2024-2025學年高中數(shù)學第三章導數(shù)應用2.1實際問題中導數(shù)的意義課后作業(yè)含解析北師大版選修2-2

PAGE第三章導數(shù)應用[A組基礎鞏固]1．空間中的某質點M按規(guī)律s＝2t2＋3運動，則質點在t＝2時的瞬時速度為()A．4 B．8C．11 D．16解析：s′＝4t，則質點在t＝2時的速度為：4×2＝8.答案：B2．一做直線運動的物體，其位移s與時間t的關系是s＝3t－t2，則物體的初速度是()A．0 B．3C．－2 D．3－2t解析：v(t)＝s′(t)＝3－2t，初速度即為v(0)＝3.答案：B3．若一物體的運動方程為s＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3t2＋2，0≤t<3，,29＋3(t－3)3，t≥3，))則此物體在t＝1和t＝3時的瞬時速度之和為()A．6 B．4C．2 D．10解析：由題意得s′(1)＝6，s′(3)＝0，∴t＝1時的瞬時速度為6，t＝3時的瞬時速度為0，∴t＝1和t＝3時的瞬時速度之和為6.答案：A4．圓的面積S關于半徑r的函數(shù)是S＝πr2，那么在r＝3時面積的改變率是()A．6 B．9C．9π D．6π解析：∵S′＝2πr，∴S′(3)＝2π×3＝6π.答案：D5．某汽車的緊急剎車裝置在遇到特殊狀況時需在2s內完成剎車，其位移(單位：m)關于時間(單位：s)的函數(shù)為s(t)＝－eq\f(1,3)t3－4t2＋20t＋15，則s′(1)的實際意義為()A．汽車剎車后1s內的位移B．汽車剎車后1s內的平均速度C．汽車剎車后1s時的瞬時速度D．汽車剎車后1s時的位移解析：由導數(shù)的實際意義知，位移關于時間的瞬時改變率為該時刻的瞬時速度．答案：C6．正方形的周長y關于邊長x的函數(shù)是y＝4x，則y′＝________，其實際意義是__________．答案：4邊長每增加1個單位長度，周長增加4個單位長度．7．一個電路中，流過的電荷量Q(單位：C)關于時間t(單位：s)的函數(shù)為f(t)＝5t2－2t，則求當t由2變到3時，電荷量Q關于t的平均改變率為________．解析：eq\f(Δy,Δt)＝eq\f(f(3)－f(2),3－2)＝eq\f(5×9－2×3－(5×4－2×2),1)＝23(C/s)．答案：23C/s8．已知子彈在槍筒中運動可以看作勻加速運動，假如它的加速度是5.0×105m/s2，子彈從槍口中射出時所用的時間為1.6×10－3s，則子彈射出槍口時的瞬時速度為解析：s＝eq\f(1,2)at2，v＝s′＝at.由t＝1.6×10－3s，可得v＝5×105×1.6×10－3m/s＝800m/s.故子彈射出槍口的瞬時速度為800m/s.答案：800m/s9．已知車輪旋轉的角度與時間的平方成正比，假如車輪啟動后轉動第一圈須要0.8s，求轉動起先后第3.2s時的瞬時角速度．解析：設時間為t時，車輪旋轉的角度為f(t)，f(t)＝kt2，由題意知：2π＝k·0.82，則k＝eq\f(25π,8).所以f(t)＝eq\f(25,8)πt2，則f′(t)＝eq\f(25,4)πt，f′(3.2)＝20πrad/s，即轉動起先后第3.2s時的瞬時角速度為20πrad/s.10．當銷售量為x，總利潤為L＝L(x)時，稱L′(x)為銷售量為x時的邊際利潤，它近似等于銷售量為x時，再多銷售一個單位產(chǎn)品所增加或削減的利潤．某糕點加工廠生產(chǎn)A類糕點的總成本函數(shù)和總收入函數(shù)分別是C(x)＝100＋2x＋0.02x2，R(x)＝7x＋0.01x2.