853平面與平面平行（精講）

8.5.3平面與平面平行(精講）目錄一、必備知識(shí)分層透析二、重點(diǎn)題型分類(lèi)研究題型1:判斷面面平行題型2:證明面面平行題型3:補(bǔ)全面面平行的條件題型4:面面平行與線(xiàn)線(xiàn)平行題型5:面面平行證明線(xiàn)面平行題型6：線(xiàn)面平行、面面平行的探索性問(wèn)題三、高考（模擬）題體驗(yàn)一、必備知識(shí)分層透析知識(shí)點(diǎn)1：平面與平面平行的判定定理（1）兩個(gè)平面平行的判定定理如果一個(gè)平面內(nèi)的有兩條相交直線(xiàn)平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行.（定理簡(jiǎn)述：線(xiàn)面平行，則面面平行。）（2）符號(hào)語(yǔ)言（3）圖形語(yǔ)言（4）定理應(yīng)用線(xiàn)線(xiàn)平行面面平行知識(shí)點(diǎn)2：平面與平面平行的性質(zhì)定理（1）平面與平面平行的性質(zhì)定理兩個(gè)平行平面，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線(xiàn)平行.（2）符號(hào)語(yǔ)言（3）圖形語(yǔ)言（4）定理應(yīng)用面面平行線(xiàn)線(xiàn)平行知識(shí)點(diǎn)3：直線(xiàn)與平面、平面與平面之間位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化由直線(xiàn)與直線(xiàn)平行可以判定直線(xiàn)與平面平行;由直線(xiàn)與平面平行的性質(zhì)可以得到直線(xiàn)與直線(xiàn)平行;由直線(xiàn)與平面平行可以判定平面與平面平行;由平面與平面平行的定義及性質(zhì)可以得到直線(xiàn)與平面平行、直線(xiàn)與直線(xiàn)平行.這種直線(xiàn)、平面之間位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化是立體幾何中的重要思想方法.二、重點(diǎn)題型分類(lèi)研究題型1:判斷面面平行典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在下列判斷兩個(gè)平面與平行的4個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（

）．①都垂直于平面，那么②都平行于平面，那么③都垂直于直線(xiàn)，那么④如果，是兩條異面直線(xiàn)，且，，，，那么A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【詳解】如圖，易知在正方體中相鄰兩個(gè)側(cè)面都垂直于底面，故①錯(cuò)誤；由平面平行的傳遞性可知②正確；由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)可知③正確；過(guò)直線(xiàn)l做平面與分別交于，過(guò)直線(xiàn)m做平面與分別交于，因?yàn)椋?，所以，所以因?yàn)?，，所以同理，又l、m是兩條異面直線(xiàn)，所以相交，且，所以，故④正確.故選：D例題2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)為兩個(gè)不同的平面，則的充要條件是（

）A．內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線(xiàn)與平行B．垂直于同一平面C．平行于同一條直線(xiàn)D．內(nèi)的任何直線(xiàn)都與平行【答案】D【詳解】A選項(xiàng)，內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線(xiàn)與平行，與可能相交，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，垂直于同一平面，與可能相交，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，平行于同一條直線(xiàn)，與可能相交，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，內(nèi)的任何直線(xiàn)都與平行，則，D選項(xiàng)正確.故選：D例題3．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的一個(gè)平面：（1）與平面平行的平面為_(kāi)_____；（2）與平面平行的平面為_(kāi)_____；（3）與平面平行的平面為_(kāi)_____．【答案】

平面

平面

平面【詳解】因?yàn)闉殚L(zhǎng)方體，所以平面∥平面，平面∥平面，同時(shí)∥，∥，又因?yàn)槠矫?，平面，所以∥面，∥平面，因?yàn)?，所以平面∥平?故答案為：①平面；②平面；③平面.同類(lèi)題型演練1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)，則這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是（

）A．一定平行 B．一定相交C．平行或相交 D．以上判斷都不對(duì)【答案】C【詳解】一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)，若這兩條直線(xiàn)相交且這兩條直線(xiàn)平行于另一個(gè)平面，則可得這兩個(gè)平面平行；若這兩條直線(xiàn)平行，則這兩個(gè)平面可能相交也可能平行；故選：C.2．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知a，b，c為三條不重合的直線(xiàn)，，，為三個(gè)不重合的平面其中正確的命題（

