2025年高考數(shù)學一輪復習講義(知識梳理+真題自測+考點突破+分層檢測)專題15導數(shù)的概念及運算(新高考專用)(原卷版+解析)

專題15導數(shù)的概念及運算（新高考專用）目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 3【考點突破】 4【考點1】導數(shù)的運算 4【考點2】導數(shù)的幾何意義 5【考點3】導數(shù)幾何意義的應用 6【分層檢測】 7【基礎篇】 7【能力篇】 9【培優(yōu)篇】 10考試要求：1.通過實例分析，了解平均變化率、瞬時變化率，了解導數(shù)概念的實際背景.2.通過函數(shù)圖象，理解導數(shù)的幾何意義.3.了解利用導數(shù)定義求基本初等函數(shù)的導數(shù).4.能利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù).5.能求簡單的復合函數(shù)(形如f(ax＋b))的導數(shù).知識梳理知識梳理1.導數(shù)的概念(1)如果當Δx→0時，平均變化率eq\f(Δy,Δx)無限趨近于一個確定的值，即eq\f(Δy,Δx)有極限，則稱y＝f(x)在x＝x0處可導，并把這個確定的值叫做y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)(也稱瞬時變化率)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0)).(2)當x＝x0時，f′(x0)是一個唯一確定的數(shù)，當x變化時，y＝f′(x)就是x的函數(shù)，我們稱它為y＝f(x)的導函數(shù)(簡稱導數(shù))，記為f′(x)(或y′)，即f′(x)＝y(tǒng)′＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx).2.導數(shù)的幾何意義函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)的幾何意義就是曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率，相應的切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).3.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式基本初等函數(shù)導函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q，α≠0)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos__xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin__xf(x)＝ax(a＞0且a≠1)f′(x)＝axln__af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a＞0且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)4.導數(shù)的運算法則若f′(x)，g′(x)存在，則有：[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq\f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)；[cf(x)]′＝cf′(x).5.復合函數(shù)的定義及其導數(shù)(1)一般地，對于兩個函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過中間變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)與u＝g(x)的復合函數(shù)，記作y＝f(g(x)).(2)復合函數(shù)y＝f(g(x))的導數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導數(shù)間的關系為yx′＝y(tǒng)u′·ux′，即y對x的導數(shù)等于y對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積.1.f′(x0)代表函數(shù)f(x)在x＝x0處的導數(shù)值；(f(x0))′是函數(shù)值f(x0)的導數(shù)，則(f(x0))′＝0.2.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,f（x）)))′＝－eq\f(f′（x）,[f（x）]2)(f(x)≠0).3.曲線的切線與曲線的公共點的個數(shù)不一定只有一個，而直線與二次曲線相切只有一個公共點.4.函數(shù)y＝f(x)的導數(shù)f′(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時變化趨勢，其正負號反映了變化的方向，其大小|f′(x)|反映了變化的快慢，|f′(x)|越大，曲線在這點處的切線越“陡”.真題自測真題自測一、單選題1．（2023·全國·高考真題）曲線在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·高考真題）當時，函數(shù)取得最大值，則（

）A． B． C． D．13．（2021·全國·高考真題）若過點可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．二、多選題4．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)，則（

）A．有兩個極值點 B．有三個零點C．點是曲線的對稱中心 D．直線是曲線的切線三、填空題5．（2022·全國·高考真題）曲線過坐標原點的兩條切線的方程為，．6．（2022·全國·高考真題）若曲線有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是．7．（2021·全國·高考真題）曲線在點處的切線方程為．8．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù)，函數(shù)的圖象在點和點的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點，則取值范圍是．考點突破考點突破【考點1】導數(shù)的運算一、單選題1．（2023·湖北·模擬預測）已知，，直線與曲線相切，則的最小值是（

）A．16 B．12 C．8 D．42．（23-24高二上·江蘇鹽城·期末）若點是曲線上任意一點，則點到直線的最小距離為（

）A．1 B． C． D．二、多選題3．（2024·湖南·二模）已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，記.若滿足的圖象關于直線對稱，且，則（

）A．是偶函數(shù) B．C． D．4．（2024·甘肅隴南·一模）已知函數(shù)有3個不同的零點,且，則（

）A． B．的解集為C．是曲線的切線 D．點是曲線的對稱中心三、填空題5．（23-24高三上·上海普陀·期末）函數(shù)，如果為奇函數(shù)，則的取值范圍為6．（23-24高二下·河南·階段練習）已知函數(shù)，則.反思提升：1.求函數(shù)的導數(shù)要準確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運算法則求導.2.抽象函數(shù)求導，恰當賦值是關鍵，然后活用方程思想求解.3.復合函數(shù)求導，應由外到內逐層求導，必要時要進行換元.【考點2】導數(shù)的幾何意義一、單選題1．（2024·重慶·模擬預測）（

