專題15全稱量詞與存在量詞（5類必考點(diǎn)）（北師大版2019）

專題1.5全稱量詞與存在量詞TOC\o"13"\t"正文,1"\h【考點(diǎn)1：全稱量詞與全稱量詞命題】 1【考點(diǎn)2：存在量詞與存在量詞命題】 2【考點(diǎn)3：全稱量詞命題的否定】 4【考點(diǎn)4：存在量詞命題的否定】 6【考點(diǎn)5：根據(jù)全稱量詞命題或存在量詞命題的真假求參數(shù)】 6【考點(diǎn)1：全稱量詞與全稱量詞命題】【知識(shí)點(diǎn)：全稱量詞與全稱量詞命題】短語“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)“”表示，含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題．1．（2021秋?西固區(qū)校級(jí)月考）下列命題中，是真命題的全稱命題的是（）A．實(shí)數(shù)都大于0 B．指數(shù)函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn) C．三角形內(nèi)角和為180° D．有小于1的自然數(shù)【分析】根據(jù)含有量詞的命題的定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：存在實(shí)數(shù)﹣2＜0，故A錯(cuò)誤；函數(shù)y＝2x＞0恒成立，沒有零點(diǎn)，B錯(cuò)誤；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可知三角形內(nèi)角和為180°，且命題中省略量詞所有為全稱量詞，為全稱命題，C正確；有小于1的自然數(shù)中含有量詞存在，是特稱命題，不符合題意．故選：C．2．（2021秋?普寧市校級(jí)月考）下列命題中全稱量詞命題的個(gè)數(shù)為（）①正方形的對角線互相平分；②每一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上；③存在一個(gè)菱形，它的四條邊不相等．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】直接利用特稱命題和全稱命題的判定求出結(jié)果．【解答】解：對于①正方形的對角線互相平分，為全稱量詞命題；對于②每一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上，為全稱量詞命題；③存在一個(gè)菱形，它的四條邊不相等，為特稱量詞命題．故選：C．3．（2021秋?葫蘆島月考）下列命題是全稱量詞命題的是（）A．有些平行四邊形是菱形 B．至少有一個(gè)整數(shù)x，使得x2+3x是質(zhì)數(shù) C．每個(gè)三角形的內(nèi)角和都是180° D．?x∈R，x2+x+2＝0【分析】根據(jù)存在量詞命題和全稱量詞命題的定義，判斷即可．【解答】解：對于A，有些平行四邊形是菱形，含有存在量詞“有些”，是存在量詞命題；對于B，至少有一個(gè)整數(shù)x，使得x2+3x是質(zhì)數(shù)，含有存在量詞“至少有一個(gè)”，是存在量詞命題；對于C，每個(gè)三角形的內(nèi)角和都是180°，含有全稱量詞“每個(gè)”，是全稱量詞命題；對于D，?x∈R，x2+x+2＝0，含有存在量詞，是存在量詞命題．故選：C．（多選）4．（2021秋?太和縣校級(jí)月考）下列命題中，既是全稱量詞命題又是真命題的是（）A．奇數(shù)都不能被2整除 B．有的實(shí)數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù) C．角平分線上的任意一點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等 D．對任意實(shí)數(shù)x，方程x2+1＝0都有解【分析】判斷選項(xiàng)中的命題是否為全稱量詞命題，再判斷命題的真假性即可．【解答】解：對于A，奇數(shù)都不能被2整除，是全稱量詞命題，也是真命題；對于B，有的實(shí)數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，是存在量詞命題；對于C，角平分線上的任意一點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等，是全稱量詞命題，也是真命題；對于D，對任意實(shí)數(shù)x，方程x2+1＝0都有解，是全稱量詞命題，是假命題．故選：AC．