備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點(diǎn)突破和專題檢測(cè)專題16任意角與弧度制及三角函數(shù)的概念6題型分類(原卷版+解析)

專題16任意角與弧度制及三角函數(shù)的概念6題型分類1、角的概念（1）任意角：①定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形；②分類：角按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負(fù)角和零角．（2）所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合是．（3）象限角：使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限．（4）象限角的集合表示方法：2、弧度制（1）定義：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，用符號(hào)rad表示，讀作弧度．正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0．（2）角度制和弧度制的互化：，，．（3）扇形的弧長(zhǎng)公式：，扇形的面積公式：．3、任意角的三角函數(shù)（1）定義：任意角的終邊與單位圓交于點(diǎn)時(shí)，則，，．（2）推廣：三角函數(shù)坐標(biāo)法定義中，若取點(diǎn)P是角終邊上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，則，，三角函數(shù)的性質(zhì)如下表：三角函數(shù)定義域第一象限符號(hào)第二象限符號(hào)第三象限符號(hào)第四象限符號(hào)＋＋－－＋－－＋＋－＋－記憶口訣：三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．（一）終邊相同的角（1）終邊相同的角的集合的表示與識(shí)別可用列舉歸納法和雙向等差數(shù)列的方法解決．（2）注意正角、第一象限角和銳角的聯(lián)系與區(qū)別，正角可以是任一象限角，也可以是坐標(biāo)軸角；銳角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐標(biāo)軸角．題型1：終邊相同的角1-1．（2024高二上·安徽合肥·學(xué)業(yè)考試）下列各角中與角的終邊相同的是（

）A． B． C． D．1-2．（2024高一·全國(guó)·課后作業(yè)）下列與角的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是（

）A． B．C． D．1-3．（2024·山東）終邊在軸的正半軸上的角的集合是（

）A． B．C． D．1-4．（2024高一·全國(guó)·專題練習(xí)）若角的終邊與角的終邊相同，則在內(nèi)與角的終邊相同的角是.（二）角的象限問(wèn)題圖象法在平面直角坐標(biāo)系中，作出已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角轉(zhuǎn)化法先將已知角化為k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出與已知角終邊相同的角α，再由角α終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角注：注意正角、第一象限角和銳角的聯(lián)系與區(qū)別，正角可以是任一象限角，也可以是坐標(biāo)軸角；銳角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐標(biāo)軸角．題型2：角的象限問(wèn)題2-1．（2024高三上·海南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）若是第一象限角，則下列各角為第四象限角的是（

）A． B． C． D．2-2．（2024高一下·寧夏銀川·期中）已知是銳角，那么是（

）．A．第一象限角 B．第二象限角C．小于180°的正角 D．第一或第二象限角2-3．（2024高三上·上海靜安·期末）設(shè)是第一象限的角，則所在的象限為（

）A．第一象限 B．第三象限C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限2-4．（2024高三上·江蘇南京·階段練習(xí)）已知角終邊上有一點(diǎn)，則是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角2-5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知角第二象限角，且，則角是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角2-6．（2024高三上·北京·開(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)落在角的終邊上，且，則是第（

）象限角.A．一 B．二 C．三 D．四（三）弧長(zhǎng)與扇形面積公式的計(jì)算應(yīng)用弧度制解決問(wèn)題的方法（1）利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度．（2）求扇形面積最大值的問(wèn)題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題．（3）在解決弧長(zhǎng)問(wèn)題和扇形面積問(wèn)題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形．題型3：弧長(zhǎng)與扇形面積公式的計(jì)算3-1．（2024高三下·上海松江·階段練習(xí)）已知扇形的圓心角為，扇形的面積為，則該扇形的周長(zhǎng)為.3-2．（2024高一下·四川南充·期中）已知扇形圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)，則該扇形面積為.3-3．（2024高一上·福建龍巖·階段練習(xí)）《九章算術(shù)》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，其對(duì)扇形田面積給出“以徑乘周四而一”的算法與現(xiàn)代的算法一致，根據(jù)這一算法解決下列問(wèn)題：現(xiàn)有一扇形田，下周長(zhǎng)（弧長(zhǎng)）為20米，徑長(zhǎng)（兩段半徑的和）為20米，則該扇形田的面積為平方米.3-4．（2024高三上·湖北武漢·期中）杭州第屆亞洲運(yùn)動(dòng)會(huì)，于年月日至月日在中國(guó)浙江省杭州市舉行，本屆亞運(yùn)會(huì)的會(huì)徽名為“潮涌”，主體圖形由扇面、錢(qián)塘江、錢(qián)江潮頭、賽道、互聯(lián)網(wǎng)符號(hào)及象征亞奧理事會(huì)的太陽(yáng)圖形六個(gè)元素組成（如圖），其中扇面造型突出反映了江南的人文意蘊(yùn).已知該扇面呈扇環(huán)的形狀，內(nèi)環(huán)和外環(huán)均為圓周的一部分，若內(nèi)環(huán)弧長(zhǎng)是所在圓周長(zhǎng)的，內(nèi)環(huán)所在圓的半徑為，徑長(zhǎng)（內(nèi)環(huán)和外環(huán)所在圓的半徑之差）為，則該扇面的面積為.3-5．（2024高一上·重慶北碚·期末）在東方設(shè)計(jì)中存在著一個(gè)名為“白銀比例”的理念，這個(gè)比例為，它在東方文化中的重要程度不亞于西方文化中的“黃金分割比例”，傳達(dá)出一種獨(dú)特的東方審美觀.如圖，假設(shè)扇子是從一個(gè)圓面剪下的，扇形的面積為，圓面剩余部分的面積為，當(dāng)時(shí)，扇面較為美觀.那么按“白銀比例”制作折扇時(shí)，扇子圓心角的弧度數(shù)為.題型4：扇形計(jì)算的最值問(wèn)題4-1．（2024高一上·山西朔州·期末）若一個(gè)扇形的周長(zhǎng)是4為定值，則當(dāng)該扇形面積最大時(shí)，其圓心角的弧度數(shù)是.4-2．（2024高三上·安徽六安·階段練習(xí)）已知扇形的周長(zhǎng)為，則當(dāng)扇形的圓心角扇形面積最大．4-3．（2024高一下·浙江溫州·期中）已知扇形的周長(zhǎng)為8，則扇形的面積的最大值是，此時(shí)弦長(zhǎng).4-4．（2024高一下·遼寧大連·階段練習(xí)）已知某扇形的面積為3，則該扇形的周長(zhǎng)最小值為（

