工程數(shù)學 課件 第3章 n 維向量與線性方程組

第3章

n

維向量與線性方程組第1節(jié)

向量組及其線性組合第2節(jié)

向量組的線性相關性第3節(jié)

向量組的秩第4節(jié)

齊次線性方程組的解第5節(jié)

非齊次線性方程組的解

第1節(jié)向量組及其線性組合

一、n維向量的概念

定義3.1由n個數(shù)a1,a2,…,an組成的有序數(shù)組(a1,a2,…,an)稱為一個n維向量,數(shù)ai稱為向量的第i個分量(i=1,2,…,n).

注在解析幾何中,我們把“既有大小又有方向的量”稱為向量,并把可隨意平行移動的有向線段作為向量的幾何形象.引入坐標系后,又定義了向量的坐標表示式(三個有次序

實數(shù)),此即上面定義的3維向量.因此,當n≤3時,n維向量可以把有向線段作為其幾何形象.當n>3時,n維向量沒有直觀的幾何形象.

向量可以寫成一行:(a1,a2,…,an);也可以寫成一列:

向量寫成一行時稱為行向量,寫成一列時

稱為列向量.向量常用字母α,β,γ等表示.

若干個同維數(shù)的列向量(或行向量)所組成的集合稱為向量組.例如,一個m×n矩陣

每一列

組成的向量組a1,a2,…,an稱為矩陣A的列向量組,而由矩陣A的每一行βi=(ai1,ai2,…,ain)(i=1,2,…,m),組成的向量組β1,β2,…,βm稱為矩陣A的行向量組.

根據(jù)上述討論,矩陣A記為A=(a1,a2,…,an)或

這樣,矩陣A就與其列向量組或行向量組之間建立了一一對應關系.

矩陣的列向量組和行向量組都是只含有限個向量的向量組,而線性方程組Am×nA=0的全體解當r(A)<n時是一個含有無限多個n維列向量的向量組.

我們規(guī)定:

(1)分量全為零的向量,稱為零向量,記作0,即0=(0,0,…,0).

(2)向量α=(a1,a2,…,an

)各分量的相反數(shù)組成的向量稱為α的負向量,記作-α,即-α=(-a1,-a2,…,-an).

(3)如果α=(a1,a2,…,an

),β=(b1,b2,…,bn),當ai=bi(i=1,2,…,n)時,則稱這兩個向量相等,記作α=β.

定義3.2設兩個n維向量α=(a1,a2,…,an),β=(b1,b2,…,bn),定義向量α,β的和:α+β=(a1+b1,a2+b2,…,an+bn);α,β的差:α-β=(a1-b1,a2-b2,…,an-bn).若存在常數(shù)k,則常數(shù)與向量α的數(shù)乘kα=(ka1,ka2,…,kan).

向量的加法及數(shù)與向量的乘法統(tǒng)稱為向量的線性運算.

注向量的線性運算與行(列)矩陣的運算規(guī)律相同,從而也滿足下列運算規(guī)律:

(1)α+β=β+α;

(2)(α+β)+γ=α+(β+γ);

(3)α+0=α;

(4)α+(-α)=0;

(5)1α=α;

(6)k(lα)=(kl)α;

(7)k(α+β)=kα+kβ;

(8)(k+l)α=kα+lα.

二、向量組的線性組合

定義3.3設有n維向量組α1,α2,…,αm,對于向量β,如果存在一組數(shù)k1,k2,…,km,使得β=k1α1+k2α2+…+kmαm,則稱β是α1,α2,…,αm的線性組合,也稱β可由α1,α2,…,αm線性表示,k1,k2,…,km稱為這個線性組合的系數(shù).

定理3.1向量β可由向量組A:α1,α2,…,αm線性表示的充分必要條件是:矩陣A=(α1,α2,…,αm)與矩陣B=(α1,α2,…,αm,β)的秩相等.

三、向量組間的線性表示

定義3.4設有兩向量組

若向量組B中的每一個向量都能由向量組A線性表示,則稱向量組B能由向量組A線性表示.若向量組A與向量組B能相互線性表示,則稱這兩個向量組等價.

引理3.1若Cs×n

=As×tBt×n,則矩陣C的列向量組能由矩陣A的列向量組線性表示,B為這一表示的系數(shù)矩陣.而矩陣C的行向量組能由B的行向量組線性表示,A為這一表示的系數(shù)矩陣.

定理3.2若向量組A可由向量組B線性表示,向量組B可由向量組C線性表示,則向量組A可由向量組C線性表示.

