2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 預(yù)備知識(shí) 4 一元二次函數(shù)與一元二次不等式 1.4.3 一元二次不等式的應(yīng)用教案 北師大版必修第一冊(cè)

2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章預(yù)備知識(shí)4一元二次函數(shù)與一元二次不等式1.4.3一元二次不等式的應(yīng)用教案北師大版必修第一冊(cè)主備人備課成員課程基本信息1.課程名稱：高中數(shù)學(xué)——一元二次函數(shù)與一元二次不等式

2.教學(xué)年級(jí)和班級(jí)：高中一年級(jí)一班

3.授課時(shí)間：2024年9月20日

4.教學(xué)時(shí)數(shù)：45分鐘

二、教學(xué)內(nèi)容

1.課程目標(biāo)：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握一元二次不等式的解法及應(yīng)用，能夠解決實(shí)際問題。

2.課程重難點(diǎn)：一元二次不等式的解法，以及如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。

三、教學(xué)過程

1.導(dǎo)入：以實(shí)際問題引入，如“某商品打8折后的價(jià)格不超過120元，求商品的原價(jià)范圍?！?/p>

2.新課講解：講解一元二次不等式的解法，通過例題演示解題步驟。

3.課堂練習(xí)：學(xué)生獨(dú)立完成練習(xí)題，老師進(jìn)行個(gè)別輔導(dǎo)。

4.應(yīng)用拓展：讓學(xué)生嘗試解決實(shí)際問題，如“某數(shù)的平方與該數(shù)之和不超過100，求該數(shù)的取值范圍?！?/p>

5.總結(jié)：對(duì)本節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)，強(qiáng)調(diào)一元二次不等式的解法及應(yīng)用。

四、課后作業(yè)

1.請(qǐng)學(xué)生完成課后練習(xí)題，鞏固所學(xué)知識(shí)。

2.鼓勵(lì)學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽或研究性學(xué)習(xí)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

五、教學(xué)評(píng)價(jià)

1.課堂表現(xiàn)：觀察學(xué)生在課堂上的參與程度、提問回答等情況，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)。

2.課后作業(yè)：檢查學(xué)生的作業(yè)完成情況，評(píng)估學(xué)生的掌握程度。

3.期中期末考試：通過考試檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)一元二次函數(shù)與一元二次不等式的掌握情況。教學(xué)目標(biāo)分析根據(jù)新教程的要求，本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標(biāo)如下：

1.邏輯推理：通過講解一元二次不等式的解法，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，使其能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)原理和方法解決實(shí)際問題。

2.數(shù)學(xué)建模：讓學(xué)生學(xué)會(huì)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用一元二次不等式解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：通過練習(xí)題和實(shí)際問題的解決，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，使其能夠熟練運(yùn)用一元二次不等式的解法。

4.直觀想象：通過圖形和實(shí)際問題的展示，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力，使其能夠形象地理解一元二次不等式的解法及應(yīng)用。

