2024屆廣西壯族自治區(qū)普通高中高三2月（線上）適應(yīng)性測試數(shù)學試題

2023屆廣西壯族自治區(qū)普通高中高三2月（線上）適應(yīng)性測試數(shù)學試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知拋物線的焦點為，為拋物線上一點，，當周長最小時，所在直線的斜率為（）A． B． C． D．2．框圖與程序是解決數(shù)學問題的重要手段，實際生活中的一些問題在抽象為數(shù)學模型之后，可以制作框圖，編寫程序，得到解決，例如，為了計算一組數(shù)據(jù)的方差，設(shè)計了如圖所示的程序框圖，其中輸入，，，，，，，則圖中空白框中應(yīng)填入（）A．， B． C．， D．，3．設(shè)是等差數(shù)列的前n項和，且，則()A． B． C．1 D．24．造紙術(shù)、印刷術(shù)、指南針、火藥被稱為中國古代四大發(fā)明，此說法最早由英國漢學家艾約瑟提出并為后來許多中國的歷史學家所繼承，普遍認為這四種發(fā)明對中國古代的政治，經(jīng)濟，文化的發(fā)展產(chǎn)生了巨大的推動作用.某小學三年級共有學生500名，隨機抽查100名學生并提問中國古代四大發(fā)明，能說出兩種發(fā)明的有45人，能說出3種及其以上發(fā)明的有32人，據(jù)此估計該校三級的500名學生中，對四大發(fā)明只能說出一種或一種也說不出的有（）A．69人 B．84人 C．108人 D．115人5．已知函數(shù)與的圖象有一個橫坐標為的交點，若函數(shù)的圖象的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋逗?，得到的函?shù)在有且僅有5個零點，則的取值范圍是()A． B．C． D．6．如圖所示的程序框圖輸出的是126，則①應(yīng)為（）A． B． C． D．7．在平面直角坐標系中，經(jīng)過點，漸近線方程為的雙曲線的標準方程為（）A． B． C． D．8．在中，角的對邊分別為，，若，，且，則的面積為（）A． B． C． D．9．已知雙曲線的左，右焦點分別為、，過的直線l交雙曲線的右支于點P，以雙曲線的實軸為直徑的圓與直線l相切，切點為H，若，則雙曲線C的離心率為（）A． B． C． D．10．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A． B．C． D．11．等腰直角三角形的斜邊AB為正四面體側(cè)棱，直角邊AE繞斜邊AB旋轉(zhuǎn)，則在旋轉(zhuǎn)的過程中，有下列說法：（1）四面體EBCD的體積有最大值和最小值；（2）存在某個位置，使得；（3）設(shè)二面角的平面角為，則；（4）AE的中點M與AB的中點N連線交平面BCD于點P，則點P的軌跡為橢圓.其中，正確說法的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．412．已知雙曲線的左、右焦點分別為，圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點為M，若．則該雙曲線的離心率為A．2 B．3 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開式中，若的奇數(shù)次冪的項的系數(shù)之和為32，則________．14．設(shè)實數(shù)滿足約束條件,則的最大值為______.15．已知向量與的夾角為，||＝||＝1，且⊥（λ），則實數(shù)_____.16．已知多項式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，則a4＝________，a5＝________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某職稱晉級評定機構(gòu)對參加某次專業(yè)技術(shù)考試的100人的成績進行了統(tǒng)計，繪制了頻率分布直方圖（如圖所示），規(guī)定80分及以上者晉級成功，否則晉級失?。畷x級成功晉級失敗合計男16女50合計（1）求圖中的值；（2）根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表，并判斷能否有的把握認為“晉級成功”與性別有關(guān)？（3）將頻率視為概率，從本次考試的所有人員中，隨機抽取4人進行約談，記這4人中晉級失敗的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望．（參考公式：，其中）0.400.250.150.100.050.0250.7801.3232.0722.7063.8415.02418．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面，.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若銳二面角的余弦值為，求直線與平面所成的角.19．（12分）已知數(shù)列的前項和為，且滿足（）.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)（），數(shù)列的前項和.若對恒成立，求實數(shù)，的值.20．（12分）在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為以為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，設(shè)點在曲線上，點在曲線上，且為正三角形．（1）求點，的極坐標；（2）若點為曲線上的動點，為線段的中點，求的最大值．21．（12分）設(shè)為等差數(shù)列的前項和，且，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若滿足不等式的正整數(shù)恰有個，求正實數(shù)的取值范圍．22．（10分）如圖，四棱錐中，側(cè)面為等腰直角三角形，平面．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成的角的正弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【解析】