第2節(jié)向量組的線性相關性一、線性相關性概念定義3.5對n維向量組α1,α2,…,αm,若有數(shù)組k1,k2,…,km不全為0,使得k1α1+k2α2…+kmαm=0,則稱向量組α1,α2,…,αm線性相關,否則稱為線性無關.

注(1)對于單個向量α:若α=0,則α線性相關;若α≠0,則α線性無關.

(2)含有一個向量的向量組線性相關的充要條件是此向量為零向量;含有一個向量的向量組線性無關的充要條件是此向量為非零向量.

(3)兩個向量構成的向量組線性相關的充要條件是這兩個向量對應分量成比例.

二、線性相關性的判定

定理3.3向量組α1,α2,…,αm(m≥2)線性相關的充要條件是向量組中至少有一個向量可由其余m-1個向量線性表示.

定理3.4若向量組α1,α2,…,αm線性無關,α1,α2,…,αm,β線性相關,則β可由α1,α2,…,αm線性表示,且表示式唯一.

第3節(jié)向量組的秩

定義3.6設向量組為A,若:(1)在A中有r個向量α1,α2,…,αr線性無關;(2)在A中任意r+1個向量線性相關(如果有r+1個向量的話),則稱α1,α2,…,αr為向量組A的一個極大線性無關組,稱r為向量組A的秩,記作:秩(A)=r.注(1)向量組中的向量都是零向量時,其秩為0

(2)秩(A)=r時,A中任意r個線性無關的向量都是A的一個極大無關組.

α1,α2線性無關?α1,α2是一個極大無關組.

α1,α3線性無關?α1,α3是一個極大無關組.

注一個向量組的極大無關組一般不是唯一的.

定理3.7設r(Am×n)=r≥1,則:

(1)A的行向量組(列向量組)的秩為r;

(2)A中某個行列式Dr≠0?A中Dr所在的r個行向量(列向量)是A的行向量組(列向量組)的極大無關組.

定理3.8已知Am×n,Bm×n,

第4節(jié)齊次線性方程組的解

一、齊次線性方程組解的判定一般地,我們把含有m個方程、n個未知量的齊次線性方程組

簡寫成矩陣形式AX=0,其中

對于方程個數(shù)等于未知量個數(shù)的線性方程組

二、齊次線性方程組的一般解

例3.11求例3.10中齊次線性方程組的一般解.

三、齊次線性方程組的通解的求法

齊次線性方程組的解有如下性質(zhì)

定理3.10設A為m×n矩陣,若r(A)=r<n,則方程組AX=0有基礎解系,且基礎解系含有n-r個解向量;若設ξ1,ξ2,…,ξn-r是方程組AX=0的一個基礎解系,則方程組AX=0的通解為

得同解方程組:

此方程組的一般解為

可得r(A)=2<n,則方程組有無窮多解,其同解方程組為

第5節(jié)非齊次線性方程組的解

一、非齊次線性方程組例3.15如圖3.1的網(wǎng)絡是某市的一些單行道路在一個下午(以每小時車輛數(shù)目計算)的交通流量,計算該網(wǎng)絡的車流量.

圖3.1

解如圖3.1所示,標記道路交叉口和未知的分支流量,在每個交叉口,令其車輛駛入數(shù)目等于車輛駛出數(shù)目.

(1)車輛駛入駛出數(shù)目,列表如下:

(2)車輛駛入數(shù)目等于車輛駛出數(shù)目,列表如下:

(3)車輛總駛入量等于車輛總駛出量,列表如下:

(4)得到下面方程組:

二、非齊次線性方程組解的判定

方程組的矩陣形式是AX=B,與之對應的齊次線性方程組為AX=0.而且有如下定理:

定理3.11

AX=B有解?r(A,B)=r(A)

三、非齊次線性方程組解的結構

性質(zhì)3.3設η1,η2為AX=B的解,則η1-η2為AX=0的解.

證明

A(η1-η2)=Aη1-Aη2=B-B=0.

性質(zhì)3.4設η1為AX=B的解,η2為AX=0的解,則η1+η2為AX=B的解.

證明A(η1+η2)=Aη1+Aη2=B+0=B.

由以上的兩條性質(zhì)可以推出非齊次線性方程組解的結構.

四、非齊次線性方程組通解的求法

定理3.12設非齊次線性方程組AX=B有解,則其通解為X=η+ξ,其中,η為AX=B的一個特解,ξ是方程組AX=B的導出組AX=0的通解.

若設矩陣Am×n的秩為r,齊次線性方程組AX=0的一個基礎解系為ξ1,ξ2,…,ξn-r,則AX=B的通解為

例3.17解例3.15中的非齊次線性方程組

綜上有AX=B的通解是

例3.18解線性方程組

于是得到導出組的一個基礎解系為

所以,原方程組的通解為