）①，；②，；③，；④，；

⑤，，．A．①⑤ B．①② C．②④ D．③⑤【答案】A【詳解】①，，由平行公理4得，正確；②，，則與有可能平行、相交、異面，故錯(cuò)誤；③，則或，故錯(cuò)誤；④，；則或，故錯(cuò)誤；⑤，，，由線(xiàn)面平行的判定定理可得．故選：A.3．（多選）（2022春·廣東廣州·高一仲元中學(xué)?？计谥校┮阎本€(xiàn)，和平面，，下列說(shuō)法中不正確的有（

）A．若，，，則B．若，，則C．若與為異面直線(xiàn)，且，，，，則D．若，，則【答案】BD【詳解】對(duì)于A：，，，由線(xiàn)面平行的性質(zhì),則；故A正確；對(duì)于B：，，,則，可以平行、相交、或異面；故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：與為異面直線(xiàn)，且，，，，根據(jù)面面平行的判定定理的推論,則；故C正確；對(duì)于D:當(dāng)若，，則或,故D錯(cuò)誤；故選：BD題型2:證明面面平行典型例題例題1．（2022秋·青海海南·高二海南藏族自治州高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方體中，是的中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，求證：(1)平面；(2)平面平面.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）如圖，連接，∵分別是的中點(diǎn)，∴.又∵平面，平面，∴直線(xiàn)平面.（2）連接SD，∵分別是的中點(diǎn)，∴.又∵平面，平面，∴平面，由(1)知，平面，且平面，平面，，∴平面∥平面.例題2．（2022秋·廣西南寧·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在如圖所示的多面體中，平面，，，，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)．(1)求證：平面平面；(2)求多面體的體積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)16【詳解】（1）證明：，四邊形是平行四邊形，．又平面平面平面．分別為的中點(diǎn)，是的中位線(xiàn)，．平面平面平面．平面，平面平面．（2）平面平面．又平面，平面是四棱錐的高，且．．又平面，平面．．例題3．（2022秋·上海靜安·高二上海市新中高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（1）敘述兩個(gè)平面平行的判定定理，并證明;（2）如圖，正方體中，分別為的中點(diǎn)，求證:平面平面.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.【詳解】（1）面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行，即，，，，，證明：假設(shè)，∵，，，∴，同理可得，，∴，與矛盾，所以不成立，所以.（2）取中點(diǎn)，連接，，，∵為正方體，，為，中點(diǎn)，∴，，，，∴四邊形，為平行四邊形，，，∵平面，平面，平面，平面，∴∥平面，∥平面，∵平面，平面，，∴平面∥平面.例題4．（2022秋·四川眉山·高二仁壽一中統(tǒng)考期中）如圖，在四棱柱中，點(diǎn)是線(xiàn)段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，分別是，的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)設(shè)為棱上的中點(diǎn)，求證：平面平面．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，連接BM，如圖，因E，F(xiàn)分別是BC，CM的中點(diǎn)，則有EFBM，又EF平面BDD1B1，BM平面BDD1B1，所以EF平面BDD1B1．（2）證明：取CD的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，如圖，而E是BC的中點(diǎn)，于是得EGBD，而EG平面BDD1B1，BD平面BDD1B1，從而得EG平面BDD1B1，由（1）知EF平面BDD1B1，EFEG＝E，且EF、EG平面GEF，因此，平面GEF平面BDD1B1，所以當(dāng)G是DC的中點(diǎn)時(shí)，平面GEF平面BDD1B1．同類(lèi)題型演練1．（2022秋·上海長(zhǎng)寧·高二上海市延安中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，為不共線(xiàn)的三點(diǎn)，，且；求證：平面平面；【答案】見(jiàn)解析；【詳解】證明：，且，四邊形和四邊形是平行四邊形，，平面，平面，平面；，平面，平面，平面.又，平面.平面平面2．（2022秋·四川·高二?？茧A段練習(xí)）如圖所示，在正方體中，，，分別是，，的中點(diǎn)．求證：平面平面．【答案】證明見(jiàn)解析【詳解】證明：如圖，連接．因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以．因?yàn)椤?，，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以．因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．同理可證平面．又因?yàn)?，，平面，所以平面平面?．（2022春·新疆塔城·高一烏蘇市第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在正方體中，E，F(xiàn)，H，G分別是棱，，，的中點(diǎn).求證：平面平面.【答案】證明見(jiàn)解析【詳解】連接，因?yàn)?，，，分別是棱，，，的中點(diǎn)，所以，，所以，又平面，平面，所以平面，連接，連接交于，交于，交于，則，所以，又，，，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，平面，，所以平面平面.4．（2022秋·黑龍江牡丹江·高三牡丹江一中校考期末）如圖，長(zhǎng)方體的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，高為，分別是的中點(diǎn)．(1)求三棱錐的體積；(2)求證：平面平面．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1），平面，.（2）連接，分別為中點(diǎn)，，，，四邊形為平行四邊形，，，又平面，平面，平面；同理可得：平面，又，平面，平面平面.題型3:補(bǔ)全面面平行的條件典型例題例題1．（2022春·河北張家口·高一統(tǒng)考期末）已知為直線(xiàn)，、為兩個(gè)不同的平面，下面的條件能得出的是（

