備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學一輪專題復習全套考點突破和專題檢測專題24平面向量的數(shù)量積6題型分類(原卷版+解析)

專題24平面向量的數(shù)量積6題型分類1．向量的夾角已知兩個非零向量a，b，O是平面上的任意一點，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角．2．平面向量的數(shù)量積已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積，記作a·b.3．平面向量數(shù)量積的幾何意義設a，b是兩個非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b，過eq\o(AB,\s\up6(→))的起點A和終點B，分別作eq\o(CD,\s\up6(→))所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到eq\o(A1B1,\s\up6(→))，我們稱上述變換為向量a向向量b投影，eq\o(A1B1,\s\up6(→))叫做向量a在向量b上的投影向量．記為|a|cosθe.4．向量數(shù)量積的運算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.5．平面向量數(shù)量積的有關結論已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.幾何表示坐標表示數(shù)量積a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))夾角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥b的充要條件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|與|a||b|的關系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))6．平面向量數(shù)量積運算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.7．有關向量夾角的兩個結論(1)若a與b的夾角為銳角，則a·b>0；若a·b>0，則a與b的夾角為銳角或0.(2)若a與b的夾角為鈍角，則a·b<0；若a·b<0，則a與b的夾角為鈍角或π.（一）平面向量數(shù)量積的基本運算計算平面向量數(shù)量積的主要方法(1)利用定義：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)利用坐標運算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.(3)利用基底法求數(shù)量積．(4)靈活運用平面向量數(shù)量積的幾何意義．題型1：平面向量數(shù)量積的基本運算1-1．（2024·陜西西安·模擬預測）已知向量，滿足同向共線，且，，則（

）A．3 B．15 C．或15 D．3或151-2．（2024·北京）已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則；.1-3．（2024·全國）正方形的邊長是2，是的中點，則（

）A． B．3 C． D．51-4．（2024·湖南長沙·二模）已知菱形ABCD的邊長為1，，G是菱形ABCD內(nèi)一點，若，則（

）A． B．1 C． D．21-5．（2024·天津）如圖，在四邊形中，，，且，則實數(shù)的值為，若是線段上的動點，且，則的最小值為．1-6．（2024·全國·一模）窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術之一．在2022年虎年新春來臨之際，許多地區(qū)人們?yōu)榱诉_到裝點環(huán)境、渲染氣氛，寄托辭舊迎新、接福納祥的愿望，設計了一種由外圍四個大小相等的半圓和中間正方形所構成的剪紙窗花（如左圖）．已知正方形的邊長為，中心為，四個半圓的圓心均在正方形各邊的中點（如右圖）．若點在四個半圓的圓弧上運動，則的取值范圍是.（二）平面向量數(shù)量積的應用(1)求平面向量的模的方法①公式法：利用|a|＝eq\r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2；②幾何法：利用向量的幾何意義．(2)求平面向量的夾角的方法①定義法：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)；②坐標法．(3)兩個向量垂直的充要條件a⊥b?a·b＝0?|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．題型2：向量的模2-1．（2024·陜西咸陽·模擬預測）已知，是非零向量，，，向量在向量方向上的投影為，則.2-2．（2024高三上·海南·期末）已知向量，滿足，，，則．2-3．（2024·四川南充·二模）已知為單位向量，且滿足，則.2-4．（2024·河南鄭州·模擬預測）已知平面向量滿足,且，則=．題型3：向量的垂直3-1．（2024·全國）設向量，若，則.3-2．（2024·河南開封·模擬預測）已知向量，若，則．3-3．（2024·江西贛州·一模）已知向量，.若，則實數(shù)的值為.3-4．（2024高三下·江西南昌·開學考試）已知兩單位向量的夾角為，若，且，則實數(shù)．3-5．（2024高三·全國·專題練習）非零向量，，若，則.題型4：向量的夾角4-1．（2024·河南駐馬店·二模）若單位向量，滿足，則向量，夾角的余弦值為．4-2．（2024高三·廣東·階段練習）若是夾角為的兩個單位向量，則與的夾角大小為.4-3．（2024高三下·重慶·階段練習）已知向量和滿足：，，，則與的夾角為．4-4．（2024·四川·模擬預測）已知向量，，，則向量與的夾角為．4-5．（2024·浙江）設，為單位向量，滿足，，，設，的夾角為，則的最小值為．4-6．（2024·天津）在中，，D是AC中點，，試用表示為，若，則的最大值為題型5：向量的投影5-1．（2024·全國·模擬預測）已知向量，則向量在向量上的投影向量為.5-2．（2024高三下·上海寶山·期中）已知向量，，則在方向上的數(shù)量投影為.5-3．（2024高一下·山東泰安·期中）已知向量，為單位向量，當向量、的夾角等于時，則向量在向量方向上的投影向量是．5-4．（2024高三上·云南昆明·開學考試）已知向量，向量，則向量在向量方向上的投影為.5-5．（2024·上海虹口·三模）已知若向量在向量方向上的數(shù)量投影為，則實數(shù)．（三）平面向量的實際應用用向量方法解決實際問題的步驟題型6：平面向量的實際應用6-1．（2024高三上·安徽合肥·開學考試）一質(zhì)點受到同一平面上的三個力，，（單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態(tài)，已知，成120°角，且，的大小都為6牛頓，則的大小為牛頓.6-2．（2024高三上·福建泉州·期中）如圖所示，一個物體被兩根輕質(zhì)細繩拉住，且處于平衡狀態(tài).已知兩條繩上的拉力分別是，，且，與水平夾角均為，，則物體的重力大小為.6-3．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）下圖是北京2022年冬奧會會徽的圖案，奧運五環(huán)的大小和間距如圖所示．若圓半徑均為12，相鄰圓圓心水平路離為26，兩排圓圓心垂直距離為11．設五個圓的圓心分別為、、、、，則的值為（