本道題繪圖發(fā)現(xiàn)三角形周長最小時A,P位于同一水平線上，計算點P的坐標，計算斜率，即可．【詳解】結(jié)合題意，繪制圖像要計算三角形PAF周長最小值，即計算PA+PF最小值，結(jié)合拋物線性質(zhì)可知，PF=PN，所以，故當點P運動到M點處，三角形周長最小，故此時M的坐標為，所以斜率為，故選A．【點睛】本道題考查了拋物線的基本性質(zhì)，難度中等．2．A【解析】

依題意問題是，然后按直到型驗證即可.【詳解】根據(jù)題意為了計算7個數(shù)的方差，即輸出的，觀察程序框圖可知，應(yīng)填入，，故選：A.【點睛】本題考查算法與程序框圖，考查推理論證能力以及轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于基礎(chǔ)題.3．C【解析】

利用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡已知條件，求得的值.【詳解】由于等差數(shù)列滿足，所以，，.故選：C【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.4．D【解析】

先求得名學生中，只能說出一種或一種也說不出的人數(shù)，由此利用比例，求得名學生中對四大發(fā)明只能說出一種或一種也說不出的人數(shù).【詳解】在這100名學生中，只能說出一種或一種也說不出的有人，設(shè)對四大發(fā)明只能說出一種或一種也說不出的有人，則，解得人.故選：D【點睛】本小題主要考查利用樣本估計總體，屬于基礎(chǔ)題.5．A【解析】

根據(jù)題意，，求出，所以，根據(jù)三角函數(shù)圖像平移伸縮，即可求出的取值范圍.【詳解】已知與的圖象有一個橫坐標為的交點，則，，，，，若函數(shù)圖象的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮瑒t，所以當時，，在有且僅有5個零點，，.故選：A.【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象的性質(zhì)、三角函數(shù)的平移伸縮以及零點個數(shù)問題，考查轉(zhuǎn)化思想和計算能力.6．B【解析】試題分析：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值，并輸出滿足循環(huán)的條件．解：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值，并輸出滿足循環(huán)的條件．∵S=2+22+…+21=121，故①中應(yīng)填n≤1．故選B點評：算法是新課程中的新增加的內(nèi)容，也必然是新高考中的一個熱點，應(yīng)高度重視．程序填空也是重要的考試題型，這種題考試的重點有：①分支的條件②循環(huán)的條件③變量的賦值④變量的輸出．其中前兩點考試的概率更大．此種題型的易忽略點是：不能準確理解流程圖的含義而導致錯誤．7．B【解析】

根據(jù)所求雙曲線的漸近線方程為，可設(shè)所求雙曲線的標準方程為k．再把點代入，求得k的值，可得要求的雙曲線的方程．【詳解】∵雙曲線的漸近線方程為設(shè)所求雙曲線的標準方程為k．又在雙曲線上，則k=16-2=14,即雙曲線的方程為∴雙曲線的標準方程為故選：B【點睛】本題主要考查用待定系數(shù)法求雙曲線的方程，雙曲線的定義和標準方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8．C【解析】

由，可得，化簡利用余弦定理可得，解得．即可得出三角形面積．【詳解】解：，，且，，化為：．，解得．．故選：．【點睛】本題考查了向量共線定理、余弦定理、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．9．A【解析】