【考點(diǎn)2：存在量詞與存在量詞命題】【知識(shí)點(diǎn)：存在量詞與存在量詞命題】短語“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)“?”表示，含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題．1．下列命題不是存在量詞命題的是（）A．有些實(shí)數(shù)沒有平方根 B．能被5整除的數(shù)也能被2整除 C．存在x∈{x|x＞3}，使x2﹣5x+6＜0 D．有一個(gè)m，使2﹣m與|m|﹣3異號(hào)【分析】根據(jù)全稱量詞命題與存在量詞命題的定義與性質(zhì)，判斷即可．【解答】解：對于A，有些實(shí)數(shù)沒有平方根，有存在量詞“有些”，是存在量詞命題；對于B，“能被5整除的數(shù)也能被2整除”省略了“所有”，是全稱量詞命題；對于C，存在x∈{x|x＞3}，使x2﹣5x+6＜0，有存在量詞“存在”，是存在量詞命題；對于D，有一個(gè)m，使2﹣m與|m|﹣3異號(hào)，有存在量詞“有一個(gè)”，是存在量詞命題．故選：B．2．（2021秋?佛山月考）下列命題中是存在量詞命題的是（）A．?x∈R，x2＞0 B．?x∈R，x2﹣2≤0 C．平行四邊形的對邊平行 D．矩形的任一組對邊相等【分析】根據(jù)存在量詞命題和全稱量詞命題的定義判定即可．【解答】解：選項(xiàng)ACD都符合全稱量詞命題；對于選項(xiàng)B即為?x∈R，x2﹣2≤0符合存在量詞命題定義．故選：B．3．下列命題中是存在量詞命題的是（）A．所有的二次函數(shù)的圖象都關(guān)于y軸對稱 B．正方形都是平行四邊形 C．空間中不相交的兩條直線相互平行 D．存在大于等于9的實(shí)數(shù)【分析】直接找出四個(gè)選項(xiàng)中的全稱量詞與存在量詞得答案．【解答】解：選項(xiàng)A中“所有的”是全稱量詞；選項(xiàng)B中，意思是所有的正方形都是平行四邊形，含全稱量詞；選項(xiàng)C中：意思是所有的不相交的兩條直線相互平行，是全稱量詞；選項(xiàng)D中“存在”是存在量詞．故選：D．（多選）4．（2021秋?遼源期末）下列存在量詞命題中，為真命題的是（）A．?x∈Z，x2﹣2x﹣3＝0 B．至少有一個(gè)x∈Z，使x能同時(shí)被2和3整除 C．?x∈R，|x|＜0 D．有些自然數(shù)是偶數(shù)【分析】選項(xiàng)A：解出方程的解即可判斷；選項(xiàng)B：舉特例如6即可判斷求解；選項(xiàng)C：根據(jù)絕對值的應(yīng)用即可判斷；選項(xiàng)D：舉特例如2，4，即可判斷．【解答】解：選項(xiàng)A：因?yàn)榉匠蘹2﹣2x﹣3＝0的兩根為3和﹣1，所以x∈Z，故A正確；選項(xiàng)B：因?yàn)?能同時(shí)被2和3整除，且6∈Z，故B正確；選項(xiàng)C：根據(jù)絕對值的意義可得|x|≥0恒成立，不存在x滿足|x|＜0，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：2，4等既是自然數(shù)又是偶數(shù)，故D正確；故選：ABD．（多選）5．（2021秋?綠園區(qū)校級(jí)月考）下列命題中，既是存在量詞命題又是真命題的是（）A．所有的正方形都是矩形 B．有些梯形是平行四邊形 C．?x∈R，3x+2＞0 D．至少有一個(gè)整數(shù)m，使得m2＜1【分析】由存在量詞的概念逐一分析四個(gè)選項(xiàng)并判斷真假得結(jié)論．【解答】解：A，所有是全稱量詞，故為全稱命題；B，有些梯形是平行四邊形是含有存在量詞的命題，存在量詞是“有些”，為假命題，原因是梯形的一組對邊不平行；C，?x∈R，3x+2＞0是存在量詞命題，為真命題，如x＝1；D，至少有一個(gè)整數(shù)m，使得m2＜1是存在量詞命題，為真命題，如m＝0．故選：CD．【考點(diǎn)3：全稱量詞命題的否定】【知識(shí)點(diǎn)：全稱量詞命題的否定】全稱量詞命題：xM，p(x)，它的否定：?xM，p(x).1．（2021秋?武江區(qū)校級(jí)期末）全稱命題：?x∈R，x2+5x＝4的否定是（）A．?x∈R，x2+5x＝4 B．?x∈R，x2+5x≠4 C．?x∈R，x2+5x≠4 D．以上都不正確【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題即可得到結(jié)論．【解答】解：∵全稱命題的否定是特稱命題，∴?x∈R，x2+5x＝4的否定是：?x∈R，x2+5x≠4．故選：C．2．（2019?全國三模）命題“?x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．?x∈R，x3﹣x2+1≥0 B．?x∈R，x3﹣x2+1＞0 C．?x∈R，x3﹣x2+1≤0 D．?x∈R，x3﹣x2+1＞0【分析】將量詞否定，結(jié)論否定，可得結(jié)論．