基于單元整體教學設計　促進學生幾何思維培養(yǎng)

摘要：初中數(shù)學教材中幾何部分的內(nèi)容是學生學習的重點之一。在幾何命題的猜想與證明、解題思路的培養(yǎng)與訓練中，教師都應重視發(fā)展學生的幾何思維。在幾何教學中，教師要以“教—學—評”一致性為視角，從單元整體教學設計出發(fā)，探究教學過程的關(guān)注點及學生幾何思維的培養(yǎng)策略。關(guān)鍵詞：“教—學—評”一致性；單元整體教學；幾何思維初中數(shù)學教材中幾何部分的內(nèi)容是學生學習的重點之一。當前，很多教師把幾何教學的重點單一地放在培養(yǎng)學生的解題能力上，過于注重幾何定義、性質(zhì)的應用，忽略了其形成過程；過于注重演繹推理的培養(yǎng)，忽略了合情推理能力的培養(yǎng)；過于注重以教材課時為單位的幾何教學設計，忽略了以整體單元來架構(gòu)學生思維的教學設計。《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下通稱“新課標”）在主要變化中提出要注重實現(xiàn)“教—學—評”一致性，不但明確了“為什么教”“教什么”“教到什么程度”，而且強化了“怎么教”的具體指導，要求做到好用、管用；在“教學建議”中提出要改變過于注重以課時為單位的教學設計，推進單元整體教學設計，體現(xiàn)數(shù)學知識之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系以及學習內(nèi)容與核心素養(yǎng)之間的關(guān)聯(lián)。為此，教師要基于“教—學—評”一致性理念，尋找課堂上促進學生幾何思維培養(yǎng)的著力點，思考提出單元整體教學設計的理由，探索單元整體教學設計下的教學內(nèi)容分析與目標確定之法，夯實單元整體教學設計方案下的具體幾何教學環(huán)節(jié)。一、提出單元整體教學設計的理由在幾何部分需要進行單元整體教學設計，其本質(zhì)上有兩個原因：一是基于數(shù)學學科的本質(zhì)特征，即數(shù)學是具有抽象結(jié)構(gòu)和邏輯結(jié)構(gòu)的，其中抽象結(jié)構(gòu)是指數(shù)學概念和方法的表達逐漸抽象，使得數(shù)學具有一般性；邏輯結(jié)構(gòu)是指數(shù)學表述的前后關(guān)系是有邏輯的，使得數(shù)學具有嚴謹性。學生對數(shù)學知識的認知，應當從簡單到復雜，從表象到本質(zhì)。初中階段是學生學習數(shù)學概念的起始階段，是學生學會論證的開端，是學生使用數(shù)形結(jié)合的萌芽。二是基于數(shù)學學科的教育特征，主要體現(xiàn)在新課標中“課程性質(zhì)”所描述的內(nèi)容中：“數(shù)學不僅是運算和推理的工具，還是表達和交流的語言。數(shù)學承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分?！敝砸龅健敖獭獙W—評”一致性，是因為要踐行新課改的關(guān)鍵理念之一，即教師不僅應關(guān)注結(jié)果性目標，更應關(guān)注過程性目標，應引導學生在實驗、操作過程中獲得經(jīng)驗。從“雙基”到“四基”、從“四基”到“三會”，教師應該統(tǒng)一的思想是“數(shù)學的眼光比抽象更上位，數(shù)學的思維比推理更上位，數(shù)學的語言比模型更上位”。二、單元整體教學設計下的教學內(nèi)容分析與目標確定之法（一）構(gòu)建教學內(nèi)容之間的框架體系教學內(nèi)容分析是理解教學內(nèi)容、實施課堂教學的必要手段，是教師專業(yè)化水平的體現(xiàn)。一節(jié)課的教學內(nèi)容不應該是孤立、碎片化的，而應該是整個教學體系的一部分，教師的任務是重新構(gòu)建這個教學內(nèi)容的框架體系。