3.2.1.1函數(shù)的單調(diào)性課件-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

首都師范大學(xué)附屬昌財(cái)實(shí)驗(yàn)中學(xué)ChangcaiExperimentalHighschoolofCapitalNormalUniversity★情德善孝

志勤專勇★GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJIGAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)3.2.1第1課時(shí)函數(shù)的單調(diào)性新課引入德國有一位著名的心理學(xué)家艾賓浩斯，對人類的記憶牢固程度進(jìn)行了有關(guān)研究.他通過研究繪制出了著名的艾賓浩斯曲線，如圖所示：思考：你能說出記憶量的變化趨勢嗎？若以時(shí)間t為自變量，以記憶量y為因變量，則圖中反映了函數(shù)值隨自變量的變化而變化。5

思考1：觀察下列函數(shù)圖象，你能發(fā)現(xiàn)函數(shù)有什么變化趨勢？探求新知在y軸左側(cè)是下降的；在y軸右側(cè)是上升的；問題1：如何用數(shù)學(xué)語言來描述函數(shù)圖象的“上升”和“下降”呢？探求新知5

問題1：初中如何用數(shù)學(xué)語言來描述函數(shù)圖象的“上升”和“下降”呢？x…-5-4-3-2-1012345…f(x)=x2…251694101491625…

5

探求新知知識點(diǎn)

函數(shù)單調(diào)性的概念

單調(diào)遞增單調(diào)遞減定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間D?I，?x1，x2∈D,當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)<f(x2),則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增,

區(qū)間D為f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.圖示單調(diào)性是局部性質(zhì)②若f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增(減)，則稱f(x)在區(qū)間D具有嚴(yán)格的單調(diào)性.?x1，x2∈D,當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)>f(x2),則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減,

區(qū)間D為f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.注：①當(dāng)函數(shù)在其定義域上單調(diào)遞增(減)時(shí)，則稱f(x)是增(減)函數(shù).探究點(diǎn)一確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間1.已知函數(shù)f(x)(x∈[-2,6])的圖象如圖.根據(jù)圖象寫出f(x)的單調(diào)區(qū)間,單調(diào)遞增區(qū)間為

,單調(diào)遞減區(qū)間為

.

[-2,-1]和[2,6][-1,2]解析

由圖象可知f(x)在[-2,6]上的單調(diào)遞增區(qū)間為[-2,-1]和[2,6],單調(diào)遞減區(qū)間為[-1,2].對于單獨(dú)一點(diǎn),由于它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù),沒有增減變化,所以不存在單調(diào)性問題,因此在書寫單調(diào)區(qū)間時(shí),可以包括端點(diǎn),也可以不包括端點(diǎn),但在某些點(diǎn)無意義時(shí),單調(diào)區(qū)間不能包括這些點(diǎn).單調(diào)區(qū)間用“和”不用“∪”探究點(diǎn)一確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2.函數(shù)y=x2-2|x|+1的單調(diào)遞增區(qū)間是(

)A.[-1,0] B.[-1,0]和[1,+∞)C.(-∞,-1] D.(-∞,-1]和[0,1]B作出函數(shù)圖象如圖所示,由圖象可知,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[-1,0]和[1,+∞).故選B.探究點(diǎn)一確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間3.

(1)下列函數(shù)中,在(0,+∞)上單調(diào)遞增的是(

)A.f(x)=3-x B.f(x)=x2-3xC.f(x)=-

D.f(x)=-|x|C變式訓(xùn)練1已知x∈R,函數(shù)f(x)=x|x-2|,試畫出y=f(x)的圖象,并結(jié)合圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.由圖象可知,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,1]和[2,+∞);單調(diào)遞減區(qū)間為[1,2].

探究點(diǎn)二證明函數(shù)的單調(diào)性

1、取值2、作差3、變形4、定號5、結(jié)論探究點(diǎn)二證明函數(shù)的單調(diào)性

1、取值2、作差3、變形4、定號5、結(jié)論

探究點(diǎn)二證明函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律方法利用定義法證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟

特別提醒

作差變形的常用技巧(1)因式分解.當(dāng)原函數(shù)是多項(xiàng)式函數(shù)時(shí),作差后的變形通常進(jìn)行因式分解.如f(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1).(2)通分.當(dāng)原函數(shù)是分式函數(shù)時(shí),作差后往往進(jìn)行通分,然后對分子進(jìn)行因式分解.如本例.(3)配方.當(dāng)所得的差式是含有x1,x2的二次三項(xiàng)式時(shí),可以考慮配方,便于判斷符號.(4)分子有理化.當(dāng)原函數(shù)是根式函數(shù)時(shí),作差后往往考慮分子有理化.探究點(diǎn)二證明函數(shù)的單調(diào)性增+增=增減+減=減增－減=增減－增=減注：“增－增”、“減－減”無法確定單調(diào)性例如p245.5.④

