備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點(diǎn)突破和專題檢測(cè)專題30數(shù)列求和5題型分類(原卷版+解析)

專題30數(shù)列求和5題型分類數(shù)列求和的幾種常用方法1．公式法直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和．(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a11－qn,1－q)，q≠1)).2．分組求和法與并項(xiàng)求和法(1)分組求和法若一個(gè)數(shù)列是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后相加減．(2)并項(xiàng)求和法一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解．3．錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來(lái)求，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的．4．裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和．常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧(1)eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1).(2)eq\f(1,nn＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2))).(3)eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).(4)eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n).(5)eq\f(1,nn＋1n＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,nn＋1)－\f(1,n＋1n＋2))).常用結(jié)論常用求和公式(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2).(2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2.(3)12＋22＋32＋…＋n2＝eq\f(nn＋12n＋1,6).(4)13＋23＋33＋…＋n3＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(nn＋1,2)))2.（一）分組求和(1)若數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式為cn＝an±bn，且{an}，{bn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和．(2)若數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式為cn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an，n為奇數(shù)，,bn，n為偶數(shù)，))其中數(shù)列{an}，{bn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求{cn}的前n項(xiàng)和．題型1：分組求和1-1．（2024·吉林通化·模擬預(yù)測(cè)）為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列依次為：，規(guī)律是在和中間插入項(xiàng)，所有插入的項(xiàng)構(gòu)成以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列的前100項(xiàng)的和.1-2．（2024高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）在數(shù)列中，已知，．(1)求證：是等比數(shù)列．(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．1-3．（2024高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，，，按照如下規(guī)律構(gòu)造新數(shù)列：，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.1-4．（2024高三上·貴州貴陽(yáng)·期末）已知數(shù)列和滿足：，，，，其中．(1)求證：；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．題型2：并項(xiàng)求和2-1．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.2-2．（2024·河南·三模）在等比數(shù)列中，，且，，成等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求滿足的k的值．2-3．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前30項(xiàng)的和.2-4．（2024高三·北京海淀·專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則．（二）錯(cuò)位相減法求和(1)如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和時(shí)，常采用錯(cuò)位相減法．(2)錯(cuò)位相減法求和時(shí)，應(yīng)注意：①在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”，以便于下一步準(zhǔn)確地寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式．②應(yīng)用等比數(shù)列求和公式時(shí)必須注意公比q是否等于1，如果q＝1，應(yīng)用公式Sn＝na1.題型3：錯(cuò)位相減法求和3-1．（2024·廣東東莞·三模）已知數(shù)列和，，，.(1)求證數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.3-2．（2024·西藏日喀則·一模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.3-3．（2024高三上·山東濟(jì)南·期末）設(shè)數(shù)列?的前?項(xiàng)和為?，且?;數(shù)列?為等差數(shù)列，且?.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)若?，求數(shù)列的前項(xiàng)和?.3-4．（2024高三下·廣東茂名·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足且(1)若存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列，請(qǐng)求出的值；(2)在（1）的條件下，求出數(shù)列的前n項(xiàng)和．（三）裂項(xiàng)相消法的原則及規(guī)律(1)裂項(xiàng)原則一般是前面裂幾項(xiàng)，后面就裂幾項(xiàng)，直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止．(2)消項(xiàng)規(guī)律消項(xiàng)后前面剩幾項(xiàng)，后面就剩幾項(xiàng)，前面剩第幾項(xiàng)，后面就剩倒數(shù)第幾項(xiàng)．題型4：裂項(xiàng)相消法求和4-1．（2024高二下·云南臨滄·期中）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求；(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.4-2．（2024·山東德州·三模）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，記的前項(xiàng)和為，證明：．4-3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在數(shù)列中，已知，．(1)求；(2)若，為的前n項(xiàng)和，證明：．4-4．（2024·寧夏石嘴山·一模）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．4-5．（2024·海南省直轄縣級(jí)單位·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.（四）倒序相加法將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列，當(dāng)它與原數(shù)列相加時(shí)，若有規(guī)律可循，并且容易求和，則這樣的數(shù)列求和時(shí)可用倒序相加法（等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)即用此方法）．題型5：倒序相加法5-1．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）設(shè)函數(shù)，，．則數(shù)列的前n項(xiàng)和．5-2．（2024高三·全國(guó)·課后作業(yè)）設(shè)函數(shù)，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的方法，求得的值為.5-3．（2024·廣西玉林·三模）已知函數(shù)，若函數(shù)，數(shù)列為等差數(shù)列，，則．一、單選題1．（2024高二上·陜西西安·階段練習(xí)）數(shù)列9,99,999，…的前n項(xiàng)和為A．（10n－1）＋n B．10n－1C．（10n－1） D．（10n－1）－n2．（2024高二下·湖北·階段練習(xí)）高斯（Gauss）被認(rèn)為是歷史上最重要的數(shù)學(xué)家之一，并享有“數(shù)學(xué)王子”之稱．小學(xué)進(jìn)行的求和運(yùn)算時(shí)，他這樣算的：，，…，，共有50組，所以，這就是著名的高斯算法，課本上推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的方法正是借助了高斯算法．已知正數(shù)數(shù)列是公比不等于1的等比數(shù)列，且，試根據(jù)以上提示探求：若，則（

）A．2023 B．4046 C．2022 D．40443．（2024高三下·江西·開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（2024·浙江）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（

）A． B． C． D．二、填空題5．（2024高二下·江蘇南京·期中）已知數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為，且，則的前n項(xiàng)和為．6．（2024高二上·湖北黃岡·期末）年意大利數(shù)學(xué)家列昂那多斐波那契以兔子繁殖為例，引人“兔子數(shù)列”，又稱斐波那契數(shù)列，即該數(shù)列中的數(shù)字被人們稱為神奇數(shù)，在現(xiàn)代物理，化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用若此數(shù)列各項(xiàng)被除后的余數(shù)構(gòu)成一新數(shù)列，則數(shù)列的前項(xiàng)的和為.7．（2024高二上·上海黃浦·期中）數(shù)列的前n項(xiàng)和為.8．（2024高三下·全國(guó)·開(kāi)學(xué)考試）現(xiàn)取長(zhǎng)度為2的線段的中點(diǎn)，以為直徑作半圓，該半圓的面積為（圖1），再取線段的中點(diǎn)，以為直徑作半圓．所得半圓的面積之和為（圖2），再取線段的中點(diǎn)，以為直徑作半圓，所得半圓的面積之和為，以此類推，則．9．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）已知函數(shù)，則；數(shù)列滿足，則這個(gè)數(shù)列的前2015項(xiàng)的和等于.10．（2024·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）若數(shù)列滿足，，則的前n項(xiàng)和為.11．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知為無(wú)窮等比數(shù)列，，的各項(xiàng)和為9，，則數(shù)列的各項(xiàng)和為．12．