數(shù)學(xué)課件 6.9矩陣的初等變換矩陣的秩_第1頁
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文檔簡介

一、案例

二、知識要點

三、應(yīng)用6.9

矩陣的初等變換，矩陣的秩一、案例求矩陣

的秩。

（一）矩陣的初等變換二、知識要點【定義6.9.2】

滿足以下條件的矩陣稱為階梯形矩陣：（1）矩陣的所有零行（若存在的話）在矩陣的最下方；（2）各個非零行的首個非零元素的列標(biāo)隨著行標(biāo)遞增而嚴(yán)格增大．例如:

【定義6.9.3】

滿足以下條件的階梯形矩陣稱為行最簡階梯形矩陣：（1）非零行的首個非零元素都是1；（2）首個非零元素所在列的其余元素都為0．例如:

【定理6.9.1】

任一矩陣經(jīng)過若干次初等行變換都可化成階梯形矩陣，進而化為行最簡階梯形矩陣．【例題6.9.1】

用初等行變換把矩陣化為行最簡階梯形矩陣．（階梯型矩陣）

解

（行最簡階梯型矩陣）．

【練習(xí)6.9.1】

用初等行變換把矩陣

化為行最簡階梯形矩陣．

解

（階梯型矩陣）

（行最簡階梯型矩陣）．

（二）矩陣的秩

矩陣的秩是一個很重要的概念，在研究線性方程組的解等方面起著非常重要的作用．例如

有4個三階子式，18個二階子式．

【定義6.9.5】

若矩陣A中不為零的子式的最高階數(shù)是r，則稱r為矩陣A的秩，記作

結(jié)論：（1）

（2）對于

，有

（3）若

，則A中至少有一個

，而所有的

【定義6.9.6】

設(shè)

,若

,則稱A為滿秩方陣;若

,則稱A為降秩方陣;【例題6.9.2】

求下列矩陣的秩．解

A的所有三階子式（4個）

而

，所以

因為所以

【練習(xí)6.9.2】

求下列矩陣的秩．解

因為

，所以

B的所有三階子式（4個）

而

，所以

（三）利用初等變換求矩陣的秩【定理6.9.2】

矩陣的初等變換不改變矩陣的秩（證明略）．【定義6.9.2】

矩陣A經(jīng)過有限次初等行變換化為階梯形矩陣，則該階梯形矩陣非零行的個數(shù)r稱為矩陣A的秩，記為r(A)，即

【例題6.9.3】

求r(A)，其中

解

由此可看出

注意：在具體的解題過程中，如果A經(jīng)過幾次初等變換后即可看出r(A)的秩時，就不

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