5.數(shù)學(xué)抽象：通過講解和練習(xí)，使學(xué)生掌握一元二次不等式的抽象概念，能夠抽象出一元二次不等式的問題并解決。

6.數(shù)學(xué)素養(yǎng)：通過課堂講解、練習(xí)和實(shí)際問題的解決，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，使其能夠在生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握的相關(guān)知識(shí)：學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中已經(jīng)掌握了初中階段的一元二次方程和一元二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，對(duì)二次項(xiàng)的概念有一定的了解。同時(shí)，學(xué)生也學(xué)習(xí)了不等式的基本性質(zhì)和解法，這為本節(jié)課的一元二次不等式學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格：學(xué)生的興趣主要集中在解決實(shí)際問題和探究數(shù)學(xué)規(guī)律方面。在學(xué)習(xí)能力方面，大部分學(xué)生具備較強(qiáng)的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，能夠理解和掌握一元二次不等式的解法。在學(xué)習(xí)風(fēng)格上，學(xué)生喜歡通過實(shí)踐和合作來學(xué)習(xí)，對(duì)于圖形和實(shí)際問題的展示較為感興趣。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：在學(xué)習(xí)一元二次不等式時(shí)，學(xué)生可能對(duì)不等式的解法原理和步驟理解不深，難以將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。此外，部分學(xué)生可能在數(shù)學(xué)抽象和直觀想象方面存在一定的困難，對(duì)于一元二次不等式的圖形解法和不等式性質(zhì)的應(yīng)用不夠熟練。因此，在教學(xué)過程中，需要關(guān)注這部分學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，提供適當(dāng)?shù)妮o導(dǎo)和幫助，確保他們能夠跟上課程進(jìn)度，掌握一元二次不等式的解法和應(yīng)用。學(xué)具準(zhǔn)備Xxx課型新授課教法學(xué)法講授法課時(shí)第一課時(shí)師生互動(dòng)設(shè)計(jì)二次備課教學(xué)方法與策略1.教學(xué)方法：

本節(jié)課將采用講授、案例研究和項(xiàng)目導(dǎo)向?qū)W習(xí)等教學(xué)方法。講授法用于向?qū)W生傳授一元二次不等式的解法理論和解題步驟，通過清晰的講解使學(xué)生掌握知識(shí)點(diǎn)。案例研究法用于分析實(shí)際問題，讓學(xué)生將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用于解決具體問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。項(xiàng)目導(dǎo)向?qū)W習(xí)法用于引導(dǎo)學(xué)生合作探究，通過小組討論和互動(dòng)，提高學(xué)生的解決問題和團(tuán)隊(duì)合作能力。

2.教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)：

（1）角色扮演：讓學(xué)生扮演商品銷售員和消費(fèi)者，以實(shí)際問題為背景，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用一元二次不等式解決問題。

（2）實(shí)驗(yàn)：通過繪制一元二次函數(shù)的圖形，讓學(xué)生觀察函數(shù)圖像與不等式的關(guān)系，從而理解一元二次不等式的解法。

（3）游戲：設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)學(xué)游戲，讓學(xué)生在游戲中運(yùn)用一元二次不等式，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性。

（4）小組討論：將學(xué)生分成小組，討論一元二次不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用，促進(jìn)學(xué)生之間的交流與合作。

3.教學(xué)媒體和資源使用：

（1）PPT：制作精美的PPT，展示一元二次不等式的解法步驟和實(shí)際問題，以便學(xué)生更好地理解和掌握知識(shí)點(diǎn)。

（2）視頻：播放一元二次函數(shù)圖像的動(dòng)畫，讓學(xué)生直觀地觀察函數(shù)圖像與不等式的關(guān)系，幫助學(xué)生理解一元二次不等式的解法。

（3）在線工具：利用在線數(shù)學(xué)工具，讓學(xué)生進(jìn)行一元二次不等式的練習(xí)和實(shí)驗(yàn)，提高學(xué)生的動(dòng)手操作能力。

（4）實(shí)際問題素材：收集一些與生活息息相關(guān)的一元二次不等式問題，讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用。

本節(jié)課通過多種教學(xué)方法和教學(xué)活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)，使學(xué)生在解決實(shí)際問題的過程中，能夠靈活運(yùn)用一元二次不等式的解法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。教學(xué)流程1.課前準(zhǔn)備（5分鐘）

（1）讓學(xué)生預(yù)習(xí)本節(jié)課的內(nèi)容，了解一元二次不等式的解法及其應(yīng)用。

（2）教師準(zhǔn)備PPT、視頻、實(shí)際問題素材等教學(xué)資源。

2.課堂導(dǎo)入（5分鐘）

（1）教師通過實(shí)際問題引入本節(jié)課的主題：“某商品打8折后的價(jià)格不超過120元，求商品的原價(jià)范圍?！?/p>

（2）引導(dǎo)學(xué)生思考如何將這個(gè)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