（2024·全國(guó)）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把紙對(duì)折，規(guī)格為的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對(duì)折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推，則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為；如果對(duì)折次，那么.13．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）“數(shù)學(xué)王子”高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，他的數(shù)學(xué)研究幾乎遍及所有領(lǐng)域，并且高斯研究出很多數(shù)學(xué)理論，比如高斯函數(shù)?倒序相加法?最小二乘法?每一個(gè)階代數(shù)方程必有個(gè)復(fù)數(shù)解等.若函數(shù)，設(shè)，則.14．（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，設(shè)函數(shù)，則．15．（2024高三上·河北·階段練習(xí)）德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽(yù)為數(shù)學(xué)屆的王子，19歲的高斯得到了一個(gè)數(shù)學(xué)史上非常重要的結(jié)論，就是《正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法》．在其年幼時(shí)，對(duì)的求和運(yùn)算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法，現(xiàn)有函數(shù)，設(shè)數(shù)列滿足，若，則的前n項(xiàng)和．16．（2024高三上·福建泉州·期中）已知，則.17．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）數(shù)列的前n項(xiàng)和.18．（2024高二上·湖北黃岡·期末）已知的前項(xiàng)和為，，，則.三、解答題19．（2024高一下·山西·階段練習(xí)）已知數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．（2024高三上·河北·期末）已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．（2024高三上·河北邯鄲·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．22．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列.(1)求和.(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.23．（2024高三上·海南·期末）已知數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．24．（2024高一下·廣東梅州·期末）已知等差數(shù)列的前四項(xiàng)和為10，且成等比數(shù)列(1)求通項(xiàng)公式(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和25．（2024高三上·遼寧大連·期末）已知數(shù)列滿足：.設(shè).(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.26．（2024高三上·重慶·階段練習(xí)）已知數(shù)列中，，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求的前10項(xiàng)和.27．（2024·云南紅河·一模）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，其中公比，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．28．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)積為．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．29．（2024高三上·云南·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：（），數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求.30．（2024高二下·江西萍鄉(xiāng)·期末）已知函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，其中為實(shí)數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若數(shù)列的通項(xiàng)滿足，其前項(xiàng)和為，求.31．（2024高三上·天津河北·期末）已知是等差數(shù)列，其公差不等于，其前項(xiàng)和為是等比數(shù)列，且.(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)記，求的前項(xiàng)和.32．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.33．（2024高三上·全國(guó)·期末）數(shù)列為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，公比.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.34．（2024·吉林白山·一模）已知等比數(shù)列滿足，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和記為，求．35．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列．(1)求證：；(2)記的前n項(xiàng)和為，對(duì)任意，，求的取值范圍．36．（2024高二上·湖南張家界·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列滿足，，公比不為的等比數(shù)列滿足，．(1)求與通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求的前項(xiàng)和．37．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．38．（2024·新疆·一模）非零數(shù)列滿足，且．(1)設(shè)，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設(shè)，求的前項(xiàng)和．39．（2024高三上·遼寧沈陽(yáng)·期中）已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，(1)求(2)求40．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.41．（2024高三上·山西忻州·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，（）.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列，滿足，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.42．（2024·四川攀枝花·二模）已知數(shù)列滿足．(1)證明：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．43．（2024高二上·黑龍江哈爾濱·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．44．（2024高三上·云南曲靖·階段練習(xí)）已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，是的前n項(xiàng)和，．(1)若，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的首項(xiàng)為，滿足，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求．45．（2024高三上·廣東東莞·期末）數(shù)列的前n項(xiàng)積為，且滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和．46．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，記．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知，記數(shù)列的前項(xiàng)和為．求證：．47．（2024高二下·福建廈門·階段練習(xí)）數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)積為，且．(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)若，求的前項(xiàng)和．48．（2024高三上·云南德宏·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.49．（2024高三上·河北廊坊·期末）已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.50．（2024·四川綿陽(yáng)·二模）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．51．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）倉(cāng)庫(kù)有一種堆垛方式，如圖所示，最高一層盒，第二層盒，第三層盒，第四層20盒，第五層30盒，，請(qǐng)你尋找至少兩個(gè)堆放的規(guī)律．52．（2024·廣東廣州·三模）已知正項(xiàng)數(shù)列和為數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，（1）分別求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）將數(shù)列中與數(shù)列相同的項(xiàng)剔除后，按從條到大的順序構(gòu)成數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．53．（2024·湖南岳陽(yáng)·三模）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，其公比，，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．54．（2024·湖南衡陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列與等比數(shù)列的前項(xiàng)和分別為：，且滿足：，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若求數(shù)列的前項(xiàng)的和.55．（2024高三下·湖南常德·階段練習(xí)）已知數(shù)列，，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，若，，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，令為的前n項(xiàng)的和，求.56．（2024高三上·江蘇南京·階段練習(xí)）已知等比數(shù)列的公比，前n項(xiàng)和為，滿足：.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.57．（2024·廣東汕頭·一模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的前n項(xiàng)和為；(2)設(shè)，證明：.58．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.(1)求的值：(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式：(3)證明：對(duì)一切正整數(shù)，有.59．（2024高三上·天津和平·階段練習(xí)）已知為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，．(1)和的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前8項(xiàng)和；(3)證明：．60．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，若．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前18項(xiàng)和．61．