）

A． B． C． D．一、單選題1．（2024高三上·吉林四平·期末）已知向量，滿足，且與的夾角為，則（

）A．6 B．8 C．10 D．142．（2024高一下·天津西青·階段練習）已知，，向量在方向上投影向量是，則為（

）A．12 B．8 C．-8 D．23．（2024高三下·云南昆明·階段練習）已知單位向量，且，若，，則（

）A．1 B．12 C．或2 D．或14．（2024·廣東·模擬預測）將向量繞坐標原點順時針旋轉得到，則（

）A． B．C． D．5．（2024·山東濟寧·二模）如圖，在中，，，為上一點，且滿足，若，，則的值為（

）.

A． B． C． D．6．（2024·吉林長春·模擬預測）在矩形中，與相交于點，過點作于，則（

）A． B． C． D．7．（2024·湖北·模擬預測）已知平面向量，，滿足，，且．若，則（

）A． B． C． D．8．（2024·山東泰安·模擬預測）已知，，則的最小值為（

）A． B． C． D．9．（2024·安徽·三模）以邊長為2的等邊三角形ABC每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段圓弧，三段圓弧圍成曲邊三角形，已知P為弧AC上的一點，且，則的值為（

）

A． B．C． D．10．（2024·陜西安康·模擬預測）如圖，在圓內(nèi)接四邊形中，.若為的中點，則的值為（

）A．-3 B． C． D．311．（2024·安徽合肥·模擬預測）如圖，已知是面積為的等邊三角形，四邊形是面積為2的正方形，其各頂點均位于的內(nèi)部及三邊上，且恰好可在內(nèi)任意旋轉，則當時，（

）

A． B． C． D．12．（2024·河南安陽·三模）已知正方形的邊長為為正方形的中心，是的中點，則（

）A． B． C． D．113．（2024·全國）已知向量，若，則（

）A． B．C． D．14．（2024·全國）已知向量，若，則（

）A． B． C．5 D．615．（2024高二上·江西九江·開學考試）在中，，，．P為所在平面內(nèi)的動點，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．16．（2024·全國）已知的半徑為1，直線PA與相切于點A，直線PB與交于B，C兩點，D為BC的中點，若，則的最大值為（

）A． B．C． D．17．（2024·山東）已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．18．（2024·北京）在中，．P為所在平面內(nèi)的動點，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．19．（2024·全國）已知向量滿足，則（

）A． B． C．1 D．220．（2024·浙江）已知、、是平面向量，是單位向量．若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是A． B． C．2 D．21．（2024·全國）已知向量，則（

）A． B． C． D．22．（2024·全國）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．23．（2024·吉林·二模）平面向量與相互垂直，已知，，且與向量(1，0)的夾角是鈍角，則=（

）A． B． C． D．24．（2024高三上·湖南·階段練習）已知單位向量，的夾角為60°，則在下列向量中，與垂直的是（

）A． B． C． D．25．（2024·全國·模擬預測）已知平面向量，滿足，，，則實數(shù)k的值為（

）A．1 B．3 C．2 D．26．（2024高三上·遼寧·階段練習）已知向量，，若與的夾角是銳角，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．27．（2024·福建漳州·模擬預測）已知向量，向量，向量，若與共線，，則（

）A． B．C． D．28．（2024·遼寧沈陽·一模）已知單位向量滿足，則（

）A． B． C． D．29．（2024高三上·江西撫州·階段練習）已知非零向量，滿足，，則的最大值為A． B． C． D．530．（2024·四川成都·模擬預測）在平面直角坐標系中，點，直線，點關于直線的對稱點為，則的最大值是（

）A． B． C． D．31．（2024高三下·陜西·開學考試）已知拋物線的焦點為，直線與拋物線相切于點（異于坐標原點），與軸交于點，若，，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．二、多選題32．（2024·全國）已知為坐標原點，點，，，，則（

