2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第四章三角函數(shù)解三角形第一節(jié)任意角和蝗制及任意角的三角函數(shù)學(xué)案理含解析

PAGE第一節(jié)隨意角和弧度制及隨意角的三角函數(shù)[最新考綱][考情分析][核心素養(yǎng)]1.了解隨意角的概念.2.了解弧度制概念，能進(jìn)行弧度與角度的互化.3.理解隨意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.隨意角三角函數(shù)的定義及應(yīng)用是2024年高考考查的熱點(diǎn)，題型將是選擇題或填空題，分值為5分.1.數(shù)學(xué)運(yùn)算2.數(shù)學(xué)建?！瑢W(xué)問梳理‖1．隨意角的概念(1)定義：角可以看成平面內(nèi)的一條射線圍著eq\x(1)端點(diǎn)從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形．(2)角的分類按旋轉(zhuǎn)方向正角按eq\x(2)逆時針方向旋轉(zhuǎn)而成的角負(fù)角按eq\x(3)順時針方向旋轉(zhuǎn)而成的角零角射線沒有旋轉(zhuǎn)按終邊位置前提：角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合象限角角的終邊在第幾象限，這個角就是第幾象限角其他角的終邊落在坐標(biāo)軸上(3)終邊相同的角：全部與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S＝eq\x(4){β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制(1)定義：長度等于eq\x(5)半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角．弧度記作rad.(2)公式角α的弧度數(shù)公式|α|＝eq\x(6)eq\f(l,r)角度與弧度的換算1°＝eq\x(7)eq\f(π,180)rad≈0.01745rad，1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57°18′弧長公式l＝eq\x(8)|α|·r扇形面積公式S＝eq\x(9)eq\f(1,2)l·r＝eq\f(1,2)|α|·r23.隨意角的三角函數(shù)三角函數(shù)正弦余弦正切定義設(shè)α是一個隨意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么eq\x(10)y叫做α的正弦，記作sinαeq\x(11)x叫做α的余弦，記作cosαeq\x(12)eq\f(y,x)叫做α的正切，記作tanα各象限符號Ⅰeq\x(13)正eq\x(14)正eq\x(15)正Ⅱeq\x(16)正eq\x(17)負(fù)eq\x(18)負(fù)Ⅲeq\x(19)負(fù)eq\x(20)負(fù)eq\x(21)正Ⅳeq\x(22)負(fù)eq\x(23)正eq\x(24)負(fù)口訣一全正，二正弦，三正切，四余弦三角函數(shù)線有向線段eq\x(25)MP為正弦線，有向線段eq\x(26)OM為余弦線，有向線段eq\x(27)AT為正切線?常用結(jié)論(1)若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則tanα>α>sinα.(2)角度制與弧度制可利用180°＝πrad進(jìn)行互化，在同一個式子中，采納的度量制度必需一樣，不行混用．‖基礎(chǔ)自測‖一、疑誤辨析1．推斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?．(1)銳角是第一象限的角，第一象限的角也都是銳角．()(2)角α的三角函數(shù)值與其終邊上點(diǎn)P的位置無關(guān)．()(3)不相等的角終邊肯定不相同．()(4)終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等．()(5)若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則tanα>sinα.()(6)若α為第一象限角，則sinα＋cosα>1.()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√(6)√二、走進(jìn)教材2．(必修4P12例2改編)已知角α的終邊過點(diǎn)P(8m，3)，且cosα＝－eq\f(4,5)，則m的值為()A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(3),2)答案：A3．(必修4P4例1改編)在－720°～0°范圍內(nèi)，全部與角α＝45°終邊相同的角β構(gòu)成的集合為____________．答案：{－675°，－315°}三、易錯自糾4．下列說法正確的是()A．三角形的內(nèi)角必是第一、二象限角B．第一象限角必是銳角C．不相等的角終邊肯定不相同D．若β＝α＋2kπ(k∈Z)，則α和β終邊相同答案：D5．若一圓弧長等于其所在圓的內(nèi)接正三角形的邊長，則其圓心角α(0<α<π)的弧度數(shù)為()A．eq\f(π,3) B．eq\f(π,2)C．eq\r(3) D．2解析：選C設(shè)圓半徑為r，則其內(nèi)接正三角形的邊長為eq\r(3)r，所以eq\r(3)r＝αr，∴α＝eq\r(3).故選C．6．角α的終邊在直線3x＋4y＝0上，則sinα＋cosα＝________．