）A．， B．， C．， D．與、所成角相等【答案】C【詳解】A：由，，則、可能相交或平行，不合要求；B：由，，則、可能相交或平行，不合要求；C：由，若、且相交，則，又，故，所以，符合.D：由與、所成角相等，則、可能相交或平行，不合要求；故選：C例題2．（2022·高一單元測(cè)試）如圖，在三棱柱中，，分別為線(xiàn)段，的中點(diǎn)．(1)求證：平面．(2)在線(xiàn)段上是否存在一點(diǎn)，使平面平面請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在，理由見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：因?yàn)?，分別為線(xiàn)段的中點(diǎn)所以A.因?yàn)椋訠.又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．?）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)所以．因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，同理可得，平面，又因?yàn)?，，平面，所以平面平面故在線(xiàn)段上存在一點(diǎn)，使平面平面．例題3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面，若存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)存在，理由見(jiàn)解析．（1）證明：如圖，連接交于，連接.因?yàn)闉檎襟w，底面為正方形，對(duì)角線(xiàn)，交于點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以在中，是的中位線(xiàn)，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）解：當(dāng)上的點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，即滿(mǎn)足平面平面，理由如下：連接，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?由（１）知平面，又因?yàn)椋?，平面，所以平面平?例題4．（2022秋·上?！じ叨A段練習(xí)）已知正方體中，?分別為對(duì)角線(xiàn)?上的點(diǎn)，且.(1)作出平面和平面的交線(xiàn)（保留作圖痕跡），并求證：平面；(2)若是上的點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，能使平面平面？請(qǐng)給出證明.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)，證明見(jiàn)解析【詳解】（1）連結(jié)CP并延長(zhǎng)與DA的延長(zhǎng)線(xiàn)交于M點(diǎn)，則平面PQC和平面的線(xiàn)為，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以，故，所以，又因?yàn)椋?，所?又平面，PQ不在平面內(nèi)，故平面.（2）當(dāng)?shù)闹禐闀r(shí)，能使平面平面.證明：因?yàn)椋?，故，所?又平面，PR不在平面內(nèi)，所以平面，又，平面.所以平面平面.同類(lèi)題型演練1．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)是兩個(gè)不同的平面，是直線(xiàn)且，，若使成立，則需增加條件（