）A．72 B．12 C．8 D．42．（2024·江蘇南通·二模）已知曲線與曲線在第一象限交于點，在處兩條曲線的切線傾斜角分別為，，則（

）A． B．C． D．二、多選題3．（2024·河南洛陽·模擬預測）過點向拋物線作兩條切線，切點分別為為拋物線的焦點，則（

）A． B．C． D．4．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)．若過原點可作函數(shù)的三條切線，則（

）A．恰有2個異號極值點 B．若，則C．恰有2個異號零點 D．若，則三、填空題5．（2024·山東泰安·三模）已知函數(shù)若曲線與直線恰有2個公共點，則的取值范圍是.6．（2024·安徽·模擬預測）已知拋物線的焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點．過A作C的切線m及平行于x軸的直線，過F作平行于m的直線交于M，過B作C的切線n及平行于x軸的直線，過F作平行于n的直線交于N．若，則點A的橫坐標為．反思提升：1.求曲線在點P(x0，y0)處的切線，則表明P點是切點，只需求出函數(shù)在P處的導數(shù)，然后利用點斜式寫出切線方程，若在該點P處的導數(shù)不存在，則切線垂直于x軸，切線方程為x＝x0.2.求曲線的切線方程要分清“在點處”與“過點處”的切線方程的不同.過點處的切點坐標不知道，要設出切點坐標，根據(jù)斜率相等建立方程(組)求解，求出切點坐標是解題的關鍵.【考點3】導數(shù)幾何意義的應用一、單選題1．（2024·遼寧大連·一模）斜率為的直線與曲線和圓都相切，則實數(shù)的值為（

）A．或 B．或 C．或 D．或2．（2024·河北邢臺·二模）已知函數(shù)的圖像在，兩個不同點處的切線相互平行，則下面等式可能成立的是（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2023·安徽蕪湖·模擬預測）牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)方程根的一種解法.具體步驟如下：設是函數(shù)的一個零點，任意選取作為的初始近似值，過點作曲線的切線，設與軸交點的橫坐標為，并稱為的1次近似值；過點作曲線的切線，設與軸交點的橫坐標為，稱為的2次近似值.一般地，過點（）作曲線的切線，記與軸交點的橫坐標為，并稱為的次近似值.對于方程，記方程的根為，取初始近似值為，下列說法正確的是（

）A． B．切線：C． D．4．（2024·江西·二模）設函數(shù)（）在處的切線與直線平行，則（

）A．B．函數(shù)存在極大值，不存在極小值C．當時，D．函數(shù)有三個零點三、填空題5．（2024·河南·二模）若兩個函數(shù)和存在過點的公切線，設切點坐標分別為，則.6．（2022·全國·模擬預測）已知函數(shù)，若曲線在處的切線與直線垂直，則實數(shù)；若不等式有且僅有一個正整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是.反思提升：1.處理與切線有關的參數(shù)問題，通常利用曲線、切線、切點的三個關系列出參數(shù)的方程(組)并解出參數(shù)：(1)切點處的導數(shù)是切線的斜率；(2)切點在切線上，故滿足切線方程；(3)切點在曲線上，故滿足曲線方程.2.利用導數(shù)的幾何意義求參數(shù)問題時，注意利用數(shù)形結合，化歸與轉化的思想方法.分層檢測分層檢測【基礎篇】一、單選題1．（23-24高三下·江西撫州·階段練習）如圖1，現(xiàn)有一個底面直徑為高為的圓錐容器，以的速度向該容器內注入溶液，隨著時間（單位：）的增加，圓錐容器內的液體高度也跟著增加，如圖2所示，忽略容器的厚度，則當時，圓錐容器內的液體高度的瞬時變化率為（

）A． B． C． D．2．（2024·黑龍江·二模）函數(shù)在處的切線方程為（

）A． B．C． D．3．（2024·山東·二模）已知為定義在上的奇函數(shù)，設為的導函數(shù)，若，則（

）A．1 B． C．2 D．20234．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)為奇函數(shù)，則（

）A．0 B． C．1 D．2二、多選題5．（23-24高三上·浙江紹興·期末）已知函數(shù)，為的導函數(shù)，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．6．（22-23高二下·江蘇蘇州·階段練習）為了評估某治療新冠肺炎藥物的療效，現(xiàn)有關部門對該藥物在人體血管中的藥物濃度進行測量．已知該藥物在人體血管中藥物濃度隨時間的變化而變化，甲、乙兩人服用該藥物后，血管中藥物濃度隨時間變化的關系如圖所示．則下列結論正確的是（

）

A．在時刻，甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同B．在時刻，甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時變化率相同C．在這個時間段內，甲、乙兩人血管中藥物濃度的平均變化率相同D．在和兩個時間段內，甲血管中藥物濃度的平均變化率相同7．（2023·廣東·二模）已知函數(shù)的圖象在點處的切線為，則（