）A． B．C． D．33．（2024·江蘇連云港·模擬預測）設是三個非零向量，且相互不共線，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則不與垂直 D．不與垂直三、填空題34．（2024·上海楊浦·模擬預測）若向量與不共線也不垂直，且，則向量夾角.35．（2024·上海長寧·三模）已知是同一個平面上的向量，若，且，則.36．（2024高三下·重慶渝中·階段練習）已知向量，滿足，，，則向量與的夾角大小為.37．（2024·山東·二模）已知向量，，若非零向量與，的夾角均相等，則的坐標為（寫出一個符合要求的答案即可）38．（2024·全國）已知向量，滿足，，則．39．（2024·河南鄭州·模擬預測）已知點O為坐標原點，，，點P在線段AB上，且，則點P的坐標為．40．（2024高三下·廣西·階段練習）已知，，若，則．41．（2024·新疆喀什·模擬預測）已知向量，滿足，，，則向量在向量方向上的投影為.42．（2024高三·全國·專題練習）已知非零向量滿足，且向量在向量方向的投影向量是，則向量與的夾角是.43．（2024·四川巴中·模擬預測）已知向量，若，則.44．（2024高三·全國·專題練習）已知向量，，，其中，為單位向量，且，若，則.注：填上你認為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形.45．（2024高三上·江西宜春·期末）設非零向量，的夾角為．若，且，則．46．（2024·海南海口·模擬預測）已知為單位向量，向量在向量上的投影向量是，且，則實數(shù)的值為．47．（2024·全國·模擬預測）向量，且，則實數(shù)．48．（2024·海南?？凇つM預測）已知向量，不共線，，，寫出一個符合條件的向量的坐標：.49．（2024·河南開封·三模）已知向量，，若，則.50．（2024·浙江）已知平面向量滿足.記向量在方向上的投影分別為x，y，在方向上的投影為z，則的最小值為成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjshuxue加入百度網(wǎng)盤群1.5T一線老師必備資料一鍵轉存自動更新永不過期專題24平面向量的數(shù)量積6題型分類1．向量的夾角已知兩個非零向量a，b，O是平面上的任意一點，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角．2．平面向量的數(shù)量積已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積，記作a·b.3．平面向量數(shù)量積的幾何意義設a，b是兩個非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b，過eq\o(AB,\s\up6(→))的起點A和終點B，分別作eq\o(CD,\s\up6(→))所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到eq\o(A1B1,\s\up6(→))，我們稱上述變換為向量a向向量b投影，eq\o(A1B1,\s\up6(→))叫做向量a在向量b上的投影向量．記為|a|cosθe.4．向量數(shù)量積的運算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.5．平面向量數(shù)量積的有關結論已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.幾何表示坐標表示數(shù)量積a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))夾角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥b的充要條件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|與|a||b|的關系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))6．平面向量數(shù)量積運算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.7．有關向量夾角的兩個結論(1)若a與b的夾角為銳角，則a·b>0；若a·b>0，則a與b的夾角為銳角或0.(2)若a與b的夾角為鈍角，則a·b<0；若a·b<0，則a與b的夾角為鈍角或π.（一）平面向量數(shù)量積的基本運算計算平面向量數(shù)量積的主要方法(1)利用定義：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)利用坐標運算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.(3)利用基底法求數(shù)量積．(4)靈活運用平面向量數(shù)量積的幾何意義．題型1：平面向量數(shù)量積的基本運算1-1．（2024·陜西西安·模擬預測）已知向量，滿足同向共線，且，，則（

）A．3 B．15 C．或15 D．3或15【答案】D【分析】先根據(jù)題意確定向量，的倍數(shù)關系，然后可直接求解.【詳解】因為向量，滿足同向共線，所以設，又因為，，所以，所以或，即或.①當時，；②當時，；所以的值為3或15.故選：D.1-2．（2024·北京）已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則；.【答案】03【分析】根據(jù)坐標求出，再根據(jù)數(shù)量積的坐標運算直接計算即可.【詳解】以交點為坐標原點，建立直角坐標系如圖所示：則，，，.故答案為：0；3.1-3．（2024·全國）正方形的邊長是2，是的中點，則（

）A． B．3 C． D．5【答案】B【分析】方法一：以為基底向量表示，再結合數(shù)量積的運算律運算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐標運算求解；方法三：利用余弦定理求，進而根據(jù)數(shù)量積的定義運算求解.【詳解】方法一：以為基底向量，可知，則，所以；方法二：如圖，以為坐標原點建立平面直角坐標系，則，可得，所以；方法三：由題意可得：，在中，由余弦定理可得，所以.故選：B.1-4．（2024·湖南長沙·二模）已知菱形ABCD的邊長為1，，G是菱形ABCD內(nèi)一點，若，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】由題意可得出，點G為的重心，所以，，再由向量的數(shù)量及定義求解即可.【詳解】在菱形ABCD，菱形ABCD的邊長為1，，所以，所以，則為等邊三角形，因為，所以，設點M為BC的中點，則，所以，所以G，A，M三點共線，所以AM為BC的中線，所以，同理可得點AB，AC的中線過點G，所以點G為的重心，故，在等邊中，M為BC的中點，則，所以.故選：A