）A．是直線(xiàn)且， B．是異面直線(xiàn)，C．是相交直線(xiàn)且， D．是平行直線(xiàn)且，【答案】C【詳解】要使成立，需要其中一個(gè)面的兩條相交直線(xiàn)與另一個(gè)面平行，是相交直線(xiàn)且，，，，由平面和平面平行的判定定理可得.故選C.2．（2022春·河南濮陽(yáng)·高一濮陽(yáng)一高統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知P是平行四邊形所在平面外一點(diǎn)，M、N分別是的三等分點(diǎn)（M靠近B，N靠近C）；(1)求證：平面．(2)在上確定一點(diǎn)Q，使平面平面．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析（1）證明：過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈娜确贮c(diǎn)，可得，又因?yàn)闉榈娜确贮c(diǎn)，可得，因?yàn)榍?，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又由平面，平面，所以平?（2）證明：取取一點(diǎn)，使得，即點(diǎn)為上靠近點(diǎn)的三等點(diǎn)，在中，因?yàn)榉謩e為的三等分點(diǎn)，可得，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；又由?）知平面，且，平面，所以平面平面，即當(dāng)點(diǎn)為上靠近點(diǎn)的三等點(diǎn)時(shí)，能使得平面平面．3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，四棱錐中，，，為的中點(diǎn)．(1)求證：平面.(2)在線(xiàn)段上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面？若存在，證明你的結(jié)論，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在，證明見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，．因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，．又，，所以，．因此四邊形是平行四邊形，所以．又平面，平面，因此平面．（2）解：如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，，所以又，所以．又，所以四邊形為平行四邊形，因此．又平面，所以平面．由（1）可知平面．因?yàn)?，故平面平面?．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四棱柱中，點(diǎn)是線(xiàn)段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，分別是，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）設(shè)為棱上的一點(diǎn)，問(wèn)：當(dāng)在什么位置時(shí)，平面平面？【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）是中點(diǎn).【詳解】（1）在四棱柱中，連接，如圖，因，分別是，的中點(diǎn)，則有，又平面，平面，所以平面；（2）是中點(diǎn)，使得平面平面，理由如下：取CD的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，而是的中點(diǎn)，于是得，而平面，平面，從而得平面，由(1)知平面，，且平面，因此有平面平面，所以當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，平面平面.題型4:面面平行與線(xiàn)線(xiàn)平行典型例題例題1．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知長(zhǎng)方體，平面平面，平面平面，則與的位置關(guān)系是()A．平行