在中，由余弦定理，得到，再利用即可建立的方程.【詳解】由已知，，在中，由余弦定理，得，又，，所以，，故選：A.【點睛】本題考查雙曲線離心率的計算問題，處理雙曲線離心率問題的關(guān)鍵是建立三者間的關(guān)系，本題是一道中檔題.10．D【解析】

由圖象可以求出周期，得到，根據(jù)圖象過點可求，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)求出單調(diào)增區(qū)間即可.【詳解】由圖象知，所以，，又圖象過點，所以，故可取，所以令，解得所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為故選：．【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用“五點法”求函數(shù)解析式，屬于中檔題.11．C【解析】

解：對于（1），當CD⊥平面ABE，且E在AB的右上方時，E到平面BCD的距離最大，當CD⊥平面ABE，且E在AB的左下方時，E到平面BCD的距離最小，∴四面體E﹣BCD的體積有最大值和最小值，故（1）正確；對于（2），連接DE，若存在某個位置，使得AE⊥BD，又AE⊥BE，則AE⊥平面BDE，可得AE⊥DE，進一步可得AE＝DE，此時E﹣ABD為正三棱錐，故（2）正確；對于（3），取AB中點O，連接DO，EO，則∠DOE為二面角D﹣AB﹣E的平面角，為θ，直角邊AE繞斜邊AB旋轉(zhuǎn)，則在旋轉(zhuǎn)的過程中，θ∈[0，π），∠DAE∈[，π），所以θ≥∠DAE不成立．（3）不正確；對于（4）AE的中點M與AB的中點N連線交平面BCD于點P，P到BC的距離為：dP﹣BC，因為＜1，所以點P的軌跡為橢圓．（4）正確．故選：C．點睛：該題考查的是有關(guān)多面體和旋轉(zhuǎn)體對應(yīng)的特征，以幾何體為載體，考查相關(guān)的空間關(guān)系，在解題的過程中，需要認真分析，得到結(jié)果，注意對知識點的靈活運用.12．D【解析】

本題首先可以通過題意畫出圖像并過點作垂線交于點，然后通過圓與雙曲線的相關(guān)性質(zhì)判斷出三角形的形狀并求出高的長度，的長度即點縱坐標，然后將點縱坐標帶入圓的方程即可得出點坐標，最后將點坐標帶入雙曲線方程即可得出結(jié)果?！驹斀狻扛鶕?jù)題意可畫出以上圖像，過點作垂線并交于點，因為，在雙曲線上，所以根據(jù)雙曲線性質(zhì)可知，，即，，因為圓的半徑為，是圓的半徑，所以，因為，，，，所以，三角形是直角三角形，因為，所以，，即點縱坐標為，將點縱坐標帶入圓的方程中可得，解得，，將點坐標帶入雙曲線中可得，化簡得，，，，故選D。【點睛】本題考查了圓錐曲線的相關(guān)性質(zhì)，主要考察了圓與雙曲線的相關(guān)性質(zhì)，考查了圓與雙曲線的綜合應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想，體現(xiàn)了綜合性，提高了學生的邏輯思維能力，是難題。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】試題分析：由已知得，故的展開式中x的奇數(shù)次冪項分別為，，，，，其系數(shù)之和為，解得．考點：二項式定理．14．【解析】

試題分析：作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖，當直線過點時，最大，且考點：線性規(guī)劃.15．1【解析】

根據(jù)條件即可得出，由即可得出，進行數(shù)量積的運算即可求出λ．【詳解】∵向量與的夾角為，||＝||＝1，且；∴；∴λ＝1．故答案為：1．【點睛】考查向量數(shù)量積的運算及計算公式，以及向量垂直的充要條件．16．164【解析】