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的前項(xiàng)和．62．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)記，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求．63．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)；(2)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，求證．64．（2024·江西南昌·三模）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足，且.(1)求；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.65．（2024·山東煙臺(tái)·三模）已知數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和66．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求集合中元素的個(gè)數(shù).67．（2024·福建廈門·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足．(1)證明為等差數(shù)列，并的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．68．（2024高三上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．69．（2024高三上·江西贛州·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和，并證明：.70．（2024·廣東汕頭·三模）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}中，a1=1且滿足，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足2Sn+1=3bn.(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn；(3)若在bk與bk+1之間依次插入數(shù)列{an}中的k項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列：b1，a1，b2，a2，a3，b3，a4，a5，a6，b4，……，求數(shù)列{cn}中前50項(xiàng)的和T50.71．（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，，.(1)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在與（其中）之間插入個(gè)3，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列.記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求.72．（2024高三上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列為等比數(shù)列，滿足是與的等差中項(xiàng).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前20項(xiàng)和.73．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求其前項(xiàng)和74．（2024高三上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若為前項(xiàng)的和，求.75．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．76．（2024高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，且，若．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)由，的公共項(xiàng)構(gòu)成的新數(shù)列記為，求數(shù)列的前5項(xiàng)之和．77．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）求和．78．（2024·天津津南·模擬預(yù)測(cè)）已知是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為.是公比為的等比數(shù)列..(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.79．（2024·天津）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記的前項(xiàng)和為，求證：；（Ⅲ）對(duì)任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．80．（2024·天津·一模）已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，，；數(shù)列的前n項(xiàng)和為，.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和；(3)求證：成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjshuxue加入百度網(wǎng)盤群1.5T一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存自動(dòng)更新永不過(guò)期專題30數(shù)列求和5題型分類數(shù)列求和的幾種常用方法1．公式法直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和．(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a11－qn,1－q)，q≠1)).2．分組求和法與并項(xiàng)求和法(1)分組求和法若一個(gè)數(shù)列是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后相加減．(2)并項(xiàng)求和法一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解．3．錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來(lái)求，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的．4．裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和．常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧(1)eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1).(2)eq\f(1,nn＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2))).(3)eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).(4)eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n).(5)eq\f(1,nn＋1n＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,nn＋1)－\f(1,n＋1n＋2))).常用結(jié)論常用求和公式(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2).(2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2.(3)12＋22＋32＋…＋n2＝eq\f(nn＋12n＋1,6).(4)13＋23＋33＋…＋n3＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(nn＋1,2)))2.（一）分組求和(1)若數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式為cn＝an±bn，且{an}，{bn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和．(2)若數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式為cn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an，n為奇數(shù)，,bn，n為偶數(shù)，))其中數(shù)列{an}，{bn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求{cn}的前n項(xiàng)和．題型1：分組求和1-1．（2024·吉林通化·模擬預(yù)測(cè)）為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列依次為：，規(guī)律是在和中間插入項(xiàng)，所有插入的項(xiàng)構(gòu)成以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列的前100項(xiàng)的和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用項(xiàng)與和的關(guān)系即可求解；（2）先確定數(shù)列的前100項(xiàng)中含有的前13項(xiàng)，含有中的前87項(xiàng)，再利用分組求和的方法即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得（舍去），由得時(shí)，，兩式相減得，因?yàn)椋?，所以是等差?shù)列，首項(xiàng)為4，公差為3，所以；（2）由于，因此數(shù)列的前100項(xiàng)中含有的前13項(xiàng)，含有中的前87項(xiàng)，所求和為.1-2．（2024高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）在數(shù)列中，已知，．(1)求證：是等比數(shù)列．(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)證明詳見(jiàn)解析(2)【分析】（1）通過(guò)湊配法證得是等比數(shù)列.（2）利用分組求和法求得.【詳解】（1）由，得，即，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）得.所以.1-3．（2024高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，，，按照如下規(guī)律構(gòu)造新數(shù)列：，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.【答案】(1).(2)【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系即可得遞推關(guān)系，進(jìn)而可求解，（2）根據(jù)分組求和，結(jié)合等差等比的求和公式即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由且得當(dāng)時(shí)，由得，所以.所以，故，又當(dāng)時(shí)，，適合上式.所以.（2）因?yàn)椋詳?shù)列的偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以為首項(xiàng)?2為公比的等比數(shù)列.故數(shù)列的前2n項(xiàng)的和，所以數(shù)列的前2n項(xiàng)和為.1-4．（2024高三上·貴州貴陽(yáng)·期末）已知數(shù)列和滿足：，，，，其中．(1)求證：；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由已知條件可推導(dǎo)出數(shù)列為常數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，求出這兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可證得成立；（2）由（1）可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用分組求和法可求得.【詳解】（1）證明：因?yàn)棰?，②，①②可得，且，所以，?shù)列為常數(shù)列，且③，①②可得，且，所以，數(shù)列為等比數(shù)列，且該數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，所以，④，③④可得，則，所以，.（2）解：由（1）可知，，則.題型2：并項(xiàng)求和2-1．