2024學(xué)年北京理工大學(xué)附中高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中練習(xí)試卷附答案解析

學(xué)年北京理工大學(xué)附中高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中練習(xí)試卷一、單選題（本大題共10小題）1．直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．2．正方體的棱長為a，則棱到面的距離為（

）A． B．a(chǎn) C． D．3．如圖所示，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，（）A． B． C． D．4．已知直線，若，則（

）A．或 B． C．或 D．5．已知為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則下列結(jié)論正確的是(

)A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則6．如圖，將半徑為1的球與棱長為1的正方體組合在一起，使正方體的一個頂點正好是球的球心，則這個組合體的體積為（

）A． B． C． D．7．已知直線，，則“”是“直線與相交”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．已知直線：和點，，若l與線段相交，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．或 C． D．或9．當(dāng)曲線與直線有兩個相異的交點時，實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．10．人臉識別是基于人的臉部特征進(jìn)行身份識別的一種生物識別技術(shù)．主要應(yīng)用距離測試樣本之間的相似度，常用測量距離的方式有3種．設(shè)，，則歐幾里得距離；曼哈頓距離，余弦距離，其中（為坐標(biāo)原點）．若點，，則的最大值為（

）A． B． C． D．二、填空題（本大題共5小題）11．兩平行直線之間的距離是12．如圖，在正方體中，M，N分別為DB，的中點，則直線和BN的夾角的余弦值為13．已知圓，過點作圓的切線，則切線方程為.14．已知直線過點且與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點，當(dāng)三角形面積取最小值時直線的斜率為．15．如圖，在正方體中，P為的中點，，，則下列說法正確的（請把正確的序號寫在橫線上）①②當(dāng)時，平面③當(dāng)時，PQ與CD所成角的余弦值為④當(dāng)時，平面三、解答題（本大題共4小題）16．已知的頂點，，.(1)求邊上的高所在直線的方程；(2)求邊上的中線所在直線的方程；(3)求的面積.17．已知四邊形為正方形，為，的交點，現(xiàn)將三角形沿折起到位置，使得，得到三棱錐.(1)求證：平面平面；(2)棱上是否存在點，使平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求；若不存在，說明理由.18．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為1的正方形，為棱的中點．

(1)求證：平面；(2)若，再從條件①?條件②?條件③中選擇若干個作為已知，使四棱錐唯一確定，并求：（i）直線與平面所成角的正弦值；（ii）點到平面的距離．條件①：二面角的大小為；條件②：條件③：．19．設(shè)二次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸的交點分別記為，，，曲線是經(jīng)過這三點的圓．(1)求圓的方程；(2)過作直線與圓相交于，兩點．（i）是否是定值？如果是，請求出這個定值；（ii）設(shè)，求的最大值．

參考答案1．【答案】B【詳解】解：由直線得直線的斜率又直線的傾斜角為，且，所以，得故選：B.2．【答案】C【詳解】如圖，連接，它們交于點，正方形中，又平面，平面，所以，平面，所以平面，所以的長即為棱到面的距離，而，所以所求距離為．故選：C．3．【答案】B【詳解】由題中所給平行六面體可知，，，故．故選：B4．【答案】B【分析】由條件結(jié)合直線平行結(jié)論列方程求，并對所得結(jié)果進(jìn)行檢驗.【詳解】因為，，所以，所以，解得或，當(dāng)時，，，直線重合，不滿足要求，當(dāng)時，，，直線平行，滿足要求，故選B.5．【答案】D【詳解】A，若，則或異面，故該選項錯誤；B，若，則或相交，故該選項錯誤；C，若，則α，β不一定垂直，故該選項錯誤；D，若，則利用面面垂直的性質(zhì)可得，故該選項正確.故選：D.6．【答案】A【分析】該組合體可視作一個正方體和個球體的組合體，進(jìn)而求出體積.【詳解】由題意，該組合體是一個正方體和個球體的組合體，其體積為.故選：A.7．【答案】A【詳解】由題意可得直線與相交，則當(dāng)時，滿足，即“”是“直線與相交”的充分條件；當(dāng)直線與相交時，不一定有，比如也滿足，所以“”是“直線與相交”的充分不必要條件.故選:A.8．【答案】D【詳解】由直線：可知直線必過定點，且直線的斜率為，如下圖所示：