B．相交

C．異面

D．不確定【答案】A【詳解】平面平面，平面平面，由面面平行的性質(zhì)定理可得與平行，故選A例題2．（2022秋·四川遂寧·高二射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）平面平面，平面平面，平面平面，則直線(xiàn)與的位置關(guān)系是______．【答案】平行【詳解】平面平面，平面平面，平面平面,由面面平行的性質(zhì)定理可推出：.故答案為：平行.例題3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知長(zhǎng)方體中，為的中點(diǎn)，平面交棱于點(diǎn)，求證：【答案】證明見(jiàn)解析【詳解】解：由長(zhǎng)方體的性質(zhì)知：平面平面，又面，所以平面，又因?yàn)槊婷妫颐?，所?同類(lèi)題型演練1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知直線(xiàn)m，n，平面α，β，若，，，則直線(xiàn)m與n的關(guān)系是___________【答案】平行或異面【詳解】由題意，，，故直線(xiàn)m與n沒(méi)有交點(diǎn)故直線(xiàn)m與n平行或異面故答案為：平行或異面2．（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，A1B1C1D1ABCD是四棱臺(tái)，求證：B1D1∥BD.【答案】證明見(jiàn)解析.【詳解】根據(jù)棱臺(tái)的特征知：側(cè)棱BB1與DD1相交，所以平面BB1D1D.又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面BB1D1D∩平面ABCD＝BD，平面BB1D1D∩平面A1B1C1D1＝B1D1，所以B1D1∥BD.3．（2022秋·湖北荊州·高二荊州中學(xué)?？计谀┤鐖D，平面，平面，，，，.(1)求證：；【答案】(1)見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：由題知，，平面，平面,所以平面，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫嫫矫?平面平面所以.題型5:面面平行證明線(xiàn)面平行典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，在正四棱柱中，，，，分別是棱，，，的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在四邊形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則只需滿(mǎn)足條件______時(shí)，就有平面．（注：請(qǐng)?zhí)钌夏阏J(rèn)為正確的一個(gè)條件即可，不必考慮全部可能情況）【答案】點(diǎn)在線(xiàn)段上（答案不唯一）【詳解】取中點(diǎn)，連接，連接，如圖，由已知得，與、都平行且相等，因此與平行且相等，從而是平行四邊形，，分別是中點(diǎn)，則，平面，平面，所以平面，同理平面，而，平面，所以平面平面，因此只要，就有平面．故答案為：點(diǎn)在線(xiàn)段上（答案不唯一）．例題2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，三棱柱中，，，點(diǎn)，分別在和上，且滿(mǎn)足，，證明：平面【答案】證明見(jiàn)解析【詳解】如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，因?yàn)?，，可得，所以，，而平面，平面，所以平面，同理得平面，又因?yàn)?，所以平面平面，又由平面，所以平?例題3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，為的中點(diǎn)，，分別在線(xiàn)段，上，且，求證：平面.【答案】證明見(jiàn)解析.【詳解】在長(zhǎng)方體中，取的中點(diǎn)，連接，如圖，因G為AB的中點(diǎn)，則，而平面，平面，從而平面，四邊形為矩形，而，則有，又，即有四邊形為平行四邊形，則，而平面，平面，從而平面，而，平面，因此平面平面，又平面，從而平面.例題4．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在等腰直角三角形中，分別是上的點(diǎn)，且分別為的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿折起，得到四棱錐，連接證明：平面；【答案】證明過(guò)程見(jiàn)解析【詳解】如圖，在四棱錐中，取的中點(diǎn)，連接．因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，，所以又平面，平面，所以平面，同理可得，平面，又平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平面．同?lèi)題型演練1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，，分別是線(xiàn)段，的中點(diǎn)，證明：平面【答案】證明見(jiàn)解析【詳解】取的中點(diǎn)，連接，，則，，又平面，平面，平面，所以平面，平面，又平面，所以平面平面，又平面，所以平面；2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，四邊形為菱形，平面平面，，，．求證：平面【答案】證明見(jiàn)解析【詳解】因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，則，平面，平面，平面，，平面，平面，平面，，所以，平面平面，因?yàn)槠矫?，平?3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為，、分別為棱、的中點(diǎn)，證明：直線(xiàn)平面【答案】證明見(jiàn)解析【詳解】證明：取的中點(diǎn)，連接、、，在正方體中，且，、分別為、的中點(diǎn)，則且，故四邊形為平行四邊形，則且，又因?yàn)榍?