）A．2 B．4 C． D．4-5．（2024高三上·江西鷹潭·階段練習(xí)）已知一扇形的圓心角為，半徑為r，弧長(zhǎng)為l，若扇形周長(zhǎng)為20，當(dāng)這個(gè)扇形的面積最大時(shí)，則圓心角弧度．（四）三角函數(shù)定義題（1）利用三角函數(shù)的定義，已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)可求α的三角函數(shù)值；已知角α的三角函數(shù)值，也可以求出角α終邊的位置．（2）判斷三角函數(shù)值的符號(hào)，關(guān)鍵是確定角的終邊所在的象限，然后結(jié)合三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)確定所求三角函數(shù)值的符號(hào)，特別要注意不要忽略角的終邊在坐標(biāo)軸上的情況．題型5：三角函數(shù)定義題5-1．（2024高三上·廣東深圳·期末）已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為軸非負(fù)半軸，終邊與單位圓交于點(diǎn)，若點(diǎn)沿著單位圓順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，且.則.5-2．（2024高一上·天津武清·階段練習(xí)）設(shè)是第二象限角，為其終邊上一點(diǎn)，且，則.5-3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊過(guò)點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．5-4．（2024高三上·北京·階段練習(xí)）已知角的終邊為射線，則下列正確的是（

）A． B． C． D．（五）象限符號(hào)與坐標(biāo)軸角的三角函數(shù)值正弦函數(shù)值在第一、二象限為正，第三、四象限為負(fù)；．余弦函數(shù)值在第一、四象限為正，第二、三象限為負(fù)；．正切函數(shù)值在第一、三象限為正，第二、四象限為負(fù)．題型6：象限符號(hào)與坐標(biāo)軸角的三角函數(shù)值6-1．（2024·四川達(dá)州·一模）寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的角.（用弧度制表示）①，②.6-2．（2024高一上·北京大興·階段練習(xí)）已知，，則是第象限角．6-3．（2004·北京）已知，則下列不等關(guān)系中必定成立的是（

）A． B． C． D．6-4．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）若，則（

）A．且 B．且C．且 D．且一、單選題1．（2024·全國(guó)）沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”，如圖，是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點(diǎn)，D在上，．“會(huì)圓術(shù)”給出的弧長(zhǎng)的近似值s的計(jì)算公式：．當(dāng)時(shí)，（

）A． B． C． D．2．（2024高三上·安徽合肥·階段練習(xí)）已知扇形的圓心角弧度為2，所對(duì)弦長(zhǎng)為6，則該扇形的面積為（

）A． B． C． D．3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，以軸的非負(fù)半軸為始邊，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列各式的值恒大于0的有（

）個(gè)．①；②；③；④．A．0 B．1 C．2 D．34．（2024·新疆·一模）已知集合，則集合的元素個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．2 C．4 D．55．（2024高三上·浙江·階段練習(xí)）我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)造性的提出了“割圓術(shù)”，劉徽認(rèn)為圓的內(nèi)接正邊形隨著邊數(shù)的無(wú)限增大，圓的內(nèi)接正邊形的周長(zhǎng)就無(wú)限接近圓的周長(zhǎng)，并由此求得圓周率的近似值．如圖當(dāng)時(shí)，圓內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)為，故，即．運(yùn)用“割圓術(shù)”的思想，下列估算正確的是（

）

A．時(shí)， B．時(shí)，C．時(shí)， D．時(shí)，6．（2024高三上·河北邢臺(tái)·期末）已知銳角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊在軸非負(fù)半軸，現(xiàn)將角的終邊繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)后，交以原點(diǎn)為圓心的單位圓于點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．7．（2024高三上·遼寧·階段練習(xí)）2023年8月8日，第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)（成都世界大學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)）完美收官．在倒計(jì)時(shí)100天時(shí)，成都大運(yùn)會(huì)發(fā)布了官方體育圖標(biāo)——“十八墨寶”．這組“水墨熊貓”以大熊貓“奇一”為原型，將中國(guó)體育與中國(guó)書(shū)畫(huà)、中國(guó)國(guó)寶的融合做到了極致．“十八般武藝”造就“十八墨寶”，花式演繹十八項(xiàng)體育競(jìng)技，代表了體操、游泳、羽毛球等18個(gè)成都大運(yùn)會(huì)競(jìng)賽項(xiàng)目，深受廣大人民喜愛(ài)．其中，射箭的水墨熊貓以真實(shí)的射箭運(yùn)動(dòng)為原型，拉滿弓箭時(shí)，弓臂為圓弧形，弧中點(diǎn)到弦中點(diǎn)的距離為2cm，弦長(zhǎng)為8cm，則弓形的面積約為（參考數(shù)據(jù)：，）（

）A． B． C． D．8．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）集合中的角所表示的范圍(陰影部分)是（

）A．

B．

C．

D．

9．（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）月牙泉，古稱沙井，俗名藥泉，自漢朝起即為“敦煌八景”之一，得名“月泉曉澈”，因其形酷似一彎新月而得名．如圖所示，某月牙泉模型的邊緣都可以看作是圓弧，兩段圓弧可以看成是的外接圓和以AB為直徑的圓的一部分，若，AB的長(zhǎng)約為，則該月牙泉模型的面積約為（

）A． B．C． D．10．（2024高三上·重慶·階段練習(xí)）“萊洛三角形”是機(jī)械學(xué)家萊洛研究發(fā)現(xiàn)的一種曲邊三角形，它在很多特殊領(lǐng)域發(fā)揮了超常的貢獻(xiàn)值．“萊洛三角形”是分別以正三角形的頂點(diǎn)為圓心，以其邊長(zhǎng)為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形（如圖所示）．現(xiàn)以邊長(zhǎng)為4的正三角形作一個(gè)“萊洛三角形”，則此“萊洛三角形”的面積為（

）

A． B． C． D．11．（2024高三上·河北承德·期中）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為，圓錐的高分別為和，側(cè)面積分別為和，若，則（

）A．2 B． C． D．12．（2024高三上·安徽·期中）扇子是引風(fēng)用品，夏令必備之物.我國(guó)傳統(tǒng)扇文化源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，是中華文化的一個(gè)組成部分.歷史上最早的扇子是一種禮儀工具，后來(lái)慢慢演變?yōu)榧{涼、娛樂(lè)、觀賞的生活用品和工藝品.扇子的種類較多，受大眾喜愛(ài)的有團(tuán)扇和折扇.如圖1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊紙或綾絹?zhàn)錾让娑瞥傻?完全打開(kāi)后的折扇為扇形（如圖2），若圖2中，，分別在，上，，的長(zhǎng)為，則該折扇的扇面的面積為（

）

圖1

圖2A． B． C． D．13．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知兩圓錐的底面積分別為、，其側(cè)面展開(kāi)圖中圓心角之和為，則兩圓錐的母線長(zhǎng)之和的最小值為（

）A． B． C． D．14．（2024高三上·河南·期中）已知一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)圓心角為的扇形，若該圓錐底面圓的半徑為1，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．15．（2024高三上·福建·期中）如圖是杭州2023年第19屆亞運(yùn)會(huì)會(huì)徽，名為“潮涌”，主體圖形由扇面、錢(qián)塘江、錢(qián)江潮頭、賽道、互聯(lián)網(wǎng)符號(hào)及象征亞奧理事會(huì)的太陽(yáng)圖形六個(gè)元素組成，集古典美和現(xiàn)代美于一體，富有東方神韻和時(shí)代氣息.其中扇面的圓心角為，從里到外半徑以1遞增，若這些扇形的弧長(zhǎng)之和為（扇形視為連續(xù)弧長(zhǎng)，中間沒(méi)有斷開(kāi)），則最小扇形的半徑為（