）A．的斜率的最小值為 B．的斜率的最小值為C．的方程為 D．的方程為三、填空題8．（2024·上海靜安·二模）已知物體的位移（單位：m）與時間（單位：s）滿足函數(shù)關系，則在時間段內，物體的瞬時速度為的時刻（單位：s）．9．（2024·廣西賀州·一模）已知直線與曲線的某條切線平行，則該切線方程為10．（2024·山西呂梁·二模）若曲線在點處的切線過原點，則.四、解答題11．（2024·江蘇南京·二模）已知函數(shù)，其中．(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)當時，若在區(qū)間上的最小值為，求a的值．12．（2024·四川成都·一模）設函數(shù)，(1)求、的值；(2)求在上的最值．【能力篇】一、單選題1．（2024·河北邢臺·一模）如果方程能確定y是x的函數(shù)，那么稱這種方式表示的函數(shù)是隱函數(shù)．隱函數(shù)的求導方法如下：在方程中，把y看成x的函數(shù)，則方程可看成關于x的恒等式，在等式兩邊同時對x求導，然后解出即可．例如，求由方程所確定的隱函數(shù)的導數(shù)，將方程的兩邊同時對x求導，則（是中間變量，需要用復合函數(shù)的求導法則），得．那么曲線在點處的切線方程為（

）A． B．C． D．二、多選題2．（2024·湖北·二模）已知拋物線，過y軸正半軸上任意一點的直線交拋物線于，，拋物線在A，B處的切線、交于點Q，則下列結論正確的有（

）A．的最小值為B．如果P為定點，那么Q為定點C．，的斜率之積為定值D．如果P為定點．那么的面積的最小值為三、填空題3．（2024·遼寧·二模）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)且的圖象在公共點處有相同的切線，則，切線方程為.四、解答題4．（2024·河南洛陽·模擬預測）已知函數(shù)．(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)討論的單調性．【培優(yōu)篇】一、單選題1．（2024·陜西漢中·二模）已知函數(shù)，若函數(shù)有4個零點，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題2．（2024·河南·模擬預測）記，其中，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，，且恒成立，則D．若，則三、填空題3．（2024·江西宜春·模擬預測）已知拋物線是直線上的一點（點不在軸上），過點作的兩條切線，切點分別為，圓與直線切于點，且，則四邊形的面積為成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjshuxue加入百度網(wǎng)盤群1.5T一線老師必備資料一鍵轉存自動更新永不過期專題15導數(shù)的概念及運算（新高考專用）目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 3【考點突破】 10【考點1】導數(shù)的運算 10【考點2】導數(shù)的幾何意義 14【考點3】導數(shù)幾何意義的應用 20【分層檢測】 25【基礎篇】 25【能力篇】 31【培優(yōu)篇】 35考試要求：1.通過實例分析，了解平均變化率、瞬時變化率，了解導數(shù)概念的實際背景.2.通過函數(shù)圖象，理解導數(shù)的幾何意義.3.了解利用導數(shù)定義求基本初等函數(shù)的導數(shù).4.能利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù).5.能求簡單的復合函數(shù)(形如f(ax＋b))的導數(shù).知識梳理知識梳理1.導數(shù)的概念(1)如果當Δx→0時，平均變化率eq\f(Δy,Δx)無限趨近于一個確定的值，即eq\f(Δy,Δx)有極限，則稱y＝f(x)在x＝x0處可導，并把這個確定的值叫做y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)(也稱瞬時變化率)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0)).(2)當x＝x0時，f′(x0)是一個唯一確定的數(shù)，當x變化時，y＝f′(x)就是x的函數(shù)，我們稱它為y＝f(x)的導函數(shù)(簡稱導數(shù))，記為f′(x)(或y′)，即f′(x)＝y(tǒng)′＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx).2.導數(shù)的幾何意義函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)的幾何意義就是曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率，相應的切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).3.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式基本初等函數(shù)導函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q，α≠0)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos__xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin__xf(x)＝ax(a＞0且a≠1)f′(x)＝axln__af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a＞0且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)4.導數(shù)的運算法則若f′(x)，g′(x)存在，則有：[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq\f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)；[cf(x)]′＝cf′(x).5.復合函數(shù)的定義及其導數(shù)(1)一般地，對于兩個函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過中間變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)與u＝g(x)的復合函數(shù)，記作y＝f(g(x)).(2)復合函數(shù)y＝f(g(x))的導數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導數(shù)間的關系為yx′＝y(tǒng)u′·ux′，即y對x的導數(shù)等于y對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積.1.f′(x0)代表函數(shù)f(x)在x＝x0處的導數(shù)值；(f(x0))′是函數(shù)值f(x0)的導數(shù)，則(f(x0))′＝0.2.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,f（x）)))′＝－eq\f(f′（x）,[f（x）]2)(f(x)≠0).3.曲線的切線與曲線的公共點的個數(shù)不一定只有一個，而直線與二次曲線相切只有一個公共點.4.函數(shù)y＝f(x)的導數(shù)f′(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時變化趨勢，其正負號反映了變化的方向，其大小|f′(x)|反映了變化的快慢，|f′(x)|越大，曲線在這點處的切線越“陡”.真題自測真題自測一、單選題1．（2023·全國·高考真題）曲線在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·高考真題）當時，函數(shù)取得最大值，則（