，則且，故四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，平面，因?yàn)榍遥仕倪呅螢槠叫兴倪呅?，則，、分別為、的中點(diǎn)，則，則，平面，平面，平面，，、平面，所以，平面平面，平面，平面.4．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖①，在直角梯形中，，，，為的中點(diǎn)，、、分別為、、的中點(diǎn)，將沿折起，得到四棱錐，如圖②.求證：在四棱錐中，平面.【答案】證明見(jiàn)解析【詳解】證明：在四棱錐中，、分別為、的中點(diǎn)，則，平面，平面，平面，在圖①中，，且，為的中點(diǎn)，則且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，所以，，則，平面，平面，平面，，、平面，所以，平面平面，平面，因此，平面.題型6：線(xiàn)面平行、面面平行的探索性問(wèn)題典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在正方體中，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在四邊形內(nèi)（包括邊界）運(yùn)動(dòng)，若平面，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．【答案】B【詳解】取C1D1，D1D，CD，F(xiàn)G中點(diǎn)分別為E、F、G，H，連接EP，AF，F(xiàn)G，AG，AH，如圖所示：∵P為CC1的中點(diǎn)，則平面A1BP即為平面A1BPE，EP∥DB，F(xiàn)G∥DB，A1E∥AG，EP∥FG，∵FG?平面A1BPE，AG?平面A1BPE，∴FG∥平面A1BPE，AG∥平面A1BPE，又FG∩AG＝G，F(xiàn)G?平面AFG，AG?平面AFG，∴AFG∥平面A1BP，∴當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到FG中點(diǎn)H時(shí)，此時(shí)AH?平面AFG，AH∥平面A1BP，AQ的最小值為AH，∵AB＝2，∴AF＝AG，F(xiàn)G，在Rt△AFH中，AH，故AQ的最小值為，故選：B．例題2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為棱的中點(diǎn)，為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），若平面，則線(xiàn)段長(zhǎng)度的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】如圖，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，所以，正方體中，易得，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)?，所以平面平面，因?yàn)槠矫妫云矫?，又為正方形?nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），所以在線(xiàn)段上，可得,則當(dāng)在中點(diǎn)時(shí)，取得最小值為，當(dāng)在兩端時(shí)，取得最大值為，所以長(zhǎng)度的取值范圍是.故選：D.例題3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知在三棱柱中，是棱的中點(diǎn)，試問(wèn)在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】存在點(diǎn)E，E為AB的中點(diǎn).【詳解】存在點(diǎn)E，當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，DE∥平面AB1C1.如圖，取BB1的中點(diǎn)F，連結(jié)DF，則DF∥B1C1.因?yàn)镈F?平面AB1C1，B1C1?平面AB1C1，所以DF∥平面AB1C1.因?yàn)锳B的中點(diǎn)為E，連結(jié)EF，ED，所以EF∥AB1.因?yàn)镋F?平面AB1C1，AB1?平面AB1C1，所以EF∥平面AB1C1.因?yàn)镈F∩EF＝F，EF，DF?平面DEF，所以平面DEF∥平面AB1C1.因?yàn)镈E?平面DEF，所以DE∥平面AB1C1.例題4．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面四邊形是平行四邊形，分別為棱的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)在底面四邊形內(nèi)部（包括邊界）是否存在點(diǎn)，使得平面平面？如果存在求點(diǎn)的位置，并求的最大值，如果不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在，理由見(jiàn)解析，的最大值為2【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接.中，分別為的中點(diǎn)，，分別為的中點(diǎn)，，，故四邊形為平行四邊形，，平面平面，平面.（2）解：取中點(diǎn)為，連接，，在中，分別為的中點(diǎn)，，平面平面，平面.因?yàn)榍遥?、分別為、的中點(diǎn)，所以，且，所以，四邊形為平行四邊形，，且，平面平面，平面.又，且平面，故平面平面.所以點(diǎn)存在，且，即點(diǎn)在線(xiàn)段上移動(dòng)，可使平面平面，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到時(shí)，此時(shí)的最大值，最大值為2.同類(lèi)題型演練1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在底面為等邊三角形的三棱柱中，已知平面ABC，，，D是棱的中點(diǎn)，M是四邊形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，若平面ABD，則線(xiàn)段長(zhǎng)度的最小值為（

