3.2.1函數(shù)的最大(小)值第二課時(shí)課件-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)3.2.1第2課時(shí)函數(shù)的最大(小)值首都師范大學(xué)附屬昌財(cái)實(shí)驗(yàn)中學(xué)ChangcaiExperimentalHighschoolofCapitalNormalUniversity★情德善孝

志勤專勇★函數(shù)f(x)=x2的圖象有一個(gè)最低點(diǎn)(0，0)即對于任意的x∈R，都有f(x)≥

f(0)最小值

對任意的都有?(x)0.

一、新課導(dǎo)入思考2：設(shè)函數(shù)y=f(x)圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為M，則對函數(shù)定義域內(nèi)任意自變量x，f(x)與M的大小關(guān)系如何？f(x)≤MM=?(0)=1O12

對任意的都有?(x)≤1.最大值函數(shù)最大值最小值條件設(shè)y=f(x)的定義域?yàn)镮，若存在實(shí)數(shù)M滿足：

?x∈I，都有f(x)≤M;?x0∈I，使得f(x0)=M.

?x∈I，都有f(x)≥M;?x0∈I，使得f(x0)=M.結(jié)論M是y=f(x)的最大值M是y=f(x)的最小值幾何意義f(x)圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)f(x)圖象上最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)①最大(小)值必須是一個(gè)確定的函數(shù)值，且為值域中的一個(gè)元素.無最小值②求函數(shù)的最值應(yīng)先判斷單調(diào)性(圖象/定義/觀察(復(fù)合)).知識點(diǎn)

函數(shù)的最大(小)值的定義

函數(shù)的最值與其定義域息息相關(guān)若y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增,則函數(shù)y=f(x)的值域是[f(a),f(b)];若y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減,則函數(shù)y=f(x)的值域是[f(b),f(a)].1.函數(shù)f(x)在[-2,2]上的圖象如圖所示,則此函數(shù)的最小值、最大值分別是(

)A.f(-2),0 B.0,2

C.f(-2),2 D.f(2),2C解析

由圖象可知,在[-2,2]上,此函數(shù)的最小值是f(-2),最大值是2.探究點(diǎn)一利用函數(shù)的圖象求函數(shù)的最值2.請根據(jù)函數(shù)圖象直觀判斷下列函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性,并求出它們的最值:(1)y=-5x,x∈[2,7]; (2)f(x)=3x2-6x+1,x∈[3,4); (3)f(x)=|x2-2x|,x∈[-1,3].解

(1)一次函數(shù)y=-5x的圖象是一條直線,在[2,7]上單調(diào)遞減,當(dāng)x=2時(shí),y=-5x取得最大值-10,當(dāng)x=7時(shí),y=-5x取得最小值-35.(2)二次函數(shù)f(x)=3x2-6x+1=3(x-1)2-2的圖象是拋物線,開口向上,對稱軸是直線x=1,在[3,4)上單調(diào)遞增,當(dāng)x=3時(shí),f(x)=3x2-6x+1取得最小值f(3)=3×32-6×3+1=10,函數(shù)無最大值.畫出f(x)在x∈[-1,3]內(nèi)圖象(圖略).可知f(x)在[-1,0],[1,2]上單調(diào)遞減,在(0,1),(2,3]上單調(diào)遞增,當(dāng)x=-1或3時(shí),f(x)=|x2-2x|取得最大值3,當(dāng)x=0或2時(shí),f(x)=|x2-2x|取得最小值0.規(guī)律方法圖象法求最值的基本步驟

(1)畫出f(x)的圖象;(2)根據(jù)圖象寫出該函數(shù)的最大值和最小值.解

(1)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示.(2)由圖象可知f(x)的最小值為f(1)=1,無最大值.探究點(diǎn)二利用函數(shù)的單調(diào)性求最值【例2】

已知函數(shù)f(x)=x+.(1)判斷f(x)在區(qū)間[1,2]上的單調(diào)性;(2)根據(jù)f(x)的單調(diào)性求出f(x)在區(qū)間[1,2]上的最值.解

(1)?x1,x2∈[1,2],且x1<x2,∵x1<x2,∴x1-x2<0.當(dāng)1≤x1<x2≤2時(shí),x1x2>0,1<x1x2<4,即x1x2-4<0.∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),即f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減.(2)由(1)知f(x)在區(qū)間[1,2]上的最小值為f(2),f(2)=2+2=4;f(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值為f(1).∵f(1)=1+4=5,∴f(x)的最小值為4,最大值為5.變式探究

