正方向，為y軸正方向，過H作Hz平行AF，為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則，，，，，（）.所以,,.對于A：設(shè)為面的一個法向量，則，不妨令y=1，則.假設(shè)∥平面，則有，解得：.這與相矛盾，所以∥平面不成立.故A錯誤；對于B：因為面,所以.在正三角形中，.又,所以面,所以,.所以為二面角的平面角.在EF上取點(diǎn)G，使.連接BG、CG、DG、HG.則幾何體GBCD為正三棱錐，且與正三棱錐ABCD全等.所以,.由余弦定理得：.如圖示：因為,所以.即二面角的余弦值小于.故B正確；對于C：假設(shè)該六面體存在外接球，設(shè)其球心為O.則球O必經(jīng)過ABCD,所以球O為正三棱錐ABCD的外接球，設(shè)球O的半徑為R.由得：.因為,,所以，解得：.設(shè)球O的與AE的另一個交點(diǎn)為M，則,所以而,所以球O不能經(jīng)過點(diǎn)E.即該六面體不存在外接球.故C錯誤；對于D：由于該六面體是將兩個正三棱錐的底面重合構(gòu)成的，所以存在球Q與六面體均相切，設(shè)內(nèi)切球的半徑為r.設(shè).由等體積法可得：.而，可求出.故該六面體存在內(nèi)切球.故D正確.故選：BD12．（2022·山東師范大學(xué)附中模擬）（多選題）已知正方體棱長為2，P為空間中一點(diǎn)．下列論述正確的是（

）A．若，則異面直線BP與所成角的余弦值為B．若，三棱錐的體積為定值C．若，有且僅有一個點(diǎn)P，使得平面D．若，則異面直線BP和所成角取值范圍是【答案】ABD【解析】選項A：由題，如下圖，P為中點(diǎn)，取的中點(diǎn)O，連接，則，所以或其補(bǔ)角即為異面直線與所成的角，易得，所以，A正確；選項B：由條件，可知P點(diǎn)的軌跡為線段，因為，故P到平面的距離為定值，且三角形面積為定值，故三棱錐體積為定值．故選項B正確．選項C：由可知點(diǎn)P在線段上（E、F分別為、中點(diǎn)），因為平面，所以平面即為平面，點(diǎn)P即為平面與直線交點(diǎn)，此交點(diǎn)在延長線上，故選項C錯誤．選項D：由可知點(diǎn)P的軌跡為線段．建系如圖，得，設(shè)，則，所以，令，當(dāng)，即時，，此時直線和所成角是；當(dāng)，即時，則，令，，所以當(dāng)，即時，取最大值為，直線和所成角的最小值為，故選項D正確．故選：ABD.13．（2022·福建漳州·三模）已知正方體ABCD—的棱長為4，M在棱上，且1，則直線BM與平面所成角的正弦值為___________．【答案】【解析】如圖所示，以為原點(diǎn)，方向為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，所以有，，，，，，則，，，設(shè)平面的法向量，則由，令，得，設(shè)直線BM與平面所成角為，則，故答案為：.14．（2022·北京西城·一模）如圖，在棱長為的正方體中，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)為底面內(nèi)一點(diǎn)，給出下列三個論斷：①；②；③.以其中的一個論斷作為條件，另一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題：___________.【答案】若，則；若，則.【解析】如圖,建立空間直角坐標(biāo)系則設(shè),則而所以以其中的一個論斷作為條件,另一個論斷作為結(jié)論,可以寫出兩個正確的命題:若,則若,則答案任填其中一個即可故答案為:若,則(若,則)15．（2022·重慶八中模擬）如圖所示，是棱長為的正方體，、分別是下底面的棱、的中點(diǎn)，是上底面的棱上的一點(diǎn)，，過、、的平面交上底面于，在上，則異面直線與所成角的余弦值為___________．【答案】【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，因為平面平面，平面平面，平面平面，所以，，設(shè)點(diǎn)，，，因為，所以，，即點(diǎn)，，，所以，.因此，異面直線與所成角的余弦值為.故答案為：.16．（2022·浙江·湖州市菱湖中學(xué)模擬）已知正