1323直線與平面的位置關(guān)系（原卷版）

直線與平面的位置關(guān)系一、直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系直線a在平面α內(nèi)直線a在平面α外直線a與平面α相交直線a與平面α平行公共點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)沒(méi)有公共點(diǎn)符號(hào)表示a?αa∩α＝Aa∥α圖形表示二、直線與平面平行的判定定理：1、文字語(yǔ)言：如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，該直線與此平面平行2、符號(hào)：a?α，b?α，a∥b?a∥α.3、圖形：三、直線與平面平行的性質(zhì)定理1、文字語(yǔ)言：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線就和交線平行．2、符號(hào)語(yǔ)言：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b.3、圖形語(yǔ)言：四、直線與平面垂直的定義1、文字語(yǔ)言:如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說(shuō)直線l與平面α互相垂直2、符號(hào)語(yǔ)言：l⊥α3、有關(guān)概念:直線l叫做平面α的垂線,平面α叫做直線l的垂面.它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足4、圖形語(yǔ)言：5、畫法：畫直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直.6、空間距離①點(diǎn)到平面的距離：過(guò)一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線，則該點(diǎn)與垂足間的線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段，垂線段的長(zhǎng)度叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離②直線到平面的距離：一條直線與一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，叫做這條直線到這個(gè)平面的距離.五、直線與平面垂直的判定定理1、文字語(yǔ)言：如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直2、符號(hào)語(yǔ)言：l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥α3、圖形語(yǔ)言：4、作用：證明線面垂直六、直線與平面垂直的性質(zhì)定理1、文字語(yǔ)言：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.2、符號(hào)語(yǔ)言：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b3、圖形語(yǔ)言：4、作用：①線面垂直?線線平行②作平行線5、推論：（1）一條直線垂直于一個(gè)平面，它就和平面內(nèi)的任意一條直線垂直．（2）若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直這個(gè)平面.（3）若一條之心垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，則它必垂直于另外一個(gè)平面/（4）垂直于同一條直線的兩個(gè)平行平行.七、直線和平面所成的角1、有關(guān)概念：（1）斜線：與平面α相交，但不和平面α垂直，圖中直線PA（2）斜足：斜線和平面的交點(diǎn)，圖中點(diǎn)A（3）射影：過(guò)斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過(guò)垂足和斜足的直線叫做斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影，圖中斜線PA在平面α上的射影為AO2、直線與平面所成的角（1）定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角.（2）規(guī)定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是直角；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，它們所成的角是0°的角3、取值范圍：[0°，90°]題型一線面平行的有關(guān)命題判斷【例1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列條件中，能得出直線與平面平行的是（）A．直線與平面內(nèi)的所有直線平行B．直線與平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線平行C．直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)D．直線與平面內(nèi)的一條直線平行【變式11】（2022春·新疆巴音郭楞·高一校考期中）下列命題正確的是（）A．若直線上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，則直線和平面平行B．若直線與平面相交，則直線與平面內(nèi)的任意直線都是異面直線C．若直線與平面有兩個(gè)公共點(diǎn)，則直線在平面內(nèi)D．若直線與平面平行，則這條直線與平面內(nèi)的直線平行【變式12】（2022春·河北張家口·高一張北縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知m，n為兩條不同的直線，，為兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論中正確的是（）A．若m//，m//n，則n//B．若m//，n//，則m//nC．若m//，n，則m//nD．若m//，m，＝n，則m//n【變式13】（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知a，b，c為三條不重合的直線，，，為三個(gè)不重合的平面其中正確的命題（）①，；②，；③，；④，；

⑤，，．A．①⑤B．①②C．②④D．③⑤題型二線面平行的證明【例2】（2022春·新疆塔城·高一烏蘇市第一中學(xué)校考期中）如圖，四棱錐中，O為底面平行四邊形DBCE對(duì)角線的交點(diǎn)，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)．求證：平面DCF．【變式21】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）長(zhǎng)方體中，是矩形的中心，是矩形的中心．證明：平面.【變式22】（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，四棱錐中，底面是平行四邊形，、分別是、的中點(diǎn)．證明：平面．【變式23】（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在直三棱柱中，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，求證：平面.題型三線線平行的證明【例3】（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，AC與BD交于點(diǎn)O，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過(guò)G和AP作平面交平面BDM于GH，求證：AP∥GH.【變式31】（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖所示，在多面體中，四邊形，，ABCD均為正方形，E為的中點(diǎn)，過(guò)，D，E的平面交于F．證明：.【變式32】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖E、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，AD的中點(diǎn)，平面過(guò)EH分別交BC、CD于F、G，求證：EH//FG.【變式33】（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，三棱柱在圓柱中，等腰直角三角形，分別為上、下底面的內(nèi)接三角形，點(diǎn)，分別在棱和上，，，平面，求的值題型四線面垂直有關(guān)命題判斷【例4】（2022春·上海楊浦·高一復(fù)旦附中校考期末）已知直線，與平面，其中，則“”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【變式41】（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如果直線l，m與平面，，滿足：，，和，那么必有（）A．B．C．D．【變式42】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）（多選）下列命題中，不正確的是（）A．若直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，則l⊥αB．若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)沒(méi)有與l垂直的直線C．若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)也可以有無(wú)數(shù)條直線與l垂直D．若直線l與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直，則l⊥α【變式43】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）設(shè)是空間中的一個(gè)平面，，，是三條不同的直線，則（）A．若，，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則題型五線面垂直的證明【例5】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，多面體ABCDEF中，底面ABCD為正方形，EAFC，且EA=CF=AB=4，△EBD?△FBD都是正三角形，證明：平面.【變式51】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，在圓柱中，是圓柱的母線，是圓柱的底面的直徑，是底面圓周上異于、的點(diǎn)．求證：平面．【變式52】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖所示，在正方體中，為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，求證：⊥平面.【變式53】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，已知四棱柱中，各棱長(zhǎng)都為，底面是正方形，頂點(diǎn)在平面上的射影是正方形的中心，求證：平面．題型六線線垂直的證明【例6】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，平面ABCD，，，，．求證：．【變式61】（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，直三棱柱，.證明：【變式62】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱BB1上運(yùn)動(dòng)．證明：AD⊥C1E.【變式63】（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在四棱錐中，底面，，,，．證明：.題型七求直線與平面所成角【例7】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在正方體中，若點(diǎn)是面的中心，則與平面所成角的余弦值是（）A．B．C．D．【變式71】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）正四面體的側(cè)棱與底面所成角的正弦值是（）A．B．C．D．【變式72】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，在平面上，OA是的斜線，若，，，求OA與平面所成的角．【變式73】（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在正方體中，直線是底面所在平面內(nèi)的一條動(dòng)直線，記直線與直線所成的角為，則的最小值是（）A．B．C．D．題型八線面關(guān)系中的動(dòng)點(diǎn)探究【例8】（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，在正方體中，分別是的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）棱上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【變式81】（2022春·重慶九龍坡·高一重慶市鐵路中學(xué)校?？计谥校┤鐖D所示，在四棱錐中，平面，，E是的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）若M是線段上一動(dòng)點(diǎn)，則線段上是否存在點(diǎn)N，使平面？說(shuō)明