1-5．（2024·天津）如圖，在四邊形中，，，且，則實數(shù)的值為，若是線段上的動點，且，則的最小值為．【答案】【分析】可得，利用平面向量數(shù)量積的定義求得的值，然后以點為坐標原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，設點，則點（其中），得出關于的函數(shù)表達式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求得的最小值.【詳解】，，，，解得，以點為坐標原點，所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，,∵，∴的坐標為,∵又∵,則，設，則（其中），，，，所以，當時，取得最小值.故答案為：；.【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的計算，考查平面向量數(shù)量積的定義與坐標運算，考查計算能力，屬于中等題.1-6．（2024·全國·一模）窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術之一．在2022年虎年新春來臨之際，許多地區(qū)人們?yōu)榱诉_到裝點環(huán)境、渲染氣氛，寄托辭舊迎新、接福納祥的愿望，設計了一種由外圍四個大小相等的半圓和中間正方形所構成的剪紙窗花（如左圖）．已知正方形的邊長為，中心為，四個半圓的圓心均在正方形各邊的中點（如右圖）．若點在四個半圓的圓弧上運動，則的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)題意建立平面直角坐標系，利用坐標系表示向量，寫出的解析式，再求的取值范圍即可.【詳解】以原點，為軸正方向建立平面直角坐標系，如圖所示.因為正方形的邊長為，所以，則、，則，設的中點為，則，，所以，，因為是半圓上的動點，設點，則，其中，則，所以，，由對稱性可知，當點在第三象限的半圓弧上運動時（包含點、），，當點在第一象限的半圓弧上運動時（包含點、），的中點為，半圓的半徑為，可設點，其中，則，，則，同理可知，當點在第四象限內(nèi)的半圓弧上運動時（包含點、），.綜上可知，的取值范圍是.故答案為：.【點睛】方法點睛：求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：（1）利用定義：（2）利用向量的坐標運算；（3）利用數(shù)量積的幾何意義．具體應用時可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時要注意數(shù)量積運算律的應用．（二）平面向量數(shù)量積的應用(1)求平面向量的模的方法①公式法：利用|a|＝eq\r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2；②幾何法：利用向量的幾何意義．(2)求平面向量的夾角的方法①定義法：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)；②坐標法．(3)兩個向量垂直的充要條件a⊥b?a·b＝0?|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．題型2：向量的模2-1．（2024·陜西咸陽·模擬預測）已知，是非零向量，，，向量在向量方向上的投影為，則.【答案】2【分析】根據(jù)數(shù)量積的性質(zhì)，結合投影定義求解可得.【詳解】∵，∴，∴，∵向量在向量方向上的投影為，∴，∴，∴，∴.故答案為：22-2．（2024高三上·海南·期末）已知向量，滿足，，，則．【答案】【分析】由可得，再由，代入化簡即可得出答案.【詳解】因為，，，則，所以，所以，解得：，.故答案為：.2-3．（2024·四川南充·二模）已知為單位向量，且滿足，則.【答案】【分析】將兩邊平方可得，進而可得.【詳解】為單位向量，且滿足，所以，即，解得，所以.故答案為：.2-4．（2024·河南鄭州·模擬預測）已知平面向量滿足,且，則=．【答案】【分析】由數(shù)量積的運算律求出，再由向量的模長公式即可得出答案.【詳解】由,得,所以.故答案為：題型3：向量的垂直3-1．（2024·全國）設向量，若，則.【答案】5【分析】根據(jù)向量垂直，結合題中所給的向量的坐標，利用向量垂直的坐標表示，求得結果.【詳解】由可得，又因為，所以，即，故答案為：5.【點睛】本題考查有關向量運算問題，涉及到的知識點有向量垂直的坐標表示，屬于基礎題目.3-2．（2024·河南開封·模擬預測）已知向量，若，則．【答案】【分析】首先求出的坐標，依題意，根據(jù)數(shù)量積的坐標表示得到方程，解得即可.【詳解】因為，，所以，又，所以，解得.故答案為：3-3．（2024·江西贛州·一模）已知向量，.若，則實數(shù)的值為.【答案】【分析】根據(jù)兩個向量垂直的坐標公式計算求解即可.【詳解】因為，,所以，又因為,所以，所以.故答案為:.3-4．（2024高三下·江西南昌·開學考試）已知兩單位向量的夾角為，若，且，則實數(shù)．【答案】/-0.8【分析】利用向量的數(shù)量積公式和向量垂直的性質(zhì)解決本題.【詳解】因為單位向量的夾角為，所以；因為，所以，所以．故答案為：.3-5．（2024高三·全國·專題練習）非零向量，，若，則.【答案】/-0.5【分析】由得，從而求得的值.【詳解】因為，所以，由題易知，，所以.故答案為：題型4：向量的夾角4-1．（2024·河南駐馬店·二模）若單位向量，滿足，則向量，夾角的余弦值為．