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用和與項(xiàng)的關(guān)系可得，由可得，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；（2）根據(jù)的周期性，利用分組求和的方法即可求解.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，兩式子作差可得，又，所以，可得數(shù)列為公差為2的等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2），，所以，數(shù)列的前項(xiàng)和.2-2．（2024·河南·三模）在等比數(shù)列中，，且，，成等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求滿足的k的值．【答案】(1)；(2)40或37．【分析】（1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合等差中項(xiàng)的意義求出公比及首項(xiàng)作答.（2）由（1）的結(jié)論求出，再分奇偶求和作答.【詳解】（1）設(shè)的公比為q，由，得，解得，由，，成等差數(shù)列，得，即，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是．（2）由（1）知，，，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，，令，得；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，，令，得，所以或37.2-3．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前30項(xiàng)的和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式列式求出和，可得通項(xiàng)公式；（2）先求出，再利用并項(xiàng)求和法與等差數(shù)列的求和公式可得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)公差為，則，解得，，所以.（2），所以，所以.2-4．（2024高三·北京海淀·專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則．【答案】36【分析】根據(jù)條件分奇偶項(xiàng)討論得，計(jì)算求和即可.【詳解】由題意可得為奇數(shù)時(shí)，，兩式相減得；為偶數(shù)時(shí)，，兩式相加得，故.故答案為：36（二）錯(cuò)位相減法求和(1)如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和時(shí)，常采用錯(cuò)位相減法．(2)錯(cuò)位相減法求和時(shí)，應(yīng)注意：①在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”，以便于下一步準(zhǔn)確地寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式．②應(yīng)用等比數(shù)列求和公式時(shí)必須注意公比q是否等于1，如果q＝1，應(yīng)用公式Sn＝na1.題型3：錯(cuò)位相減法求和3-1．（2024·廣東東莞·三模）已知數(shù)列和，，，.(1)求證數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）通過(guò)題中關(guān)系，可得，進(jìn)而可得數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）可得，，則，可利用分組求和與錯(cuò)位相減求和解題.【詳解】（1）由，，得，整理得，而，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列（2）由（1）知，∴，∴，設(shè)，則，兩式相減得，從而∴.3-2．（2024·西藏日喀則·一模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)；；(2)【分析】（1）將、代入求，根據(jù)關(guān)系及遞推式可得，再次由關(guān)系及等比數(shù)列定義寫出通項(xiàng)公式；（2）應(yīng)用錯(cuò)位相減及等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求結(jié)果.【詳解】（1）由題意①，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，②，①－②得，當(dāng)時(shí)，也適合上式，所以，所以時(shí)，兩式相減得，故數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以.（2）由（1）得，③，④，③－④得：，所以.3-3．（2024高三上·山東濟(jì)南·期末）設(shè)數(shù)列?的前?項(xiàng)和為?，且?;數(shù)列?為等差數(shù)列，且?.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)若?，求數(shù)列的前項(xiàng)和?.【答案】(1)?(2)【分析】（1）利用前項(xiàng)和和通項(xiàng)公式的關(guān)系來(lái)解.（2）使用錯(cuò)位相減法解數(shù)列前項(xiàng)和.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，得.當(dāng)時(shí)，兩式相減有即.因?yàn)?，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列.則.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）在等差數(shù)列中，設(shè)首項(xiàng)為公差為，則解得所以.則①②所以①②得即解得3-4．（2024高三下·廣東茂名·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足且(1)若存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列，請(qǐng)求出的值；(2)在（1）的條件下，求出數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)．【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義，得出必為與無(wú)關(guān)的常數(shù)，即可求解；（2）由，且，結(jié)合（1）求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用“乘公比錯(cuò)位相減法”和等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）假設(shè)存在實(shí)數(shù)符合題意，則必為與無(wú)關(guān)的常數(shù).因?yàn)?要使是與無(wú)關(guān)的常數(shù)，則，可得.故存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列.（2）由，且，由（1）知等差數(shù)列的公差，所以，即，所以記：，有，兩式相減，得，故.（三）裂項(xiàng)相消法的原則及規(guī)律(1)裂項(xiàng)原則一般是前面裂幾項(xiàng)，后面就裂幾項(xiàng)，直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止．(2)消項(xiàng)規(guī)律消項(xiàng)后前面剩幾項(xiàng)，后面就剩幾項(xiàng)，前面剩第幾項(xiàng)，后面就剩倒數(shù)第幾項(xiàng)．題型4：裂項(xiàng)相消法求和4-1．（2024高二下·云南臨滄·期中）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求；(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）當(dāng)時(shí)，利用推出，由等差中項(xiàng)法得為等差數(shù)列，根據(jù)與求出公差，可得通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)進(jìn)行裂項(xiàng)求和可求出結(jié)果.【詳解】（1）由，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，所以，整理得：，①所以有，②①-②可得，所以為等差數(shù)列，因?yàn)?，所以公差為，所?（2），∴.4-2．（2024·山東德州·三模）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，記的前項(xiàng)和為，證明：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)數(shù)列遞推式可得，采用兩式相減的方法可得，從而構(gòu)造數(shù)列，可求得的通項(xiàng)公式；（2）由（1）的結(jié)論可得的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)求和法，可得答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，因?yàn)椋?，兩式相減得：，所以，，，，則，即也適合上式，所以是以5為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，故：，故；（2）由（1）得，故，當(dāng)時(shí)，，故.4-3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在數(shù)列中，已知，．(1)求；(2)若，為的前n項(xiàng)和，證明：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）構(gòu)造新數(shù)列，構(gòu)造等比數(shù)列可得計(jì)算可得.（2）先根據(jù)（1）得出，再根據(jù)得出一側(cè)邊界，最后放縮后應(yīng)用裂項(xiàng)相消計(jì)算證明即得【詳解】（1）而，是公比為首項(xiàng)為的等比數(shù)列，,.（2）,,,，，.4-4．（2024·寧夏石嘴山·一模）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系求解即可；（2）利用裂項(xiàng)相消法求解即可.【詳解】（1）時(shí)，，時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證時(shí)滿足，；（2），.4-5．（2024·海南省直轄縣級(jí)單位·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由和與項(xiàng)的關(guān)系求得，進(jìn)而判斷數(shù)列是等差數(shù)列，從而利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；（2）由（1）求得，進(jìn)而，最后利用裂項(xiàng)相消求和法即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)閷?duì)也成立.所以，所以數(shù)列是等差數(shù)列，則公差，故.（2）因?yàn)椋?，?（四）倒序相加法將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列，當(dāng)它與原數(shù)列相加時(shí)，若有規(guī)律可循，并且容易求和，則這樣的數(shù)列求和時(shí)可用倒序相加法（等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)即用此方法）．題型5：倒序相加法5-1．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）設(shè)函數(shù)，，．則數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】【分析】由題設(shè)，討論n的奇偶性求的通項(xiàng)公式，再求.【詳解】由題設(shè)，，所以，即且n≥2，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，故答案為：.5-2．（2024高三·全國(guó)·課后作業(yè)）設(shè)函數(shù)，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的方法，求得的值為.【答案】11【分析】注意到，后可用倒序相加法求得答案.【詳解】因，設(shè)，則，故.故答案為：115-3．（2024·廣西玉林·三模）已知函數(shù)，若函數(shù)，數(shù)列為等差數(shù)列，，則．【答案】44【分析】先求得，然后利用倒序相加法求得正確答案.【詳解】由題意，可得，設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，則，解得，則，根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)，可得，則，同理可得，，，，，∴．故答案為：一、單選題1．（2024高二上·陜西西安·階段練習(xí)）數(shù)列9,99,999，…的前n項(xiàng)和為A．（10n－1）＋n B．10n－1C．（10n－1） D．（10n－1）－n【答案】D【詳解】試題分析：數(shù)列各項(xiàng)加1后得到的數(shù)列為10,100,1000，…，構(gòu)成首項(xiàng)為10，公比為10的等比數(shù)列，所以通項(xiàng)公式為，故選：D2．（2024高二下·湖北·階段練習(xí)）高斯（Gauss）被認(rèn)為是歷史上最重要的數(shù)學(xué)家之一，并享有“數(shù)學(xué)王子”之稱．小學(xué)進(jìn)行的求和運(yùn)算時(shí)，他這樣算的：，，…，，共有50組，所以，這就是著名的高斯算法，課本上推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的方法正是借助了高斯算法．已知正數(shù)數(shù)列是公比不等于1的等比數(shù)列，且，試根據(jù)以上提示探求：若，則（