以人教版數(shù)學教材七年級下冊“平行線的性質(zhì)”為例，平行線的性質(zhì)是研究角的相等或互補關(guān)系的重要理論依據(jù)，是研究幾何圖形位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的重要知識基礎(chǔ)。學生利用平行線的性質(zhì)可以有效地建立起角之間的關(guān)系，這不僅為三角形內(nèi)角和定理的證明提供“轉(zhuǎn)移角，湊平角”的轉(zhuǎn)化方法，也為后續(xù)的三角形、四邊形等幾何核心圖形以及平移等知識的學習提供了建立角之間數(shù)量關(guān)系的理論支撐。圖形的性質(zhì)與判定是幾何研究的核心內(nèi)容，其中圖形的性質(zhì)研究的是圖形組成元素之間的相互關(guān)系。平行線的性質(zhì)的學習是學生系統(tǒng)研究圖形的性質(zhì)的過程，將為其后續(xù)學習圖形的性質(zhì)提供基本研究思路。教材從平行線的判定引入，引導學生對平行線的性質(zhì)展開研究，一方面，滲透圖形的判定與性質(zhì)之間的互逆關(guān)系，凸顯幾何知識研究的連續(xù)性；另一方面，使學生經(jīng)歷利用判定（性質(zhì)）研究性質(zhì)（判定）的過程，積累幾何圖形研究的基本活動經(jīng)驗，體會研究幾何圖形的一般方法。本章先研究了兩條直線相交的情形，探究了兩條直線相交所成角的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，給出了鄰補角和對頂角的概念，得到了相交線“鄰補角互補”“對頂角相等”的性質(zhì)。接下來，從一般到特殊地研究了相交線的特例——垂直，再將條件和結(jié)論反過來，得到垂線的性質(zhì)。本章的重點是垂線的概念與平行線的判定和性質(zhì)，學生研學的關(guān)鍵是理解與相交線、平行線有關(guān)的角的關(guān)系。從幾何圖形研學的視角分析，本章前面從一般到特殊地研究相交線，為后面從一般到特殊地研究兩條直線被第三條直線所截的情況提供了必要的研學經(jīng)驗。學生研究兩條平行線被第三條直線所截時，得出的同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角的關(guān)系，也就是平行線的性質(zhì)。從一般到特殊地研學幾何圖形，同樣也能為學生后續(xù)學習積累必要的基本活動經(jīng)驗，讓學生體會研究幾何圖形的一般方法。對于平行線性質(zhì)的研究，教材充分尊重學生的思維發(fā)展水平，從整體視角優(yōu)化內(nèi)容設計，引導學生采用類比平行線的判定思路展開研學。例如，教材中同位角的性質(zhì)1是通過探究活動引導學生歸納推理得出的，其證明設置在九年級上冊第二十四章“圓”中作為選學內(nèi)容，并要求用反證法進行證明；內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角的性質(zhì)2及性質(zhì)3是引導學生通過演繹推理得出的，這里的演繹推理過程呈現(xiàn)出傳遞性特點。本章內(nèi)容中需要重點培養(yǎng)的數(shù)學核心素養(yǎng)是推理能力，教材通過上述設計使學生經(jīng)歷類比研學的過程，有效地培養(yǎng)了其推理能力，發(fā)展了其數(shù)學核心素養(yǎng)。基于以上分析，教師可確定本節(jié)課的教學重點是：探索證明平行線的性質(zhì)的過程。（二）厘清課程目標、單元目標、課時目標之間的關(guān)系從《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》到新課標，從“知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價值觀”到“四基”“四能”，再到“三會”，課程標準中課程目標的設置逐步趨向于高階化。課程目標是讓學生通過初中階段三年的數(shù)學學習而到達的那個“目的地”，它指出了學生達成目標時的數(shù)學水平、思維能力、行為習慣等特征，但是并沒有具體指明特定的學習方式和方法。