第一章空間向量與立體幾何-綜合檢測（基礎(chǔ)版）

空間向量與立體幾何本卷滿分150分，考試時間120分鐘。單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知為平面的一個法向量，為內(nèi)的一點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，，而為平面的一個法向量，所以點(diǎn)到平面的距離.故選：A2．在空間直角坐標(biāo)系中，與點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：因?yàn)辄c(diǎn)，則其關(guān)于平面對稱的點(diǎn)為.故選：A.3．如圖，OABC是四面體，G是的重心，是OG上一點(diǎn)，且，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】連接AG并延長交BC于N，連接ON，由G是的重心，可得，則則故選：D4．設(shè)、，向量，，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋瑒t，解得，則，因?yàn)椋瑒t，解得，即，所以，，因此，.故選：D.5．如圖已知正方體，點(diǎn)是對角線上的一點(diǎn)且，，則（

）A．當(dāng)時，平面 B．當(dāng)時，平面C．當(dāng)為直角三角形時， D．當(dāng)?shù)拿娣e最小時，【答案】D【解析】解：由題可知，如圖令正方體的棱長為1，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，所以，因?yàn)椋?，所以，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以對于A：若平面，則，則，解得，故A錯誤；對于B：若平面，則，即，解得，故B錯誤；當(dāng)為直角三角形時，有，即，解得或（舍去），故C錯誤；設(shè)到的距離為，則，當(dāng)?shù)拿娣e最小時，，故正確．故選：．6．已知正三棱柱的所有棱長都為2，N為棱的中點(diǎn)，動點(diǎn)M滿足，λ∈[0，1]，當(dāng)M運(yùn)動時，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．當(dāng)時，的周長最小B．當(dāng)λ=0時，三棱錐的體積最大C．不存在λ使得AM⊥MND．設(shè)平面與平面所成的角為θ，存在兩個不同的λ值，使得【答案】B【解析】當(dāng)時，是的中點(diǎn)，,當(dāng)時，，,

故當(dāng)時的周長并不是最小的.故A錯.當(dāng)λ=0時，,只需要面積最大體積就最大，此時重合，故B對.當(dāng)是中點(diǎn)時，平面,又平面，則，故C錯.取中點(diǎn)為,則平面,以所在直線為軸，故建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，平面的法向量為,故設(shè)平面的法向量為所以

令，則，故，故D不對.故選：B7．如圖，在三棱錐中，平面，是邊長為的正三角形，，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】解法一：設(shè)E為BC的中點(diǎn)，連接FE，如圖，∵E是BC的中點(diǎn)，∴∥，,,;在中，由余弦定理可知∴異面直線BE與AF所成角的余弦值為，解法二：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC，AM所在直線分別為y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，易知，，，所以，，則，∴異面直線BE與AF所成角的余弦值為.故選：D8．已知四面體ABCD中，AB，AC，AD兩兩互相垂直，則下列結(jié)論中，不一定成立的是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】：如圖，作以為鄰邊的平行四邊形，以為鄰邊的平行四邊形，以為鄰邊的平行四邊形，連接，因?yàn)閮蓛苫ハ啻怪?，所以平行四邊形，，都為矩形，對于A，因?yàn)锳B，AC，AD兩兩互相垂直，且AB，AC，AD相交于同一點(diǎn)，所以平面，所以因?yàn)槠矫?，所以，所以，若，則，所以，所以，所以A正確，對于B，因?yàn)椋?，四邊形為矩形，所以，即，所以B正確，對于C，因?yàn)槠矫?，平面，所以，所以，所以，因?yàn)榕c不一定垂直，所以不一定等于零，所以C錯誤，對于D，因?yàn)锳B，AC，AD兩兩互相垂直，且AB，AC，AD相交于同一點(diǎn)，所以平面，平面，平面，平面，平面，平面，所以，所以，所以D正確，故選：C多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．已知，，是空間的三個單位向量，下列說法正確的是（