）

A．6 B．8 C．9 D．1216．（2024高三上·安徽合肥·階段練習(xí)）若扇形的周長(zhǎng)等于40cm，則扇形面積的最大值是（

）cm2.A．400 B．200 C．100 D．5017．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）甲、乙兩個(gè)圓錐的底面半徑相等，均為，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為，表面積之和為．則底面半徑的最大值為（

）A． B． C． D．18．（2024高一下·河北張家口·期中）如圖，已知扇形的周長(zhǎng)為，當(dāng)該扇形的面積取最大值時(shí)，弦長(zhǎng)（

）

A． B． C． D．19．（2024高三上·廣東·學(xué)業(yè)考試）已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸，終邊過(guò)點(diǎn)（3，4)，則角的正切值為（

）A． B． C． D．20．（2024高三上·重慶渝北·階段練習(xí)）已知角終邊上有一點(diǎn)，則是（）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角21．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊過(guò)點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．22．（2024·遼寧·一模）已知角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最小正值為（

）A． B． C． D．23．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若角α是第二象限角，則角2α的終邊不可能在()A．第一、二象限 B．第二、三象限C．第三、四象限 D．第一、四象限24．（2024高三上·湖北黃岡·期中）若角滿足＝(k∈Z)，則的終邊一定在()A．第一象限或第二象限或第三象限B．第一象限或第二象限或第四象限C．第一象限或第二象限或x軸非正半軸上D．第一象限或第二象限或y軸非正半軸上25．（2024高一下·河南焦作·期中）已知角的終邊與的終邊重合，則的終邊不可能在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限26．（2024高一下·陜西榆林·階段練習(xí)）若角是第一象限角，則是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角27．（2024高一下·陜西渭南·階段練習(xí)）已知點(diǎn)是第二象限的點(diǎn)，則的終邊位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限28．（2024高三上·河南許昌·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)位于第（

）象限A．一 B．二 C．三 D．四29．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知是第二象限角，則點(diǎn)（，）所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限30．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知是第二象限角，則點(diǎn)所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限31．（2024高三下·江西·階段練習(xí)）已知點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．32．（2024高一·全國(guó)·課后作業(yè)）設(shè)，角的終邊與圓的交點(diǎn)為，那么（

）A． B． C． D．33．（2024·北京豐臺(tái)·三模）已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，將繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．134．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）如果點(diǎn)P在角的終邊上，且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．35．（2024高三下·湖南邵陽(yáng)·學(xué)業(yè)考試）已知是角終邊上的一點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．二、多選題36．（2024高二下·廣東·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后到達(dá)點(diǎn)，若，則可以?。?/p>

）A． B． C． D．37．（2024高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知角的終邊落在第二象限，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．三、填空題38．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）①若角與角的終邊相同，則與的數(shù)量關(guān)系為；②若角與角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，則與的數(shù)量關(guān)系為；③若角與角的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則與的數(shù)量關(guān)系為；④若角與角的終邊在一條直線上，則與的數(shù)量關(guān)系為；⑤如果是第一象限的角，那么是第象限的角.39．（2024·山東）某中學(xué)開(kāi)展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)生加工制作零件，零件的截面如圖所示．O為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心，A是圓弧AB與直線AG的切點(diǎn)，B是圓弧AB與直線BC的切點(diǎn)，四邊形DEFG為矩形，BC⊥DG，垂足為C，tan∠ODC=，，EF=12cm，DE=2cm，A到直線DE和EF的距離均為7cm，圓孔半徑為1cm，則圖中陰影部分的面積為cm2．40．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知直線與圓交于，兩點(diǎn)，則劣弧所對(duì)應(yīng)的扇形的面積為．41．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知扇形的周長(zhǎng)為40，則當(dāng)扇形的面積最大時(shí)，它的半徑和圓心角分別為.42．（2024·北京）若點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)為，寫(xiě)出的一個(gè)取值為．43．（2024高三上·北京順義·期中）已知命題：若為第一象限角，且，則.能說(shuō)明命題為假命題的一組的值可以是，.44．（2024高三上·重慶·階段練習(xí)）若扇形的半徑為2，面積為，則扇形的周長(zhǎng)為．45．（2024高一·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)P，Q從點(diǎn)出發(fā)在單位圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P按逆時(shí)針?lè)较蛎棵腌娹D(zhuǎn)弧度，點(diǎn)Q按順時(shí)針?lè)较蛎棵腌娹D(zhuǎn)弧度，則P，Q兩點(diǎn)在第2019次相遇時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為.四、解答題46．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知一扇形的圓心角為α，半徑為R，弧長(zhǎng)為l.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧長(zhǎng)l；(2)已知扇形的周長(zhǎng)為10cm，面積是4cm2，求扇形的圓心角；(3)若扇形周長(zhǎng)為20cm，當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？47．（2024高一·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，點(diǎn)是圓上的點(diǎn).(1)若，，求劣弧的長(zhǎng)；(2)已知扇形的周長(zhǎng)為，求這個(gè)扇形的面積取得最大值時(shí)圓心角的大小.48．（2024高一下·江西贛州·階段練習(xí)）已知一扇形的圓心角為，半徑為，弧長(zhǎng)為．(1)已知扇形的周長(zhǎng)為，面積是，求扇形的圓心角；(2)若扇形周長(zhǎng)為，當(dāng)扇形的圓心角為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？并求此扇形的最大面積．49．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知角終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且．求的值成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjshuxue加入百度網(wǎng)盤(pán)群1.5T一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存自動(dòng)更新永不過(guò)期專題16任意角與弧度制及三角函數(shù)的概念6題型分類1、角的概念（1）任意角：①定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形；②分類：角按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負(fù)角和零角．（2）所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合是．（3）象限角：使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限．（4）象限角的集合表示方法：2、弧度制（1）定義：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，用符號(hào)rad表示，讀作弧度．正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0．（2）角度制和弧度制的互化：，，．（3）扇形的弧長(zhǎng)公式：，扇形的面積公式：．3、任意角的三角函數(shù)（1）定義：任意角的終邊與單位圓交于點(diǎn)時(shí)，則，，．（2）推廣：三角函數(shù)坐標(biāo)法定義中，若取點(diǎn)P是角終邊上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，則，，三角函數(shù)的性質(zhì)如下表：三角函數(shù)定義域第一象限符號(hào)第二象限符號(hào)第三象限符號(hào)第四象限符號(hào)＋＋－－＋－－＋＋－＋－記憶口訣：三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．（一）終邊相同的角（1）終邊相同的角的集合的表示與識(shí)別可用列舉歸納法和雙向等差數(shù)列的方法解決．（2）注意正角、第一象限角和銳角的聯(lián)系與區(qū)別，正角可以是任一象限角，也可以是坐標(biāo)軸角；銳角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐標(biāo)軸角．題型1：終邊相同的角1-1．（2024高二上·安徽合肥·學(xué)業(yè)考試）下列各角中與角的終邊相同的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】寫(xiě)出與角的終邊相同的角為，，即可得出正確答案.【詳解】與角的終邊相同的角為，當(dāng)時(shí)，，B正確；將A，C，D代入，，得出均不是整數(shù)，即其他三個(gè)選項(xiàng)均不合要求.故選：B1-2．（2024高一·全國(guó)·課后作業(yè)）下列與角的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)終邊相同的角的表示方法，以及角度和弧度的用法要求，分別判斷各選項(xiàng)，可得答案.【詳解】對(duì)于A，B，，中角度和弧度混用，不正確；對(duì)于C，因?yàn)榕c是終邊相同的角，故與角的終邊相同的角可表示為，C正確；對(duì)于D，，不妨取，則表示的角與終邊不相同，D錯(cuò)誤，故選：C1-3．（2024·山東）終邊在軸的正半軸上的角的集合是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用終邊落在坐標(biāo)軸上角的表示方法即可求解【詳解】終邊在軸正半軸上的角的集合是故選：A1-4．（2024高一·全國(guó)·專題練習(xí)）若角的終邊與角的終邊相同，則在內(nèi)與角的終邊相同的角是.【答案】/【分析】根據(jù)終邊相同角的表示，求得，令，求得，進(jìn)而得到答案.【詳解】因?yàn)榻铅鹊慕K邊與角的終邊相同，可得，所以，令，解得，所以，所以在內(nèi)與角的終邊相同的角為.故答案為：.（二）角的象限問(wèn)題圖象法在平面直角坐標(biāo)系中，作出已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角轉(zhuǎn)化法先將已知角化為k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出與已知角終邊相同的角α，再由角α終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角注：注意正角、第一象限角和銳角的聯(lián)系與區(qū)別，正角可以是任一象限角，也可以是坐標(biāo)軸角；銳角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐標(biāo)軸角．題型2：角的象限問(wèn)題2-1．（2024高三上·海南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）若是第一象限角，則下列各角為第四象限角的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意，根據(jù)角的定義和象限角的概念可判斷各個(gè)選項(xiàng).【詳解】因?yàn)槭堑谝幌笙藿?，所以是第四象限角，則是第一象限角，故A錯(cuò)誤；是第二象限角，故B錯(cuò)誤；是第四象限角，故C正確；是第一象限角，故D錯(cuò)誤.故選：C.2-2．（2024高一下·寧夏銀川·期中）已知是銳角，那么是（

