專題32等比數(shù)列（原卷版）

2023高考一輪復(fù)習(xí)講與練等比數(shù)列等比數(shù)列的有關(guān)概念等比數(shù)列等比數(shù)列的有關(guān)概念通項公式推廣：an＝amqn－m(m，n∈N*)對任意的正整數(shù)m，n，p，t，若m＋n＝p＋t，則am·an＝ap·at.特別地，若m＋n＝2p，則am·an＝aeq\o\al(2,p).定義通項公式等比中項前n項和公式Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))若等比數(shù)列前n項和為Sn，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比數(shù)列(m為偶數(shù)且q＝－1除外)．等比數(shù)列的性質(zhì)練高考明方向1.（2022·全國乙（理）T8）已知等比數(shù)列的前3項和為168，，則（）A.14 B.12 C.6 D.32.（2022·新高考Ⅱ卷T17）已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．（1）證明：；（2）求集合中元素個數(shù)．3.（2022·浙江卷T20）已知等差數(shù)列的首項，公差．記的前n項和為．（1）若，求；（2）若對于每個，存在實數(shù)，使成等比數(shù)列，求d的取值范圍．4．(2021·全國甲卷)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若S2＝4，S4＝6，則S6＝()A．7 B．8C．9 D．105．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項．(1)求的公比；(2)若，求數(shù)列的前項和．6．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)數(shù)列中，，，若，則 ()A．2 B．3 C．4 D．57．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前4項和為15，且，則 ()A．16 B．8 C．4 D．28、【2019年高考全國I卷理數(shù)】記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若，則S5=____________．9．【2019年高考全國II卷理數(shù)】已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=0，，.（I）證明：{an+bn}是等比數(shù)列，{an–bn}是等差數(shù)列；（II）求{an}和{bn}的通項公式.10．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷（理）)(12分)等比數(shù)列中，，(1)求的通項公式；(2)記為的前項和，若，求．11．(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)等差數(shù)列的首項為，公差不為．若成等比數(shù)列，則前項的和為 ()A． B． C． D．12．(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈 ()A．1盞 B．3盞 C．5盞 D．9盞13．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)已知數(shù)列的前項和,其中.(Ⅰ)證明是等比數(shù)列,并求其通項公式;(Ⅱ)若,求.14．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2)已知等比數(shù)列滿足，，則() A．21 B．42 C．63 D．8415．(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)2理科)已知數(shù)列滿足=1，．(Ⅰ)證明是等比數(shù)列，并求的通項公式；(Ⅱ)證明：16．(2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)等比數(shù)列的前項和為，已知，則等于 ()A． B．－ C． D．－講典例備高考類型一、等比數(shù)列的判斷與證明基礎(chǔ)知識：1．等比數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)(不為零)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的表達(dá)式為eq\f(an＋1,an)＝q.(2)等比中項：如果a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項．即：G是a與b的等比中項?a，G，b成等比數(shù)列?G2＝ab.基本題型：1．(多選)若Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且Sn＝2an＋1(n∈N*)，則下列說法正確的是()A．a(chǎn)5＝－16 B．S5＝－63C．?dāng)?shù)列{an}是等比數(shù)列 D．?dāng)?shù)列{Sn＋1}是等比數(shù)列2．Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0.(1)求an及Sn.(2)是否存在常數(shù)λ，使得數(shù)列{Sn＋λ}是等比數(shù)列？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由．3、已知數(shù)列{an}和{bn}的前n項和分別為Sn，Tn，a1＝2，b1＝1，且an＋1＝a1＋2Tn.(1)若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，求Sn；(2)若bn＋1＝b1＋2Sn，證明：數(shù)列{an＋bn}和{an－bn}均為等比數(shù)列．基本方法：等比數(shù)列的三種常用判定方法：定義法：若eq\f(an＋1,an)＝q(q為非零常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列等比中項法：若數(shù)列{an}中，an≠0，且aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列通項公式法：若數(shù)列通項公式可寫成an＝c·qn(c，q均是不為0的常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列注：當(dāng)q≠0，q≠1時，Sn＝k－k·qn(k≠0)是{an}成等比數(shù)列的充要條件，此時k＝eq\f(a1,1－q).類型二、等比數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用基礎(chǔ)知識：等比數(shù)列的性質(zhì)(1)對任意的正整數(shù)m，n，p，t，若m＋n＝p＋t，則am·an＝ap·at.特別地，若m＋n＝2p，則am·an＝aeq\o\al(2,p).(2)若等比數(shù)列前n項和為Sn，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比數(shù)列(m為偶數(shù)且q＝－1除外)．(3)在等比數(shù)列{an}中，等距離取出若干項也構(gòu)成一個等比數(shù)列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…為等比數(shù)列，公比為qk.