2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.3.1數(shù)乘向量課時素養(yǎng)評價含解析北師大版必修4

PAGE課時素養(yǎng)評價十七數(shù)乘向量(20分鐘35分)1.若3x-2(x-a)=0,則向量x等于 ()A.2a B.-2a C.QUOTEa D.-QUOTEa【解析】選B.由題意知,3x-2x+2a=0,故x=-22.已知向量a,b,設(shè)=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,那么下列各組中三點肯定共線的是 ()A.A,B,C B.A,C,DC.A,B,D D.B,C,D【解析】選C.由向量的加法法則知=+=-5a+6b+7a-2b=2(a+2b)=2,又兩線段均過點B,故A,B,D三點肯定共線3.在△ABC中,假如AD,BE分別為BC,AC上的中線,且=a,=b,那么為 ()A.QUOTEa+QUOTEb B.QUOTEa-QUOTEbC.QUOTEa-QUOTEb D.-QUOTEa+QUOTEb【解析】選A.由題意,得=+=b+QUOTE=b+QUOTE(+)=b+QUOTEa+QUOTE,即=b+QUOTEa+QUOTE.解得=QUOTEa+QUOTEb.4.QUOTE(2a-3b)-3(a+b)=.

【解析】QUOTE-3QUOTE=QUOTEa-b-3a-3b=-QUOTEa-4b.答案:-QUOTEa-4b5.給出下列命題:①兩個具有公共終點的向量,肯定是共線向量.②兩個向量不能比較大小,但它們的模能比較大小.③λa=0(λ為實數(shù)),則λ必為零.④λ,μ為實數(shù),若λa=μb,則a與b共線.其中正確的命題序號為.

【解析】因為兩個向量終點相同,起點若不在一條直線上,則也不共線,命題錯誤;由于兩個向量不能比較大小,但它們的模能比較大小,因此命題是正確的;若λa=0(λ為實數(shù)),則a也可以為零向量,因此命題也是錯誤的;若λ,μ為0,盡管有λa=μb,則a與b也不肯定共線,即命題也是錯誤的,應(yīng)選答案②.答案:②6.已知O,A,M,B為平面上四點,且=λ+(1-λ)(λ∈R,λ≠1,λ≠0).(1)求證:A,B,M三點共線.(2)若點B在線段AM上,求實數(shù)λ的范圍.【解析】(1)因為=λ+(1-λ),所以=λ+-λ,-=λ-λ,即=λ,又λ∈R,λ≠1,λ≠0且,有公共點A,所以A,B,M三點共線.(2)由(1)知=λ,若點B在線段AM上,則,同向且||>||(如圖所示).所以λ>1.(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.(2024·汕頭高一檢測)已知平行四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點O,設(shè)=a,=b,則QUOTE= ()A. B. C. D.【解析】選B.a-b=-=-=,所以QUOTE=QUOTE=.2.(2024·亳州高一檢測)已知△ABC中,向量=λ(+)(λ∈R),則點P的軌跡通過△ABC的 ()A.垂心 B.內(nèi)心 C.外心 D.重心【解析】選D.設(shè)D為BC中點,則+=2,所以=2λ,即P點在中線AD上,可知P點軌跡必過△ABC的重心.3.已知△ABC三個頂點A,B,C及平面內(nèi)一點P,若++=,則 ()A.P在△ABC內(nèi)部B.P在△ABC外部C.P在AB邊所在的直線上D.P在線段AC上【解析】選D.由已知,得+=-=,所以=2,故P點在線段AC上.4.已知△ABC和點M滿意++=0.若存在實數(shù)m使得+=m成立,則m= ()A.2 B.3 C.4 【解析】選B.由++=0可知,M為△ABC的重心,故=QUOTE×QUOTE(+)=QUOTE(+),所以+=3,即m=3.5.在△OAB中,P為線段AB上的一點,4=3+,且=λ,則 ()A.λ=2 B.λ=3 C.λ=4 【解析】選C.因為4=3+,所以3-3=-,所以3=,3==+=-,所以=4.二、填空題(每小題5分,共15分)6.如圖,在△ABC中,=QUOTE,=QUOTE,若=λ+μ,則λ+μ的值為.

【解析】由題意得:=+=+QUOTE=+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE+QUOTE,又=λ+μ,可知:λ+μ=QUOTE+QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE7.已知P是△ABC內(nèi)一點,=2(+),記△PBC的面積為S1,△ABC的面積為S2,則QUOTE=.

【解析】如圖,設(shè)BC中點為M,則=2(+)=4,所以P到BC的距離為點A到BC距離的QUOTE,故QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE8.(2024·江門高一檢測)聞名數(shù)學(xué)家歐拉提出了如下定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同始終線上,且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半,則此直線被稱為三角形的歐拉線,該定理被稱為歐拉線定理.設(shè)點O,H分別是△ABC的外心,垂心,且M為BC中點,若+=m+n,則m+n=.

【解析】(特值法)如圖所示的Rt△ABC,其中角B為直角,則垂心H與B重合.因為O為△ABC的外心,所以O(shè)A=OC,即O為斜邊AC的中點,又因為M為BC中點,所以=2,因為M為BC中點,所以+=2=2(+)=2(2+)=4+2=2-4.又因為+=m+n,所以m=2,n=-4,故m+n=-2.答案:-2三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知點A,B,C在同始終線上,并且=a+b,=(m-2)a+2b,=(n+1)a+3b(其中a,b是兩個隨意非零向量),試求m,n之間的關(guān)系.【解析】=-=(m-3)a+b,=-=na+2b.由A,B,C三點在同始終線上可設(shè)=k,則QUOTE所以(m-3)=QUOTEn,即2m-n-6=0為所求.10.點E,F分別為四邊形ABCD的對角線AC,BD的中點,設(shè)=a,=b,試用a,b表示.【解析】如圖:取AB的中點P,連接EP,FP,在△ABC中,因為EP是△ABC的中位線,所以=QUOTE=QUOTEa,在△ABD中,因為FP是△ABD的中位線,所以=QUOTE=-QUOTEb,在△EFP中,=+=-QUOTEa-QUOTEb=-QUOTE(a+b).1.(2024·鄭州高一檢測)設(shè)點O在△ABC的內(nèi)部,且2+3+4=0,若△ABC的面積是27,則△AOC的面積為 ()A.9 B.8 C.QUOTE D.7【解析】選A.延長OC到D,使得OD=2OC,因為2+3+4=0,所以+QUOTE+2=0,以O(shè)A,OD為邊作平行四邊形OAED,對角線交點為F,OE交AC于H,因為=2,所以+QUOTE+=0,所以=-QUOTE,因為OC∶AE=1∶2,所以O(shè)H∶HE=1∶2,所以3=-QUOTE,所以=-QUOTE,所以=QUOTE,所以△AOC的面積是△ABC面積的QUOTE,所以△AOC的面積為9.2.如圖所示,點O是梯形ABCD對角線的交點,||=4,||=6,||=2.設(shè)與同向的單位向量為a0,與同向的單位向量為b0.(1)用a0和b0表示,和.(2)若點P在梯形ABCD所在的平面上運動,且||=2,求||的最大值和最小值.【解析】(1)由題意知=6a0,=2b0,所以=-=6a0-2b0;因為∥,所以=4