）．A．第一象限角 B．第二象限角C．小于180°的正角 D．第一或第二象限角【答案】C【分析】由題知，故，進(jìn)而得答案.【詳解】因?yàn)槭卿J角,所以,所以,滿足小于180°的正角.其中D選項(xiàng)不包括，故錯(cuò)誤.故選：C2-3．（2024高三上·上海靜安·期末）設(shè)是第一象限的角，則所在的象限為（

）A．第一象限 B．第三象限C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限【答案】C【分析】根據(jù)是第一象限的角，求出的范圍判斷即可得解.【詳解】因?yàn)槭堑谝幌笙薜慕?，所以，，所以，?dāng)時(shí)，，為第一象限角；當(dāng)時(shí)，，為第三象限角.故選：C2-4．（2024高三上·江蘇南京·階段練習(xí)）已知角終邊上有一點(diǎn)，則是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【分析】根據(jù)所在象限可判斷點(diǎn)P所在象限，然后根據(jù)對(duì)稱性可得.【詳解】因?yàn)槭堑诙笙藿?，所以，所以點(diǎn)P在第四象限，即角為第四象限角，所以為第一象限角，所以為第三象限角.故選：C2-5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知角第二象限角，且，則角是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】A【分析】寫(xiě)出象限角的取值范圍，可求出是第一象限角或第三象限角，再由可得出選項(xiàng).【詳解】因?yàn)榻堑诙笙藿牵?，所以，所以角是第一象限角或第三象限角．又因?yàn)?，即，所以角是第一象限角，故選：A．2-6．（2024高三上·北京·開(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)落在角的終邊上，且，則是第（

