山東省聊城市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中考試 數(shù)學(xué) 含解析

山東省聊城市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期11月期中教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的考場(chǎng)、座號(hào)、姓名、班級(jí)填（涂）寫在答題卡上，將條形碼粘貼在“貼條形碼區(qū)”.2.作選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再改涂其它答案標(biāo)號(hào).3.非選擇題須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡中各題目指定的區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.否則，該答題無(wú)效.4.考生必須保持答題卡的整潔；書寫力求字體工整、符號(hào)規(guī)范、筆跡清楚.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.1.若集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化簡(jiǎn)集合，即可根據(jù)交集定義求解.【詳解】由可得，故，故選：C2.若，則（）A.1 B.3 C.6 D.9【答案】B【解析】【分析】先由復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求出，再計(jì)算，最后求其模長(zhǎng)即得.【詳解】由，可得，則.故選：B.3.已知，則下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，分別舉出反例即可判斷ABD，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷C.【詳解】取，滿足，但，故A錯(cuò)誤；取，滿足，但是，故B錯(cuò)誤；因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，由可得，故C正確；取，滿足，但是，故D錯(cuò)誤；故選：C4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由余弦的和差角公式可得的值，從而可得的值，再由余弦的二倍角公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，且，則，又，所以.故選：A5.若向量，則“”是“”（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)共線向量的坐標(biāo)公式列方程，求出的值，再根據(jù)充要條件的判斷方法即得.【詳解】因，由，可得，解得或.由“”可推出“或”成立，而由“或”推不出“”成立，故“”是“”的充分不必要條件.故選：B.6.在中，，其外接圓的圓心為，則的最小值為（）A.4 B. C.16 D.【答案】D【解析】【分析】由向量數(shù)量積的運(yùn)算可得，由為外接圓圓心，可得，，從而得，利用基本不等式求解即可.【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)闉橥饨訄A圓心，過(guò)作于，則為中點(diǎn)，所以，同理可得，所以，又因?yàn)椋?，所以?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故選：D.7.設(shè)，若為的最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，先求得時(shí)的最小值，再由導(dǎo)數(shù)可得時(shí)的最小值，再由為的最小值列出不等式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，即，，當(dāng)時(shí)，即，，不符合題意，所以，當(dāng)時(shí)，，則，令，則，當(dāng)時(shí)，f′x<0，則當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，f′則是函數(shù)的極小值點(diǎn)，又為的最小值，則滿足，即，解得，又，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是0,1.故選：A8.若函數(shù)的定義域?yàn)?，且，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意可得（），，從而得數(shù)列是等差數(shù)列，求出其通項(xiàng)公式，從而得，將代入，即可得答案.【詳解】由，可得，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，首項(xiàng)為，所以，所以，所以.故選：C．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是得出是等差數(shù)列，從而得函數(shù)的解析式.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分；在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.數(shù)列中，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，為數(shù)列的前項(xiàng)積，若，，則（）A. B.C.數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列 D.當(dāng)取最大值時(shí)，或【答案】ABD【解析】【分析】由條件確定為等比數(shù)列，再結(jié)合通項(xiàng)公式及求和公式逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】由得即首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，正確；，正確；，故數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，錯(cuò)誤；因?yàn)槭醉?xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，單調(diào)遞減，，所以當(dāng)取最大值時(shí)，或，正確；故選：ABD10.若函數(shù)，則（）A.B.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C.當(dāng)時(shí)，將圖象向左平移個(gè)單位后得到的圖象D.當(dāng)函數(shù)在上恰有2個(gè)零點(diǎn)和2個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是【答案】BC【解析】【分析】利用三角恒等變換化簡(jiǎn)，再結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)，來(lái)解決問(wèn)題.【詳解】由函數(shù)整理得：，所以，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，函數(shù)，由，可得：，根據(jù)正弦函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故B正確；當(dāng)時(shí)，函數(shù)，將圖象向左平移個(gè)單位后得到：，此時(shí)滿足題意，故C正確；當(dāng)時(shí)，，為了使得函數(shù)在上恰有2個(gè)零點(diǎn)和2個(gè)極值點(diǎn)，只需要滿足，解得，故D錯(cuò)誤；故選：BC.11.若點(diǎn)是函數(shù)圖像上的兩點(diǎn)，則（）A.對(duì)任意點(diǎn)，存在無(wú)數(shù)點(diǎn)，使曲線在點(diǎn)A，B處的切線的傾斜角相等B.當(dāng)函數(shù)存在極值點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為C.當(dāng)且在點(diǎn)A，B處的切線都過(guò)原點(diǎn)時(shí)，D.當(dāng)直線AB的斜率恒小于1時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】選項(xiàng)A，轉(zhuǎn)化為在點(diǎn)A，B處導(dǎo)數(shù)值相同，由方程有無(wú)數(shù)解可得；選項(xiàng)B，由函數(shù)存在極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)存在變號(hào)零點(diǎn)，分離參數(shù)，即可判斷；選項(xiàng)C，由切線斜率的兩種求法建立等量關(guān)系可得；選項(xiàng)D，轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)遞減，利用導(dǎo)數(shù)小于等于恒成立可求.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?，則，得，所以，，即對(duì)任意，的值有無(wú)數(shù)個(gè)，故A正確：對(duì)于B，，令，則，且，則，即，又，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，曲線y=fx在點(diǎn)A，B由，則點(diǎn)均不與原點(diǎn)重合，設(shè)曲線在處切線的斜率為，則，由切線過(guò)原點(diǎn)，則切線即直線的斜率，所以，化簡(jiǎn)得，若時(shí)，則，這與矛盾，故，所以有，同理可得，所以由，得，故C正確．