事實上，課程目標具體化到特定教學內(nèi)容時，就是教學目標。新課標中的“內(nèi)容要求”是單元教學目標，課堂教學目標是在“三維目標”指導下的單元教學目標具體化。課堂教學目標應該是“具體內(nèi)容為載體，在過程中落實數(shù)學思想和方法，培養(yǎng)思維能力和情感態(tài)度價值觀”，更明確地說就是“沒有具體內(nèi)容為支撐的課堂教學目標是無效目標”。（三）根據(jù)結(jié)果性行為動詞和過程性行為動詞設計教學新課標中的行為動詞有兩類，一類是描述結(jié)果目標的行為動詞，包括“了解”“理解”“掌握”“運用”等；另一類是描述過程目標的行為動詞，包括“經(jīng)歷”“體驗”“感悟”“探索”等。這些目標是形成核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)和條件，最終指向?qū)W生數(shù)學核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展。教師深刻理解這些行為動詞，不但可以對教材設計意圖有新的認識，而且可以根據(jù)這些行為動詞來設計課堂教學。例如，新課標關(guān)于“三角形”的教學目標要求如下：“理解三角形及其內(nèi)角、外角、中線、高線、角平分線等概念，了解三角形的穩(wěn)定性?！逼渲?，“理解”為結(jié)果性行為動詞，等價于“認識、會”，即“描述對象的由來、內(nèi)涵和特征，闡述此對象與相關(guān)對象之間的區(qū)別和聯(lián)系”。幾何圖形是從實際生活當中抽象出來的，這是“對象的由來”。研究一個幾何圖形，就要研究它的組成元素和相關(guān)元素，三角形是由邊和角組成的，邊和角就是三角形的組成元素。研究它們的數(shù)量和位置，這是“對象的內(nèi)涵和特征”；“三線”是三角形的相關(guān)元素，內(nèi)角與外角之間有關(guān)聯(lián)，“三線”之間有關(guān)聯(lián)，同時，邊和內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系影響了“三線”的位置關(guān)系，這是“闡述此對象與相關(guān)對象之間的區(qū)別和聯(lián)系”。新課標中“了解”為結(jié)果性行為動詞，等同于“知道、初步認識”，即“從具體實例中知道或者舉例說明對象的有關(guān)特征；根據(jù)對象的特征，從具體情境中辨認或舉例說明對象?！睘榇?，教材中通過“工程建筑經(jīng)常采用三角形結(jié)構(gòu)，如屋頂鋼架，窗框斜定木條……”等實際生活中問題的舉例，來落實“了解三角形穩(wěn)定性”的教學要求?！疤剿鳌睘檫^程性行為動詞，指“在特定的問題情境下，獨立或者合作參與數(shù)學活動，理解或提出數(shù)學問題，尋求解決問題的思路，獲得確定結(jié)論”。新課標在“內(nèi)容要求”中提到“探索并證明三角形內(nèi)角和定理”，就是要使學生經(jīng)歷三角形內(nèi)角和的觀察—度量—操作—猜想—驗證全過程，這也是命題教學中強化探究過程的原因。事實上，教材中對很多性質(zhì)的學習均提出“探索”級別的要求，目的是引導課堂教學關(guān)注知識的發(fā)生、發(fā)展過程，培養(yǎng)學生經(jīng)歷類比推理、歸納推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，利用演繹推理驗證結(jié)論，從而提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。三、單元整體教學設計下的幾何教學環(huán)節(jié)（一）幾何命題新授課的基本教學環(huán)節(jié)幾何命題新授課一般包括以下五個基本教學環(huán)節(jié)：發(fā)現(xiàn)命題、證明命題、認識命題、應用命題、拓展命題。