）A． B． C． D．13．（2021·全國·高考真題）若過點可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．二、多選題4．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)，則（

）A．有兩個極值點 B．有三個零點C．點是曲線的對稱中心 D．直線是曲線的切線三、填空題5．（2022·全國·高考真題）曲線過坐標原點的兩條切線的方程為，．6．（2022·全國·高考真題）若曲線有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是．7．（2021·全國·高考真題）曲線在點處的切線方程為．8．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù)，函數(shù)的圖象在點和點的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點，則取值范圍是．參考答案：1．C【分析】先由切點設切線方程，再求函數(shù)的導數(shù)，把切點的橫坐標代入導數(shù)得到切線的斜率，代入所設方程即可求解.【詳解】設曲線在點處的切線方程為，因為，所以，所以所以所以曲線在點處的切線方程為.故選：C2．B【分析】根據(jù)題意可知，即可解得，再根據(jù)即可解出．【詳解】因為函數(shù)定義域為，所以依題可知，，，而，所以，即，所以，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，時取最大值，滿足題意，即有．故選：B.3．D【分析】解法一：根據(jù)導數(shù)幾何意義求得切線方程，再構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)圖象，結合圖形確定結果；解法二：畫出曲線的圖象，根據(jù)直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.【詳解】在曲線上任取一點，對函數(shù)求導得，所以，曲線在點處的切線方程為，即，由題意可知，點在直線上，可得，令，則.當時，，此時函數(shù)單調遞增，當時，，此時函數(shù)單調遞減，所以，，由題意可知，直線與曲線的圖象有兩個交點，則，當時，，當時，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：

由圖可知，當時，直線與曲線的圖象有兩個交點.故選：D.解法二：畫出函數(shù)曲線的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.由此可知.

故選：D.【點睛】解法一是嚴格的證明求解方法，其中的極限處理在中學知識范圍內需要用到指數(shù)函數(shù)的增長特性進行估計，解法二是根據(jù)基于對指數(shù)函數(shù)的圖象的清晰的理解與認識的基礎上，直觀解決問題的有效方法.4．AC【分析】利用極值點的定義可判斷A，結合的單調性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導數(shù)的幾何意義判斷D.【詳解】由題，，令得或，令得，所以在，上單調遞增，上單調遞減，所以是極值點，故A正確；因，，，所以，函數(shù)在上有一個零點，當時，，即函數(shù)在上無零點，綜上所述，函數(shù)有一個零點，故B錯誤；令，該函數(shù)的定義域為，，則是奇函數(shù)，是的對稱中心，將的圖象向上移動一個單位得到的圖象，所以點是曲線的對稱中心，故C正確；令，可得，又，當切點為時，切線方程為，當切點為時，切線方程為，故D錯誤.故選：AC.5．【分析】分和兩種情況，當時設切點為，求出函數(shù)的導函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標原點求出，即可求出切線方程，當時同理可得；【詳解】[方法一]：化為分段函數(shù)，分段求分和兩種情況，當時設切點為，求出函數(shù)導函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標原點求出，即可求出切線方程，當時同理可得；解：因為，當時，設切點為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；當時，設切點為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；故答案為：；[方法二]：根據(jù)函數(shù)的對稱性，數(shù)形結合當時，設切點為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；因為是偶函數(shù)，圖象為：所以當時的切線，只需找到關于y軸的對稱直線即可.[方法三]：因為，當時，設切點為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；當時，設切點為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；故答案為：；.6．【分析】設出切點橫坐標，利用導數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過原點得到關于的方程，根據(jù)此方程應有兩個不同的實數(shù)根，求得的取值范圍.【詳解】∵，∴，設切點為,則,切線斜率,切線方程為：,∵切線過原點，∴,整理得：,∵切線有兩條，∴,解得或,∴的取值范圍是,故答案為：7．【分析】先驗證點在曲線上，再求導，代入切線方程公式即可．【詳解】由題，當時，，故點在曲線上．求導得：，所以．故切線方程為．故答案為：．8．【分析】結合導數(shù)的幾何意義可得，結合直線方程及兩點間距離公式可得，，化簡即可得解.【詳解】由題意，，則，所以點和點，,所以，所以，所以，同理,所以.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是利用導數(shù)的幾何意義轉化條件，消去一個變量后，運算即可得解.考點突破考點突破【考點1】導數(shù)的運算一、單選題1．（2023·湖北·模擬預測）已知，，直線與曲線相切，則的最小值是（

）A．16 B．12 C．8 D．42．（23-24高二上·江蘇鹽城·期末）若點是曲線上任意一點，則點到直線的最小距離為（

）A．1 B． C． D．二、多選題3．（2024·湖南·二模）已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，記.若滿足的圖象關于直線對稱，且，則（