）A．若，，則B．若，，兩兩共面，則，，共面C．對于空間的任意一個向量，總存在實(shí)數(shù)，，，使得D．若是空間的一組基底，則也是空間的一組基底【答案】AD【解析】：，，是空間的三個單位向量，由，，則，故A正確；，，兩兩共面，但是，，不一定共面，，，可能兩兩垂直，故B錯誤；由空間向量基本定理，可知只有當(dāng)，，不共面，才能作為基底，才能得到，故C錯誤；若是空間的一組基底，則，，不共面，可知也不共面，所以也是空間的一組基底，故D正確．故選：AD.10．已知空間中三點(diǎn)A（0，1，0），B（1，2，0），C（－1，3，1），則正確的有（

）A．與是共線向量B．平面ABC的一個法向量是（1，－1，3）C．與夾角的余弦值是D．與方向相同的單位向量是（1，1，0）【答案】BC【解析】對A，，，因?yàn)?，顯然與不共線，A錯誤；對B，設(shè)平面的法向量，則，令，得，B正確.對C，，，C正確；對D，方向相同的單位向量，即，D錯誤；故選：BC11．如圖，在邊長為2的正方體中，E，F(xiàn)，G分別為，，的中點(diǎn)，則（

）A．∥平面B．平面C．異面直線與所成角的余弦值為D．點(diǎn)B到平面的距離為【答案】CD【解析】以D為原點(diǎn)，，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，，，，，，，，，．對于選項(xiàng)A，B：設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，得，所以與平面不平行，與平面不垂直，即A，B錯誤．對于選項(xiàng)C：，則異面直線與所成角的余弦值為，即C正確．對于選項(xiàng)D：又，所以點(diǎn)B到平面的距離為，即D正確．故選：CD.12．已知三棱錐的底面是正三角形，則下列各選項(xiàng)正確的是（