對(duì)于D，對(duì)于任意點(diǎn)A，B，直線AB的斜率恒小于1，則，即，所以在上是減函數(shù)，所以恒成立，設(shè)，x∈R，且，所以要使恒成立，則，即，故D正確；故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題C選項(xiàng)的關(guān)鍵是通過(guò)切線方程得到，化解得到，同理得到，則有，即可判斷C.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的最小正周期為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】利用，即可求解.【詳解】解：小正周期為，故答案為：.13.我國(guó)火力發(fā)電廠大氣污染物排放標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：排放廢氣中二氧化硫最高允許濃度為.已知我國(guó)某火力發(fā)電廠排放廢氣中二氧化硫的初始濃度為，現(xiàn)通過(guò)某種工藝對(duì)排放廢氣進(jìn)行過(guò)濾處理，處理后廢氣中剩余二氧化硫的濃度（單位：）與處理時(shí)間（單位：分鐘）滿足關(guān)系式：，那么從現(xiàn)在起至少經(jīng)過(guò)______分鐘才能達(dá)到排放標(biāo)準(zhǔn).（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果取整數(shù)）【答案】16【解析】【分析】由題意得到不等式，兩邊取對(duì)數(shù)，得到，代入，求出答案.【詳解】由題意得，即，故，因?yàn)?，所以，故，所以從現(xiàn)在起至少經(jīng)過(guò)16分鐘，才能達(dá)到排放標(biāo)準(zhǔn).故答案為：1614.設(shè)，若，使得對(duì)恒成立，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】求導(dǎo)，分與分類討論求得，進(jìn)而可得，構(gòu)造函數(shù)，求得的范圍，可求的取值范圍.【詳解】由，可得，令，可得，所以，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，無(wú)最大值，不符合題意，當(dāng)時(shí)，方程解為，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，因?yàn)?，使得?duì)恒成立，所以，所以，所以，令，求導(dǎo)可得，當(dāng)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所認(rèn)所以，所以的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于恒成立問(wèn)題，通常是通過(guò)分離變量，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的最值解決有關(guān)問(wèn)題.四、解答題：本題共5小題，共77分；解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù)在處取得極小值.（1）求m，n的值；（2）若函數(shù)有3個(gè)不同零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)得到方程組，求出，，檢驗(yàn)為極小值點(diǎn)，得到答案；（2）在（1）基礎(chǔ)上，得到的極大值為，極小值為，轉(zhuǎn)化為y=fx與有3個(gè)不同的交點(diǎn)，所以.【小問(wèn)1詳解】，，，解得，，故，，令得或，令得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故為極小值點(diǎn)，滿足要求；【小問(wèn)2詳解】由（1）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，，故的極大值為，極小值為，又趨向于時(shí)，趨向于，當(dāng)趨向于時(shí)，趨向于，綜上，要想有3個(gè)不同零點(diǎn)，即有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即y=fx與有3個(gè)不同的交點(diǎn)，所以.16.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知.（1）求；（2）若的面積為，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理將邊化角，再利用三角恒等變換化簡(jiǎn)，即可解決；（2）利用三角形的面積公式，得，再利用余弦定理得，最后結(jié)合正弦定理即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以由正弦定理得，化?jiǎn)得，因?yàn)?，即，所以，得，因?yàn)椋?，又，所?【小問(wèn)2詳解】由（1）知，又的面積為，所以，即，由余弦定理可得，所以，，，即由正弦定理得，，所以，17.函數(shù)圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，可以將其推廣為：函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件為函數(shù)為奇函數(shù)，已知函數(shù).（1）證明：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）單調(diào)遞增，【解析】【分析】（1）根據(jù)為奇函數(shù)，結(jié)合奇函數(shù)的定義即可求解,（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，即可根據(jù)得求解.【小問(wèn)1詳解】令，定義域?yàn)?則，故為奇函數(shù),因此為奇函數(shù)，故的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，【小問(wèn)2詳解】由于，均為單調(diào)遞增函數(shù)，故為定義域內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù)，由于，且為單調(diào)遞增函數(shù)，故單調(diào)遞增，故由可得，即，故，解得18.數(shù)列中，若，使得，都有成立，則稱數(shù)列為“三合定值數(shù)列”，已知.（1）求；（2）設(shè)，證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求；（3）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），，.（2）證明見(jiàn)解析，（3）【解析】【分析】（1）由，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）由條件可得，即可證明，結(jié)合的通項(xiàng)公式，分別討論為奇數(shù)以及為偶數(shù)的情況，即可得到結(jié)果；（3）根據(jù)題意，由條件可得，結(jié)合錯(cuò)位相減法代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，且，則，即，解得，又，即，解得，又，即，解得，所以，，.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，則，且，即，所以，即，又，則，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以，即，所以①，，則②，，兩式相減可得，即的奇數(shù)項(xiàng)為等差數(shù)列，且，令，則，所以（為奇數(shù)），又③，由③①可得，，所以的偶數(shù)項(xiàng)為等差數(shù)列，且，令，則，即，綜上所述，.【小問(wèn)3詳解】因?yàn)椋?dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，綜上，，則，，兩式相減可得，，，，，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第2小問(wèn)解決的關(guān)鍵在于，分類討論為奇數(shù)與偶數(shù)兩種情況，從而得解.19.設(shè)函數(shù)，已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（1）求的值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）.（2）當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)可得；（2）先求得，根據(jù)，，，分類討論即可.（3）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，先求，設(shè)，，根據(jù)，將分為和驗(yàn)證即可.【小問(wèn)1詳解】由題意，可得【小問(wèn)2詳解】由題意的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，f′x>0，當(dāng)時(shí)，f′x故在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，f′x>0，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，f′x<0，當(dāng)時(shí)，f′x故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，綜上所述：當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.【小問(wèn)3詳解】由得，即，設(shè)，則由題意在上