）A．是偶函數(shù) B．C． D．4．（2024·甘肅隴南·一模）已知函數(shù)有3個不同的零點,且，則（

）A． B．的解集為C．是曲線的切線 D．點是曲線的對稱中心三、填空題5．（23-24高三上·上海普陀·期末）函數(shù)，如果為奇函數(shù)，則的取值范圍為6．（23-24高二下·河南·階段練習）已知函數(shù)，則.參考答案：1．D【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義結合已知方程求出的關系，再根據(jù)不等式中“1”的整體代換即可得出答案.【詳解】對求導得，由得，則，即，所以，當且僅當時取等號．故選：D．2．D【分析】求出平行于的直線與曲線相切的切點坐標，再利用點到直線的距離公式可得結論．【詳解】設，函數(shù)的定義域為，求導得，當曲線在點處的切線平行于直線時，，則，而，解得，于是，平行于的直線與曲線相切的切點坐標為，所以點到直線的最小距離即點到直線的距離．故選：D3．ABD【分析】推導出函數(shù)的奇偶性，設，利用導數(shù)推導出為常值函數(shù)，結合函數(shù)奇偶性的定義可判斷A選項；推導出，令代值計算可判斷B選項；由、推導可判斷C選項；求出的值，結合函數(shù)的周期性可判斷D選項．【詳解】對于A選項，因為函數(shù)的圖象關于直線對稱，則，即，所以，函數(shù)為偶函數(shù)，故A正確；對于選項，因為，令，可得，即，對等式兩邊求導得，即，故，所以，故B正確；對于選項，因為，則，令，則，所以，為常值函數(shù)，設，其中為常數(shù)，當時，，故C錯誤；對于D選項，因為，所以，.，可得，，由，令，可得，則，所以，因為，則，故D正確.故選：ABD.【點睛】結論點睛：本題考查抽象函數(shù)的對稱性與周期性，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：（1）若對任意的實數(shù)，滿足，則函數(shù)的周期為；（2）若對任意的實數(shù)，滿足，則函數(shù)關于直線對稱；（3）若對任意的實數(shù)，滿足，則函數(shù)關于點對稱．4．AC【分析】利用三次函數(shù)的零點式，結合條件可求得，從而可判斷AB，利用導數(shù)的幾何意義可判斷C，舉反例排除D.【詳解】對于A，因為有3個不同的零點,所以不妨設，易知展開式中的常數(shù)項為，故，又，所以，解得，所以，解得，故A正確；對于B，因為，令，即，利用數(shù)軸穿根法，解得或，故B錯誤；對于C，易得，當切線斜率為時，令，解得或，當時，，此時切線為，即，故C正確；對于D，因為，又，所以，所以點是曲線的對稱中心，故D錯誤.故選：AC.5．【分析】求出，結合函數(shù)奇偶性的定義判斷可得出結果.【詳解】由可得，即函數(shù)的定義域為，則，又因為函數(shù)為奇函數(shù)，對任意的，，對任意的實數(shù)都滿足條件，故實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.6．【分析】左右兩側同時求導得到，求出原函數(shù)后再求即可.【詳解】由題意知，令，得，解得，所以，所以.故答案為：反思提升：1.求函數(shù)的導數(shù)要準確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運算法則求導.2.抽象函數(shù)求導，恰當賦值是關鍵，然后活用方程思想求解.3.復合函數(shù)求導，應由外到內逐層求導，必要時要進行換元.【考點2】導數(shù)的幾何意義一、單選題1．（2024·重慶·模擬預測）（

）A．72 B．12 C．8 D．42．（2024·江蘇南通·二模）已知曲線與曲線在第一象限交于點，在處兩條曲線的切線傾斜角分別為，，則（

）A． B．C． D．二、多選題3．（2024·河南洛陽·模擬預測）過點向拋物線作兩條切線，切點分別為為拋物線的焦點，則（

）A． B．C． D．4．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)．若過原點可作函數(shù)的三條切線，則（

）A．恰有2個異號極值點 B．若，則C．恰有2個異號零點 D．若，則三、填空題5．（2024·山東泰安·三模）已知函數(shù)若曲線與直線恰有2個公共點，則的取值范圍是.6．（2024·安徽·模擬預測）已知拋物線的焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點．過A作C的切線m及平行于x軸的直線，過F作平行于m的直線交于M，過B作C的切線n及平行于x軸的直線，過F作平行于n的直線交于N．若，則點A的橫坐標為．參考答案：1．B【分析】令，根據(jù)導數(shù)的概念，可求解.【詳解】令，根據(jù)導數(shù)的概念，，，所以.故選：B．2．A【分析】聯(lián)立曲線曲線與曲線方程求出切點，再由圓的切線與圓心和切點連線垂直，結合兩垂直直線斜率乘積等于可求出在處圓的切線斜率，從而得出；由導數(shù)知識里在某點處的切線方程求法可得出，進而根據(jù)兩角和與差的正切公式進行檢驗判斷即可.【詳解】因為曲線，即，所以曲線是以為圓心，為半徑的圓，且，即曲線過原點O，聯(lián)立，得，所以在處圓的切線斜率為，所以，由，所以曲線在A處的切線斜率為，又，所以，所以，從而，即，故A正確，C錯誤，注意到，，且，故B、D錯誤，故選：A.3．BC【分析】設，利用導數(shù)的幾何意義求出兩切線斜率，即可求出兩切線方程，然后根據(jù)韋達定理判斷AB，根據(jù)焦半徑公式化簡求解判斷CD.【詳解】設點為點，拋物線的方程為，即，則,設，則切線PA，PB的斜率分別為，切線方程分別為，將的坐標及代入，并整理得，可得為方程的兩個實數(shù)根，由韋達定理得，故A錯誤，B正確；，故C正確；，故D錯誤.故選：BC4．BD【分析】利用函數(shù)導數(shù)的符號可判斷AC，設切點，利用導數(shù)求出切線方程，代入原點方程有三解，轉化為利用導數(shù)研究函數(shù)極值，由數(shù)形結合求解即可判斷BD.【詳解】因為，所以在上單調遞增，故AC錯誤；設過原點的函數(shù)的切線的切點為，則切線的斜率，所以切線方程為，即，因為過原點，所以，化簡得，即方程有3個不等實數(shù)根，令，則，當時，或時，，時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以極大值，極小值為，如圖，所以與相交有三個交點需滿足，故B正確；同理，當時，可知極大值，極小值為，如圖，

