數(shù)學素材：教材梳理第二講四弦切角的性質

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精庖丁巧解牛知識·巧學一、弦切角1。定義：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角。2.弦切角的特點：（1)頂點在圓周上;(2)一邊與圓相交；(3）一邊與圓相切.誤區(qū)警示弦切角定義中的三個條件缺一不可。圖2-圖23。如圖2-圖2二、弦切角定理1。弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角.2。定理的證明:由于弦切角可分為三類，即圖2-4-3所示的情況，所以在證明定理時分三種情況加以討論：當弦切角一邊通過圓心時〔圖2-4—4（1）〕，顯然弦切角與其所夾弧所對的圓周角都是直角；當圓心O在∠CAB外時〔圖2—4—4(2）〕，作⊙O的直徑AQ，連結PQ，則∠BAC=∠BAQ—∠1=∠APQ—∠2=∠APC；當圓心O在∠CAB內時〔圖2圖23。在證明弦切角定理的過程中,我們從特殊情況入手，通過猜想、分析、證明和歸納，從而證明了弦切角定理。通過弦切角定理的證明過程，要學會用運動變化的觀點觀察問題,進而理解從一般到特殊,從特殊到一般的認識規(guī)律。知識拓展由弦切角定理，可以直接得出一個結論：若兩弦切角所夾的弧相等,則這兩個弦切角也相等，我們把這一結論稱為弦切角定理的推論，它也是角的變換的依據(jù).弦切角定理也可以表述為弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半。這就建立了弦切角與弧的數(shù)量之間的關系，它為直接依據(jù)弧進行角的轉換確立了基礎。問題·探究問題到目前為止，對于圓中有關的角我們已學過圓心角、圓周角、弦切角，它們各自有定義、定理及和它所對的弧的度數(shù)關系，這三種角在證明題和計算題中經常用到，它們是幾何綜合題中不可缺少的知識點。它們相互之間有哪些聯(lián)系和區(qū)別？如何把握這些聯(lián)系和區(qū)別？思路:從理解圓心角、圓周角、弦切角的定義、定理及與所對、所夾的弧的關系入手思考.探究:圓心角、圓周角、弦切角是圓中三類重要的角，準確理解它們的定義、定理及與所對、所夾的弧的關系，對于我們在圓中的計算、證明，起著舉足輕重的作用,將這些知識總結對比列表如下，你可以在比較中把握其異同點，從而快速、準確地應用于解決問題。名稱圓心角圓周角弦切角定義頂點在圓心的角頂點在圓上；兩邊和圓相交頂點在圓上;一邊和圓相交;另一邊和圓相切圖形有關定理①圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)②在同圓或等圓中相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等,所對弦的弦心距相等同弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半弦切角等于它所夾弧所對的圓周角有關推論四者關系定理的推論圓周角定理推論①、②、③弦切角定理的推論角與弧的關系∠AOB的度數(shù)=的度數(shù)∠ACB的度數(shù)=的度∠ACB的度數(shù)=的度典題·熱題例1如圖2—J圖2思路分析：∠BAE為弦切角，于是∠BAE=∠C，再由AE平分∠CAB和△ABC是直角三角形可得∠C的度數(shù)，進而解直角三角形即可。解：∵AD為⊙O的切線，∴∠BAE=∠C.∵AE平分∠CAB，∴∠BAC=2∠BAE。又∵∠C+∠BAC=90°，∴∠BAE=∠C=30°.則有BE=1,AB=,BC=3,AC=.深化升華本題應用弦切角、解直角三角形的知識,為基礎題型,求解此類題時，要注意弦切角在角的轉換中的作用，本題正是由于這一條件，溝通了角之間的數(shù)量關系。例2如圖2—圖2思路分析：連結DF，構造弦切角,于是∠FDC=∠DAC，根據(jù)AD是△ABC中∠BAC的平分線,得∠BAD=∠DAC,而∠BAD與∠EFD對著同一段弧,所以相等，由此建立∠EFD與∠FDC的相等關系,根據(jù)內錯角相等，可以斷定兩直線平行.證明:連結DF。∵AD是∠BAC的平分線,∴∠BAD=∠DAC.∵∠EFD=∠BAD，∴∠EFD=∠DAC?！摺袿切BC于D，∴∠FDC=∠DAC?！唷螮FD=∠FDC?！郋F∥BC。方法歸納證明兩條直線平行的方法有：（1）內錯角相等，兩直線平行；（2）同位角相等，兩直線平行；(3）同旁內角互補，兩直線平行等。證題時可以根據(jù)圖形與已知合理選擇.本題由于有切線，所以考慮弦切角和它所對的圓周角.例3如圖2-圖2(1)求證:△ABE≌△ACD；（2）若AB=6cm，BC=4cm，求AE的長。思路分析：第（1）問中的全等已經具備了AB=AC,再利用弦切角定理與圓周角定理可以得角的相等關系；對于（2），則利用△BCE∽△ACB建立比例式,解方程獲得AE的長.（1）證明:∵XY是⊙O的切線，∴∠1=∠2?！連D∥XY，∴∠1=∠3.∴∠2=∠3?！摺?=∠4,∴∠2=∠4?！摺螦BD=∠ACD，又∵AB=AC，∴△ABE≌△ACD。(2）解：∵∠3=∠2，∠BCE=∠ACB,∴△BCE∽△ACB.∴?！郃C·CE=BC2，即AC·（AC—AE）=BC2.∵AB=AC=6，BC=4,∴6（