）A． B．2 C． D．【答案】D【詳解】取線(xiàn)段的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)閭?cè)面為矩形，D是棱的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，同理平面，因?yàn)?，所以平面平面，因?yàn)镸是四邊形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，平面ABD，所以點(diǎn)的軌跡是線(xiàn)段，因?yàn)椋?，所以，，所以線(xiàn)段長(zhǎng)度的最小值為.故選：D2．（2023·安徽淮南·統(tǒng)考一模）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是線(xiàn)段的中點(diǎn)，點(diǎn)M在正方形內(nèi)（含邊界），記過(guò)E，F(xiàn)，G的平面為，若，則的取值范圍是______.【答案】【詳解】如圖，取中點(diǎn)為，連結(jié).由已知，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，且.又分別是線(xiàn)段的中點(diǎn)，所以，，所以，所以平面即為平面.易知，又，所以四邊形是平行四邊形，所以，又，，所以，同理由，可得.因?yàn)槠矫?，平面，，所以平?則由，平面，可知，平面，平面.又點(diǎn)M在正方形內(nèi)，平面平面，所以.所以的長(zhǎng)即為點(diǎn)到線(xiàn)段上點(diǎn)的距離，因?yàn)?，所以?dāng)點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)時(shí)，最小，此時(shí)；當(dāng)點(diǎn)與線(xiàn)段端點(diǎn)重合時(shí)，最大，此時(shí).所以的取值范圍是.故答案為：.3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在直棱柱中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G是線(xiàn)段AF上的動(dòng)點(diǎn)．確定點(diǎn)G的位置，使得平面平面，并給予證明【答案】G為的重心（或G為線(xiàn)段AF靠近F的三等分點(diǎn)等）時(shí)，平面平面，證明見(jiàn)解析【詳解】證明：如圖所示：取AB中點(diǎn)D，連接CD交AF于G，即G為的重心（或G為線(xiàn)段AF靠近F的三等分點(diǎn)等）時(shí)，平面平面．證明：連接DE．因?yàn)樵谌庵?，D，E分別為AB，的中點(diǎn)，所以，且，則四邊形是平行四邊形，故．又平面，平面所以平面．因?yàn)樵谌庵校珼，E分別是AB，的中點(diǎn)，則且，四邊形是平行四邊形，所以．又平面，平面，所以平面．又平面，平面，，所以平面平面．4．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，，P為的中點(diǎn)．(1)已知過(guò)點(diǎn)的平面與平面平行，平面與直線(xiàn)分別相交于點(diǎn)M，N，請(qǐng)確定點(diǎn)M，N的位置；(2)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)分別是棱的中點(diǎn)；(2).（1）依題意，如圖，平面平面，平面平面，平面平面，則，在長(zhǎng)方體中，，則有四邊形為平行四邊形，于是得，即點(diǎn)M是棱AB的中點(diǎn)，同理點(diǎn)N是棱的中點(diǎn)，所以分別是棱的中點(diǎn).（2）在長(zhǎng)方體中，，P為的中點(diǎn)，則，，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由得：，即，解得，所以點(diǎn)到平面的距離是.5．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，已知四棱柱的底面為菱形.（1）證明：平面平面；（2）在直線(xiàn)上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）存在；在的延長(zhǎng)線(xiàn)上取點(diǎn)，使.【詳解】（1）由棱柱的性質(zhì)可知，，∵平面，平面，∴平面，同理可證平面，而，平面，∴平面平面；（2）存在這樣的點(diǎn)，使平面，∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，如圖所示：在的延長(zhǎng)線(xiàn)上取點(diǎn)，使，連接，∵，=，∴，∴四邊形為平行四邊形，則，∴，又平面平面，∴平面.三、高考（模擬）題體驗(yàn)1．（2022·四川達(dá)州·統(tǒng)考一模）如圖所示，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)是棱上一點(diǎn)，且，過(guò)，，的平面交平面于，在直線(xiàn)上，則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】在正方體中，，，∴四邊形是平行四邊形，∴，又∵在正方體中，平面平面，平面平面，平面平面，∴，∴，∴，，又∵，∴，∴，又∵正方體的棱長(zhǎng)為，∴，，，∴.故選：A.2．（2022·云南昆明·云南師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）若，是兩個(gè)不同平面，，是兩條不同直線(xiàn)，則下列4個(gè)推斷中正確的是（

）A．，，，B．，，C．，，，D．，，【答案】A【詳解】對(duì)于A，如圖，，，結(jié)合，，可知，故A正確；對(duì)于B，如圖，，可能異面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖，，可能相交，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如圖，可能相交，故D錯(cuò)誤.故選：A．3．（2022·浙江嘉興·?？寄M預(yù)測(cè)）已知是不全平行的直線(xiàn)，是不同的平面，則下列能夠得到的是（

）A．B．C．D．【答案】C【詳解】對(duì)于A，由垂直于同一平面的兩個(gè)平面可以平行或相交可知，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由平面與平面平行的判定定理可知，若，則結(jié)論不成立，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)槭遣蝗叫械墓裁嬷本€(xiàn)，即至少兩條相交，所以成立.故選C正確；對(duì)于D，由平行于同一直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行或相交可知，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選:C4．（多選）（2022·湖南常德·臨澧縣第一中學(xué)?？级＃┤鐖D，在正方體中，E為的中點(diǎn)，則下列條件中，能使直線(xiàn)平面的有（

）A．F為的中點(diǎn) B．F為的中點(diǎn) C．F為的中點(diǎn)