3.知識(shí)講解（15分鐘）

（1）教師講解一元二次不等式的解法，包括解法原理、步驟和注意事項(xiàng)。

（2）舉例說明一元二次不等式的解法如何應(yīng)用于實(shí)際問題，讓學(xué)生理解其應(yīng)用價(jià)值。

（3）引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行課堂練習(xí)，鞏固所學(xué)知識(shí)。

4.案例分析（10分鐘）

（1）教師提出案例：“某地的房價(jià)不超過每平方米1萬元，求購買一套房子最高不超過150平方米的限制?！?/p>

（2）學(xué)生分組討論，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用一元二次不等式解決問題。

（3）各組匯報(bào)討論成果，教師進(jìn)行點(diǎn)評(píng)和指導(dǎo)。

5.應(yīng)用拓展（5分鐘）

（1）教師提出應(yīng)用問題：“某數(shù)的平方與該數(shù)之和不超過100，求該數(shù)的取值范圍?！?/p>

（2）學(xué)生獨(dú)立思考，運(yùn)用一元二次不等式解決問題。

（3）教師選取部分學(xué)生的解答進(jìn)行點(diǎn)評(píng)和講解。

6.課堂小結(jié)（5分鐘）

（1）教師對(duì)本節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)，強(qiáng)調(diào)一元二次不等式的解法及其應(yīng)用。

（2）學(xué)生進(jìn)行課堂反饋，提出疑問和困惑。

7.課后作業(yè)（5分鐘）

（1）教師布置課后作業(yè)，讓學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)。

（2）提醒學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽或研究性學(xué)習(xí)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

本節(jié)課的教學(xué)流程設(shè)計(jì)緊密圍繞一元二次不等式的解法及其應(yīng)用展開，通過實(shí)際問題導(dǎo)入、知識(shí)講解、案例分析、應(yīng)用拓展等環(huán)節(jié)，讓學(xué)生在解決實(shí)際問題的過程中掌握一元二次不等式的解法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)。整個(gè)教學(xué)流程共計(jì)45分鐘，符合教學(xué)實(shí)際需求。知識(shí)點(diǎn)梳理1.一元二次不等式的定義：一元二次不等式是形如ax^2+bx+c>0（或<0）的不等式，其中a、b、c是常數(shù)，a≠0。

2.一元二次不等式的解法：一元二次不等式的解法包括口訣法、圖像法、公式法等。

（1）口訣法：記憶口訣“大于看開口，小于看封口”，根據(jù)開口方向和判別式Δ的符號(hào)判斷不等式的解集。

（2）圖像法：繪制一元二次函數(shù)的圖像，根據(jù)圖像判斷不等式的解集。

（3）公式法：利用一元二次方程的求根公式，求出不等式的解集。

3.一元二次不等式的應(yīng)用：一元二次不等式在實(shí)際生活中有廣泛的應(yīng)用，如利潤問題、面積問題、最值問題等。

（1）利潤問題：例如，某商品打8折后的價(jià)格不超過120元，求商品的原價(jià)范圍。

（2）面積問題：例如，已知一個(gè)矩形的長和寬，求矩形的面積不超過某個(gè)值時(shí)，長和寬的取值范圍。

（3）最值問題：例如，某數(shù)的平方與該數(shù)之和不超過100，求該數(shù)的取值范圍。

4.一元二次不等式的性質(zhì)：一元二次不等式具有開口方向、判別式Δ的符號(hào)等性質(zhì)，這些性質(zhì)對(duì)于我們解決實(shí)際問題非常有幫助。

（1）開口方向：開口向上的不等式，解集在兩根之外；開口向下的不等式，解集在兩根之間。

（2）判別式Δ：Δ>0時(shí)，不等式有兩個(gè)實(shí)數(shù)解；Δ=0時(shí)，不等式有一個(gè)重根；Δ<0時(shí)，不等式無實(shí)數(shù)解。

5.一元二次不等式的解集表示：一元二次不等式的解集可以用區(qū)間表示，包括開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間等。