探究點(diǎn)二函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用角度1.根據(jù)函數(shù)單調(diào)性比較大小【例2】

已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減,試比較f(a2-a+1)與

的大小.變式訓(xùn)練2已知g(x)的定義域是[-2,2],且在區(qū)間[-2,2]上單調(diào)遞增,g(t)>g(1-3t),求t的取值范圍.解

∵g(x)在區(qū)間[-2,2]上單調(diào)遞增,且g(t)>g(1-3t),

規(guī)律方法函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用問題的解題策略(1)利用函數(shù)的單調(diào)性可以比較函數(shù)值或自變量的大小.在利用函數(shù)的單調(diào)性解決比較函數(shù)值大小的問題時(shí),要注意將對應(yīng)的自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上.(2)利用函數(shù)的單調(diào)性解函數(shù)值的不等式就是利用函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性,去掉對應(yīng)關(guān)系“f”,轉(zhuǎn)化為自變量的不等式,此時(shí)一定要注意自變量的限制條件,以防出錯(cuò).角度2.根據(jù)函數(shù)單調(diào)區(qū)間或單調(diào)性求參數(shù)范圍【例3】

函數(shù)f(x)=x2+(2a+1)x+1在區(qū)間[1,2]上是單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A規(guī)律方法含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性問題,應(yīng)明確若函數(shù)在某一區(qū)間I上單調(diào)遞增(或單調(diào)遞減),則該區(qū)間是函數(shù)的原單調(diào)遞增區(qū)間(或單調(diào)遞減區(qū)間)D的子集,即I?D.變式訓(xùn)練3如果函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2在區(qū)間(-∞,4]上單調(diào)遞減,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.(-∞,-3] B.[-3,+∞)C.(-∞,5] D.[5,+∞)A圖象開口向上,∴函數(shù)在區(qū)間(-∞,1-a]上單調(diào)遞減,要使f(x)在區(qū)間(-∞,4]上單調(diào)遞減,則1-a≥4,解得a≤-3.角度3.含參數(shù)的分段函數(shù)的單調(diào)性問題【例4】

[2023湖北武漢期末]已知f(2x)=|x-a|,若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,2]上單調(diào)遞減,則a的取值范圍是(

)A.a≥1 B.a>1C.a≥2 D.a>2A所以f(x)在區(qū)間(-∞,2a]上單調(diào)遞減.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間(-∞,2]上單調(diào)遞減,所以2a≥2,得a≥1.故選A.變式訓(xùn)練4若函數(shù)f(x)=是R上的單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

.

規(guī)律方法判斷分段函數(shù)的單調(diào)性時(shí)不要忽視分段函數(shù)定義域的分界點(diǎn)的大小,由于分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù),因此對于分段函數(shù)在實(shí)數(shù)集R上的單調(diào)遞增(減)的問題,除了保證在定義域的每一個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相同之外,還要考慮在分界點(diǎn)處的函數(shù)值的大小應(yīng)滿足函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì),否則求出的參數(shù)的范圍會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測12341.(多選題)若函數(shù)y=f(x),x∈[-4,4]的圖象如圖所示,則下列區(qū)間是函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間的為(

)A.[-4,-2] B.[-3,-1]C.[-4,0] D.[1,4]AD1234解析

由圖象可得f(x)在[-4,-2]上單調(diào)遞減,在[-2,1]上單調(diào)遞增,在[1,4]上單調(diào)遞減,故選AD.

12342.[2023廣東惠陽月考]已知函數(shù)f(x)=ax+1在R上單調(diào)遞減,則函數(shù)g(x)=a(x2-4x+3)的單調(diào)遞增區(qū)間為(

)A.[-2,+∞) B.[2,+∞) C.(-∞,2] D.(-∞,-2]C解析

∵函數(shù)f(x)=ax+1在R上單調(diào)遞減,∴a<0.∴函數(shù)g(x)=a(x2-4x+3)的圖象開口向下,其對稱軸方程為x=2.∴g(x)在(-∞,2]上單調(diào)遞增,即函數(shù)g(x)=a(x2-4x+3)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,2