【解答】解：將量詞否定，結(jié)論否定，可得?x∈R，x3﹣x2+1＞0故選：B．3．（2021秋?朝陽區(qū)校級(jí)月考）命題“對任意的x∈R，x3﹣x2+2＜0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3﹣x2+2≥0 B．存在x?R，x3﹣x2+2≥0 C．存在x∈R，x3﹣x2+2≥0 D．存在x∈R，x3﹣x2+2＜0【分析】命題“對任意的x∈R，x3﹣x2+2＜0”是全稱命題，其否定應(yīng)為特稱命題，注意量詞和不等號(hào)的變化．【解答】解：命題“對任意的x∈R，x3﹣x2+2＜0””是全稱命題，否定時(shí)將量詞對任意的實(shí)數(shù)x∈R變?yōu)榇嬖趚∈R，再將不等號(hào)＜變?yōu)椤菁纯桑创嬖趚∈R，x3﹣x2+2≥0故選：C．4．（2021?大連模擬）命題“?x∈（1，2），x2＞1”的否定是．【分析】利用全稱命題的否定是特稱命題，直接寫出命題的否定即可．【解答】解：因?yàn)槿Q命題的否定是特稱命題，所以命題“?x∈（1，2），x2＞1”的否定是：?x0∈（1，2），x02≤1．故答案為：?x0∈（1，2），x02≤1．5．（2021秋?福清市期中）選擇適當(dāng)?shù)姆?hào)“?”“?”表示下列命題：有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x2+2x+3＝0：．【分析】根據(jù)題意，由特稱命題的定義分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x2+2x+3＝0，可以用存在量詞表示，該命題可以表示為：?x∈R，x2+2x+3＝0；故答案為：?x∈R，x2+2x+3＝0．【考點(diǎn)4：存在量詞命題的否定】【知識(shí)點(diǎn)：存在量詞命題的否定】存在量詞命題：?xM，p(x)，它的否定：xM，p(x).1．（2022春?孝感期中）特稱命題“有些三角形的三條中線相等”的否定是所有三角形的中線不相等．【分析】利用特稱命題“有些三角形的三條中線相等”的否定是全稱命題寫出結(jié)果即可．【解答】解：特稱命題“有些三角形的三條中線相等”的否定是“所有三角形的中線不相等”故答案為：所有三角形的中線不相等2．（2021秋?和平區(qū)期末）命題：?x∈R，x2﹣x+1＝0的否定是?x∈R，x2﹣x+1≠0．【分析】利用特稱命題的否定是全稱命題，寫出結(jié)果即可．【解答】解：因?yàn)樘胤Q命題的否定是全稱命題，所以?x∈R，x2﹣x+1＝0的否定是：?x∈R，x2﹣x+1≠0．故答案為：?x∈R，x2﹣x+1≠0．3．（2021秋?三元區(qū)校級(jí)月考）命題“?x≥0，x2﹣2x﹣3＝0”的否定是?x≥0，x2﹣2x﹣3≠0．【分析】題目給出了存在性命題，其否定應(yīng)為全稱命題．【解答】解：因?yàn)槊}是特稱命題，所以其否定是全稱命題，所以命題“?x≥0，x2﹣2x﹣3＝0”的否定是：?x∈R，使得x2﹣2x﹣3≠0．故答案為：?x≥0，x2﹣2x﹣3≠0．4．（2021秋?天寧區(qū)校級(jí)月考）命題p：?x∈R，x2＞2，則命題p的否定為?x∈R，x2≤2．【分析】由已知中原命題，根據(jù)特稱命題否定的方法，即否定量詞也否定結(jié)論，可得答案．【解答】解：∵命題p：?x∈R，x2＞2，∴命題p的否定為：?x∈R，x2≤2，故答案為：?x∈R，x2≤2【考點(diǎn)5：根據(jù)全稱量詞命題或存在量詞命題的真假求參數(shù)】【知識(shí)點(diǎn)：根據(jù)全稱量詞命題或存在量詞命題的真假求參數(shù)的思路】與全稱量詞命題或存在量詞命題真假有關(guān)的參數(shù)取值范圍問題的本質(zhì)是恒成立問題或有解問題．解決此類問題時(shí)，一般先利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想將條件合理轉(zhuǎn)化，得到關(guān)于參數(shù)的方程或不等式(組)，再通過解方程或不等式(組)求出參數(shù)的值或范圍．1．（2022?青島一模）若命題“?x∈R，ax2+1≥0”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．a(chǎn)＞0 B．a(chǎn)≥0 C．a(chǎn)≤0 D．