）A．2023 B．4046 C．2022 D．4044【答案】B【分析】根據(jù)倒序相加法，結(jié)合等比數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】根據(jù)等比數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)由，∵函數(shù)，∴，令，則，∴，∴．故選：B3．（2024高三下·江西·開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先利用裂項(xiàng)相消法求得，再由對(duì)任意的，不等式恒成立求解.【詳解】解：由，則，，，因?yàn)閷?duì)任意的，不等式恒成立，所以，解得或，故選：A4．（2024·浙江）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】顯然可知，，利用倒數(shù)法得到，再放縮可得，由累加法可得，進(jìn)而由局部放縮可得，然后利用累乘法求得，最后根據(jù)裂項(xiàng)相消法即可得到，從而得解．【詳解】因?yàn)椋?，．由，即根?jù)累加法可得，，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，由累乘法可得，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由裂項(xiàng)求和法得：所以，即．故選：A．【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是通過(guò)倒數(shù)法先找到的不等關(guān)系，再由累加法可求得，由題目條件可知要證小于某數(shù)，從而通過(guò)局部放縮得到的不等關(guān)系，改變不等式的方向得到，最后由裂項(xiàng)相消法求得．二、填空題5．（2024高二下·江蘇南京·期中）已知數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為，且，則的前n項(xiàng)和為．【答案】【分析】根據(jù)倒序相加法求得，再根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，又，所以又因?yàn)椋?，?故答案為：.6．（2024高二上·湖北黃岡·期末）年意大利數(shù)學(xué)家列昂那多斐波那契以兔子繁殖為例，引人“兔子數(shù)列”，又稱斐波那契數(shù)列，即該數(shù)列中的數(shù)字被人們稱為神奇數(shù)，在現(xiàn)代物理，化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用若此數(shù)列各項(xiàng)被除后的余數(shù)構(gòu)成一新數(shù)列，則數(shù)列的前項(xiàng)的和為.【答案】【分析】根據(jù)題意分析可得數(shù)列是周期為的數(shù)列，結(jié)合周期性分析運(yùn)算.【詳解】由數(shù)列，，，，，，，，，，各項(xiàng)除以的余數(shù)，可得數(shù)列為，，，，，，，，，，，，，，1，，所以數(shù)列是周期為的數(shù)列，一個(gè)周期中八項(xiàng)和為，又因?yàn)椋詳?shù)列的前項(xiàng)的和.故答案為：.7．（2024高二上·上海黃浦·期中）數(shù)列的前n項(xiàng)和為.【答案】【分析】先利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式得到，然后可直接求出前n項(xiàng)和.【詳解】觀察數(shù)列得到，所以前n項(xiàng)和.故答案為：.8．（2024高三下·全國(guó)·開(kāi)學(xué)考試）現(xiàn)取長(zhǎng)度為2的線段的中點(diǎn)，以為直徑作半圓，該半圓的面積為（圖1），再取線段的中點(diǎn)，以為直徑作半圓．所得半圓的面積之和為（圖2），再取線段的中點(diǎn)，以為直徑作半圓，所得半圓的面積之和為，以此類推，則．【答案】【分析】先求得，然后利用錯(cuò)位相減求和法求得正確答案.【詳解】依題意，，，，以此類推可知，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比是的等比數(shù)列，所以.令，則，，兩式相減得所以.所以.故答案為：9．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）已知函數(shù)，則；數(shù)列滿足，則這個(gè)數(shù)列的前2015項(xiàng)的和等于.【答案】/1007.5【分析】根據(jù)，化簡(jiǎn)即可，再利用倒序相加法即可求得答案.【詳解】由，得，所以，設(shè)數(shù)列前項(xiàng)之和為，則，，兩式相加得，所以，即這個(gè)數(shù)列的前2015項(xiàng)的和等于.故答案為：；.10．（2024·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）若數(shù)列滿足，，則的前n項(xiàng)和為.【答案】【分析】利用倒序相加法結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)可求的前n項(xiàng)和.【詳解】設(shè)的前n項(xiàng)和為，則，又，故，故，故答案為：.11．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知為無(wú)窮等比數(shù)列，，的各項(xiàng)和為9，，則數(shù)列的各項(xiàng)和為．【答案】【分析】先求出公比q，得到，直接用公式法求和.【詳解】解：設(shè)的公比為，由，的各項(xiàng)和為9，可得，解得，所以，，可得數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，則數(shù)列的各項(xiàng)和為．故答案為：．12．（2024·全國(guó)）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把紙對(duì)折，規(guī)格為的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對(duì)折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推，則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為；如果對(duì)折次，那么.【答案】5【分析】（1）按對(duì)折列舉即可；（2）根據(jù)規(guī)律可得，再根據(jù)錯(cuò)位相減法得結(jié)果.【詳解】（1）由對(duì)折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，所以對(duì)著三次的結(jié)果有：，共4種不同規(guī)格（單位；故對(duì)折4次可得到如下規(guī)格：，，，，，共5種不同規(guī)格；（2）由于每次對(duì)著后的圖形的面積都減小為原來(lái)的一半，故各次對(duì)著后的圖形，不論規(guī)格如何，其面積成公比為的等比數(shù)列，首項(xiàng)為120,第n次對(duì)折后的圖形面積為，對(duì)于第n此對(duì)折后的圖形的規(guī)格形狀種數(shù)，根據(jù)（1）的過(guò)程和結(jié)論，猜想為種（證明從略），故得猜想，設(shè)，則，兩式作差得：，因此，.故答案為：；.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的常用方法：（1）對(duì)于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；（2）對(duì)于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，用錯(cuò)位相減法求和；（3）對(duì)于結(jié)構(gòu)，利用分組求和法；（4）對(duì)于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，公差為，則，利用裂項(xiàng)相消法求和.13．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）“數(shù)學(xué)王子”高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，他的數(shù)學(xué)研究幾乎遍及所有領(lǐng)域，并且高斯研究出很多數(shù)學(xué)理論，比如高斯函數(shù)?倒序相加法?最小二乘法?每一個(gè)階代數(shù)方程必有個(gè)復(fù)數(shù)解等.若函數(shù)，設(shè)，則.【答案】46【分析】先證，由倒序相加法可得通項(xiàng)，然后可解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，設(shè)是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，其中，且，則有，從而當(dāng)時(shí)，有：，當(dāng)時(shí)，，，相加得所以，又，所以對(duì)一切正整數(shù)，有；故有.故答案為：46.14．（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，設(shè)函數(shù)，則．【答案】/【分析】根據(jù)可求，從而可求.易驗(yàn)證，故可采用倒序相加法求題設(shè)式子的值．【詳解】∵①，∴當(dāng)時(shí)，②，①－②得，∴；當(dāng)時(shí)，，∴，此時(shí)仍然成立，∴．∴當(dāng)n=1時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立，故．由于，設(shè)則，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵是熟練掌握利用前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的關(guān)系求得，觀察猜測(cè)并發(fā)現(xiàn)為定值，從而利用倒序相加法即可求和．15．（2024高三上·河北·階段練習(xí)）德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽(yù)為數(shù)學(xué)屆的王子，19歲的高斯得到了一個(gè)數(shù)學(xué)史上非常重要的結(jié)論，就是《正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法》．在其年幼時(shí)，對(duì)的求和運(yùn)算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法，現(xiàn)有函數(shù)，設(shè)數(shù)列滿足，若，則的前n項(xiàng)和．【答案】【分析】根據(jù)可推出，由此可采用倒序相加的方法求得，繼而得的表達(dá)式，采用錯(cuò)位相減法可求得數(shù)列的前n項(xiàng)和.【詳解】由得，，由，得，故，故，所以，則，兩式相減得：故，故答案為：16．（2024高三上·福建泉州·期中）已知，則.【答案】4042【分析】先判斷函數(shù)的對(duì)稱性，然后用倒序相加法求和..【詳解】由，令可得，，且，則，所以，函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即由已知，，又兩式相加可得，所以，.故答案為：4042.17．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的求和公式利用分組求和得解.【詳解】由題意，，所以故答案為：18．（2024高二上·湖北黃岡·期末）已知的前項(xiàng)和為，，，則.