可得時，與相交有三個交點，故D正確.故選：BD5．【分析】由導函數(shù)等求出函數(shù)單調性和切線方程，畫出的圖象，數(shù)形結合得到答案.【詳解】當時，，其在上單調遞減，在上單調遞增，且，則；當時，，，其在上單調遞減，且.作出的圖像，如圖，易知的取值范圍是.故答案為：6．3【分析】利用導數(shù)的幾何意義，求切線的斜率，并利用直線的交點求點的坐標，再根據(jù)方程，求點的坐標.【詳解】設,，不妨設點在第一象限，點在第四象限，

當時，，所以點處切線的斜率為，所以過點且與直線平行的直線為，當時，得，即當時，，所以點處切線的斜率為，所以過點且與直線平行的直線為，當時，得，即，所以，所以，（*）設直線，聯(lián)立，得，得，，代入（*），得，化簡為，解得：，或（舍）所以點的橫坐標為3.故答案為：3【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是利用導數(shù)求切線的斜率，以及利用韋達定理得到.反思提升：1.求曲線在點P(x0，y0)處的切線，則表明P點是切點，只需求出函數(shù)在P處的導數(shù)，然后利用點斜式寫出切線方程，若在該點P處的導數(shù)不存在，則切線垂直于x軸，切線方程為x＝x0.2.求曲線的切線方程要分清“在點處”與“過點處”的切線方程的不同.過點處的切點坐標不知道，要設出切點坐標，根據(jù)斜率相等建立方程(組)求解，求出切點坐標是解題的關鍵.【考點3】導數(shù)幾何意義的應用一、單選題1．（2024·遼寧大連·一模）斜率為的直線與曲線和圓都相切，則實數(shù)的值為（

）A．或 B．或 C．或 D．或2．（2024·河北邢臺·二模）已知函數(shù)的圖像在，兩個不同點處的切線相互平行，則下面等式可能成立的是（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2023·安徽蕪湖·模擬預測）牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)方程根的一種解法.具體步驟如下：設是函數(shù)的一個零點，任意選取作為的初始近似值，過點作曲線的切線，設與軸交點的橫坐標為，并稱為的1次近似值；過點作曲線的切線，設與軸交點的橫坐標為，稱為的2次近似值.一般地，過點（）作曲線的切線，記與軸交點的橫坐標為，并稱為的次近似值.對于方程，記方程的根為，取初始近似值為，下列說法正確的是（