求邊際利潤函數(shù)和當日產(chǎn)量分別是200kg,250kg和300kg時的邊際利潤．解析：(1)總利潤函數(shù)為L(x)＝R(x)－C(x)＝5x－100－0.01x2，邊際利潤函數(shù)為L′(x)＝5－0.02x.(2)當日產(chǎn)量分別是200kg、250kg和300kg時的邊際利潤分別是L′(200)＝1(元)，L′(250)＝0(元)，L′(300)＝－1(元)．[B組實力提升]1．水以20m3/min的速度流入一圓錐形容器，設容器深30m，上底直徑12m，當水深10m時，水面上升的速度為(單位：m/min)(A.eq\f(π,5) B.eq\f(5,π)C.eq\f(π,10) D.eq\f(10,π)答案：B2．如圖，設有定圓C和定點O，當l從l0起先在平面上繞O勻速旋轉(旋轉角度不超過90°)時，它掃過的圓內陰影部分的面積S是時間t的函數(shù)，則它的圖像大致是()解析：由于l勻速旋轉，S起先和最終時段緩慢增加，中間時段S增速快，故只有D項正確．答案：D3．一個質量為m＝3kg的物體做直線運動，設運動距離s(單位：cm)與時間t(單位：s)的關系可以用函數(shù)s(t)＝1＋t2表示，并且物體的動能U＝eq\f(1,2)mv2，則物體起先運動后第5s時的動能為________．解析：∵s′(t)＝2t，∴s′(5)＝10，即5s時的瞬時速度為10cm/s，即0.1m/s.此時，U＝eq\f(1,2)×3×0.12＝0.015J.答案：0.015J4．一球沿一斜面自由滾下，其運動方程是s＝t2(s的單位為m，t的單位為s)，則小球在t＝5時的瞬時速度為________m/s.解析：v＝s′＝2t，在t＝5時小球的瞬時速度為2×5＝10m/s.答案：105．一企業(yè)的每日成本C(千元)是日產(chǎn)量q(臺)的函數(shù)C(q)＝400＋2q＋5eq\r(q).求：(1)日產(chǎn)量為400臺時的成本；(2)日產(chǎn)量為400臺時的平均成本；(3)日產(chǎn)量由400臺增加到484臺時的平均成本；(4)日產(chǎn)量為400臺時的邊際成本．解析：(1)日產(chǎn)量為400臺時的成本：C(400)＝400＋2×400＋5eq\r(400)＝1300(千元)．(2)日產(chǎn)量為400臺時的平均成本為eq\f(C(400),400)＝eq\f(1300,400)＝3.25(千元/臺)．(3)日產(chǎn)量由400臺增加到484臺時的平均成本：eq\f(C(484)－C(400),484－400)＝eq\f(1478－1300,484－400)≈2.119(千元/臺)．(4)在區(qū)間[400,400＋Δq]內，產(chǎn)品的平均成本為\s\up6(－(－)eq\o(C,\s\up6(－))＝eq\f(400＋2×(400＋Δq)＋5×\r(400＋Δq)－1300,Δq)＝eq\f(2Δq＋5\r(400＋Δq)－100,Δq)＝2＋5eq\f(\r(400＋Δq)－20,Δq)＝2＋5eq\f((\r(400＋Δq)－20)(\r(400＋Δq)＋20),Δq(\r(400＋Δq)＋20))＝2＋eq\f(5,\r(400＋Δq)＋20).當Δq→0時，\s\up6(－(－)eq\o(C,\s\up6(－))→2.125，所以當日產(chǎn)量為400臺時的邊際成本為2.125千元．6．水經(jīng)過虹吸管從容器甲流向容器乙(如圖)，t秒鐘后容器甲中水的體積V(t)＝5e－0.1t(單位：cm3)，計算