【答案】【分析】根據(jù)題意令和，代入整理可得，利用并項(xiàng)求和結(jié)合等差數(shù)列求和運(yùn)算求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，則為偶數(shù)，為偶數(shù)，可得，，兩式相加可得：，故，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題中出現(xiàn)，故應(yīng)討論的奇偶性，根據(jù)題意把相鄰的四項(xiàng)合并為一項(xiàng)，組成一個(gè)新的數(shù)列，再進(jìn)行求和運(yùn)算，同時(shí)注意對(duì)的處理.三、解答題19．（2024高一下·山西·階段練習(xí)）已知數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】.【詳解】分析：先求出的通項(xiàng)，再根據(jù)通項(xiàng)的形式選擇合理的求法方法.詳解：因?yàn)椋?點(diǎn)睛：數(shù)列求和關(guān)鍵看通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)形式，如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和，則用分組求和法；如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，則用錯(cuò)位相減法；如果通項(xiàng)可以拆成一個(gè)數(shù)列連續(xù)兩項(xiàng)的差，那么用裂項(xiàng)相消法；如果通項(xiàng)的符號(hào)有規(guī)律的出現(xiàn)，則用并項(xiàng)求和法.20．（2024高三上·河北·期末）已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由數(shù)列遞推式可得當(dāng)時(shí)遞推式，和已知等式相減即可求得答案；（2）由（1）可得的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)相消法求和，即得答案.【詳解】（1）由題意得，①當(dāng)時(shí)，，②由①-②得，即，又時(shí)，，滿足上式，綜上，.（2）由（1）可得，故，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，所以.21．（2024高三上·河北邯鄲·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用與的關(guān)系式，即可得出結(jié)論；（2）錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，所以，即，又因?yàn)?，所以是以為首?xiàng)，為公比的等比數(shù)列．（2）由（1）知，，所以，因?yàn)棰?，所以②，由?②得：，所以．22．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列.(1)求和.(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)條件設(shè)出等差數(shù)列的公差，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)列式求出公差，然后根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式和求和公式即可得到答案；（2）根據(jù)（1）中所求寫出數(shù)列通項(xiàng)公式，然后結(jié)合裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求和.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，成等比?shù)列，所以，即，得，解得或（舍），所以，所以，.（2）由（1）得，，所以.23．（2024高三上·海南·期末）已知數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由等比數(shù)列的定義先證明再求解，（2）由分組求和以及等比數(shù)列的求和公式即可求解.【詳解】（1）由，得，故，所以數(shù)列是以6為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，故．（2），所以24．（2024高一下·廣東梅州·期末）已知等差數(shù)列的前四項(xiàng)和為10，且成等比數(shù)列(1)求通項(xiàng)公式(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】(1)或(2)或【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列求和公式、等差數(shù)列通項(xiàng)公式以及等比中項(xiàng)列式求出和可得結(jié)果；（2）根據(jù)等比數(shù)列求和公式可求出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，即，又成等比數(shù)列，所以，即，整理得，得或，若，則，，若，則，得，，.綜上所述：或.（2）若，則，；若，則，.25．（2024高三上·遼寧大連·期末）已知數(shù)列滿足：.設(shè).(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)【分析】（1）結(jié)合題意構(gòu)造出，可得數(shù)列為等比數(shù)列，即可得的通項(xiàng)公式；（2）由的通項(xiàng)公式得到，結(jié)合已知得到，即可得數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）由題意可知：，，故，得，故是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，且，故；（2）由（1）知，，即，由題意知：，故，故數(shù)列的前項(xiàng)和.26．（2024高三上·重慶·階段練習(xí)）已知數(shù)列中，，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求的前10項(xiàng)和.【答案】(1)；(2)707【分析】（1）分奇偶項(xiàng)討論結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算即可；（2）直接利用等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式計(jì)算即可.【詳解】（1）由題意可知當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，由題意可知，公差為2，則，所以，（為奇數(shù)），當(dāng)時(shí)，有，即此時(shí)數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，由題意可知，公比為4，則，所以，（為偶數(shù)），綜上.（2）由上可知27．（2024·云南紅河·一模）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，其中公比，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列基本量的計(jì)算即可求解，（2）根據(jù)分組求和，結(jié)合等比求和公式即可求解.【詳解】（1）因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，公比，所以，解得，由，解得．所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）由（1）得，則．28．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)積為．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；；(2)（或）【分析】（1）由前項(xiàng)積定義可得，再由等差數(shù)列定義即可得出證明，并求得數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）利用裂項(xiàng)相消法求和，對(duì)的奇偶進(jìn)行分類討論即可得.【詳解】（1）由題意得當(dāng)時(shí)，．因?yàn)?，所以，解得以．?dāng)時(shí)，，即，因此．所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，可得．所以．（2）由題意知．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，．所以（或）29．（2024高三上·云南·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：（），數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系式，得到，兩式相減即可得解；（2）利用倒序相加法求和即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，①，②，①－②得：，∴，當(dāng)時(shí)，，∴.（2）∵，∴∴①，②，又∵∴①＋②得：∴.30．（2024高二下·江西萍鄉(xiāng)·期末）已知函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，其中為實(shí)數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若數(shù)列的通項(xiàng)滿足，其前項(xiàng)和為，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)中心對(duì)稱性，整理方程，解得答案；（2）根據(jù)倒序相加法，可得答案.【詳解】（1）由題知，即，整理得，解得；（2）由題知，，且，則，又，故，即.31．（2024高三上·天津河北·期末）已知是等差數(shù)列，其公差不等于，其前項(xiàng)和為是等比數(shù)列，且.(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)記，求的前項(xiàng)和.【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）根據(jù)條件列出關(guān)于的方程組，由此求解出的值，則和的通項(xiàng)公式可求；（2）利用錯(cuò)位相減法求解出；（3）先將的通項(xiàng)公式裂項(xiàng)為，然后采用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，，，即，整理得，，，.（2），設(shè)，則，將以上兩式相減得：，.（3），.32．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用之間的關(guān)系，再結(jié)合累乘法計(jì)算化簡(jiǎn)即可．（2）表示出數(shù)列的前項(xiàng)和，利用錯(cuò)位相減法計(jì)算化簡(jiǎn)即可．【詳解】（1）結(jié)合題意：因?yàn)棰?，?dāng)時(shí)，②，所以①-②得，即，所以，當(dāng)時(shí)，上式也成立.故的通項(xiàng)公式．（2）記，由（1）問(wèn)，所以，即，所以，所以③-④得，即，整理得：．33．（2024高三上·全國(guó)·期末）數(shù)列為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，公比.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，建立方程組，可得答案.（2）利用錯(cuò)位相乘法，可得答案.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列得公差為d，聯(lián)立，即，解得，或，又，所以，故，（2）令，則，兩邊乘以得，，錯(cuò)位相減整理得，，所以.34．（2024·吉林白山·一模）已知等比數(shù)列滿足，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和記為，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解；（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法求和即可.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為.由已知，且，得，即（*）易觀察，2是（*）方程的一個(gè)根，∴，又恒成立，∴，又，∴．（2）由（1）知，，∴，，以上兩個(gè)式子相減得，，∴.35．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列．(1)求證：；(2)記的前n項(xiàng)和為，對(duì)任意，，求的取值范圍．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)．【分析】（1）由數(shù)列是等差數(shù)列，得到；由數(shù)列是等比數(shù)列得到解出或，再驗(yàn)證兩結(jié)果即可證明；（2）表示出，用錯(cuò)位相減法求出，再結(jié)合簡(jiǎn)單放縮可求出范圍.