【答案】/【分析】利用性質(zhì)，將已知條件轉化為數(shù)量積求解即可.【詳解】設向量，的夾角為，因為，所以．又，所以，所以．故答案為：4-2．（2024高三·廣東·階段練習）若是夾角為的兩個單位向量，則與的夾角大小為.【答案】/【分析】先利用數(shù)量積公式求出，再求出，最后代入向量的夾角公式得解.【詳解】是夾角為的兩個單位向量，則，，，，，，.故答案為：4-3．（2024高三下·重慶·階段練習）已知向量和滿足：，，，則與的夾角為．【答案】/【分析】記向量和的夾角為，將平方化簡即可求出答案.【詳解】記向量和的夾角為，將平方得到：或，又因為，即．故答案為：.4-4．（2024·四川·模擬預測）已知向量，，，則向量與的夾角為．【答案】【分析】由可得，，后由向量夾角的坐標表示可得答案.【詳解】，則，則，又，則故答案為：.4-5．（2024·浙江）設，為單位向量，滿足，，，設，的夾角為，則的最小值為．【答案】【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化簡條件得，再根據(jù)向量夾角公式求函數(shù)關系式，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求最值.【詳解】，，，.故答案為：.【點睛】本題考查利用模求向量數(shù)量積、利用向量數(shù)量積求向量夾角、利用函數(shù)單調(diào)性求最值，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.4-6．（2024·天津）在中，，D是AC中點，，試用表示為，若，則的最大值為【答案】【分析】法一：根據(jù)向量的減法以及向量的數(shù)乘即可表示出，以為基底，表示出，由可得，再根據(jù)向量夾角公式以及基本不等式即可求出．法二：以點為原點建立平面直角坐標系，設，由可得點的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓，方程為，即可根據(jù)幾何性質(zhì)可知，當且僅當與相切時，最大，即求出．【詳解】方法一：，，，當且僅當時取等號，而，所以．故答案為：；．方法二：如圖所示，建立坐標系：，，，所以點的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，當且僅當與相切時，最大，此時．故答案為：；．題型5：向量的投影5-1．（2024·全國·模擬預測）已知向量，則向量在向量上的投影向量為.【答案】【分析】設，利用數(shù)量級的坐標運算得的坐標，再利用投影向量的公式求解即可.【詳解】解：設，因為所以所以則向量在向量上的投影向量為：.故答案為：.5-2．（2024高三下·上海寶山·期中）已知向量，，則在方向上的數(shù)量投影為.【答案】【分析】根據(jù)題意，結合向量的投影公式，即可求解.【詳解】因為向量，，所以在方向上的數(shù)量投影為.故答案為：.5-3．（2024高一下·山東泰安·期中）已知向量，為單位向量，當向量、的夾角等于時，則向量在向量方向上的投影向量是．【答案】【分析】根據(jù)投影向量的定義結合條件即得.【詳解】因為向量、的夾角等于，，為單位向量，所以向量在向量上的投影向量是.故答案為：.5-4．（2024高三上·云南昆明·開學考試）已知向量，向量，則向量在向量方向上的投影為.【答案】【分析】利用向量的投影的定義直接求解即可.【詳解】.故答案為：5-5．（2024·上海虹口·三模）已知若向量在向量方向上的數(shù)量投影為，則實數(shù)．【答案】3【分析】根據(jù)數(shù)量投影公式，代入求值.【詳解】由條件可知，向量在向量方向上的數(shù)量投影為，解得：.故答案為：3（三）平面向量的實際應用用向量方法解決實際問題的步驟題型6：平面向量的實際應用6-1．（2024高三上·安徽合肥·開學考試）一質(zhì)點受到同一平面上的三個力，，（單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態(tài)，已知，成120°角，且，的大小都為6牛頓，則的大小為牛頓.【答案】6【分析】根據(jù)向量的合成法則以及向量的模長公式，進行計算即可【詳解】設三個力，，分別對于的向量為：則由題知所以所以又所以所以的大小為：6故答案為：66-2．（2024高三上·福建泉州·期中）如圖所示，一個物體被兩根輕質(zhì)細繩拉住，且處于平衡狀態(tài).已知兩條繩上的拉力分別是，，且，與水平夾角均為，，則物體的重力大小為.【答案】8【分析】設，的合力為，則，根據(jù)力的平衡有,兩邊平方后可求出.【詳解】解：設，的合力為，則，∵，的夾角為，∴，∴，∵物體平衡狀態(tài).∴物體的重力大小為=8.故答案為：8.6-3．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）下圖是北京2022年冬奧會會徽的圖案，奧運五環(huán)的大小和間距如圖所示．若圓半徑均為12，相鄰圓圓心水平路離為26，兩排圓圓心垂直距離為11．設五個圓的圓心分別為、、、、，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】建立平面直角坐標系，做軸于點，可求出、、坐標，及、、，再由向量的坐標運算可得答案.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系，做軸于點，所以，由已知可得，，，所以，，，所以.故選：B.