由斜率公式可知，直線的斜率為，直線的斜率為，若與線段相交，只需要或，故實數(shù)a的取值范圍是或.故選：D.9．【答案】D【詳解】如圖所示：∵曲線，直線，∴，，，圓心，直線過定點，直線過時，有兩個交點，此時，，直線與下半圓相切時，，，∴.故答案選D．10．【答案】C【詳解】設(shè)，則，即，可知表示正方形，其中，即點在正方形的邊上運動，因為，由圖可知：當(dāng)取到最小值，即最大，點有如下兩種可能：①點為點，則，可得；②點在線段上運動時，此時與同向，不妨取，則；因為，所以的最大值為.故選：C.11．【答案】【分析】直接利用兩條平行直線間的距離公式計算即可.【詳解】兩條平行直線：與：之間的距離為.故答案為：.12．【答案】【詳解】以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2，則，故和BN的夾角的余弦值為.故答案為：13．【答案】【詳解】因為，所以點在圓上，設(shè)切線的斜率為，則，.則切線方程為.故答案為：14．【答案】/【詳解】設(shè)Aa,0，，其中，設(shè)直線的方程為，因為直線過點，所以，由基本不等式可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，所以的最小值為16，此時的面積取最小值8，直線的斜率為.故答案為：.15．【答案】①②③【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，則，所以，，所以，所以，①正確；當(dāng)時，，所以，又平面，平面，從而平面，②正確；當(dāng)時，，DC=1,0,0，所以與所成角的余弦值為，③正確；當(dāng)時，，，，所以不垂直于，所以不垂直于平面，④錯誤．故答案為：①②③.16．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）因為，，，所以，所以，則邊上的高所在直線的方程為，即；（2）由題意可知是的中點，所以，從而邊上的中線所在直線的方程為，即；（3）由題意知，邊所在直線的方程為，即，所以點A到直線的距離，又，所以的面積為.17．【答案】(1)證明見解析(2)存在，【詳解】（1）因為四邊形為正方形，所以，，所以折起后，，，由于折起前有，且折起后，所以折起后有，即，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）存在，理由如下：由（1）知，，，所以以為原點，以為軸，以為軸，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，則，，，假設(shè)存在滿足題意的點，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，，即，易知平面的一個法向量為，因為平面與平面夾角的余弦值為，所以，整理得解得或（舍），所以在棱上存在點，使平面與平面夾角的余弦值為，且.18．【答案】(1)證明見解析(2)（i）；（ii）【詳解】（1）

（1）連接，交于，連接，底面是正方形，故是的中點，又因為為棱的中點，所以，在中，而平面平面，所以平面．（2）選①②：因為四邊形是正方形，所以，又因為，所以，因為二面角的大小為，平面平面，所以，在中，，所以，故，又因為平面，所以平面，選①③：因為四邊形是正方形，所以，又因為，所以，因為二面角的大小為，平面平面，所以，因為平面，所以平面，又因為平面，所以，又因為平面，所以平面，因為平面，所以，又因為為中點，所以，所以，所以，即，因為平面，所以平面，選②③：因為四邊形是正方形，所以，因為平面，所以平面，又因為平面，所以，又因為平面，所以平面，因為平面，所以，又因為為中點，所以，在中，，故，因為平面，所以平面，選①②③同上．以為原點，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，故，令為面的一個法向量，則令，則，（i）因為，所以直線與平面所成角的正弦值為，（ii）由（i）知點到平面的距離．

19．【答案】(1)(2)（i）是定值，定值為2；（ii）【詳解】（1）設(shè)二次函數(shù)與x軸分別交于，與y軸交于點，令，則，即，令，則，則，設(shè)圓C的方程為，將點M、N、G的坐標(biāo)代入可得，解得，則，化為標(biāo)準(zhǔn)式為.（