【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以．因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以，，且．消去，得．所以或．若，則，且數(shù)列的公差，所以，即，矛盾．所以．（2）由（1）得數(shù)列的公差為，首項(xiàng)為．所以，，所以．兩邊同時(shí)乘以，得．兩式相減，得．所以．由，，易得，所以，單調(diào)遞增，．又，所以，即．所以且，解得．故的取值范圍是．36．（2024高二上·湖南張家界·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列滿足，，公比不為的等比數(shù)列滿足，．(1)求與通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求的前項(xiàng)和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）通過(guò)求首項(xiàng)、公差、公比來(lái)求得與通項(xiàng)公式.（2）利用裂項(xiàng)求和法來(lái)求得.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，則，解得，則；，由于，則，故解得，則.（2），所以.37．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意求出公比，繼而求出首項(xiàng)，即可求得答案；（2）結(jié)合（1）求出的表達(dá)式，即可得的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)相消法求和，即可得答案.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以；因?yàn)?，所以，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）由（1）得，，，故.38．（2024·新疆·一模）非零數(shù)列滿足，且．(1)設(shè)，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設(shè)，求的前項(xiàng)和．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）對(duì)已知條件因式分解可得，根據(jù)等差數(shù)列定義可證；（2）利用累乘法求得，然后由裂項(xiàng)相消法可得.【詳解】（1）由，得對(duì)于恒成立，所以，即，所以，而，故，所以數(shù)列是以1為公差，為首項(xiàng)的等差數(shù)列.（2）由（1）知，，即，整理得，由累乘法得，即，又，所以，則，所以.39．（2024高三上·遼寧沈陽(yáng)·期中）已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，(1)求(2)求【答案】(1)(2)【分析】(1)先令求出首項(xiàng)，再由數(shù)列的遞推公式，當(dāng)時(shí)，代入并結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式求出.(2)由第一問(wèn)的公式，正好利用分母有理化進(jìn)行化簡(jiǎn)抵消即可得出結(jié)果【詳解】（1）根據(jù)題意可得，當(dāng)時(shí)，，解得，由，代入得，整理后得，即，根據(jù)等差數(shù)列的定義可知，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，則，（2）由(1)可知，，40．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)求得.（2）根據(jù)分組求和法求得正確答案.【詳解】（1）依題意，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，也符合.所以.（2）由（1）得，所以.41．（2024高三上·山西忻州·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，（）.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列，滿足，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)數(shù)列遞推式求出，判斷是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，即可求得答案；（2）求出的表達(dá)式，可得的表達(dá)式，利用分組求和法，結(jié)合等差等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，即可得答案.【詳解】（1）由題意可得（），兩式作差，得（），則（），當(dāng)時(shí)，，即，將代入，解得，則，適合（），所以，，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以.（2）由（1得），.故.42．（2024·四川攀枝花·二模）已知數(shù)列滿足．(1)證明：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)題中遞推公式化簡(jiǎn)得到，從而求解.（2）由（1）中結(jié)論得，然后利用分組并項(xiàng)求和，從而求解.【詳解】（1）數(shù)列滿足,整理得：，所以，即又，故是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．（2）由（1）可知，，，所以．．43．（2024高二上·黑龍江哈爾濱·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由得，得數(shù)列以為首項(xiàng)以3為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列求通項(xiàng)即可.（2）利用數(shù)列分組法求和即可得.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，

，所以，變形得，即，數(shù)列以為首項(xiàng)以3為公比的等比數(shù)列，所以，即（2）由，所以，所以

.44．（2024高三上·云南曲靖·階段練習(xí)）已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，是的前n項(xiàng)和，．(1)若，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的首項(xiàng)為，滿足，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列通項(xiàng)列式，求出公差即可求出通項(xiàng)公式.（2）利用等差數(shù)列通項(xiàng)列式，求出的關(guān)系，利用構(gòu)造法求出數(shù)列的通項(xiàng)，再借助分組求和即得.【詳解】（1）由數(shù)列是等差數(shù)列，，得，則，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為：．（2）因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，且滿足，則，又，則化簡(jiǎn)得：，于是，由，得，而，因此數(shù)列是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，則，即，所以.45．（2024高三上·廣東東莞·期末）數(shù)列的前n項(xiàng)積為，且滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）分和兩種情況，結(jié)合與之間的關(guān)系分析求解；（2）由（1）可得，結(jié)合分組求和法運(yùn)算求解.【詳解】（1）因?yàn)?，若，則；若，則；且符合，綜上所述：數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）由（1）可知：，可得，所以.46．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，記．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知，記數(shù)列的前項(xiàng)和為．求證：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）首先構(gòu)造數(shù)列是等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，再代入條件，即可求解數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）的結(jié)果可知，數(shù)列的通項(xiàng)公式，并變形為，再討論為奇數(shù)和偶數(shù)，采用累加法求和，最后結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性，即可證明.【詳解】（1）由，則．又，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以．所以．（2）因?yàn)椋?，所以．?dāng)為奇數(shù)時(shí)，．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，是遞增數(shù)列，所以．綜上，47．（2024高二下·福建廈門·階段練習(xí)）數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)積為，且．(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)若，求的前項(xiàng)和．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由退位相減法即可求得的通項(xiàng)公式；由即可求得的通項(xiàng)公式；（2）先求出，當(dāng)時(shí)，由分組求和及等差、等比求和公式求得前項(xiàng)和；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，由求解即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)?，所以，所以是?為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，時(shí)也符合，所以．（2）由（1）知，，所以，當(dāng)即為偶數(shù)時(shí)，，即；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以．48．（2024高三上·云南德宏·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題中已知條件，得出時(shí)，此兩式作差整理即可得到所滿足的關(guān)系，從而可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式得到所求；（2）根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)可知利用錯(cuò)位相消法進(jìn)行求和，從而可求出數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）∵，當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，，①，②①-②得即，∵，∴，∴，∴是以首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，則，∴；（2）由上可知：，所以，，∴，∴.49．（2024高三上·河北廊坊·期末）已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)求出的值，即得公比，即可求得答案；（2）由（1）可得的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)相消法，即可求得答案.【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列是遞增的等比數(shù)列，所以，所以,解得，所以公比，所以.（2）由（1）知，，所以.50．（2024·四川綿陽(yáng)·二模）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1);(2).【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，根據(jù)題中條件列出方程求解，得出首項(xiàng)和公差，即可求出通項(xiàng)公式；（2）由（1）的結(jié)果，利用裂項(xiàng)相消的方法，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為,由題意得:解得:，所以的通項(xiàng)公式為，即.（2）令，則，即整理得：.51．