a(chǎn)≤1【分析】分a＝0與a≠0兩種情況討論，求出a的取值范圍，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，命題“?x∈R，ax2+1≥0為真命題”，即不等式ax2+1≥0恒成立，當(dāng)a＝0時(shí)，不等式為1≥0，恒成立，當(dāng)a≠0時(shí)，必有a＞0Δ=0-4a綜合可得：a≥0，故選：B．2．（2021秋?虎丘區(qū)校級(jí)月考）若“?x∈[1，2]，x2﹣ax+1≤0”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．a(chǎn)≥2 B．a(chǎn)≥52 C．a(chǎn)≤52【分析】利用參數(shù)分離法得到a≥(x+1x)max，x∈[1，2]，再求出y＝x【解答】解：∵?x∈[1，2]，x2﹣ax+1≤0為真命題，∴a≥(x+1x)max，∵y＝x+1x在區(qū)間[1，∴(x+1x)max故選：B．3．（2021秋?湖北月考）已知命題p：?x∈R，x2﹣2x﹣a＞0為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≥0 B．a(chǎn)≥﹣1 C．a(chǎn)＜0 D．a(chǎn)＜﹣1【分析】先求解若命題p為真命題時(shí)a的取值范圍，然后求解其補(bǔ)集，即可得到答案．【解答】解：若命題p：?x∈R，x2﹣2x﹣a＞0為真命題時(shí)，則Δ＝（﹣2）2+4a＜0，解得a＜﹣1，故命題p：?x∈R，x2﹣2x﹣a＞0為假命題時(shí)，a≥﹣1，故選：B．4．（2022春?昭通月考）命題“?x∈R，ax2+4ax+3＞0”為真，則實(shí)數(shù)a的范圍是．【分析】當(dāng)a＝0時(shí)，ax2+4ax+3＝3＞0恒成立，滿足題意，當(dāng)a≠0時(shí)，若不等式恒成立，則需a＞【解答】解：當(dāng)a＝0時(shí)，ax2+4ax+3＝3＞0恒成立，滿足題意，當(dāng)a≠0時(shí)，若不等式恒成立，則需a＞0Δ=16a25．（2022?梅州模擬）已知命題p：?x∈R，x2+x﹣a＞0為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【分析】根據(jù)命題p為假命題，則它的否定命題￢p是真命題，利用判別式Δ≥0求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：因?yàn)槊}p：?x∈R，x2+x﹣a＞0為假命題，所以它的否定命題￢p：?x∈R，x2+x﹣a≤0為真命題，所以Δ＝12﹣4×（﹣a）≥0，解得a≥-16．（2021秋?電白區(qū)期末）已知命題“?x∈R，x2+2x+a≥0”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【分析】由二次函數(shù)的性質(zhì)可得△≤0，解可得a的取值范圍．【解答】解：∵命題?x∈R，x2+2x+a≥0是真命題，∴Δ＝4﹣4a≤0，∴a≥1．7．（2022春?東興區(qū)校級(jí)期中）若命題“?x∈R，x2+x+a﹣1≠0”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【分析】直接利用二次函數(shù)的根的存在性的問題的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：命題“?x∈R，x2+x+a﹣1≠0”是假命題，則Δ＝12﹣4（a﹣1）≥0，解得a≤58．（2021秋?福州期末）若命題“?x∈R，x2+2mx+m+2≥0”為真命題，則m的取值范圍是．【分析】利用一元二次不等式在R上恒成立求解即可．【解答】解：因?yàn)槊}“?x∈R，x2+2mx+m+2≥0”為真命題，所以Δ＝（2m）2﹣4（m+2）≤0，解得﹣1≤m≤2.（多選）9．（2021秋?遼寧月考）已知命題p：?x∈R，ax2﹣4x﹣4＝0，若p為真命題，則a的值可以為（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．3【分析】將條件轉(zhuǎn)化為對應(yīng)方程有根進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵命題p：?x∈R，ax2﹣4x﹣4＝0，p為真命題，即ax2﹣4x﹣4＝0有根，當(dāng)a＝0時(shí)，x＝﹣1成立，當(dāng)a≠0時(shí)，需滿足Δ＝（﹣4）2﹣4×a?（﹣4）≥0，解得a≥﹣1且a≠0，∴a的取值范圍為：a≥﹣1，故選：BCD．10．（2022春?河南月考）若“?x∈R，使x2﹣2x+m＝0成立”為真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|m≤1}．【分析】由已知得x2﹣2x+m＝0有實(shí)數(shù)根，結(jié)合