）象限角.A．一 B．二 C．三 D．四【答案】C【分析】首先求點(diǎn)的坐標(biāo)，再判斷的象限.【詳解】，，所以，點(diǎn)是第三象限，所以是第三象限角.故選：C（三）弧長(zhǎng)與扇形面積公式的計(jì)算應(yīng)用弧度制解決問(wèn)題的方法（1）利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度．（2）求扇形面積最大值的問(wèn)題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題．（3）在解決弧長(zhǎng)問(wèn)題和扇形面積問(wèn)題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形．題型3：弧長(zhǎng)與扇形面積公式的計(jì)算3-1．（2024高三下·上海松江·階段練習(xí)）已知扇形的圓心角為，扇形的面積為，則該扇形的周長(zhǎng)為.【答案】【分析】利用扇形面積公式可得半徑，可得弧長(zhǎng)為，即可計(jì)算出周長(zhǎng)為.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，利用扇形面積計(jì)算公式，可得；所以該扇形的弧長(zhǎng)為，所以周長(zhǎng)為.故答案為：3-2．（2024高一下·四川南充·期中）已知扇形圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)，則該扇形面積為.【答案】【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式以及扇形面積公式即可求解.【詳解】由弧長(zhǎng)公式可得，所以扇形面積為，故答案為：3-3．（2024高一上·福建龍巖·階段練習(xí)）《九章算術(shù)》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，其對(duì)扇形田面積給出“以徑乘周四而一”的算法與現(xiàn)代的算法一致，根據(jù)這一算法解決下列問(wèn)題：現(xiàn)有一扇形田，下周長(zhǎng)（弧長(zhǎng)）為20米，徑長(zhǎng)（兩段半徑的和）為20米，則該扇形田的面積為平方米.【答案】100【分析】本題可通過(guò)題意中的“以徑乘周四而一”得出答案.【詳解】因?yàn)閺介L(zhǎng)為20米，下周長(zhǎng)為20米，所以由題意中“以徑乘周四而一”可知，該扇形菜田的面積平方米。故答案為：100.3-4．（2024高三上·湖北武漢·期中）杭州第屆亞洲運(yùn)動(dòng)會(huì)，于年月日至月日在中國(guó)浙江省杭州市舉行，本屆亞運(yùn)會(huì)的會(huì)徽名為“潮涌”，主體圖形由扇面、錢(qián)塘江、錢(qián)江潮頭、賽道、互聯(lián)網(wǎng)符號(hào)及象征亞奧理事會(huì)的太陽(yáng)圖形六個(gè)元素組成（如圖），其中扇面造型突出反映了江南的人文意蘊(yùn).已知該扇面呈扇環(huán)的形狀，內(nèi)環(huán)和外環(huán)均為圓周的一部分，若內(nèi)環(huán)弧長(zhǎng)是所在圓周長(zhǎng)的，內(nèi)環(huán)所在圓的半徑為，徑長(zhǎng)（內(nèi)環(huán)和外環(huán)所在圓的半徑之差）為，則該扇面的面積為.【答案】【分析】根據(jù)題意求出內(nèi)環(huán)圓弧所對(duì)的圓心角，并求出外環(huán)圓弧所在圓的半徑，利用扇形的面積公式可求得該扇面的面積.【詳解】設(shè)內(nèi)環(huán)圓弧所對(duì)的圓心角為，因?yàn)閮?nèi)環(huán)弧長(zhǎng)是所在圓周長(zhǎng)的，且內(nèi)環(huán)所在圓的半徑為，所以，，可得，因?yàn)閺介L(zhǎng)（內(nèi)環(huán)和外環(huán)所在圓的半徑之差）為，所以，外環(huán)圓弧所在圓的半徑為，因此，該扇面的面積為.故答案為：.3-5．（2024高一上·重慶北碚·期末）在東方設(shè)計(jì)中存在著一個(gè)名為“白銀比例”的理念，這個(gè)比例為，它在東方文化中的重要程度不亞于西方文化中的“黃金分割比例”，傳達(dá)出一種獨(dú)特的東方審美觀.如圖，假設(shè)扇子是從一個(gè)圓面剪下的，扇形的面積為，圓面剩余部分的面積為，當(dāng)時(shí)，扇面較為美觀.那么按“白銀比例”制作折扇時(shí)，扇子圓心角的弧度數(shù)為.【答案】【分析】設(shè)扇子圓心角為，則圓面剩余部分的圓心角為，圓的半徑為，根據(jù)扇形的面積公式得到方程，解得即可.【詳解】解：設(shè)扇子圓心角為，則圓面剩余部分的圓心角為，圓的半徑為，則，，因?yàn)?，即，即，所?故答案為：題型4：扇形計(jì)算的最值問(wèn)題4-1．（2024高一上·山西朔州·期末）若一個(gè)扇形的周長(zhǎng)是4為定值，則當(dāng)該扇形面積最大時(shí)，其圓心角的弧度數(shù)是.【答案】2【分析】設(shè)扇形的圓心角弧度數(shù)為，半徑為，根據(jù)題意，，根據(jù)扇形的面積公式即可得解.【詳解】解：設(shè)扇形的圓心角弧度數(shù)為，半徑為，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，解得時(shí)，扇形面積最大.此時(shí).故答案為：2.4-2．（2024高三上·安徽六安·階段練習(xí)）已知扇形的周長(zhǎng)為，則當(dāng)扇形的圓心角扇形面積最大．【答案】【分析】由扇形周長(zhǎng)公式列式，根據(jù)扇形面積公式列式并化簡(jiǎn)為二次函數(shù)形式，從而求解得時(shí)扇形面積最大，計(jì)算出弧長(zhǎng)，由弧長(zhǎng)公式計(jì)算圓心角的值.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，弧長(zhǎng)為，由題意，，扇形的面積為，所以當(dāng)時(shí)，扇形面積取最大值，此時(shí)，所以扇形的圓心角時(shí)，扇形面積最大.故答案為：4-3．（2024高一下·浙江溫州·期中）已知扇形的周長(zhǎng)為8，則扇形的面積的最大值是，此時(shí)弦長(zhǎng).【答案】4【分析】設(shè)扇形半徑為，則弧長(zhǎng)，扇形面積解得答案.【詳解】由題意，可設(shè)扇形半徑為，則弧長(zhǎng)，圓心角，扇形面積，所以當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)弦長(zhǎng)故答案為4和【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積的最大值和弦長(zhǎng)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.4-4．（2024高一下·遼寧大連·階段練習(xí)）已知某扇形的面積為3，則該扇形的周長(zhǎng)最小值為（

）A．2 B．4 C． D．【答案】D【分析】設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為，半徑為，由題意可知，再利用基本不等式，即可求出扇形的周長(zhǎng)最小值.【詳解】設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為，半徑為，所以扇形的面積為，所以，又扇形的周長(zhǎng)為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào).故選：D.4-5．（2024高三上·江西鷹潭·階段練習(xí)）已知一扇形的圓心角為，半徑為r，弧長(zhǎng)為l，若扇形周長(zhǎng)為20，當(dāng)這個(gè)扇形的面積最大時(shí)，則圓心角弧度．【答案】.【分析】由題意得到，求得扇形的面積，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，扇形的圓心角為，半徑為r，弧長(zhǎng)為l，且扇形周長(zhǎng)為20，可得，即，則扇形的面積，當(dāng)時(shí)，扇形面積取得最大值，此時(shí).故答案為：.（四）三角函數(shù)定義題（1）利用三角函數(shù)的定義，已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)可求α的三角函數(shù)值；已知角α的三角函數(shù)值，也可以求出角α終邊的位置．（2）判斷三角函數(shù)值的符號(hào)，關(guān)鍵是確定角的終邊所在的象限，然后結(jié)合三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)確定所求三角函數(shù)值的符號(hào)，特別要注意不要忽略角的終邊在坐標(biāo)軸上的情況．題型5：三角函數(shù)定義題5-1．（2024高三上·廣東深圳·期末）已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為軸非負(fù)半軸，終邊與單位圓交于點(diǎn)，若點(diǎn)沿著單位圓順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，且.則.【答案】【分析】由三角函數(shù)定義得應(yīng)用和角余弦公式求目標(biāo)函數(shù)值.【詳解】由三角函數(shù)定義知?jiǎng)t.故答案為：5-2．（2024高一上·天津武清·階段練習(xí)）設(shè)是第二象限角，為其終邊上一點(diǎn)，且，則.【答案】/【分析】由三角函數(shù)的定義及角所在象限、終邊上的點(diǎn)列方程求參數(shù)，進(jìn)而求正切值.【詳解】由題設(shè)，則且，可得，所以.故答案為：5-3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊過(guò)點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，由三角函數(shù)的定義，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】∵角的終邊過(guò)點(diǎn)，∴，，，由三角函數(shù)的定義知，故選：A．5-4．（2024高三上·北京·階段練習(xí)）已知角的終邊為射線，則下列正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題知角的集合為，再結(jié)合誘導(dǎo)公式依次討論各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：因?yàn)榻堑慕K邊為射線，所以，角時(shí)，，所以，角的集合為，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；所以，，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；，故C選項(xiàng)正確；，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C（五）象限符號(hào)與坐標(biāo)軸角的三角函數(shù)值正弦函數(shù)值在第一、二象限為正，第三、四象限為負(fù)；．余弦函數(shù)值在第一、四象限為正，第二、三象限為負(fù)；．正切函數(shù)值在第一、三象限為正，第二、四象限為負(fù)．題型6：象限符號(hào)與坐標(biāo)軸角的三角函數(shù)值6-1．（2024·四川達(dá)州·一模）寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的角.（用弧度制表示）①，②.【答案】（答案不唯一，符合即可）【分析】由題意求出的范圍即可.【詳解】因?yàn)?，且，所以，所以可?故答案為：.（答案不唯一，符合即可）6-2．（2024高一上·北京大興·階段練習(xí)）已知，，則是第象限角．【答案】四【分析】由三角函數(shù)的正負(fù)，判斷角所在的象限；【詳解】，角在第三，四象限和y軸非正半軸;，角在第一，第四象限和x軸非負(fù)半軸;綜上可知，滿足，且，則是第四象限.故答案為：四6-3．（2004·北京）已知，則下列不等關(guān)系中必定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題設(shè)得，即可確定范圍，進(jìn)而求，即可得答案.【詳解】由題設(shè)，故為第二象限角，且，所以且，故，而大小不定.故選：B6-4．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）若，則（