）A． B．切線：C． D．4．（2024·江西·二模）設函數(shù)（）在處的切線與直線平行，則（

）A．B．函數(shù)存在極大值，不存在極小值C．當時，D．函數(shù)有三個零點三、填空題5．（2024·河南·二模）若兩個函數(shù)和存在過點的公切線，設切點坐標分別為，則.6．（2022·全國·模擬預測）已知函數(shù)，若曲線在處的切線與直線垂直，則實數(shù)；若不等式有且僅有一個正整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是.參考答案：1．A【分析】設直線的方程為，先根據(jù)直線和圓相切算出，在根據(jù)導數(shù)的幾何意義算.【詳解】依題意得，設直線的方程為，由直線和圓相切可得，，解得，當時，和相切，設切點為，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，，又切點同時在直線和曲線上，即，解得，即和相切，此時將直線和曲線同時向右平移兩個單位，和仍會保持相切狀態(tài)，即時，，綜上所述，或.故選：A2．B【分析】函數(shù)在兩點處的切線平行，轉化為函數(shù)在兩點處的導數(shù)相等，得到的關系，在結合不等式求的取值范圍即可.【詳解】因為，.所以，.由因為在，兩個不同點處的切線相互平行，所以，又，所以，故CD錯誤；因為且，所以，故A不成立；當時，.故B成立.故選：B3．ABD【分析】由函數(shù)零點的存在性定理和，得到，可判定A正確；求得，設切點，求得切線方程，令，求得，可判定D正確；當時，求得，得出切線方程，可判定B正確；計算求得的值，可得判定C錯誤.【詳解】由，可得，即，根據(jù)函數(shù)零點的存在性定理，可得，所以A正確；又由，設切點，則切線的斜率為，所以切線方程為，令，可得，所以D正確；當時，可得，則，所以的方程為，即，所以B正確；由，可得，，此時，所以C錯誤；故選：ABD4．AC【分析】利用導數(shù)的幾何意義可判定A，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與極值可判定B，構造差函數(shù)利用導數(shù)研究其單調性與最值即可判定C，作出的圖象結合條件可判定D.【詳解】對于A，，故，解得，故A正確；對于B．因為，，所以函數(shù)在上單調遞減，不存在極值，故B錯誤；對于C，令（），則，由，故，故在上單調遞減，所以.即當時，，故C正確；對于D，因為，當時，；當時，，又，在同一坐標系中作出與的圖象，如圖所示，所以函數(shù)有且只有1個零點，故D錯誤.故選：AC．5．9【分析】分別求出兩個函數(shù)的導函數(shù)，根據(jù)導函數(shù)的幾何意義求出斜率，由求出切點坐標得，利用斜率相等得，代入原式即得【詳解】，設切點坐標為，切線斜率為，切線方程為，將代入得，即.，設切點坐標為，切線斜率為，切線方程為，將代入得，即，又因為，可得，即，，所以.故答案為：96．1【分析】根據(jù)在處的導數(shù)與已知直線的斜率之積等于-1可得；將不等式轉化為，令，，考察的最值點，結合題意可解.【詳解】依題意，，所以.因為曲線在處的切線與直線垂直，所以，解得；若不等式，即，可化為.令，，且函數(shù)的圖象恒過定點.因為函數(shù)，，所以當時，，函數(shù)在上單調遞增；當時，，函數(shù)在上單調遞減，所以當時，.又，設點，，若滿足不等式有且僅有一個正整數(shù)解，則必有.又因為，，所以，即實數(shù)a的取值范圍是.故答案為：1，反思提升：1.處理與切線有關的參數(shù)問題，通常利用曲線、切線、切點的三個關系列出參數(shù)的方程(組)并解出參數(shù)：(1)切點處的導數(shù)是切線的斜率；(2)切點在切線上，故滿足切線方程；(3)切點在曲線上，故滿足曲線方程.2.利用導數(shù)的幾何意義求參數(shù)問題時，注意利用數(shù)形結合，化歸與轉化的思想方法.分層檢測分層檢測【基礎篇】一、單選題1．（23-24高三下·江西撫州·階段練習）如圖1，現(xiàn)有一個底面直徑為高為的圓錐容器，以的速度向該容器內注入溶液，隨著時間（單位：）的增加，圓錐容器內的液體高度也跟著增加，如圖2所示，忽略容器的厚度，則當時，圓錐容器內的液體高度的瞬時變化率為（

）A． B． C． D．2．（2024·黑龍江·二模）函數(shù)在處的切線方程為（

）A． B．C． D．3．（2024·山東·二模）已知為定義在上的奇函數(shù)，設為的導函數(shù)，若，則（

）A．1 B． C．2 D．20234．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)為奇函數(shù)，則（

）A．0 B． C．1 D．2二、多選題5．（23-24高三上·浙江紹興·期末）已知函數(shù)，為的導函數(shù)，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．6．（22-23高二下·江蘇蘇州·階段練習）為了評估某治療新冠肺炎藥物的療效，現(xiàn)有關部門對該藥物在人體血管中的藥物濃度進行測量．已知該藥物在人體血管中藥物濃度隨時間的變化而變化，甲、乙兩人服用該藥物后，血管中藥物濃度隨時間變化的關系如圖所示．則下列結論正確的是（

）

A．在時刻，甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同B．在時刻，甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時變化率相同C．在這個時間段內，甲、乙兩人血管中藥物濃度的平均變化率相同D．在和兩個時間段內，甲血管中藥物濃度的平均變化率相同7．（2023·廣東·二模）已知函數(shù)的圖象在點處的切線為，則（