一、單選題1．（2024高三上·吉林四平·期末）已知向量，滿足，且與的夾角為，則（

）A．6 B．8 C．10 D．14【答案】B【分析】應用平面向量數(shù)量積的運算律展開所求的式子，根據(jù)已知向量的模和夾角求值即可.【詳解】`由，且與的夾角為，所以.故選：B.2．（2024高一下·天津西青·階段練習）已知，，向量在方向上投影向量是，則為（

）A．12 B．8 C．-8 D．2【答案】A【分析】由投影向量和數(shù)量積的定義即可得出結論.【詳解】在方向上投影向量為，，.故選：A3．（2024高三下·云南昆明·階段練習）已知單位向量，且，若，，則（

）A．1 B．12 C．或2 D．或1【答案】D【分析】由題意結合向量加法的幾何意義可得或，再根據(jù)數(shù)量積的定義計算，即得答案.【詳解】由題意單位向量，且，可知與的夾角為，因為，所以或，故當時，；當時，，故選：D.4．（2024·廣東·模擬預測）將向量繞坐標原點順時針旋轉得到，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用向量的坐標求出模長，再利用向量的數(shù)量積公式即可求解.【詳解】因為，所以，因為向量繞坐標原點順時針旋轉得到，所以向量與向量的夾角為，且，所以.故選：B5．（2024·山東濟寧·二模）如圖，在中，，，為上一點，且滿足，若，，則的值為（

）.

A． B． C． D．【答案】C【分析】由P、C、D三點共線及，可求m的值，再用、作基底表示，進而求即可.【詳解】∵，，即且，∴，又C、P、D共線，有，即，即，而，∴∴=.故選：C6．（2024·吉林長春·模擬預測）在矩形中，與相交于點，過點作于，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立直角坐標系，設，由和可列方程求出點E，再根據(jù)數(shù)量積坐標運算即可求解.【詳解】建立如圖所示直角坐標系：

則，設，則且，，解得，，在矩形中，為的中點，所以，由，所以，，故選：D.7．（2024·湖北·模擬預測）已知平面向量，，滿足，，且．若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量的垂直和數(shù)量積的坐標表示求出，再用坐標公式求模即可.【詳解】設，則，可得，所以.故選:A8．（2024·山東泰安·模擬預測）已知，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用數(shù)量積定義可得的夾角為，不妨設，，即可得，再利用輔助角公式可得，即可求得其最小值.【詳解】設的夾角為，，，，，，又，不妨設，，，所以，即，，由，當時，即時，有最小值．故選：B9．（2024·安徽·三模）以邊長為2的等邊三角形ABC每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段圓弧，三段圓弧圍成曲邊三角形，已知P為弧AC上的一點，且，則的值為（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】如圖所示，以B為坐標原點，建立平面直角坐標系，利用向量數(shù)量積的坐標表示計算即可.【詳解】如圖所示，以B為坐標原點，直線BC為x軸，過點B且垂直于BC的直線為y軸，建立平面直角坐標系，則，，由，得，所以，，所以．

故選：C.10．（2024·陜西安康·模擬預測）如圖，在圓內(nèi)接四邊形中，.若為的中點，則的值為（

）A．-3 B． C． D．3【答案】C【分析】根據(jù)余弦定理得到，確定為圓的直徑，為等邊三角形，建立坐標系，確定點坐標，計算向量的數(shù)量積得到答案.【詳解】連接，由余弦定理知，所以.由正弦定理得，所以為圓的直徑，所以，所以，從而，又，所以為等邊三角形，以為原點，以所在直線為軸，所在直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標系.則，所以.故選：C.11．（2024·安徽合肥·模擬預測）如圖，已知是面積為的等邊三角形，四邊形是面積為2的正方形，其各頂點均位于的內(nèi)部及三邊上，且恰好可在內(nèi)任意旋轉，則當時，（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】先分別求出等邊三角形和正方形的邊長及其內(nèi)切圓半徑，根據(jù)所求結果和正方形可在內(nèi)任意旋轉可知，正方形各個頂點在三角形的內(nèi)切圓上，建立合適的直角坐標系，求出三角形的頂點坐標和其內(nèi)切圓的方程，設出的三角坐標，代入中求出結果即可.【詳解】因為是面積為的等邊三角形，記邊長為，所以，解得，記內(nèi)切圓的半徑為，根據(jù)，可得：，解得，因為正方形的面積為2，所以正方形邊長為，記正方形外接圓半徑為，所以其外接圓直徑等于正方形的對角線2，即，根據(jù)正方形的對稱性和等邊三角形的對稱性可知.正方形外接圓即為等邊三角形的內(nèi)切圓，因為正方形可在內(nèi)任意旋轉，可知正方形各個頂點均在該的內(nèi)切圓上，以的底邊為軸，以的垂直平分線為軸建立平面直角坐標系如圖所示：故可知，圓的方程為，故設，即，，，