）A．且 B．且C．且 D．且【答案】C【分析】根據(jù)弧度判斷角所在象限，進(jìn)而確定對(duì)應(yīng)函數(shù)值符號(hào)即可.【詳解】由，即為第四象限角，所以且.故選：C一、單選題1．（2024·全國(guó)）沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”，如圖，是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點(diǎn)，D在上，．“會(huì)圓術(shù)”給出的弧長(zhǎng)的近似值s的計(jì)算公式：．當(dāng)時(shí)，（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，分別求出，再根據(jù)題中公式即可得出答案.【詳解】解：如圖，連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，又，所以三點(diǎn)共線，即，又，所以，則，故，所以.故選：B.2．（2024高三上·安徽合肥·階段練習(xí)）已知扇形的圓心角弧度為2，所對(duì)弦長(zhǎng)為6，則該扇形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由扇形的弧長(zhǎng)和面積公式求解即可.【詳解】因?yàn)樯刃蔚膱A心角弧度為2，所對(duì)弦長(zhǎng)為，為圓心，如下圖，取的中點(diǎn)，連接，則，則，則扇形的半徑，所以扇形的弧長(zhǎng)，.

故選：D.3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，以軸的非負(fù)半軸為始邊，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列各式的值恒大于0的有（

）個(gè)．①；②；③；④．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義得到，，，再依次判斷每個(gè)式子得到答案.【詳解】，，，①；②；③；④符號(hào)不確定．故選：C．4．（2024·新疆·一模）已知集合，則集合的元素個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．2 C．4 D．5【答案】A【分析】將的所有可能取值逐個(gè)代入計(jì)算即可得出集合，即可得集合的元素個(gè)數(shù).【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，共三個(gè)元素.故選：A.5．（2024高三上·浙江·階段練習(xí)）我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)造性的提出了“割圓術(shù)”，劉徽認(rèn)為圓的內(nèi)接正邊形隨著邊數(shù)的無(wú)限增大，圓的內(nèi)接正邊形的周長(zhǎng)就無(wú)限接近圓的周長(zhǎng)，并由此求得圓周率的近似值．如圖當(dāng)時(shí)，圓內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)為，故，即．運(yùn)用“割圓術(shù)”的思想，下列估算正確的是（

）

A．時(shí)， B．時(shí)，C．時(shí)， D．時(shí)，【答案】A【分析】求出正十二邊形的周長(zhǎng)，可得出，即可得解.【詳解】設(shè)圓的內(nèi)接正十二邊形被分成個(gè)如圖所示的等腰三角形，其頂角為，即，作于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，且，

因?yàn)?，在中，，即，所以，，則，所以，正十二邊形的周長(zhǎng)為，所以，.故選：A.6．（2024高三上·河北邢臺(tái)·期末）已知銳角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊在軸非負(fù)半軸，現(xiàn)將角的終邊繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)后，交以原點(diǎn)為圓心的單位圓于點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】判斷在第二象限，求出，即可得的值，將化為，利用兩角差的余弦公式，即可求得答案.【詳解】由題意得角的終邊繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)所得角為，為銳角，故，且P點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則在第二象限，則，故，則，故選：D7．（2024高三上·遼寧·階段練習(xí)）2023年8月8日，第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)（成都世界大學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)）完美收官．在倒計(jì)時(shí)100天時(shí)，成都大運(yùn)會(huì)發(fā)布了官方體育圖標(biāo)——“十八墨寶”．這組“水墨熊貓”以大熊貓“奇一”為原型，將中國(guó)體育與中國(guó)書(shū)畫(huà)、中國(guó)國(guó)寶的融合做到了極致．“十八般武藝”造就“十八墨寶”，花式演繹十八項(xiàng)體育競(jìng)技，代表了體操、游泳、羽毛球等18個(gè)成都大運(yùn)會(huì)競(jìng)賽項(xiàng)目，深受廣大人民喜愛(ài)．其中，射箭的水墨熊貓以真實(shí)的射箭運(yùn)動(dòng)為原型，拉滿弓箭時(shí)，弓臂為圓弧形，弧中點(diǎn)到弦中點(diǎn)的距離為2cm，弦長(zhǎng)為8cm，則弓形的面積約為（參考數(shù)據(jù)：，）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，求出弓形弧所對(duì)圓心角的大小，再求出扇形、三角形面積即可得解.【詳解】依題意，弦AB中點(diǎn)為D，弧AB的中點(diǎn)為C，，，，如圖，設(shè)圓的半徑為R，，，在中，，解得，，．顯然，則，，，于是，因此扇形的面積，而的面積，所以弓形面積約為.故選：C8．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）集合中的角所表示的范圍(陰影部分)是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】對(duì)分奇偶，結(jié)合終邊相同的角的定義討論判斷即可【詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)表示的范圍與表示的范圍一樣；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)表示的范圍與表示的范圍一樣，故選：C．9．（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）月牙泉，古稱沙井，俗名藥泉，自漢朝起即為“敦煌八景”之一，得名“月泉曉澈”，因其形酷似一彎新月而得名．如圖所示，某月牙泉模型的邊緣都可以看作是圓弧，兩段圓弧可以看成是的外接圓和以AB為直徑的圓的一部分，若，AB的長(zhǎng)約為，則該月牙泉模型的面積約為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由正弦定理求出外接圓的半徑為，得出弓形部分所對(duì)的圓心角，求出弓形面積后由半圓面積減去弓形面積即得．【詳解】設(shè)外接圓圓心為，如圖，半徑為，則，，因此，中弓形面積為，從而陰影部分面積為．故選：A．10．（2024高三上·重慶·階段練習(xí)）“萊洛三角形”是機(jī)械學(xué)家萊洛研究發(fā)現(xiàn)的一種曲邊三角形，它在很多特殊領(lǐng)域發(fā)揮了超常的貢獻(xiàn)值．“萊洛三角形”是分別以正三角形的頂點(diǎn)為圓心，以其邊長(zhǎng)為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形（如圖所示）．現(xiàn)以邊長(zhǎng)為4的正三角形作一個(gè)“萊洛三角形”，則此“萊洛三角形”的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】求出正三角形的面積和弓形的面積，進(jìn)而求出“萊洛三角形”的面積.【詳解】正三角形的面積為，圓弧的長(zhǎng)度為，故一個(gè)弓形的面積為，故“萊洛三角形”的面積為.故選：A11．（2024高三上·河北承德·期中）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為，圓錐的高分別為和，側(cè)面積分別為和，若，則（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)出母線長(zhǎng)、圓心角及底面半徑后計(jì)算即可得.【詳解】設(shè)甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)都為，底面半徑分別為、，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角分別為、，則，則，故，即有，，，即，同理，即，故.故選：D.12．（2024高三上·安徽·期中）扇子是引風(fēng)用品，夏令必備之物.我國(guó)傳統(tǒng)扇文化源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，是中華文化的一個(gè)組成部分.歷史上最早的扇子是一種禮儀工具，后來(lái)慢慢演變?yōu)榧{涼、娛樂(lè)、觀賞的生活用品和工藝品.扇子的種類較多，受大眾喜愛(ài)的有團(tuán)扇和折扇.如圖1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊紙或綾絹?zhàn)錾让娑瞥傻?完全打開(kāi)后的折扇為扇形（如圖2），若圖2中，，分別在，上，，的長(zhǎng)為，則該折扇的扇面的面積為（