）A．的斜率的最小值為 B．的斜率的最小值為C．的方程為 D．的方程為三、填空題8．（2024·上海靜安·二模）已知物體的位移（單位：m）與時間（單位：s）滿足函數(shù)關系，則在時間段內，物體的瞬時速度為的時刻（單位：s）．9．（2024·廣西賀州·一模）已知直線與曲線的某條切線平行，則該切線方程為10．（2024·山西呂梁·二模）若曲線在點處的切線過原點，則.四、解答題11．（2024·江蘇南京·二模）已知函數(shù)，其中．(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)當時，若在區(qū)間上的最小值為，求a的值．12．（2024·四川成都·一模）設函數(shù)，(1)求、的值；(2)求在上的最值．參考答案：1．C【分析】先根據(jù)圓錐的體積公式列出等式得出；再根據(jù)導數(shù)的運算得出；最后令即可求解.【詳解】設注入溶液的時間為（單位：）時，溶液的高為，則，得.因為，所以當時，，即圓錐容器內的液體高度的瞬時變化率為.故選：C2．D【分析】當時，利用導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，再由點斜式求出切線方程.【詳解】因為，則，當時，則，所以，所以切點為，切線的斜率為，所以切線方程為，即.故選：D3．C【分析】根據(jù)進行奇偶性和周期性的推導，得到是周期為4的偶函數(shù)，從而算出的值.【詳解】因為，所以兩邊求導，得，即①因為為定義在上的奇函數(shù)，則，所以兩邊求導，得，所以是定義在上的偶函數(shù)，所以，結合①式可得，，所以，兩式相減得，，所以是周期為4的偶函數(shù)，所以.由①式，令，得，所以.故選：C.4．A【分析】由奇函數(shù)性質可知，函數(shù)的定義域關于軸對稱，求得，進而通過導數(shù)公式計算可得結果.【詳解】易知的定義域為．因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，顯然是奇函數(shù)，滿足題意，所以，故，故選:A．5．ABD【分析】根據(jù)已知函數(shù)，求出導函數(shù)，依次代入驗證各選項的正確性即可.【詳解】由已知得，故A正確：，故B正確；，而，所以不成立，故C錯誤；，故D正確：故選：ABD6．AC【分析】利用圖象可判斷A選項；利用導數(shù)的幾何意義可判斷B選項；利用平均變化率的概念可判斷C選項；利用平均變化率的概念可判斷D選項.【詳解】選項A，在時刻，兩圖象相交，說明甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同，即選項A正確；選項B，在時刻，兩圖象的切線斜率不相等，即兩人的不相等，說明甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時變化率不相同，即選項B錯誤；選項C，由平均變化率公式知，甲、乙兩人在內，血管中藥物濃度的平均變化率均為，即選項C正確；選項D，在和兩個時間段內，甲血管中藥物濃度的平均變化率分別為和，顯然不相同，即選項D不正確．故選：AC.7．BCD【分析】對函數(shù)求導，表示出在點的切線斜率即可.【詳解】因為，所以的斜率的最小值為.因為，所以的方程為.因為，所以的方程為，即.故選：BCD.8．【分析】可求出導函數(shù)，根據(jù)即可求解．【詳解】由題可得：，可得，又，可得．故答案為：．9．【分析】先求出切點，再根據(jù)導數(shù)的幾何意義即可得解.【詳解】，設切點為，則，解得，所以切點為，故切線方程為，即.故答案為：.10．【分析】求導，根據(jù)點斜式求解直線方程，即可代入求解.【詳解】因為，所以，所以在點處的切線方程為.又切線過原點，則，所以.故答案為：11．(1)(2)【分析】（1）由，分別求出及，即可寫出切線方程；（2）計算出，令，解得或，分類討論的范圍，得出的單調性，由在區(qū)間上的最小值為，列出方程求解即可．【詳解】（1）當時，，則，，所以，所以曲線在處的切線方程為：，即．（2），令，解得或，當時，時，，則在上單調遞減，所以，則，符合題意；當時，時，，則在上單調遞減，時，，則在上單調遞增，所以，則，不合題意；當時，時，，則在上單調遞減，所以，不合題意；綜上，．12．(1)，(2)，【分析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，令求出，再令求出；（2）由（1）可得，利用導數(shù)求出函數(shù)的單調性，即可求出函數(shù)的極值，再由區(qū)間端點的函數(shù)值，即可得解.【詳解】（1）因為，所以，取，則有，即；所以，取，則有，即．故，．（2）由（1）知，，則，所以、與，的關系如下表：0120單調遞增極大值單調遞減故，．【能力篇】一、單選題1．（2024·河北邢臺·一模）如果方程能確定y是x的函數(shù)，那么稱這種方式表示的函數(shù)是隱函數(shù)．隱函數(shù)的求導方法如下：在方程中，把y看成x的函數(shù)，則方程可看成關于x的恒等式，在等式兩邊同時對x求導，然后解出即可．例如，求由方程所確定的隱函數(shù)的導數(shù)，將方程的兩邊同時對x求導，則（是中間變量，需要用復合函數(shù)的求導法則），得．那么曲線在點處的切線方程為（

）A． B．C． D．二、多選題2．（2024·湖北·二模）已知拋物線，過y軸正半軸上任意一點的直線交拋物線于，，拋物線在A，B處的切線、交于點Q，則下列結論正確的有（

）A．的最小值為B．如果P為定點，那么Q為定點C．，的斜率之積為定值D．如果P為定點．那么的面積的最小值為三、填空題3．（2024·遼寧·二模）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)且的圖象在公共點處有相同的切線，則，切線方程為.四、解答題4．（2024·河南洛陽·模擬預測）已知函數(shù)．(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)討論的單調性．參考答案：1．B【分析】利用給定隱函數(shù)的導數(shù)求法確定斜率，再求出切線方程即可.【詳解】由給定定義得，對左右兩側同時求導，可得