(4)若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＞0，,q＞1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＜0，,0＜q＜1，))則等比數(shù)列{an}遞增；若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＞0，,0＜q＜1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＜0，,q＞1，))則等比數(shù)列{an}遞減．基本題型：1．(多選)已知正項等比數(shù)列{an}滿足a1＝2，a4＝2a2＋a3，若設(shè)其公比為q，前n項和為Sn，則()A．q＝2 B．a(chǎn)n＝2nC．S10＝2047 D．a(chǎn)n＋an＋1<an＋22．設(shè)等比數(shù)列的前項和為，若，，，則（）A．315 B．155 C．120 D．803．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項和為，，，，，則數(shù)列的公比為（）A．3 B． C．2 D．4．設(shè)為正項遞增等比數(shù)列的前項和，且，則的值為（）A．63 B．64 C．127 D．1285．(多選)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，其前n項和為Sn，前n項積為Tn，并且滿足條件a1>1，a9a10>1，eq\f(a9－1,a10－1)<0，則下列結(jié)論正確的是()A．0<q<1 B．a(chǎn)10a11>1C．Sn的最大值為S10 D．Tn的最大值為T96．已知是正項等比數(shù)列的前項和，，則的最小值為（）．A．10 B．5 C． D．7．已知一個等比數(shù)列首項為，項數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項之和為，偶數(shù)項之和為，則這個數(shù)列的項數(shù)為_____．8．等比數(shù)列{}的各項均為實數(shù)，其前項為，已知=，=，則=_____．基本方法：等比數(shù)列基本量運(yùn)算的解題策略(1)等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問題，等比數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)便可迎刃而解．(2)在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq”，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度．(3)在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時需要進(jìn)行適當(dāng)變形．此外，解題時注意設(shè)而不求思想的運(yùn)用．(4)等比數(shù)列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論，當(dāng)q＝1時，{an}的前n項和Sn＝na1；當(dāng)q≠1時，{an}的前n項和Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).類型三、等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合性問題基本題型：1．已知數(shù)列滿足，且成等比數(shù)列.若的前n項和為，則的最小值為（）A． B． C． D．2．等比數(shù)列中，已知，則數(shù)列的前16項和為（）A．20 B． C． D．3．已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，且，，為等比數(shù)列的連續(xù)三項，則的值為（）A． B．4 C．2 D．4．(多選)已知各項均為正數(shù)且單調(diào)遞減的等比數(shù)列{an}滿足a3，eq\f(3,2)a4,2a5成等差數(shù)列．其前n項和為Sn，且S5＝31，則()A．a(chǎn)n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－5 B．a(chǎn)n＝2n－3C．Sn＝32－eq\f(1,2n－5) D．Sn＝2n－4－165．正項等比數(shù)列滿足，且2，，成等差數(shù)列，設(shè)，則取得最小值時的值為_________．基本方法：在解決等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題時，要注意到兩個數(shù)列之間的相互滲透和相互影響，既要能眼觀全局從整體入手，又要能抽絲剝繭進(jìn)行單獨分析，并充分根據(jù)具體問題的結(jié)構(gòu)特點有針對性地進(jìn)行解決．新預(yù)測破高考1．已知等比數(shù)列滿足,,則（）2．已知是等比數(shù)列的前項和，，，則（）A．3 B．5 C．3 D．53．正項等比數(shù)列{an}中，a1a5＋2a3a7＋a5a9＝16，且a5與a9的等差中項為4，則{an}的公比是()A．1 B．2C.eq\f(\r(2),2) D.eq\r(2)4．在等比數(shù)列中,,前項和為,若數(shù)列也是等比數(shù)列,則等于（）A． B． C． D．5．已知數(shù)列為各項均不相等的等比數(shù)列，其前n項和為，且，，成等差數(shù)列，則（）A．3 B． C．1 D．6.在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，已知a1>1，其前n項積為Tn，且T15＝T8，則Tn取得最大值時，n的值是()A．10 B．10或11C．11或12 D．12或137．已知是等比數(shù)列，，，則（）A． B． C． D．8．若是等比數(shù)列的前項和，，，成等差數(shù)列，且，則（）A． B． C．4 D．129．(多選)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，下列結(jié)論正確的為()A．若a1a2＞0，則a2a3＞0B．若a1＋a3＜0，則a1＋a2＜0C．若a2＞a1＞0，則a1＋a3＞2a2D．若a1a2＜0，則(a2－a1)(a2－a3)＜010．已知等比數(shù)列{an}的公比q＝－eq\f(2,3)，等差數(shù)列{bn}的首項b1＝12，若a9>b9且a10>b10，有以下四個結(jié)論：①a9a10<0；②a9>a10；③b10>0；④b9>b10.其中正確的為()A．①② B．③④C．①③ D．①④11．已知是數(shù)列的前n項和，且點在直線上，則（）A． B． C． D．312、在等差數(shù)列中，，是方程的兩根，則數(shù)列的前11項和等于A．66 B．132 C．66 D．3213．(多選)在公比為q的等比數(shù)列{an}中，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，若a1＝1，a5＝27a2，則下列說法正確的是()A．q＝3 B．?dāng)?shù)列{Sn＋2}是等比數(shù)列C．S5＝121 D．2lgan＝lgan－2＋lgan＋2(n≥3)14．(多選)已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝1，其前n項和Sn＝pan＋1＋r(n∈N*，p>0)，則()A．?dāng)?shù)列{an}的公比為pB．?dāng)?shù)列{an}為遞增數(shù)列C．r＝－p－1D．當(dāng)p－eq\f(1,4r)取最小值時，an＝3n－115、設(shè)是等比數(shù)列，且，，則的通項公式為_______．16．是一個邊長為1的正三角形，是將該正三角形沿三邊中點連線等分成四份后去掉中間一份的正三角形后所形成的圖形，依次類推是對中所含有的所有正三角形都去掉中間一份（如圖），記為的面積，，則________17．設(shè)等比數(shù)列的公比為q.前n項和為.