）

圖1

圖2A． B． C． D．【答案】D【分析】先求得，再根據(jù)扇環(huán)的面積公式求得正確答案.【詳解】依題意，，所以，所以該折扇的扇面的面積為.故選：D13．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知兩圓錐的底面積分別為、，其側(cè)面展開(kāi)圖中圓心角之和為，則兩圓錐的母線長(zhǎng)之和的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別設(shè)出兩圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角及母線長(zhǎng)，借助相關(guān)公式及基本不等式即可求出最小值.【詳解】設(shè)兩圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角分別為、，母線長(zhǎng)分別為、，由題知兩個(gè)圓錐的底面半徑分別為，，所以，，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)、時(shí)等號(hào)成立.故選：C.14．（2024高三上·河南·期中）已知一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)圓心角為的扇形，若該圓錐底面圓的半徑為1，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)計(jì)算公式，求圓錐的母線長(zhǎng)與高，即可求得圓錐的體積.【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，即扇形的半徑.扇形的圓心角為，即，由底面圓的半徑為，則底面圓周長(zhǎng)，解得，設(shè)圓錐的高為，則，則圓錐的體積.故選：C.

15．（2024高三上·福建·期中）如圖是杭州2023年第19屆亞運(yùn)會(huì)會(huì)徽，名為“潮涌”，主體圖形由扇面、錢(qián)塘江、錢(qián)江潮頭、賽道、互聯(lián)網(wǎng)符號(hào)及象征亞奧理事會(huì)的太陽(yáng)圖形六個(gè)元素組成，集古典美和現(xiàn)代美于一體，富有東方神韻和時(shí)代氣息.其中扇面的圓心角為，從里到外半徑以1遞增，若這些扇形的弧長(zhǎng)之和為（扇形視為連續(xù)弧長(zhǎng)，中間沒(méi)有斷開(kāi)），則最小扇形的半徑為（

）

A．6 B．8 C．9 D．12【答案】C【分析】設(shè)出最小的半徑，表示出所有半徑，利用弧長(zhǎng)公式，結(jié)合等差數(shù)列求和，可得答案.【詳解】設(shè)最小的扇形的半徑為，扇形的半徑由小到大依次為，由，則扇形的弧長(zhǎng)由小到大依次為，所以，化簡(jiǎn)可得，解得.故選：C.16．（2024高三上·安徽合肥·階段練習(xí)）若扇形的周長(zhǎng)等于40cm，則扇形面積的最大值是（

）cm2.A．400 B．200 C．100 D．50【答案】C【分析】由扇形的周長(zhǎng)和面積公式都和半徑和弧長(zhǎng)有關(guān)，故可設(shè)出半徑和弧長(zhǎng)，表示出周長(zhǎng)和面積公式，根據(jù)基本不等式做出面積的最大值即可．【詳解】解：設(shè)扇形半徑為，弧長(zhǎng)為，則周長(zhǎng)為，面積為，，，即扇形面積的最大值是．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查扇形的周長(zhǎng)和面積公式及利用基本不等式求最值，考查運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，本題解題的關(guān)鍵是正確表示出扇形的面積，再利用基本不等式求解，屬于基礎(chǔ)題．17．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）甲、乙兩個(gè)圓錐的底面半徑相等，均為，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為，表面積之和為．則底面半徑的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)母線長(zhǎng)分別為，由側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和與表面積之和列方程求底面半徑，利用基本不等式求的最大值.【詳解】設(shè)母線長(zhǎng)分別為，則側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和，得．又表面積之和，得，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”，故選：A．18．（2024高一下·河北張家口·期中）如圖，已知扇形的周長(zhǎng)為，當(dāng)該扇形的面積取最大值時(shí)，弦長(zhǎng)（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)扇形的圓心角為，半徑為，弧長(zhǎng)為，可得出，利用基本不等式可求得扇形面積的最大值及其對(duì)應(yīng)的的值，進(jìn)而可求出、，然后線段的中點(diǎn)，可得出，進(jìn)而可求得線段的長(zhǎng).【詳解】設(shè)扇形的圓心角為，半徑為，弧長(zhǎng)為，則，，由可得，所以，扇形的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，扇形的面積最大，此時(shí)．因?yàn)椋瑒t扇形的圓心角，取線段的中點(diǎn)，由垂徑定理可知，

因?yàn)?，則，所以，.故選：A.19．（2024高三上·廣東·學(xué)業(yè)考試）已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸，終邊過(guò)點(diǎn)（3，4)，則角的正切值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由任意角的三角函數(shù)定義即可得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)公式tan==，故選：B.20．（2024高三上·重慶渝北·階段練習(xí)）已知角終邊上有一點(diǎn)，則是（）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】B【分析】首先由點(diǎn)的坐標(biāo)確定角終邊的位置，再確定所在象限.【詳解】，，即,點(diǎn)在第四象限，即角的終邊在第四象限，的終邊為角終邊的反向延長(zhǎng)線，那么的終邊在第二象限.故選：B21．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊過(guò)點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)終邊上的點(diǎn)寫(xiě)出對(duì)應(yīng)三角函數(shù)值，進(jìn)而求目標(biāo)式的值.【詳解】由已知得，且，，，則．故選：A22．（2024·遼寧·一模）已知角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最小正值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】通過(guò)，用誘導(dǎo)公式將點(diǎn)的坐標(biāo)化為，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可寫(xiě)出，判斷選項(xiàng)即可.【詳解】解：因?yàn)椋?，而，所以角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)可寫(xiě)為：，所以，因此的最小正值為.故選：D23．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若角α是第二象限角，則角2α的終邊不可能在()A．第一、二象限 B．第二、三象限C．第三、四象限 D．第一、四象限【答案】A【分析】求出角α的范圍，進(jìn)而可求出角2α的范圍，即可判斷角2α終邊所在位置，從而可得到答案．【詳解】∵角α是第二象限角，∴k×360°＋90°＜α＜k×360°＋180°，k∈Z.∴2k×360°＋180°＜2α＜2k×360°＋360°，k∈Z.∴2α可能是第三或第四象限角或是終邊在y軸的非正半軸上的角，即其終邊不可能在第一、二象限.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了象限角、軸線角知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．24．（2024高三上·湖北黃岡·期中）若角滿足＝(k∈Z)，則的終邊一定在()A．第一象限或第二象限或第三象限B．第一象限或第二象限或第四象限C．第一象限或第二象限或x軸非正半軸上D．第一象限或第二象限或y軸非正半軸上【答案】D【詳解】當(dāng)時(shí)，，終邊位于第一象限當(dāng)時(shí)，，終邊位于第二象限當(dāng)時(shí)，，終邊位于軸的非正半軸上當(dāng)時(shí)，，終邊位于第一象限綜上可知，則的終邊一定在第一象限或第二象限或軸的非正半軸上故選25．（2024高一下·河南焦作·期中）已知角的終邊與的終邊重合，則的終邊不可能在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】首先表示角的取值，即可得到的取值，再對(duì)分類討論，即可得解.【詳解】解：因?yàn)榻堑慕K邊與的終邊重合，所以，，所以，，令，則，此時(shí)的終邊位于第二象限；令，則，此時(shí)的終邊位于第三象限；令，則，此時(shí)的終邊位于第四象限．所以的終邊不可能在第一象限，故選：A．26．（2024高一下·陜西榆林·階段練習(xí)）若角是第一象限角，則是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角【答案】C【分析】根據(jù)題意得，分為偶數(shù)和奇數(shù)求解即可.【詳解】因?yàn)槭堑谌笙藿?，所以，所以，?dāng)為偶數(shù)時(shí)，是第一象限角，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，是第三象限角.故選：C．27．（2024高一下·陜西渭南·階段練習(xí)）已知點(diǎn)是第二象限的點(diǎn)，則的終邊位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】由為第二象限的點(diǎn)確定與的符號(hào)，再由與的符號(hào)確定的終邊所在象限即可.【詳解】∵點(diǎn)是第二象限的點(diǎn)，∴，，由可得，的終邊位于第二象限或第三象限或軸的非正半軸；由可得，的終邊位于第一象限或第三象限，綜上所述，的終邊位于第三象限.故選：C.28．（2024高三上·河南許昌·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)位于第（