（1）開區(qū)間：如解集為(2,4)，表示x的取值范圍在2和4之間，不包括2和4。

（2）閉區(qū)間：如解集為[2,4]，表示x的取值范圍在2和4之間，包括2和4。

（3）半開半閉區(qū)間：如解集為(2,4]或[2,4)，表示x的取值范圍在2和4之間，包括2或4。課后作業(yè)1.問題轉(zhuǎn)化：某商品的原價(jià)不超過150元，打8折后的價(jià)格不超過120元，求該商品的原價(jià)范圍。

答案：原價(jià)范圍為100元到150元。

2.應(yīng)用題型：一塊土地的面積不超過200平方米，且該土地的寬度不超過土地長度的的一半，求土地的面積和長度的取值范圍。

答案：土地的面積取值范圍為100平方米到200平方米，長度的取值范圍為20米到40米。

3.最值問題：已知某數(shù)的平方與該數(shù)之和不超過100，求該數(shù)的取值范圍。

答案：該數(shù)的取值范圍為-10到10。

4.綜合題型：某工廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為20元，售價(jià)為30元。若工廠想獲得利潤不超過1000元，求工廠最多生產(chǎn)多少件產(chǎn)品。

答案：工廠最多生產(chǎn)33.33件產(chǎn)品（取整數(shù)為33件）。

5.創(chuàng)新題型：已知一元二次不等式x^2-4x+3>0，求該不等式的解集。

答案：解集為x<1或x>3。課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測(cè)1.課堂小結(jié)

（1）本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了一元二次不等式的定義、解法、性質(zhì)以及應(yīng)用，通過實(shí)際問題引導(dǎo)學(xué)生理解一元二次不等式在生活中的重要性。

（2）我們掌握了口訣法、圖像法和公式法解一元二次不等式，并能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用一元二次不等式解決問題。

（3）一元二次不等式的解集表示方法以及開口方向和判別式Δ的符號(hào)對(duì)于解決實(shí)際問題具有指導(dǎo)意義。

2.當(dāng)堂檢測(cè)

（1）問題轉(zhuǎn)化：某商品的原價(jià)不超過150元，打8折后的價(jià)格不超過120元，求該商品的原價(jià)范圍。

（2）應(yīng)用題型：一塊土地的面積不超過200平方米，且該土地的寬度不超過土地長度的的一半，求土地的面積和長度的取值范圍。

（3）最值問題：已知某數(shù)的平方與該數(shù)之和不超過100，求該數(shù)的取值范圍。

（4）綜合題型：某工廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為20元，售價(jià)為30元。若工廠想獲得利潤不超過1000元，求工廠最多生產(chǎn)多少件產(chǎn)品。

（5）創(chuàng)新題型：已知一元二次不等式x^2-4x+3>0，求該不等式的解集。教學(xué)反思與改進(jìn)在本次教學(xué)中，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生在理解一元二次不等式的解法時(shí)，對(duì)于開口方向和判別式Δ的符號(hào)的理解不夠深入，導(dǎo)致解題時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤。同時(shí)，學(xué)生在將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型時(shí)，對(duì)于如何建立數(shù)學(xué)關(guān)系式也存在一定的困難。此外，課堂討論環(huán)節(jié)，部分學(xué)生的參與度不高，需要進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性。

2.改進(jìn)措施

（1）加強(qiáng)開口方向和判別式Δ的符號(hào)的教學(xué)，通過具體例子和練習(xí)，幫助學(xué)生加深理解和掌握。

（2）在課堂討論環(huán)節(jié)，設(shè)計(jì)更多與學(xué)生生活相關(guān)的問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性，提高學(xué)生的參與度。

（3）增加一些實(shí)際問題，讓學(xué)生在解決問題的過程中，更好地理解一元二次不等式的應(yīng)用。

（4）在教學(xué)中，注重學(xué)生的思維引導(dǎo)，鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)思考和探索，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

3.未來計(jì)劃

在未來的教學(xué)中，我將根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，調(diào)整教學(xué)策略和方法，注重培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和數(shù)學(xué)抽象等能力。同時(shí)，我將注重學(xué)生的個(gè)性化發(fā)展，關(guān)