故選:A.12．（2024·河南安陽·三模）已知正方形的邊長為為正方形的中心，是的中點，則（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】先建立平面直角坐標，分別求出向量，的坐標，再利用向量數(shù)量積的坐標運算即可求出結果.【詳解】如圖，以為坐標原點，所在直線為軸，軸，建立平面直角坐標系，則，，，所以，，所以故選：C.13．（2024·全國）已知向量，若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的坐標運算求出，，再根據(jù)向量垂直的坐標表示即可求出．【詳解】因為，所以，，由可得，，即，整理得：．故選：D．14．（2024·全國）已知向量，若，則（

）A． B． C．5 D．6【答案】C【分析】利用向量的運算和向量的夾角的余弦公式的坐標形式化簡即可求得【詳解】解：,,即,解得,故選：C15．（2024高二上·江西九江·開學考試）在中，，，．P為所在平面內(nèi)的動點，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，建立平面直角坐標系，設，求得，再設，轉化為三角函數(shù)的最值問題，即可求解.【詳解】在中，，，，以為坐標原點，所在的直線分別為軸和軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，則，設，因為，所以，又由，所以，設，則，其中，當時，取得最小值；當時，取得最小值，所以的取值范圍為.故選：D.

16．（2024·全國）已知的半徑為1，直線PA與相切于點A，直線PB與交于B，C兩點，D為BC的中點，若，則的最大值為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意作出示意圖，然后分類討論，利用平面向量的數(shù)量積定義可得，或然后結合三角函數(shù)的性質(zhì)即可確定的最大值.【詳解】如圖所示，，則由題意可知:，由勾股定理可得

當點位于直線異側時或PB為直徑時，設，則：，則當時，有最大值.

當點位于直線同側時，設，則：，，則當時，有最大值.綜上可得，的最大值為.故選：A.【點睛】本題的核心在于能夠正確作出示意圖，然后將數(shù)量積的問題轉化為三角函數(shù)求最值的問題，考查了學生對于知識的綜合掌握程度和靈活處理問題的能力.17．（2024·山東）已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)題中所給的條件，結合正六邊形的特征，得到在方向上的投影的取值范圍是，利用向量數(shù)量積的定義式，求得結果.【詳解】的模為2，根據(jù)正六邊形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范圍是，結合向量數(shù)量積的定義式，可知等于的模與在方向上的投影的乘積，所以的取值范圍是，故選：A.【點睛】該題以正六邊形為載體，考查有關平面向量數(shù)量積的取值范圍，涉及到的知識點有向量數(shù)量積的定義式，屬于簡單題目.18．（2024·北京）在中，．P為所在平面內(nèi)的動點，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意建立平面直角坐標系，設，表示出，，根據(jù)數(shù)量積的坐標表示、輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標系，則，，，因為，所以在以為圓心，為半徑的圓上運動，設，，所以，，所以，其中，，因為，所以，即；故選：D

19．（2024·全國）已知向量滿足，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】根據(jù)給定模長，利用向量的數(shù)量積運算求解即可.【詳解】解：∵，又∵∴9，∴故選：C.20．（2024·浙江）已知、、是平面向量，是單位向量．若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是A． B． C．2 D．【答案】A【分析】先確定向量、所表示的點的軌跡，一個為直線，一個為圓，再根據(jù)直線與圓的位置關系求最小值.【詳解】設，則由得，由得因此，的最小值為圓心到直線的距離減去半徑1，為選A.【點睛】以向量為載體求相關變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、曲線方程等相結合的一類綜合問題.通過向量的坐標運算，將問題轉化為解方程、解不等式、求函數(shù)值域或直線與曲線的位置關系，是解決這類問題的一般方法.21．（2024·全國）已知向量，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平面向量模與數(shù)量積的坐標表示分別求得，從而利用平面向量余弦的運算公式即可得解.【詳解】因為，所以，則，，所以.故選：B.22．（2024·全國）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.【詳解】因為,所以,即,即,所以.如圖,設,由題知,是等腰直角三角形,AB邊上的高,所以,,.故選:D.23．（2024·吉林·二模）平面向量與相互垂直，已知，，且與向量(1，0)的夾角是鈍角，則=（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先設出向量的坐標，利用平面向量垂直的坐標表示及模的運算，向量夾角的定義求解即可．【詳解】設①，，②，與向量(1，0)夾角為鈍角，，③，由①②③解得，，故選：D．24．（2024高三上·湖南·階段練習）已知單位向量，的夾角為60°，則在下列向量中，與垂直的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義、運算性質(zhì)，結合兩平面向量垂直數(shù)量積為零這一性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】由已知可得：.A：因為，所以本選項不符合題意；B：因為，所以本選項不符合題意；C：因為，所以本選項不符合題意；D：因為，所以本選項符合題意.故選：D.【點睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的定義和運算性質(zhì)，考查了兩平面向量數(shù)量積為零則這兩個平面向量互相垂直這一性質(zhì)，考查了數(shù)學運算能力.25．（2024·全國·模擬預測）已知平面向量，滿足，，，則實數(shù)k的值為（