解析：設(shè)α終邊上任一點(diǎn)為P(－4a，3a)，當(dāng)a>0時，r＝5a，sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5)；當(dāng)a<0時，r＝－5a，sinα＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5).故sinα＋cosα＝eq\f(1,5)或－eq\f(1,5).答案：±eq\f(1,5)eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一\a\vs4\al(象限角與終邊相同的角))|題組突破|1．若角α是其次象限角，則eq\f(α,2)是()A．第一象限角 B．其次象限角C．第一或第三象限角 D．其次或第四象限角解析：選C∵α是其次象限角，∴eq\f(π,2)＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，∴eq\f(π,4)＋kπ<eq\f(α,2)<eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z.當(dāng)k為偶數(shù)時，eq\f(α,2)是第一象限角；當(dāng)k為奇數(shù)時，eq\f(α,2)是第三象限角．∴eq\f(α,2)是第一或第三象限角．故選C．2．集合eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)≤α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))中的角所表示的范圍(陰影部分)是()解析：選C當(dāng)k＝2n(n∈Z)時，2nπ＋eq\f(π,4)≤α≤2nπ＋eq\f(π,2)(n∈Z)，此時α的終邊和eq\f(π,4)≤α≤eq\f(π,2)的終邊一樣；當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時，2nπ＋π＋eq\f(π,4)≤α≤2nπ＋π＋eq\f(π,2)(n∈Z)，此時α的終邊和π＋eq\f(π,4)≤α≤π＋eq\f(π,2)的終邊一樣，結(jié)合選項(xiàng)知選C．3．與－2010°終邊相同的最小正角是________．解析：因?yàn)椋?010°＝(－6)×360°＋150°，所以150°與－2010°終邊相同，又終邊相同的兩個角相差360°的整數(shù)倍，所以在0°～360°中只有150°與－2010°終邊相同，故與－2010°終邊相同的最小正角是150°.答案：150°?名師點(diǎn)津1．推斷象限角的2種方法圖象法在平面直角坐標(biāo)系中，作出已知角并依據(jù)象限角的定義干脆推斷已知角是第幾象限角轉(zhuǎn)化法先將已知角化為k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出與已知角終邊相同的角α，再由角α終邊所在的象限推斷已知角是第幾象限角2.確定kα，eq\f(α,k)(k∈N*)的終邊位置3步驟(1)用終邊相同角的形式表示出角α的范圍；(2)再寫出kα或eq\f(α,k)的范圍；(3)然后依據(jù)k的可能取值探討確定kα或eq\f(α,k)的終邊所在的位置．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二\a\vs4\al(扇形的弧長及面積公式的應(yīng)用))|題組突破|4．已知2弧度的圓心角所對的弦長為2，那么這個圓心角所對的弧長是()A．2 B．sin2C．eq\f(2,sin1) D．2sin1解析：選C如圖，由題意，得∠AOB＝2弧度，過O點(diǎn)作OC⊥AB于C，并延長OC交eq\o(AB,\s\up10(︵))于D，則∠AOD＝∠BOD＝1弧度，且AC＝eq\f(1,2)AB＝1，在Rt△AOC中，AO＝eq\f(AC,sin∠AOC)＝eq\f(1,sin1)，即r＝eq\f(1,sin1)，從而eq\o(AB,\s\up10(︵))的長為l＝α·r＝eq\f(2,sin1).5．一個扇形的弧長與面積的數(shù)值都是6，這個扇形圓心角的弧度數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4解析：選C設(shè)扇形的半徑為r，圓心角為α，依據(jù)扇形面積公式S＝eq\f(1,2)lr，得6＝eq\f(1,2)×6×r，∴r＝2.又扇形弧長公式l＝r·α，∴α＝eq\f(l,r)＝3.故選C．6．已知扇形的面積為2，扇形圓心角的弧度數(shù)是4，則扇形的周長為()A．2 B．4C．6 D．8解析：選C設(shè)扇形的半徑為r(r>0)，弧長為l，則由扇形面積公式可得，2＝eq\f(1,2)|α|r2＝eq\f(1,2)×4×r2，解得r＝1，所以l＝|α|r＝4，所以所求扇形的周長為2r＋l＝6.?名師點(diǎn)津有關(guān)弧長及扇形面積問題的留意點(diǎn)(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要留意角的單位必需是弧度．(2)求扇形面積最大值的問題時，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決．(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)\a\vs4\al(三角函數(shù)的定義——多維探究))三角函數(shù)的定義是考查熱點(diǎn)，常見的命題角度有：(1)利用三角函數(shù)的定義求值；(2)推斷三角函數(shù)值的符號；(3)利用三角函數(shù)線比較大小或解不等式．●命題角度一利用三角函數(shù)的定義求值【例1】(1)(2025屆南昌二中模擬)已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2sin2，－2cos2)，則sinα等于()A．