）A．與平面所成角的最大值為B．與平面所成角的最小值為C．若平面平面，則二面角的最小值為D．若、都不小于，則二面角為銳二面角【答案】AC【解析】對于A選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi)的射影點(diǎn)為，取的中點(diǎn)，連接、、、，設(shè)等邊的邊長為，則，平面，所以，直線與平面所成角為，平面，平面，則，為等邊三角形，為的中點(diǎn)，則，，平面，平面，，所以，二面角的平面角為，，所以，，則，即當(dāng)平面平面時，取得最大值，A對；對于B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可知，與平面所成角的最大值為，B錯；對于C選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，連接、，則，為等邊三角形，為的中點(diǎn)，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，平面，平面，，，，平面，平面，，所以，二面角的平面角為，平面，平面，，因?yàn)?，所以，，?dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故當(dāng)平面平面時，則二面角的最小值為，C對；對于D選項(xiàng)，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，則二面角的平面角為，設(shè)，，，，，，取，則，此時為鈍角，即二面角為鈍二面角，D錯.故選：AC.填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，向量分別為異面直線方向向量，則異面直線所成角的余弦值為___________.【答案】【解析】因?yàn)?，所?因?yàn)楫惷嬷本€所成角的范圍為，所以異面直線所成角的余弦值為.故答案為：14．空間四邊形中，，，，，，，則與所成角的余弦值等于___________．【答案】【解析】，，所以，，所以，.所以，與所成角的余弦值為.故答案為：.15．正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，點(diǎn)M在線段CC1上，且．點(diǎn)P在平面A1B1C1D1上，且AP⊥平面MBD1，則線段AP的長為________．【答案】##【解析】如圖，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，則是靠近的線段的三等分點(diǎn)，，，，在平面上，設(shè)，則，由AP⊥平面MBD1，得，解得，所以，．故答案為：．16．一個正方體的平面展開圖如圖所示.在該正方體中，以下命題正確的是___________.（填序號）①；②平面；③與是異面直線且夾角為；④與平面所成的角為；⑤二面角的大小為.【答案】①②③⑤【解析】：由正方體的平面展開圖可得正方體（其中與重合），如圖建立空間直角坐標(biāo)系，令正方體的棱長為，則，，，，，，，，，所以，，所以，所以，故①正確；，，所以，，即，，，平面，所以平面，即②正確；，顯然與是異面直線，設(shè)與所成角為，則，因?yàn)?，所以，故③正確；，平面的法向量可以為，設(shè)與平面所成的角為，所以，故④錯誤；，，設(shè)平面的法向量為，則，令，所以，設(shè)二面角為，顯然二面角為銳二面角，則，所以，故⑤正確；故答案為：①②③⑤四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）如圖，在平行六面體中，．求：(1)；(2)的長；(3)的長．【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】(1)解：由向量的數(shù)量積的概念，可得.(2)解：因?yàn)?，所以，即的長為.(3)解：以為，所以.18（12分）如圖，在四棱錐中，底面，，，，，為棱的中點(diǎn)，是線段上一動點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)若直線與平面所成角的正弦值為時，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)證明：因?yàn)?，，則，平面，平面，，，、平面，平面，平面，因此，平面平面.(2)解：因?yàn)榈酌?，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，設(shè)，，其中，易知平面的一個法向量為，由已知可得，解得，所以，為的中點(diǎn)，即，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，易知平面的一個法向量為，所以，，由圖可知，二面角的平面角為鈍角，故二面角的余弦值為.19（12分）在三棱臺中，平面，，且，為的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).(1)證明：平面平面.(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)連接，設(shè)，則，，.因?yàn)槠矫?，為的中點(diǎn)，所以平面.因?yàn)?，所?以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，.因?yàn)椋?，，所以，，所以?因?yàn)?，所以平?因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?(2)由（1）知，，，.設(shè)平面的法向量為，則令，得.設(shè)平面的法向量為，則令，得.因?yàn)?，且二面角為銳角，所以二面角的余弦值為20（12分）四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的菱形，側(cè)面底面，，，是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)棱PC上.(1)若Q是PC的中點(diǎn)，求二面角的余弦值；(2)是否存在，使平面DEQ?若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【答案】(1)；(2)時，平面.【解析】(1)解：取中點(diǎn)，連接，，．因?yàn)?，所以．因?yàn)閭?cè)面底面，且平面底面，所以底面．可知，，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系．則，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以．所以，所以平面的法向量為．因?yàn)?，設(shè)平面的法向量為，則，即．令，則，即．所以．由圖可知，二面角為銳角，所以余弦值為．(2)解：設(shè)由（1）可知．設(shè)，，，則，又因?yàn)椋?，即．所以在平面中，，所以平面的法向量為，又因?yàn)槠矫?，所以，即，解得．所以?dāng)時，即，平面21（12分）如圖，在四棱錐中，底面，E?分別為棱的中點(diǎn)(1)作出平面與平面BFE的交線，并說明理由.(2)求一面角的余弦值.【答案】(1)答案見解析(2)【解析】(1)如圖，取的中點(diǎn)，連接交于，連接，則平面平面以下為證明過程，則四邊形為正方形，四邊形為平行四邊形，，又，故為平行四邊形，.則，B?F?E?四點(diǎn)共面，平面，又平面為平面與平面的公共點(diǎn)，又為平面與平面的公共點(diǎn)平面平面(2)因?yàn)榈酌嫫矫妫裕?由題意可知，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨令，則，所以，設(shè)平面的一個法向量為.由得：不妨令，得.故平面的一個法向量，，所以設(shè)平面的一個法向量為.由得令，得，所以.因?yàn)槎娼菫殇J角，所以一面角的余弦值為22．（12分）如圖，AB為圓柱底面的直徑，是圓柱底面的內(nèi)接正三角形，AP和DQ為圓柱的兩條母線，若．(1)求證：平面PCQ⊥平面BDQ；(2)求BP與面ABQ所成角正弦值；(3)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【解析】(1)因?yàn)锳B為圓柱底面的直徑，所以，因?yàn)镈Q為圓柱的母線，故，又，