推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理又包括類比推理和歸納推理，合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論。在解決問題的過程中，雖然兩種推理功能不同，卻是相輔相成的。發(fā)現(xiàn)命題是幾何命題新授課中培養(yǎng)學生合情推理的基本教學環(huán)節(jié)。我們常說的發(fā)現(xiàn)，是指學生主動形成發(fā)現(xiàn)問題的意識和傾向，它應該包括觀察、度量、猜想等常見手段。證明命題是幾何命題新授課中培養(yǎng)學生演繹推理能力的基本教學環(huán)節(jié)。認識命題既是對發(fā)現(xiàn)、證明過的命題進行再思考的過程，更是為應用和拓展命題做鋪墊。教師既要從數(shù)學語言，即文字、圖形、符號三方面認識命題，更要深刻分析命題的本質(zhì)以及此命題對學生以后學習的價值。應用命題是命題價值的體現(xiàn)，更是培養(yǎng)學生演繹推理能力的常見方式。應用命題的教學目標是使學生應用命題去解決問題，幾何命題新授課中的例題設計是應用命題的最好體現(xiàn)。拓展命題是在應用命題基礎(chǔ)上推廣建立的新命題體系。課堂教學中，拓展命題環(huán)節(jié)的關(guān)鍵是教師要選擇與組織能體現(xiàn)命題學習價值的教學內(nèi)容，其中包括題目的選擇和題目的變式，并適時讓學生進行習題的一題多解。（二）利用數(shù)學史進行命題的教學環(huán)節(jié)數(shù)學史展示了數(shù)學知識、數(shù)學方法、數(shù)學邏輯的來龍去脈，尤其對學生公理化思想的滲透有很大作用，能使學生深刻理解幾何學局部演繹系統(tǒng)的設置原理，使學生明白“為什么要證明”“使用哪些定義、性質(zhì)等來證明新命題”。例如，古希臘數(shù)學家歐幾里得所著的《幾何原本》中對于“等腰三角形兩個底角相等”的證明方法與我們教材中的證明方法不同。此時，教師可以引導學生進行討論，讓學生認識到，“歐氏幾何是先給出研究對象的定義，然后通過公理規(guī)定研究對象之間必須滿足的基本關(guān)系，最后推導各種各樣的命題”，這就是所謂的公理化思想?？紤]到學生的接受能力，教師可構(gòu)建一些局部的演繹系統(tǒng)，幫助學生感悟演繹的化歸方式與公理化的思想。（三）在解決問題中培養(yǎng)學生幾何思維的教學環(huán)節(jié)類比推理、歸納推理是常見的發(fā)現(xiàn)結(jié)論的思維方式，演繹推理是驗證結(jié)論的常見手段，而解決問題有利于學生演繹推理能力的訓練與培養(yǎng)。幾何內(nèi)容是學生學習的一個難點，他們很難科學合理地架構(gòu)起條件與結(jié)論之間的關(guān)系。解題過程與解題思路是有本質(zhì)不同的，解題過程是已知方法尋求答案的過程，解題思路則是未知方法尋求方法的過程，目的是引導學生學會使用思維導圖分析問題、解決問題。如圖1中，已知AB=DC，AC=DB，求證∠ABO=∠DCO。【分析】要求證∠ABO=∠DCO，可以按照以下三個思路展開探究。思路1：將∠ABO和∠DCO放到兩個三角形中證明全等，即證明?ABO≌?DCO。其中，已知∠AOB=∠DOC，AB=DC，還缺少一個條件，經(jīng)分析只能添加∠A=∠D。要證明∠A=∠D，需要再次把兩個角放到兩個三角形中證明全等，即證明?ABC≌?DCB。已知AB=DC，AC=DB，BC=CB，得證。思路2：將∠ABO和∠DCO放到兩個三角形中證明全等，即證明?ABO≌

?DCO，也即證明?ABD≌?DCA。連接AD，已知AB=DC，AC=DB，AD=DA，得證。思路3：根據(jù)已知條件AB=DC，AC=DB，BC=CB得到?ABC≌?DCB，從而∠A=∠D，在?ABO和?DCO中，滿足AB=DC，∠A=∠D，∠AOB=∠DOC，得到?ABO≌?DCO，得證。思路4：在思路3的引導下，若得到?ABC≌?DCB，則∠ACB=∠DBC，從而OB=OC。?ABO和?DCO滿足“邊邊