sin2 B．－sin2C．cos2 D．－cos2(2)(2025屆許昌調(diào)研)設(shè)α是其次象限角，P(x，4)為其終邊上的一點(diǎn)，且cosα＝eq\f(1,5)x，則tanα＝________．[解析](1)因?yàn)閞＝eq\r(（2sin2）2＋（－2cos2）2)＝2，由隨意角的三角函數(shù)的定義，得sinα＝eq\f(y,r)＝－cos2.(2)因?yàn)棣潦瞧浯蜗笙藿?，所以cosα＝eq\f(1,5)x<0，即x<0.又cosα＝eq\f(1,5)x＝eq\f(x,\r(x2＋16))，解得x＝－3，所以tanα＝eq\f(4,x)＝－eq\f(4,3).[答案](1)D(2)－eq\f(4,3)?名師點(diǎn)津定義法求三角函數(shù)值的三種狀況(1)已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，可求角α的三角函數(shù)值．先求P到原點(diǎn)的距離，再用三角函數(shù)的定義求解．(2)已知角α的某三角函數(shù)值，可求角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)中的參數(shù)值，可依據(jù)定義中的兩個量列方程求參數(shù)值．(3)已知角α的終邊所在的直線方程或角α的大小，依據(jù)三角函數(shù)的定義可求角α終邊上某特定點(diǎn)的坐標(biāo)．●命題角度二推斷三角函數(shù)值的符號【例2】(1)sin2·cos3·tan4的值()A．小于0 B．大于0C．等于0 D．不存在(2)若sinαtanα<0，且eq\f(cosα,tanα)<0，則角α是()A．第一象限角 B．其次象限角C．第三象限角 D．第四象限角[解析](1)因?yàn)閑q\f(π,2)<2<3<π<4<eq\f(3π,2)，所以sin2>0，cos3<0，tan4>0.所以sin2·cos3·tan4<0，故選A．(2)由sinαtanα<0，可知sinα，tanα異號，則α為其次象限角或第三象限角．由eq\f(cosα,tanα)<0，可知cosα，tanα異號，則α為第三象限角或第四象限角．綜上可知，α為第三象限角.[答案](1)A(2)C?名師點(diǎn)津三角函數(shù)值的符號及角的位置的推斷已知一角的三角函數(shù)值(sinα，cosα，tanα)中隨意兩個的符號，可分別確定出角終邊所在的可能位置，二者的交集即為該角的終邊位置．留意終邊在坐標(biāo)軸上的特別狀況．●命題角度三利用三角函數(shù)線比較大小或解不等式【例3】sin1，cos1，tan1的大小關(guān)系是()A．sin1<cos1<tan1B．tan1<sin1<cos1C．cos1<tan1<sin1D．cos1<sin1<tan1[解析]如圖，單位圓中∠MOP＝1rad>eq\f(π,4)rad，因?yàn)镺M<eq\f(\r(2),2)<MP<AT，所以cos1<sin1<tan1.故選D．[答案]D?名師點(diǎn)津利用單位圓解三角不等式(組)或比較大小的一般步驟(1)用邊界值定出角的終邊位置．(2)依據(jù)不等式(組)定出角的范圍．(3)求交集，找單位圓中公共的部分．(4)寫出角的表達(dá)式．|跟蹤訓(xùn)練|1．已知角α的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，角α終邊上的一點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為eq\r(2)，若α＝eq\f(π,4)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A．(1，eq\r(2)) B．(eq\r(2)，1)C．(eq\r(2)，eq\r(2)) D．(1，1)解析：選D設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則由三角函數(shù)的定義得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,4)＝\f(y,\r(2))，,cos\f(π,4)＝\f(x,\r(2))，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(2)cos\f(π,4)＝1，,y＝\r(2)sin\f(π,4)＝1.))故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，1)．2．滿意cosα≤－eq\f(1,2)的角α的集合為_____________________．解析：作直線x＝－eq\f(1,2)交單位圓于C，D兩點(diǎn)，連接OC，OD，則OC與OD圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角α終邊的范圍，故滿意條件的角α的集合為α2kπ＋eq\f(2,3)π≤α≤2kπ＋eq\f(4,3)π，k∈Z.答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(2,3)π≤α≤2kπ＋\f(4,3)π，k∈Z))))eq\a\vs4\al(考點(diǎn)\a\vs4\al(以三角函數(shù)定義為背景的創(chuàng)新題))【例】如圖所示，質(zhì)點(diǎn)P在半徑為2的圓周上逆時針運(yùn)動，其初始位置為P0(eq\r(2)，－eq\r(2))，角速度為1，那么點(diǎn)P到x軸的距離d關(guān)于時間t的函數(shù)圖象大致為()[解析]因?yàn)镻0(eq\r(2)，－eq\r(2))，所以∠P0O