只需令x＝0，易得a5，再由(x＋1)3(x＋2)2＝(x＋1)5＋2(x＋1)4＋(x＋1)3，可得a4＝＋2＋.【詳解】令x＝0，得a5＝(0＋1)3(0＋2)2＝4，而(x＋1)3(x＋2)2＝(x＋1)3[(x＋1)2＋2(x＋1)＋1]＝(x＋1)5＋2(x＋1)4＋(x＋1)3；則a4＝＋2＋＝5＋8＋3＝16.故答案為：16,4.【點睛】本題主要考查了多項式展開中的特定項的求解，可以用賦值法也可以用二項展開的通項公式求解，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．(1)；(2)列聯(lián)表見解析，有超過的把握認為“晉級成功”與性別有關(guān)；(3)分布列見解析，=3【解析】

（1）由頻率和為1，列出方程求的值；（2）由頻率分布直方圖求出晉級成功的頻率，計算晉級成功的人數(shù)，填寫列聯(lián)表，計算觀測值，對照臨界值得出結(jié)論；（3）由頻率分布直方圖知晉級失敗的頻率，將頻率視為概率，知隨機變量服從二項分布，計算對應(yīng)的概率值，寫出分布列，計算數(shù)學期望.【詳解】解：（1）由頻率分布直方圖各小長方形面積總和為1，可知，解得；（2）由頻率分布直方圖知，晉級成功的頻率為，所以晉級成功的人數(shù)為（人），填表如下：晉級成功晉級失敗合計男163450女94150合計2575100假設(shè)“晉級成功”與性別無關(guān)，根據(jù)上表數(shù)據(jù)代入公式可得，所以有超過的把握認為“晉級成功”與性別有關(guān)；（3）由頻率分布直方圖知晉級失敗的頻率為，將頻率視為概率，則從本次考試的所有人員中，隨機抽取1人進行約談，這人晉級失敗的概率為0.75，所以可視為服從二項分布，即，，故，，，，.所以的分布列為：01234數(shù)學期望為.或（）．【點睛】本題考查了頻率分布直方圖和離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望的應(yīng)用問題，屬于中檔題．若離散型隨機變量，則.18．（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由余弦定理解得，即可得到，由面面垂直的性質(zhì)可得平面，即可得到，從而得證；（Ⅱ）在平面中，過點作于點，則平面，如圖所示建立空間直角坐標系，設(shè)，其中，利用空間向量法得到二面角的余弦，即可得到的關(guān)系，從而得解；【詳解】解：（Ⅰ）證明：在中，，解得，則，從而因為平面平面，平面平面所以平面，又因為平面，所以，因為，，平面，平面，所以平面；（Ⅱ）解：在平面中，過點作于點，則平面，如圖所示建立空間直角坐標系，設(shè)，其中，則設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則又平面的一個法向量，則從而，故則直線與平面所成的角為，大小為.【點睛】本題考查線面垂直的判定，面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，利用空間向量法解決立體幾何問題，屬于中檔題.19．（1）（2），.【解析】

（1）根據(jù)數(shù)列的通項與前n項和的關(guān)系式，即求解數(shù)列的通項公式；（2）由（1）可得，利用等比數(shù)列的前n項和公式和裂項法，求得，結(jié)合題意，即可求解.【詳解】（1）由題意，當時，由，解得；當時，可得，即，顯然當時上式也適合，所以數(shù)列的通項公式為.（2）由（1）可得，所以.因為對恒成立，所以，.【點睛】本題主要考查了數(shù)列的通項公式的求解，等差數(shù)列的前n項和公式，以及裂項法求和的應(yīng)用，其中解答中熟記等差、等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式，以及合理利用“裂項法”求和是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題.20．（1），；（2）.【解析】

（1）利用極坐標和直角坐標的互化公式，即得解；（2）設(shè)點的直角坐標為，則點的直角坐標為．將此代入曲線的方程，可得點在以為圓心，為半徑的圓上，所以的最大值為，即得解.【詳解】（1）因為點在曲線上，為正三角形，所以點在曲線上．又因為點在曲線上，所以點的極坐標是，從而，點的極坐標是．（2）由（1）可知，點的直角坐標為，B的直角坐標為設(shè)點的直角坐標為，則點的直角坐標為．將此代入曲線的方程，有即點在以為圓心，為