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）倉(cāng)庫(kù)有一種堆垛方式，如圖所示，最高一層盒，第二層盒，第三層盒，第四層20盒，第五層30盒，，請(qǐng)你尋找至少兩個(gè)堆放的規(guī)律．【答案】，【分析】通過(guò)觀察堆垛方式，根據(jù)通項(xiàng)公式以及分組求和法求得正確答案.【詳解】設(shè)．按這個(gè)規(guī)律應(yīng)有從正面看，方格個(gè)數(shù)為，側(cè)面方格個(gè)數(shù)為，都按自然數(shù)方式增長(zhǎng)．層堆放總數(shù)：．52．（2024·廣東廣州·三模）已知正項(xiàng)數(shù)列和為數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，（1）分別求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）將數(shù)列中與數(shù)列相同的項(xiàng)剔除后，按從條到大的順序構(gòu)成數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．【答案】（1），；（2）11302．【分析】（1）由，利用得出數(shù)列的遞推式，得數(shù)列是等差數(shù)列，求得后可得通項(xiàng)公式，再計(jì)算出；（2）先看數(shù)列中前100項(xiàng)內(nèi)有多少項(xiàng)是中的項(xiàng)，從而可以確定中前100項(xiàng)的最后一項(xiàng)是中的第幾項(xiàng)，其中含有中的多少項(xiàng)，從而求得．【詳解】（1）因?yàn)椋詴r(shí)，，兩式相減得，，因?yàn)椋?，又，，所以，所以，，；?），又，，因此，所以．【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題考查由求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查分組求和法．在應(yīng)用公式求時(shí)要注意，即不包含，需另外計(jì)算，同樣如果求得的是遞推式，也要確認(rèn)遞推式是否是從開(kāi)始的，否則需要要驗(yàn)證含有的項(xiàng)是否符合表達(dá)式．53．（2024·湖南岳陽(yáng)·三模）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，其公比，，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知條件求出公比，，直接寫出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；（2）由（1）得，分組求和即可，注意分類討論的思想.【詳解】（1）因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，公比為，則，所以，解得，由，可得，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）由（1）得，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)；綜上所述：.54．（2024·湖南衡陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列與等比數(shù)列的前項(xiàng)和分別為：，且滿足：，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若求數(shù)列的前項(xiàng)的和.【答案】(1)；(2)【分析】（1）將代入可求出，從而進(jìn)出，故可求出；再由等差數(shù)列的前項(xiàng)和求出，代入可求出，再由等比數(shù)列的前項(xiàng)和求出，，進(jìn)而求出；（2）由（1）求出，再由分組求和法求出數(shù)列的前項(xiàng)的和.【詳解】（1），解得：設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，，，則：又，得：（2）數(shù)列的前項(xiàng)的和：.55．（2024高三下·湖南常德·階段練習(xí)）已知數(shù)列，，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，若，，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，令為的前n項(xiàng)的和，求.【答案】(1)，(2)【分析】（1）對(duì)已知條件因式分解后結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)得出的通項(xiàng)公式，先證明為等差數(shù)列，進(jìn)而得出的通項(xiàng)公式；（2）求出的通項(xiàng)公式，再由錯(cuò)位相減法得出.【詳解】（1）解：，因?yàn)?，所以，又，所以是公比?，首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，，，，綜上，是公差為1，首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，．（2）解：令，①②，得，，．56．（2024高三上·江蘇南京·階段練習(xí)）已知等比數(shù)列的公比，前n項(xiàng)和為，滿足：.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）法一：利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式得到關(guān)于基本量的方程組，解之即可求得；法二：利用等比數(shù)列的性質(zhì)和前項(xiàng)和公式依次轉(zhuǎn)化得到關(guān)于的方程組，解之即可求得；（2）分類討論的通項(xiàng)公式，注意當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，從而利用分組求和法可求得.【詳解】（1）法一：因?yàn)槭枪鹊牡缺葦?shù)列，所以由，得，即，兩式相除得，整理得，即，解得或，又，所以，故，所以，法二：因?yàn)槭枪鹊牡缺葦?shù)列，所以由得，即，則，，解得或（舍去），故，則，所以.（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以.57．（2024·廣東汕頭·一模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的前n項(xiàng)和為；(2)設(shè)，證明：.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）先求出，然后將的換成，與原式相減可得，從而可得即可證明，求出通項(xiàng)公式，再分組可求和.（2）先求出，可得出，裂項(xiàng)相消法求和，可證明.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，即由，則兩式相減可得，即所以，即數(shù)列為等比數(shù)列則，所以則（2）所以58．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.(1)求的值：(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式：(3)證明：對(duì)一切正整數(shù)，有.【答案】(1)(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）令解方程可得答案；（2）利用可得答案；（3）令，利用裂項(xiàng)相消可得答案.【詳解】（1）令，，則舍去，所以.（2），因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，舍去，，當(dāng)時(shí)，，（3）令，所以59．（2024高三上·天津和平·階段練習(xí)）已知為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，．(1)和的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前8項(xiàng)和；(3)證明：．【答案】(1)的通項(xiàng)公式為，的通項(xiàng)公式為；(2)；(3)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q．由等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式建立方程組，求解即可；（2）運(yùn)用錯(cuò)位相減法可求得答案；（3）由（1）得，證明當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，不等式成立；當(dāng)時(shí)，，運(yùn)用不等式放縮法和裂項(xiàng)求和法可得證.【詳解】（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q．由已知，得，而，所以．又因?yàn)?，解得．所以．由，可得①．由，得②，?lián)立①②，解得，由此可得．所以，的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為．（2）解：設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，由，得，所以，，上述兩式相減，得．得．所以，數(shù)列的前n項(xiàng)和為當(dāng)時(shí)，．（3）解：由（1）得，所以：當(dāng)時(shí)，，不等式成立；當(dāng)時(shí)，，所以，不等式成立；當(dāng)時(shí)，，所以，，所以，得證．60．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，若．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前18項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用前n項(xiàng)和公式即可求解；（2）根據(jù)（1）知，進(jìn)而求出，根據(jù)已知條件及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，再利用并項(xiàng)求和法即可求解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為．則，解得.故數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）由（1）知，，所以.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，．所以數(shù)列的前18項(xiàng)和為.61．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的前項(xiàng)和．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定的遞推公式，變形并換元，利用累加法求通項(xiàng)作答.（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項(xiàng)相消法求和作答.【詳解】（1）由，得，令，有，，當(dāng)時(shí)，，又滿足上式，于是，則，當(dāng)時(shí)，，又滿足上式，因此，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是．（2）由（1）知，，所以．62．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)記，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由得出，再計(jì)算，將代入，即可證明；（2）由（1）得，得出為公比為的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得出，代入，再裂項(xiàng)得，即可求得數(shù)列的前n項(xiàng)和．【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即所以（為常?shù)），所以數(shù)列是等差數(shù)列．（2）由（1）知，即.所以，所以為公比為的等比數(shù)列，又，所以，因?yàn)?，所以，所以?shù)列的前項(xiàng)和為：．63．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)；(2)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，求證．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由兩邊取對(duì)數(shù)，可得，進(jìn)而得到數(shù)列為等比數(shù)列，公比為2，從而求解；（2）由，再由變形得，可得，求和可得，進(jìn)而得證.【詳解】（1）由，且，則，所以，而，即，所以數(shù)列為等比數(shù)列，公比為2，所以，所以.（2），由得，，所以，即，所以，所以，所以，因?yàn)?，所?64．（2024·江西南昌·三模）已知是數(shù)列