）A．1 B．3 C．2 D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用向量數(shù)量積的運算律求解即得.【詳解】將兩邊同時平方，得，而，，，因此，即依題意，又，所以.故選：A26．（2024高三上·遼寧·階段練習）已知向量，，若與的夾角是銳角，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積為正數(shù)且兩向量不同向即可根據(jù)坐標運算求解.【詳解】由題意得，，若與的夾角是銳角，則與不共線，且它們數(shù)量積為正值，即，且，解得，且，所以實數(shù)的取值范圍為．故選:A27．（2024·福建漳州·模擬預測）已知向量，向量，向量，若與共線，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量共線以及垂直的坐標表示，列出關于的方程組，求解即可.【詳解】因為與共線，所以，解得.又，所以，解得，所以，所以.故選：C.28．（2024·遼寧沈陽·一模）已知單位向量滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由向量垂直得到方程，求出，再利用向量夾角余弦公式求出答案.【詳解】由得，又為單位向量，，，又，.故選：B.29．（2024高三上·江西撫州·階段練習）已知非零向量，滿足，，則的最大值為A． B． C． D．5【答案】A【分析】利用平面向量的數(shù)量積與模長關系先判定，再利用三角換元結合輔助角公式計算即可.【詳解】，由，則有，又，即，令，則，故選：A．30．（2024·四川成都·模擬預測）在平面直角坐標系中，點，直線，點關于直線的對稱點為，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設點，由，關于直線對稱，聯(lián)立方程求出點的坐標，求出，分類討論求解最大值即可.【詳解】設點，因為，關于直線對稱，所以，可得：.所以，，所以.當時，；當時，，此時，所以.當時，，此時，所以，故.綜上所述：，故的最大值為.故選：D.31．（2024高三下·陜西·開學考試）已知拋物線的焦點為，直線與拋物線相切于點（異于坐標原點），與軸交于點，若，，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設點，利用導數(shù)求出直線的方程，可求出點的坐標，利用已知條件可得出關于、的方程，解出這兩個量的值，然后利用平面向量數(shù)量積的坐標運算可求得向量與的夾角.【詳解】設點，拋物線對應的函數(shù)為，求導得，所以，直線的斜率為，則直線的方程為，即，在直線的方程中，令，可得，即點，由已知可得，解得，故拋物線的方程為，則，，，所以，，，所以，，因為，故.故選：B.二、多選題32．（2024·全國）已知為坐標原點，點，，，，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】A、B寫出，、，的坐標，利用坐標公式求模，即可判斷正誤；C、D根據(jù)向量的坐標，應用向量數(shù)量積的坐標表示及兩角和差公式化簡，即可判斷正誤.【詳解】A：，，所以，，故，正確；B：，，所以，同理，故不一定相等，錯誤；C：由題意得：，，正確；D：由題意得：，，故一般來說故錯誤；故選：AC33．（2024·江蘇連云港·模擬預測）設是三個非零向量，且相互不共線，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則不與垂直 D．不與垂直【答案】AB【分析】根據(jù)模長公式即可判斷A，根據(jù)數(shù)量積是否為0可判斷BCD.【詳解】對于A，由平方可得，故A正確，對于B,若則，所以，故B正確，對于C,若，則或或（舍去），故可能與垂直，故C錯誤，對于D，，所以，故D錯誤，故選：AB三、填空題34．（2024·上海楊浦·模擬預測）若向量與不共線也不垂直，且，則向量夾角.【答案】【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積求夾角即可.【詳解】由題意可得：，故：，即向量與的夾角為.故答案為：35．（2024·上海長寧·三模）已知是同一個平面上的向量，若，且，則.【答案】【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積公式確定，根據(jù)垂直得到，代入計算得到答案.【詳解】設，則，，故，，則，，，故，設，，則，又，解得，故.故答案為：.36．（2024高三下·重慶渝中·階段練習）已知向量，滿足，，，則向量與的夾角大小為.【答案】【分析】根據(jù)已知條件列方程，由此求得向量與的夾角大小.【詳解】由于，所以，所以，所以為銳角，所以.故答案為：37．（2024·山東·二模）已知向量，，若非零向量與，的夾角均相等，則的坐標為（寫出一個