）象限A．一 B．二 C．三 D．四【答案】B【分析】運(yùn)用誘導(dǎo)公式計(jì)算出P點(diǎn)坐標(biāo)的符號(hào)就可判斷出P點(diǎn)所在的象限.【詳解】因?yàn)椋?，所以點(diǎn)位于第二象限.故選：B29．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知是第二象限角，則點(diǎn)（，）所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)再確定象限.【詳解】由題意知：，，進(jìn)而得到，，所以點(diǎn)（，）位于第三象限.故選：C30．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知是第二象限角，則點(diǎn)所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)確定橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的正負(fù)，即可求解.【詳解】因?yàn)槭堑诙笙藿?，所以，，進(jìn)而硧定，.所以點(diǎn)在第四象限.故選：D31．（2024高三下·江西·階段練習(xí)）已知點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】點(diǎn)在第四象限，由求得結(jié)果.【詳解】，則點(diǎn)在第四象限，由，故.故選：C.32．（2024高一·全國(guó)·課后作業(yè)）設(shè)，角的終邊與圓的交點(diǎn)為，那么（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)點(diǎn)在單位圓上求出，再由三角函數(shù)的定義求解即可.【詳解】畫(huà)圖，角的終邊與圓的交點(diǎn)為，

設(shè)，則，，代入得，解得，∵，∴，∴，又∵在單位圓中，，，∴，，∴，故選：D33．（2024·北京豐臺(tái)·三模）已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，將繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．1【答案】D【分析】設(shè)射線與軸非負(fù)半軸所成夾角為，射線與軸非負(fù)半軸所成夾角為，則，根據(jù)三角函數(shù)的定義及誘導(dǎo)公式計(jì)算可得.【詳解】設(shè)射線與軸非負(fù)半軸所成夾角為，則，，射線與軸非負(fù)半軸所成夾角為，則，所以，又，，所以.故選：D34．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）如果點(diǎn)P在角的終邊上，且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求角終邊點(diǎn)坐標(biāo)即可.【詳解】由三角函數(shù)定義知：，，所以，，即P的坐標(biāo)是.故選：B35．（2024高三下·湖南邵陽(yáng)·學(xué)業(yè)考試）已知是角終邊上的一點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由三角函數(shù)的定義即可求解.【詳解】由三角函數(shù)的定義可知，故選：B二、多選題36．（2024高二下·廣東·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后到達(dá)點(diǎn)，若，則可以取（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)題意可得，再結(jié)合和已知條件可求出.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后到達(dá)點(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，則由，解得，或，所以可以取或，故選：AD37．（2024高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知角的終邊落在第二象限，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】由題設(shè)可得，，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)及各選項(xiàng)描述即可判斷正誤.【詳解】由題設(shè)，，故，，所以在第一象限右上部分或第三象限左下部分（不含邊界），故符號(hào)不定且與大小不定，而，.所以A、C錯(cuò)誤，B、D正確.故選：BD三、填空題38．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）①若角與角的終邊相同，則與的數(shù)量關(guān)系為；②若角與角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，則與的數(shù)量關(guān)系為；③若角與角的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則與的數(shù)量關(guān)系為；④若角與角的終邊在一條直線上，則與的數(shù)量關(guān)系為；⑤如果是第一象限的角，那么是第象限的角.【答案】一、二、三【分析】根據(jù)角的終邊關(guān)系寫(xiě)出兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系，注意對(duì)稱性、周期性應(yīng)用，根據(jù)所在象限寫(xiě)出的范圍，討論其所在的象限即可.【詳解】由角與角的終邊相同，則，由角與角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，則，由角與角的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則，由角與角的終邊在一條直線上，則，由是第一象限的角，則，所以，當(dāng)，則，在第一象限；當(dāng)，則，在第二象限；當(dāng)，則，在第三象限；當(dāng)，則依次重復(fù)出現(xiàn)在上述三個(gè)象限內(nèi)；所以在第一、二、三象限.故答案為：，，，，一、二、三39．（2024·山東）某中學(xué)開(kāi)展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)生加工制作零件，零件的截面如圖所示．O為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心，A是圓弧AB與直線AG的切點(diǎn)，B是圓弧AB與直線BC的切點(diǎn)，四邊形DEFG為矩形，BC⊥DG，垂足為C，tan∠ODC=，，EF=12cm，DE=2cm，A到直線DE和EF的距離均為7cm，圓孔半徑為1cm，則圖中陰影部分的面積為cm2．【答案】【分析】利用求出圓弧所在圓的半徑，結(jié)合扇形的面積公式求出扇形的面積，求出直角的面積，陰影部分的面積可通過(guò)兩者的面積之和減去半個(gè)單位圓的面積求得.【詳解】設(shè)，由題意，，所以，因?yàn)?所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)榕c圓弧相切于點(diǎn)，所以，即為等腰直角三角形；在直角中，，，因?yàn)?，所以，解得；等腰直角的面積為；扇形的面積，所以陰影部分的面積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)在實(shí)際中應(yīng)用，把陰影部分合理分割是求解的關(guān)鍵，以勞動(dòng)實(shí)習(xí)為背景，體現(xiàn)了五育并舉的育人方針.40．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知直線與圓交于，兩點(diǎn)，則劣弧所對(duì)應(yīng)的扇形的面積為．【答案】/【分析】化圓為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心到直線的距離，即可求出，再由扇形的面積公式求解即可.【詳解】由題意知，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心到直線l的距離．設(shè)弦