例2已知條件不變,判斷f(x)在區(qū)間[1,3]上的單調(diào)性,并求f(x)在區(qū)間[1,3]上的最值.當(dāng)1≤x1<x2≤2時(shí),f(x1)>f(x2),f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減;當(dāng)2≤x1<x2≤3時(shí),x1x2>0,4<x1x2<9,即x1x2-4>0,∴f(x1)<f(x2),∴f(x)在區(qū)間[2,3]上單調(diào)遞增.規(guī)律方法1.利用單調(diào)性求函數(shù)最值的一般步驟:(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性;(2)利用單調(diào)性寫出最值.2.函數(shù)的最值與單調(diào)性的關(guān)系:(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增(減),則f(x)在區(qū)間[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增(減),在區(qū)間(b,c]上單調(diào)遞減(增),則f(x)在區(qū)間[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)與f(c)中較小(大)的一個(gè).探究點(diǎn)三與函數(shù)最值有關(guān)的綜合問題角度1.利用函數(shù)的最值解決恒成立問題【例3】

已知x2-x+a>0對任意x∈(0,+∞)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解

x2-x+a>0可化為a>-x2+x.設(shè)f(x)=-x2+x,要使a>-x2+x對任意x∈(0,+∞)恒成立,只需a>f(x)max,當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),規(guī)律方法對任意x∈D,f(x)>a恒成立,一般轉(zhuǎn)化為f(x)min>a來解決.對任意x∈D,f(x)<a恒成立,一般轉(zhuǎn)化為f(x)max<a來解決.若f(x)≥a2恒成立,則a的取值范圍是

.

1123456789101112131415當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí),等號成立.所以f(x)的最小值為1.當(dāng)x≤0時(shí),f(x)≥a2,即(x-a)2≥a2,即x(x-2a)≥0恒成立,所以x-2a≤0恒成立,即2a≥x恒成立,所以2a≥0,即a≥0.(2)若對任意的x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.所以x2+2x+a>0在[1,+∞)上恒成立.記y=x2+2x+a,x∈[1,+∞),因?yàn)閥=(x+1)2+a-1在[1,+∞)上單調(diào)遞增,故當(dāng)x=1時(shí),y取得最小值,最小值為3+a.所以當(dāng)3+a>0,即a>-3時(shí),f(x)>0恒成立,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-3,+∞).角度2.與最值有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問題【例4】

一個(gè)工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品每年需要固定投資100萬元,此外每生產(chǎn)1件該產(chǎn)品還需要增加投資1萬元,年產(chǎn)量為x(x∈N*)件.當(dāng)x≤20時(shí),年銷售總收入為(33x-x2)萬元;當(dāng)x>20時(shí),年銷售總收入為260萬元.記該工廠生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤為y萬元.(年利潤=年銷售總收入-年總投資)(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式.(2)當(dāng)該工廠的年產(chǎn)量為多少件時(shí),所得年利潤最大?最大年利潤是多少?解

(1)當(dāng)0<x≤20時(shí),y=(33x-x2)-x-100=-x2+32x-100;當(dāng)x>20時(shí),y=260-100-x=160-x.(2)當(dāng)0<x≤20時(shí),y=-x2+32x-100=-(x-16)2+156,x=16時(shí),y取最大值156.而當(dāng)x>20時(shí),160-x<140.故當(dāng)該工廠年產(chǎn)量為16件時(shí),取得最大年利潤為156萬元.規(guī)律方法解函數(shù)應(yīng)用題的一般程序(1)審題.弄清題意,分清條件和結(jié)論,理順數(shù)量關(guān)系.(2)建模.將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言,用數(shù)學(xué)知識建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.(3)求模.求解數(shù)學(xué)模型,得到數(shù)學(xué)結(jié)論.(4)還原.將用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)論還原為實(shí)際問題的意義.(5)反思回顧.對于數(shù)學(xué)模型得到的數(shù)學(xué)解,必須驗(yàn)證這個(gè)數(shù)學(xué)解對實(shí)際問題的合理性.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識清單:(1)利用圖象法、單調(diào)性求函數(shù)的最值.(2)與最值有關(guān)的恒成立問題.(3)與最值有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問題.2.方法歸納:數(shù)形結(jié)合法、分類討論法.3.常見誤區(qū):在求函數(shù)的最值(值域)時(shí),一定注意函數(shù)的定義域,有值域不一定存在最值.成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測1.函數(shù)y=|x+1|+2的最小值是(

)A.0 B.-1 C.2 D.3C解析

y=|x+1|+2的圖象如圖所示.由圖可知函數(shù)的最小值為2.11解析

由題知,f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增,其最大值為f(2)=10;f(x)在區(qū)間[-4,1)上單調(diào)遞減,其最大值為f(-4)=11>10.故函數(shù)f(x)的最大值為11.3.已知函數(shù)f(x)=2x-3,當(dāng)x≥1時(shí),恒有f(x)≥m成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

.

(-∞,-